2025-2026学年北师大版九年级数学上册期末阶段复习综合练习题

2025-2026学年北师大版九年级数学上册期末阶段复习综合练习题（附答案） 一、选择题（共计24分.） 1．一元二次方程（x+3）2＝0的解是（　　） A．x1＝x2＝3 B．x1＝x2＝﹣3 C．x1＝x2＝0 D．x1＝3，x2＝﹣3 2．如图，已知两条直线m、n被三条平行线a、b、c所截，若DE＝4，EF＝7，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．关于如图所示的几何体的三视图，下列说法正确的是（　　） A．主视图和俯视图都是矩形 B．俯视图和左视图都是矩形 C．主视图和左视图都是矩形 D．只有主视图是矩形 4．把方程x2﹣6x+2＝0化成（x﹣m）2＝n的形式，则m+n的值是（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣10 D．10 5．已知正比例函数y＝ax（a≠0）和反比例函数（k≠0）的一个交点为（1，2），则另一个交点坐标为（　　） A．（﹣1，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（1，﹣2） D．（2，1） 6．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，如果添加一个条件，可推出平行四边形ABCD是菱形，那么这个条件可以是（　　） A．AB＝AC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB⊥AC 7．将分别标有“最”、“美”、“陕”、“西”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字不同外其他完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字可以组成“陕西”的概率是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，点P在对角线BD上，且BP＝BA，连接AP并延长，交DC的延长线于点Q，则DQ的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 二、填空题（共计15分） 9．如图，地面A处有一支燃烧的蜡烛（长度不计），一个人在A与墙BC之间运动，则他在墙上投影长度随着他离墙的距离变小而 　 　（填“变大”、“变小”或“不变”）． 10．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，若AB＝2，BC＝3，EF＝4，则FG的长为 　 　． 11．已知关于x的一元二次方程x2+3x﹣2m＝0没有实数根，则m的值可能是 　 　.（写出一个即可） 12．如图，点A是反比例函数y＝（x＜0）图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点D，且点D为线段AB的中点．若点C为x轴上任意一点，且△ABC的面积为4，则k＝　 　． 13．如图，BE，BF分别是∠ABC与它的邻补角∠ABD的平分线，AE⊥BE，垂足为点E，AF⊥BF，垂足为点F，EF分别交边AB，AC于点M和N．若AB＝7，BC＝4，则MF+NE的长为 　 　． 三、解答题（共计81分） 14．解方程：（x﹣1）2＝2x（x﹣1）． 15．在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，请你估计n的值． 16．从棱长为2的正方体的一角，挖去一个棱长为1的小正方体，得到如图所示的几何体，请画出该几何体的三视图． 17．在某一电路中，保持电压不变，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例，当电阻R＝5Ω时，电流I＝2A． （1）求I与R之间的函数关系式； （2）当电流I＝0.5A时，求电阻R的值． 18．为铸牢中华民族共同体意识，不断巩固民族大团结，某中学即将举办“中华民族一家亲，同心共筑中国梦”主题活动，学校拟定了演讲比赛、文艺汇演、书画展览、知识竞赛四种活动方案，九年级（1）班的王磊和李欣同学都准备参加此次活动，但不知选择哪一种活动方案，于是他们制定了A、B、C、D四张卡片（卡片背面完全相同），如图，将四张卡片背面朝上洗匀后，王磊先从中任意抽取一张，记录下卡片上的内容并放回，李欣再从中任意抽取一张． （1）王磊抽取的卡片上的活动方案是文艺汇演的概率为 　 　； （2）请用列表法或画树状图的方法求王磊和李欣所抽取卡片上的活动方案相同的概率． 19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点均在网格格点上，且点A、B、C的坐标分别为A（3，0），B（4，2），C（2，4）． （1）以点O为位似中心，在第一象限画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC的相似比为2：1； （2）在（1）的条件下，分别写出点B、C的对应点B1、C1的坐标． 20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+2k2＝0的两根x1、x2满足x12+x22＝5，求k的值． 21．如图，小亮利用所学的数学知识测量某旗杆AB的高度． （1）请你根据小亮在阳光下的投影，画出旗杆AB在阳光下的投影． （2）已知小亮的身高为1.72m，在同一时刻测得小亮和旗杆AB的投影长分别为0.86m和6m，求旗杆AB的高． 22．如图，已知四边形ABCD是菱形，且AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F． （1）求证：AE＝AF； （2）若AB＝10，CE＝4，求菱形ABCD的面积． 23．电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势．某汽车4S店销售某种型号的电动汽车，每辆进货价为19万元，该店经过一段时间的市场调研发现，当销售单价为25万元时，平均每月能售出18辆，而当销售价每降低1万元时，平均每月能多售出6辆，该4S店要想平均每月的销售利润为120万元，并且使每辆车的利润尽可能高，则每辆汽车应降价多少万元？ 24．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），B（﹣3，0），C（2，0），点D为点B关于AC所在直线的对称点，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象经过点D． （1）求证：四边形ABCD为菱形； （2）求反比例函数的表达式． 25．如图，△ABC和△ADE均为等腰三角形，且∠ABC＝∠ADE，AB＝BC，AD＝DE． （1）求证：△ABC∽△ADE； （2）连接BD、CE，若，△ABD的面积为9，求△ACE的面积． 26．问题探究：如图①，在正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边CD上，且AE＝DF．线段BE与AF相交于点G，GH是△BFG的中线． （1）求证：△ABE≌△DAF． （2）判断线段BF与GH之间的数量关系，并说明理由． 问题拓展：如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6．点E在边AD上，点F在边CD上，且AE＝2，DF＝3，线段BE与AF相交于点G．若GH是△BFG的中线，则线段GH的长为　 　． 参考答案 一、选择题（共计24分） 1．解：（x+3）2＝0， ∴x+3＝0， ∴x1＝x2＝﹣3． 故选：B． 2．解：∵a∥b∥c， ∴＝＝． 故选：A． 3．解：圆柱体的主视图与左视图均为矩形，俯视图为圆， 故选：C． 4．解：x2﹣6x+2＝0， 移项，得x2﹣6x＝﹣2， 配方，得x2﹣6x+9＝﹣2+9， ∴（x﹣3）2＝7， ∴m＝3，n＝7， ∴m+n＝3+7＝10， 故选：D． 5．解：∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称， ∴另一个交点的坐标与点（1，2）关于原点对称， ∴该点的坐标为（﹣1，﹣2）． 故选：A． 6．解：A、平行四边形ABCD中，AB＝AC，不能推出平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意； B、∵平行四边形ABCD中，AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，故选项B不符合题意； C、∵平行四边形ABCD中，AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C符合题意； D、平行四边形ABCD中，AB⊥AC，不能推出平行四边形ABCD是菱形，故选项D不符合题意； 故选：C． 7．解：把标有“最”、“美”、“陕”、“西”四个汉字的小球分别记为A、B、C、D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球上的汉字可以组成“陕西”的结果有2种，即CD、DC， ∴两次摸出的球上的汉字可以组成“陕西”的概率为＝， 故选：A． 8．解：在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AB＝5，AD＝12， ∴BD＝＝＝13， ∴DP＝BD﹣BP＝13﹣5＝8． ∵AB∥DQ， ∴△ABP∽△QDP， ∴＝，即＝， ∴DQ＝8． 故选：D． 二、填空题（共计15分） 9．解：连接光源和人的头顶可知，墙上的影长和人到墙的距离变化规律是：距离墙越近，影长越短，距离墙越远影长越长．则他在墙上投影长度随着他离墙的距离变小而变小． 10．解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH， ∴＝， ∵AB＝2，BC＝3，EF＝4， ∴＝， 解得：FG＝6． 故答案为：6． 11．解：∵于x的一元二次方程x2+3x﹣2m＝0没有实数根， ∴Δ＝32﹣4×1×（﹣2m）＜0， 解得m＜﹣． ∴m的值可能是﹣2， 故答案为：﹣2（答案不唯一）． 12．解：连接OA，如图所示： ∵AB⊥y轴， ∴AB∥OC， ∵D是AB的中点， ∴S△ABC＝2S△ADO， ∵S△ADO＝，△ABC的面积为4， ∴|k|＝4， 根据图象可知，k＜0， ∴k＝﹣4． 故答案为：﹣4． 13．解：∵BE，BF分别是∠ABC与它的邻补角∠ABD的平分线， ∴∠ABE＝∠EBC＝∠ABC，∠ABF＝∠ABD， ∵∠ABC+∠ABD＝180°， ∴∠FBE＝∠ABF+∠ABE ＝∠ABD+∠ABC ＝90°， ∵AE⊥BE，AF⊥BF， ∴∠AFB＝∠AEB＝90°， ∴四边形AFBE是矩形， ∴EF＝AB＝7，ME＝EF，MB＝MA＝AB， ∴MB＝ME， ∴∠ABE＝∠MEB， ∴∠MEB＝∠EBC， ∴ME∥BC， ∵MB＝MA， ∴AN＝NC， ∴MN是△ABC的中位线， ∴MN＝BC＝2， ∴MF+NE＝EF﹣MN＝5， 故答案为：5． 三、解答题（共计81分） 14．解：（x﹣1）2﹣2x（x﹣1）＝0， （x﹣1）（x﹣1﹣2x）＝0， x﹣1＝0或x﹣1﹣2x＝0， 所以x1＝1，x2＝﹣1． 15．解：根据题意， 得， 解得，n＝10， 经检验得：n＝10是原方程的解，且符合题意， ∴估计n的值为10． 16．解：如图所示： ． 17．解：（1）根据电压U（V），电流I（A）与电阻R（Ω）之间的关系可得：I＝． 将R＝5，I＝2代入，2＝， ∴U＝10， ∴I＝； （2）将I＝0.5代入I＝中，得R＝20． 18．解：（1）王磊抽取的卡片上的活动方案是文艺汇演的概率为， 故答案为：； （2）画树状图如下： 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中王磊和李欣所抽取卡片上的活动方案相同的结果有4种， ∴王磊和李欣所抽取卡片上的活动方案相同的概率为． 19．解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求； （2）B1（8，4）、C1（4，8）． 20．解：∵一元二次方程x2﹣（2k+1）x+2k2＝0有两个实数根x1、x2， ∴x1+x2＝2k+1，x1x2＝2k2， ∵x12+x22＝5， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝5， ∴（2k+1）2﹣2×2k2＝5， 解得k＝1． 21．解：（1）如图所示： （2）如图，因为DE，AB都垂直于地面，且光线DF∥AC， 所以Rt△DEF∽Rt△ABC， 所以＝， 即＝， 所以AB＝12（m）． 答：旗杆AB的高为12m． 22．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝CD． ∵S菱形ABCD＝BC⋅AE＝CD⋅AF， ∴AE＝AF． （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝10． ∵CE＝4， ∴BE＝6， ∴， ∴S菱形ABCD＝BC⋅AE＝10×8＝80． 23．解：设每辆汽车应降价x万元， 根据题意，得（25﹣x﹣19）（18+6x）＝120， 解得x1＝1，x2＝2， ∵使每辆车的利润尽可能高， ∴x＝1． 答：每辆汽车应降价1万元． 24．（1）证明：∵A（0，4），B（﹣3，0），C（2，0）， ∴，BC＝5， ∵D点为B点关于AC所在直线的对称点， ∴AD＝AB＝5，CD＝CB＝5， ∴AB＝BC＝CD＝DA， ∴四边形ABCD为菱形； （2）解：∵四边形ABCD为菱形，AD∥BC， 又∵AD＝5，A（0，4）， ∴D（5，4）， 把D（5，4）代入中得：k＝5×4＝20， ∴反比例函数的表达式为． 25．（1）证明：∵AB＝BC，AD＝DE， ∴； 又∵∠ABC＝∠ADE， ∴△ABC∽△ADE． （2）解：∵△ABC∽△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE，， ∵∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC，∠CAE＝∠DAE﹣∠DAC， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD∽△CAE， ∴＝（）2， 即＝（）2， ∴S△ACE＝4， ∴△ACE的面积为4． 26．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝∠D＝90°，AB＝DA， 在△ABE和△DAF中，， ∴△ABE≌△DAF（SAS）； （2）解：BF＝2GH；理由如下： ∵△ABE≌△DAF， ∴∠ABE＝∠DAF， ∵∠DAF+∠BAG＝∠BAD＝90°， ∴∠ABE+∠BAG＝90°， ∴∠BGF＝∠ABE+∠BAG＝90°， 在Rt△BFG中，GH是边BF的中线， ∴BF＝2GH； 问题拓展： 解：∵tan∠ABE＝＝＝，tan∠DAF＝＝＝， ∴∠ABE＝∠DAF， ∵∠DAF+∠BAG＝∠BAD＝90°， ∴∠ABE+∠BAG＝90°， ∴∠AGB＝90°， ∴∠BGF＝90°， 在Rt△BFG中，GH是边BF的中线， ∴BF＝2GH， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C＝90°，BC＝AD＝6，CD＝AB＝4， ∴CF＝CD﹣DF＝1， ∴BF＝＝＝， ∴GH＝BF＝； 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $