5.2.1 小船渡河和关联速度问题 讲义 -2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

小船渡河和关联速度问题讲义 1、 小船渡河问题 1、 问题界定：船从一端码头行驶到河对岸的码头涉及的时间和路程问题。一般问题涉及“行驶的最短时间”、“最短路程”或者“下游的距离”等。 2、 小船渡河的运动和速度情况 · 小船参与的运动为船相对水的运动（运动方向为船头朝向的方向）以及随水流的运动，这两个运动为分运动；小船实际的运动为两个分运动的合运动。 · 小船沿水流方向的运动速度为v水，小船在静水中的速度为v船，以及小船实际的运动速度v。 3、 小船渡河的时间和运动轨迹 (1) 小船渡河时间：由于分运动和合运动的同时性，所以小船渡河的时间可以用分运动来计算，也可以用合运动来计算。若分运动的位移和速度已知，那么用分运动来计算；合运动的位移和速度及运动状况已知，用合运动来计算。 (2) 运动轨迹：若船随水流的运动和相对水的运动都为匀速直线运动，那么小船实际航行运动为直线运动；若其中一个分运动为匀速直线，另外一个分运动为匀加速或匀减速直线运动，则运动轨迹为曲线（抛物线）。 4、 小船渡河主要问题及解题方法 当速度和目的地已知时，那么船行驶到对岸涉及的问题就是时间和路径了，那对于渡河来说，最短时间和最短路径是比较经常涉及的问题。 (1) 渡河的最短时间 河宽d固定的情况下，渡河时间仅由垂直于河岸的分速度决定，即t=d/v⊥​， ，而能提供垂直于河岸分速度的速度只有v船，若v船的方向和水平方向的夹角为θ，则v⊥=v船sinθ。要使t最小，v⊥要达到最大值，当sinθ为1时，v⊥max=v船 故最短渡河时间tmin=d/v船 注意：由于水流速度始终沿河岸方向，不能提供指向河岸的分速度，所以小船渡河时间与水流速度无关。 (2) 渡河最短位移 A. 当v船>v水时，渡河最短位移为d 河宽d固定，若小船实际运动方向能够垂直于河岸，那么最短位移就是d，那若要合运动方向垂直于河岸，这时船相对于水的运动方向如左下图所示。 由图可知，当v水=v船cosθ时，小船实际运动方向垂直于河岸，渡河位移为河宽d，位移最短； 具体渡河过程如右下图所示。 注：此时渡河时间为t= = B. 当v船<v水时，渡河最短位移为。 当v船<v水时，合运动的方向不可能垂直于河岸方向，如下图所示，这时合运动的方向只可能偏向下游方向，当v合⟂v船时，v合与垂直于河岸方向夹角最小，渡河位移最短，如下图所示。 θ 具体渡河过程如下图所示。 α 这时渡河位移为：xmin= 此时渡河时间t= (3) 最小渡河船速 当实际航线方向（航线与水流速度夹角为θ且小于90°时）和水流速度一定的情况下，最小渡河船速v船min＝v水sinθ 当实际航线方向与水流方向角度为θ时，意味着v合与水流方向角度也为θ，则此时由几何关系可知，当v船⟂v合时，v船最小。 此时，船速的值 v船min=v水sinθ v合 v船 v水 θ 具体渡河过程如下图所示。 5、 典型例题解析 例1 如图所示，在某一段平直的河道中，一游客划船由M点出发沿直线到达对岸N点，直线MN与河岸夹角成60°。已知M、N两点间距离为30 m，河中水流的速度大小为3 m/s，游客在静水中划船的速度大小也为3 m/s，则下列说法正确的是(　　) A.过河的时间为5 s B.过河的时间为10 s C.若划船过程中保持划船速度大小和方向不变，水流速度增大，则航程会减小 D.若划船过程中保持划船速度大小和方向不变，水流速度减小，则渡河时间减小 解析 设河中水流速度为v水，静水中划船速度为v静，船头与航线MN之间的夹角为α，则v水和v静在水中的合速度如下图所示。 因为由几何知识得α＝60°，船在水中的合速度大小为3 m/s，方向沿MN； 故小船从M点沿直线MN到达对岸所经历的时间为t＝＝10 s，故B正确，A错误； 划船过程中保持划船速度大小和方向不变，水流速度增大，则合速度的方向将更偏向下游，航程会增大，故C错误；若划船过程中保持划船速度大小和方向不变，水流速度减小，但船的分速度沿垂直于河岸方向的分量不变，所以渡河时间不变，故D错误。 6、 基础练习 (1) (多选)下列图中实线为河岸，河水的流动方向如图中v的箭头所示，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线。则其中可能正确的是(　　) (2) (多选)在宽度为d的河中，水流速度为v2，船在静水中速度为v1(且v1>v2)，方向可以选择，现让该船开始渡河，则该船(　　) A.可能的最短渡河时间为 B.可能的最短渡河位移为d C.只有当船头垂直河岸渡河时，渡河时间才和水速无关 D.不管船头与河岸夹角是多少，渡河时间和水速均无关 (3) (多选)(2024·湖南长沙高一联考)一艘船的船头始终正对河岸方向行驶，如图所示。已知船在静水中行驶的速度为v1，水流速度为v2，河宽为d。则下列说法正确的是(　　) A.船渡河时间为 B.船渡河时间为 C.船渡河过程被冲到下游的距离为d D.船渡河过程被冲到下游的距离为d (4) 如图所示，一条小船从位置A过河，小船在静水中的速度为v，船头指向始终与河岸垂直(沿AA′方向)。当水流速度为v1时，小船运动到河对岸的位置B靠岸，AB与河岸的夹角为α＝60°。当水流速度为v2时，小船运动到河对岸的位置C靠岸，AC与河岸的夹角为β＝30°。下列说法正确的是(　　) A.小船沿AB、AC过河的时间相等 B.小船沿AC过河的时间更长 C.v1∶v2＝1∶2 D.当水流速度为v1时，要使小船到达码头A′，船头应指向河的上游且与河岸夹角为60° 2、 关联速度 1. 关联速度定义 把两个相互接触或者相连接的物体的速度关联起来的速度称为关联速度。关联速度一般指绳杆拉物模型的情况。绳、杆等连接的两个物体在运动过程中，其速度通常是不一样的，但两个物体沿绳或杆方向的速度大小相等，那这时的关联速度就是沿绳或杆方向的速度。 由于现阶段研究的绳的伸长量都很小，杆的伸长量或压缩量都很小，即认为绳或杆的长度不会改变，所以沿绳或杆的速度大小相同。 2. 关联速度分解思路 对于关联速度模型来说，最重要的是对物体的速度进行分解，那这里就要确定对物体来说参与的运动和实际的运动是什么，然后对运动进行分解。 具体思路为： (1) 先确定合运动，即物体的实际运动，即绳或杆两端的物体实际的运动。 (2) 确定合运动的两个实际作用效果，一是沿绳(或杆)方向的平动效果；二是沿垂直于绳(或杆)方向的转动效果。即将实际速度分解为垂直于绳(或杆)和平行于绳(或杆)方向的两个分量。 (3) 按平行四边形定则进行分解，作出运动矢量图。 (4) 根据沿绳(或杆)方向的速度相等列方程求解。 具体分解如下图所示。 β v⟂′ v绳 v绳′ v2 v⟂ α 3. 常见模型分解 (1) 车拉小船 岸上的小车A以速度v匀速向左运动，用绳跨过光滑轻质定滑轮和小船B相连 vB · 速度分解：小车和船通过绳子相连，对于小车来说，其实际运动就是沿绳方向的运动；而对于船来说，其实际的运动方向是水平向左运动，可以沿绳方向和垂直于绳方向分解。如上图所示。 · 速度关系：沿绳方向的速度为关联速度，大小相等，即 v = vB cosα vB = · 运动情况：小车始终做匀速运动，而对于小船来说，越往左走，绳与水平方向的夹角α 就越大，那么船的速度就越大，所以船做变加速直线运动。 (2) 物体固定在轻杆上下滑 甲、乙两光滑小球(均可视为质点)用轻直杆连接，乙球沿水平地面向右滑动，甲球沿竖直墙壁向下滑动，杆与竖直墙壁的夹角为θ，分析甲、乙两球的速度关系 θ · 速度分解： 对甲球来说，实际运动方向为沿着竖直墙壁向下的运动，而它有两个作用效果：一个是沿杆斜向下，一个是垂直于杆向下挤压墙壁。 而对乙球来说，实际运动方向为沿着水平地面向右的运动，它的两个作用效果：一个是沿杆斜向下的运动，一个是垂直于杆向上的运动。 具体分解如右上图所示。 · 速度关系：沿杆方向速度大小相等，则有 v1cosθ = v2sinθ 即 v1= v2tanθ (3) 接触面类 球A和斜面体B相互接触，斜面体放置在地面上，球A放置在斜面体和竖直墙之间。当斜面体B开始水平向右运动时，球A下滑的速度为vB 对于接触面可以看做杆模型，如左图所示。 因为球心到斜面体接触点的长度固定，为半径r，那么可以认为球心和接触点之间由一个轻杆连接，那么由于沿轻杆方向速度大小相同，那就意味着垂直斜面方向的速度为关联速度。 vB · 速度分解：随着B水平向右运动，A会沿着竖直墙面下滑。那对于A来说，相对于B来说，它有沿着斜面向下和垂直斜面向下（这里可以认为是沿着“轻杆”）方向的运动效果，所以A的速度可以分解为这两个方向；而对于B来说，它有沿着斜面向上和垂直斜面向下即沿着“轻杆”方向的运动。 A和B的速度分解如下图所示。 · 速度关系：垂直于斜面（沿“轻杆”方向）速度大小相等 vAcosθ = vBcosθ 即 vB = vAtanθ 4. 典型例题分析 例2 如图所示，汽车用跨过光滑定滑轮的轻绳提升一质量为m的物块，汽车以速度v0水平向右匀速运动，重力加速度为g，在物块到达滑轮之前，下列说法正确的是(　　) A.物块向上做匀速运动 B.当轻绳与水平方向的夹角为θ时，物块上升的速度为 C.轻绳对物块的拉力总是大于mg D.轻绳的拉力保持不变 解析 对汽车的速度v0沿轻绳的方向和垂直于轻绳的方向进行正交分解，如下图所示，可得v垂＝v0sin θ，v绳＝v0cos θ，物块上升的速度大小等于v绳，由v绳＝v0cos θ可知，当轻绳与水平方向的夹角为θ时，物块上升的速度为v0cos θ，故B错误；汽车匀速向右运动时，θ角变小，由v绳＝v0cos θ可知，v绳增大，但不是均匀变化的，则物块向上做变加速运动，加速度向上，拉力总是大于mg，但拉力并非恒力，故A、D错误，C正确。 5. 基础练习 (1) 如图所示，质量为m的物体P置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v水平向右做匀速直线运动。当小车与滑轮间的细绳和水平方向成夹角θ2时，下列判断正确的是(重力加速度为g)(　　) A.P的速率为v B.P的速率为vcos θ2 C.绳的拉力等于mgsin θ1 D.绳的拉力小于mgsin θ1 (2) (多选)如图所示，不可伸长的轻绳，绕过光滑定滑轮C，与质量为m的物体A连接，A放在倾角为θ的光滑斜面上，绳的另一端和套在固定竖直杆上的物体B连接，连接物体B的绳最初水平。从当前位置开始，使物体B以速度v沿杆匀速向下运动，设绳的拉力为FT，在此后的运动过程中，下列说法正确的是(　　) A.物体A做加速运动 B.物体A做匀速运动 C.FT小于mgsin θ D.FT大于mgsin θ (3) 一个半径为R的半圆柱体沿水平方向向右以速度v0匀速运动，在半圆柱体上放置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动。如图所示，当杆与半圆柱体接触点与柱心的连线与竖直方向的夹角为θ时，竖直杆运动的速度v1的大小为(　　) A. v0sin θ B.v0tan θ C.v0cos θ D. 学科网（北京）股份有限公司 $