7.2.3 平行线中的拐点问题 专题训练 2025-2026学年人教版七年级数学下册

平行线中的拐点问题 人教版2025-2026年七年级下 一．铅笔头型 1．如图，∠ABC+∠BCD+∠EDC＝360°，试说明：AB∥ED． 2．如图所示，∠ABC+∠BCD+∠CDE＝360°，直线FG分别交AB，DE于点F，G．若∠1＝120°，则∠2＝　 　 °． 3．如图，如果AB∥EF，那么∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEF＝（　　） A．270° B．360° C．540° D．560° 4．【图形感知】：如图1，AB∥CD，点E在直线AB上，点F在直线CD上，点P为AB、CD之间一点． （1）如图2，该基本图形称为“铅笔头型”（实线部分），它有一个常用数学结论：∠E+∠F+∠EPF＝360°，它可以通过如下方法证明，请你帮忙完成该结论的推理过程． 证明：如图，过点P作PQ∥BE． ∵AB∥CD，PQ∥BE（已知）， ∴PQ∥　 　 （平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴∠1+∠E＝180°，∠2+∠F＝180°（ 　 　 ）， ∴∠1+∠E+∠2+∠F＝360°（等式性质）， ∴∠E+∠F+∠EPF＝360°． （2）如图3，该基本图形称为“M型”（实线部分），仿照上面结论的推理思路可得∠AEP、∠CFP、∠EPF之间的关系是 　 　 ； 【结论应用】直接利用上述结论进行证明； （3）如图4，直线a∥b，点A，C在直线a上，点B，D在直线b上，直线CE，BE分别平分∠ACD，∠ABD，且交于点E．猜想并证明∠CEB与∠AFD的数量关系； 【拓展延伸】： （4）如图5，已知AB∥CD，∠ABN与∠CDN两个角的角平分线相交于点E．若，，设∠M＝m°，∠N＝　 　 °．（用含有n，m的代数式表示） 二．猪蹄型 5．如图，已知EG，FG分别平分∠BEF和∠EFD，且∠1+∠2＝90°，试说明AB∥CD． 6．如图，直线m∥n，一块含有30°的直角三角板按如图所示放置．若∠1＝40°，则∠2的大小为　 　 ． 7．有的数学模型非常可爱，像小猪蹄一样，大家也很爱数学，因此我们也可以叫它“猪蹄模型”．如图，已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1，l2分别交于点C，D，点P是直线CD上的一个动点． （1）如果点P运动到点C，D之间时，探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的数量关系． （2）若点P在C，D两点的外侧运动时（点P与点C，D不重合），∠PAC，∠APB，∠PBD之间的数量关系是否发生改变？请说明理由． 三．锯齿型 8．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则∠α，∠β，∠γ之间的关系是（　　） A．∠β＝∠α+∠γ B．∠α+∠β+∠γ＝180° C．∠α+∠β﹣∠γ＝90° D．∠β+∠γ﹣∠α＝90° 9．如图，已知AB∥EF，∠ABC＝∠DEF，试判断BC和DE的位置关系，并说明理由． 10．（1）如图1，已知AB∥CD，∠ABF＝∠DCE，求证：∠BFE＝∠FEC； （2）如图2，已知AB∥CD，∠EAF＝∠EAB，∠ECF＝∠ECD，求证：∠AFC＝∠AEC． 11．如图①，已知AB∥CD，点E，F分别在线段AB，CD上，连接EF，点G是EF上一点（不与点E、F重合）．点H是线段GF上一点（不与点G、F重合）． （1）求证：∠BGH+∠GHD＝∠B+∠D+180°； （2）如图②，点P是线段BG，DH之间一点，连接GP，PH，若∠BGP＝2∠PGH，∠DHP＝2∠PHG，请写出∠P，∠B与∠D的数量关系，并加以证明． 四．鸟头型 12．如图，直线a∥b，则∠A＝　 　 度． 13．如图，AB∥CD∥EF，x，y，z表示图中三个角的角度． （Ⅰ）x，y与z三者之间的数量关系为 　 　 ； （Ⅱ）若y﹣x＝50°，x与z两者之间的数量关系为 　 　 ． 14．将一块含60°角的直角三角尺按照如图所示的方式放置，其中∠ABC＝90°，∠C＝60°，点A落在直线a上，点B落在直线b上，a∥b，∠1＝α，则∠2的度数是（　　） A．α+30° B．α+45° C．α+60° D．180°﹣α 15．已知AB∥CD． （1）如图①，若∠ABE＝30°，∠BEC＝148°，求∠ECD的度数； （2）如图②，若CF∥EB，CF平分∠ECD，试探究∠ECD与∠ABE之间的数量关系，并证明． 五．综合型 16．已知直线l1∥l2，直线l3和l1，l2分别交于C，D两点，点A，B分别在直线l1，l2上，且位于直线l3的右侧，动点P在直线l3上，且不和点C，D重合． （1）如图1，当动点P在线段CD上运动时，求证：∠APB＝∠CAP+∠DBP； （2）如图2，当动点P在点C上方运动时（P，A，B不在同一直线上），请写出∠APB，∠CAP，∠DBP之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当动点P在点D下方运动时（P，A，B不在同一直线上），直接写出∠APB，∠CAP，∠DBP之间的数量关系． 参考答案 1．如图，∠ABC+∠BCD+∠EDC＝360°，试说明：AB∥ED． 【解答】解： 过C作CF∥AB， 则∠ABC+∠BCF＝180°， ∵∠ABC+∠BCD+∠EDC＝360°， ∴∠EDC+∠DCF＝180°， ∴CF∥DE， ∵CF∥AB， ∴AB∥ED． 2．如图所示，∠ABC+∠BCD+∠CDE＝360°，直线FG分别交AB，DE于点F，G．若∠1＝120°，则∠2＝　60　 °． 【解答】解：如图，作CH∥AB， ， ∵AB∥CH， ∴∠B+∠BCH＝180°， ∵∠ABC+∠C+∠CDE＝360°， ∴∠D+∠DCH＝180°， ∴CH∥DE， ∴AB∥DE， ∴∠1＝∠3＝120°， ∴∠2＝180°﹣∠3＝60° 故答案为：60． 3．如图，如果AB∥EF，那么∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEF＝（　　） A．270° B．360° C．540° D．560° 【解答】解：过点C作CM∥AB，过点D作DN∥AB， ∵AB∥EF， ∴AB∥EF∥CM∥DN， ∵CM∥AB， ∴∠ABC+∠BCM＝180°， ∵CM∥DN， ∴∠MCD+∠NDC＝180°， ∵EF∥DN， ∴∠NDE+∠DEF＝180°， ∴∠ABC+∠BCM+∠MCD+∠NDC+∠NDE+∠DEF＝540°， 即∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEF＝540°， 故选：C． 4．【图形感知】：如图1，AB∥CD，点E在直线AB上，点F在直线CD上，点P为AB、CD之间一点． （1）如图2，该基本图形称为“铅笔头型”（实线部分），它有一个常用数学结论：∠E+∠F+∠EPF＝360°，它可以通过如下方法证明，请你帮忙完成该结论的推理过程． 证明：如图，过点P作PQ∥BE． ∵AB∥CD，PQ∥BE（已知）， ∴PQ∥CD （平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴∠1+∠E＝180°，∠2+∠F＝180°（ 　两直线平行，同旁内角互补　 ）， ∴∠1+∠E+∠2+∠F＝360°（等式性质）， ∴∠E+∠F+∠EPF＝360°． （2）如图3，该基本图形称为“M型”（实线部分），仿照上面结论的推理思路可得∠AEP、∠CFP、∠EPF之间的关系是 　∠EPF＝∠AEP+∠CFP ； 【结论应用】直接利用上述结论进行证明； （3）如图4，直线a∥b，点A，C在直线a上，点B，D在直线b上，直线CE，BE分别平分∠ACD，∠ABD，且交于点E．猜想并证明∠CEB与∠AFD的数量关系； 【拓展延伸】： （4）如图5，已知AB∥CD，∠ABN与∠CDN两个角的角平分线相交于点E．若，，设∠M＝m°，∠N＝　（360﹣2mn）　 °．（用含有n，m的代数式表示） 【解答】（1）证明：如图2，过点P作PQ∥BE． ∵AB∥CD，PQ∥BE（已知）， ∴AB∥PQ∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴∠1+∠BEP＝180°，∠2+∠PFD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠1+∠BEP+∠2+∠PFD＝360°（等式性质）， ∴∠BEP+∠PFD+∠EPF＝360°． 故答案为：CD；两直线平行，同旁内角互补； （2）解：如图3， 过点P作PM∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥PM， ∴∠AEP＝∠MPE，∠CFP＝∠MPF， ∴∠EPF＝∠MPE+∠MPF＝∠AEP+∠CFP， 即∠EPF＝∠AEP+∠CFP； 故答案为：∠EPF＝∠AEP+∠CFP； （3）解：∠AFD＝2∠CEB，理由如下： 如图4，由（2）得，∠CEB＝∠ACE+∠DBE，∠AFD＝∠CFB＝∠ACF+∠DBF， ∵EC平分∠ACD，EB平分∠ABD， ∴∠ACD＝2∠ACE，∠DBF＝2∠DBE， ∴∠AFD＝2∠CEB； （4）解：∵∠ABN与∠CDN两个角的角平分线相交于点E， ∴∠ABE＝∠ABN，∠CDE＝∠CDN， ∵∠ABM＝∠ABE，∠CDM＝∠CDE， ∴∠ABE＝n∠ABM，∠CDE＝n∠CDM， ∴∠ABN＝2n∠ABM，∠CDN＝2n∠CDM， 由（1）得，∠ABN+∠N+∠CDN＝360°， ∴2n∠ABM+2n∠CDM+∠N＝360°， ∵∠M＝∠ABM+∠CDM， ∴2n∠M+∠N＝360°， ∵∠M＝m°， ∴∠N＝（360﹣2mn）°， 故答案为：（360﹣2mn）． 5．如图，已知EG，FG分别平分∠BEF和∠EFD，且∠1+∠2＝90°，试说明AB∥CD． 【解答】证明：∵EG平分∠BEF，FG平分∠EFD， ∴∠BEF＝2∠1，∠DFE＝2∠2， 又∵∠1+∠2＝90°， ∴∠BEF+∠DFE＝2（∠1+∠2）＝180°， ∴AB∥CD． 6．如图，直线m∥n，一块含有30°的直角三角板按如图所示放置．若∠1＝40°，则∠2的大小为　70°　 ． 【解答】解：由题意，如图，过A作n∥p， ∴∠1＝∠3＝40°． ∵m∥n，n∥p， ∴m∥p． ∴∠2＝∠BAC＝30°+∠3＝30°+40°＝70°． 故选：70°． 7．有的数学模型非常可爱，像小猪蹄一样，大家也很爱数学，因此我们也可以叫它“猪蹄模型”．如图，已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1，l2分别交于点C，D，点P是直线CD上的一个动点． （1）如果点P运动到点C，D之间时，探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的数量关系． （2）若点P在C，D两点的外侧运动时（点P与点C，D不重合），∠PAC，∠APB，∠PBD之间的数量关系是否发生改变？请说明理由． 【解答】解：（1）如图，过点P作PE∥l1， ∴∠APE＝∠PAC， ∵l1∥l2， ∴PE∥l2， ∴∠BPE＝∠PBD， ∴∠APE+∠BPE＝∠PAC+∠PBD， ∴∠APB＝∠PAC+∠PBD； （3）改变，理由如下： ①如图，过点P作PE∥l1， ∴∠APE＝∠PAC， ∵l1∥l2， ∴PE∥l2， ∴∠BPE＝∠PBD， ∵∠APB＝∠APE﹣∠BPE＝∠PAC﹣∠PBD， ∴∠PAC＝∠APB+∠PBD； ②如图，过点P作PE∥l1， ∴∠APE＝∠PAC， ∵l1∥l2， ∴PE∥l2， ∴∠BPE＝∠PBD， ∴∠APB＝∠BPE﹣∠APE＝∠PBD﹣∠PAC， 即∠PBD＝∠PAC+∠APB； 综上，发生改变，∠PAC＝∠APB+∠PBD或∠PBD＝∠PAC+∠APB． 8．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则∠α，∠β，∠γ之间的关系是（　　） A．∠β＝∠α+∠γ B．∠α+∠β+∠γ＝180° C．∠α+∠β﹣∠γ＝90° D．∠β+∠γ﹣∠α＝90° 【解答】解：如图所示：分别过C、D作AB的平行线CM和DN， ∵AB∥EF， ∴AB∥CM∥DN∥EF， ∴∠α＝∠BCM，∠MCD＝∠NDC，∠NDE＝∠γ， ∴∠α+∠β＝∠BCM+∠CDN+∠NDE＝∠BCM+∠MCD+∠γ， 又BC⊥CD， ∴∠BCD＝90°， ∴∠α+∠β＝90°+∠γ， 即∠α+∠β﹣∠γ＝90°， 故选：C． 9．如图，已知AB∥EF，∠ABC＝∠DEF，试判断BC和DE的位置关系，并说明理由． 【解答】解：BC∥DE． 理由：延长BC交FE的延长线于点G， ∵AB∥EF， ∴∠ABC＝∠G． ∵∠ABC＝∠DEF， ∴∠G＝∠DEF， ∴BC∥DE． 解法二：连接BE． ∵AB∥EF， ∴∠ABE＝∠BEF， ∵∠ABC＝∠DEF， ∴∠CBE＝∠DEB， ∴BC∥DE． 10．（1）如图1，已知AB∥CD，∠ABF＝∠DCE，求证：∠BFE＝∠FEC； （2）如图2，已知AB∥CD，∠EAF＝∠EAB，∠ECF＝∠ECD，求证：∠AFC＝∠AEC． 【解答】证明：（1）如图1，延长BF、DC相交于G， ∵AB∥CD， ∴∠ABF＝∠G． ∵∠ABF＝∠DCE， ∴∠DCE＝∠G． ∴BG∥CE． ∴∠BFE＝∠FEC； （2）如图2：连接AC， 设∠EAF＝x，∠ECF＝y，∠EAB＝4x，∠ECD＝4y， ∵AB∥CD， ∴∠BAC+∠ACD＝180°． ∴∠CAE+4x+∠ACE+4y＝180°． ∴∠CAE+∠ACE＝180°﹣（4x+4y），∠FAC+∠FCA＝180°﹣（3x+3y）． ∴∠AEC＝180°﹣（∠CAE+∠ACE） ＝180°﹣[80°﹣（4x+4y）] ＝4x+4y ＝4（x+y）． ∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠FCA） ＝180°﹣[180°﹣（3x+3y）] ＝3x+3y ＝3（x+y）， ∴． 11．如图①，已知AB∥CD，点E，F分别在线段AB，CD上，连接EF，点G是EF上一点（不与点E、F重合）．点H是线段GF上一点（不与点G、F重合）． （1）求证：∠BGH+∠GHD＝∠B+∠D+180°； （2）如图②，点P是线段BG，DH之间一点，连接GP，PH，若∠BGP＝2∠PGH，∠DHP＝2∠PHG，请写出∠P，∠B与∠D的数量关系，并加以证明． 【解答】（1）证明：过点G作GK∥AB，过点H作HT∥AB，如图①所示： ∵AB∥CD，GK∥AB，HT∥AB， ∴AB∥GK∥HT∥CD， ∴∠BGK＝∠B，∠DHT＝∠D，∠KGH+∠GHT＝180°， ∴∠BGK+∠DHT+∠KGH+∠GHT＝∠B+∠D+180°， 即∠BGH+∠GHD＝∠B+∠D+180°； （2）解：∠P，∠B与∠D的数量关系是∠B+∠D+3∠P＝360°，证明如下： 设∠PGH＝α，∠PHG＝β， 则∠BGP＝2∠PGH＝2α，∠DHP＝2∠PHG＝2β， ∴∠BGH＝3α，∠GHD＝3β， 由（1）的结论得：3α+3β＝∠B+∠D+180°， 即3（α+β）＝∠B+∠D+180°， ∵∠PGH+∠PHG+∠P＝180°， ∴α+β+∠P＝180°， 即α+β＝180°﹣∠P， ∴3（180°﹣∠P）＝∠B+∠D+180°， 整理得：∠B+∠D+3∠P＝360°． 12．如图，直线a∥b，则∠A＝　39　 度． 【解答】解：如图， ∵a∥b，∠ACF＝70°， ∴∠ABE＝∠ACF＝70°（两直线平行，同位角相等）， ∵∠ABE是△ADB的外角， ∴∠A＝∠ABE﹣∠ADB＝70°﹣31°＝39°﹒ 故答案为：39﹒ 13．如图，AB∥CD∥EF，x，y，z表示图中三个角的角度． （Ⅰ）x，y与z三者之间的数量关系为 y+x﹣z＝180°　 ； （Ⅱ）若y﹣x＝50°，x与z两者之间的数量关系为 　2x﹣z＝130°　 ． 【解答】解：（Ⅰ）∵AB∥CD∥EF， ∴∠AEF＝∠EAM＝x，∠DCE+∠CEF＝180°， ∴∠CEF＝∠AEF﹣∠AEC＝x﹣z， ∴y+x﹣z＝180°， 故答案为：y+x﹣z＝180°； （Ⅱ）∵y﹣x＝50°， ∴y＝x+50°， ∵y+x﹣z＝180°； ∴x+50°+x﹣z＝180°， ∴2x﹣z＝130°， 故答案为：2x﹣z＝130°． 14．将一块含60°角的直角三角尺按照如图所示的方式放置，其中∠ABC＝90°，∠C＝60°，点A落在直线a上，点B落在直线b上，a∥b，∠1＝α，则∠2的度数是（　　） A．α+30° B．α+45° C．α+60° D．180°﹣α 【解答】解：如图： ∵a∥b， ∴∠2＝∠3． 由三角形外角的性质知：∠3＝∠1+∠C＝α+60°， ∴∠2＝α+60°， 故选：C． 15．已知AB∥CD． （1）如图①，若∠ABE＝30°，∠BEC＝148°，求∠ECD的度数； （2）如图②，若CF∥EB，CF平分∠ECD，试探究∠ECD与∠ABE之间的数量关系，并证明． 【解答】解：（1）如图①，过点E作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥EF∥CD， ∴∠ABE＝∠BEF，∠FEC+∠ECD＝180°， ∵∠ABE＝30°，∠BEC＝148°， ∴∠FEC＝118°， ∴∠ECD＝180°﹣118°＝62°； （2）如图②延长BE和DC相交于点G， ∵AB∥CD， ∴∠ABE＝∠G， ∵BE∥CF， ∴∠GEC＝∠ECF， ∵∠ECD＝∠GEC+∠G， ∴∠ECD＝∠ECF+∠ABE， ∵CF平分∠ECD， ∴∠ECF＝∠DCF， ∴∠ECD＝∠ECD+∠ABE， ∴∠ABE＝∠ECD． 16．已知直线l1∥l2，直线l3和l1，l2分别交于C，D两点，点A，B分别在直线l1，l2上，且位于直线l3的右侧，动点P在直线l3上，且不和点C，D重合． （1）如图1，当动点P在线段CD上运动时，求证：∠APB＝∠CAP+∠DBP； （2）如图2，当动点P在点C上方运动时（P，A，B不在同一直线上），请写出∠APB，∠CAP，∠DBP之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当动点P在点D下方运动时（P，A，B不在同一直线上），直接写出∠APB，∠CAP，∠DBP之间的数量关系． 【解答】解：（1）如图①，过点P作PG∥l1， ∵l1∥l2， ∴l1∥l2∥PG， ∴∠CAP＝∠APG，∠DBP＝∠BPG， ∵∠APB＝∠APG+∠BPG， ∴∠APB＝∠CAP+∠DBP； （2）当动点P在点C上方运动时（P，A，B不在同一直线上）， 过点P作PG∥l1， ∴l1∥l2∥PG， ∴∠APG＝∠PAC，∠BPG＝∠PBD， ∴∠PAC＝∠APG＝∠BPG﹣∠APB， ∴∠PAC＝∠PBD﹣∠APB； （3）当动点P在点D下方运动时（P，A，B不在同一直线上）， 过点P作PG∥l1， ∴l1∥l2∥PG， ∴∠APG＝∠PAC，∠BPG＝∠PBD， ∴∠PAC＝∠APG＝∠APB+∠BPG， ∴∠PAC＝∠APB+∠PBD． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $