精品解析：浙江省台州市临海市2025-2026学年八年级上学期期末数学试题

临海市2025学年第一学期初中教学质量监测试题 八年级数学 注意事项： 1．全卷共4页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效． 3．请认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题．本次考试不得使用计算器． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分．） 1. 下列国产软件图标属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 2. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据平面直角坐标系中各象限点的坐标符号特征判断即可． 【详解】解：∵点P的横坐标，纵坐标， ∴点在第四象限． 故选：D． 3. 木工师傅要做一个三角形木架，有两根木条长度分别为和，则第三根木条的长度可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，设第三根木条的长度为，根据三角形的三边关系求出的取值范围，进而即可求解，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：设第三根木条的长度为，由题意得： 满足：，即， 选项符合题意， 故选：． 4. 如图，在数轴上表示其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式组的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（向右画；向左画），在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示，据此求解即可． 【详解】解：在数轴上表示如下所示： 故选：A． 5. 如图，，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，由，得，然后通过即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 6. 下列关系中，不能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的定义，对应两个变量x、y，若对于变量x的每一个确定值，变量y都有唯一的值与之对应，那么y是x的函数，据此可得答案． 【详解】解：由函数的定义可知，只有C选项不能表示是的函数， 故选：C． 7. 如图，在等边中，若边上的中线与边上的中线交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，由等边三角形的性质可得，再由可得答案． 【详解】解：∵在等边中，若边上的中线与边上的中线交于点， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 8. 如图，在中，平分线交于点，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线，交，于点，，下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，中垂线的性质，熟练掌握中垂线的性质，是解题的关键．根据作图可知，垂直平分，得到，等边对等角得到，角平分线得到，进而得到，进而得到，即可． 【详解】解：由作图可知：垂直平分， ∴，， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴， ∴， 无法得到； 故不一定成立的是选项D； 故选D． 9. 已知一次函数，（），其中的图像经过点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，由的图像经过点可求出 ，从而得到和的表达式，的符号由的符号决定，因，需分析的正负验证各选项即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵的图像经过点， ∴ ， ∴，即， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴的符号由的符号决定， 令，得或， 当时，；当时，；当时，， 、若，则，故该选项说法正确，符合题意； 、当  时，，不满足，不符合题意； 、若，则或，故该选项说法错误，不符合题意； 、若，则，故该选项说法错误，不符合题意； 故选：． 10. 如图，点，，分别在等边三角形的三边上，且，连接，，，与交于点，与交于点，若，，则的长度为（ ） A. 1 B. 1.3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等内容，易证，可得，，在上截取，连接，，证为等腰直角三角形，，即可得解． 【详解】解：等边三角形中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，在上截取，连接，， 则为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形，则， ∴， 连接， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分．在答题卷的相应位置直接填写答案．） 11. 若，则______．（填“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质即可求解，掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 12. 点沿着轴向右平移5个单位长度得到点，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的平移，根据点沿x轴方向平移时，横坐标发生变化，纵坐标保持不变，进行求解即可． 【详解】解：点沿x轴向右平移5个单位长度，根据平移的性质，横坐标增加5，纵坐标不变，故点B的横坐标为，纵坐标为1，因此点B的坐标为． 故答案为：． 13. 要说明命题“如果，那么”的逆命题是假命题，可以举反例为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了举反例说明命题为假命题，逆命题为“如果，那么”，举反例时，但． 【详解】解：原命题的逆命题是“如果，那么”．当时，，但，所以逆命题是假命题． 故答案为：． 14. 若一次函数（为常数）的图象经过点，则方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，解一元一次方程，将点坐标代入函数解析式求参数k，再求解方程即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴， 即， 解得． ∴方程即为， 解得． 故答案为：． 15. 如图，在中，，的平分线交于点，点是上一点，过点分别作，的垂线，垂足为，，若，，则的周长为______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，过点P作于点H，连接，由角平分线的性质得到，可证明，得到，同理可得，再证明，，据此根据三角形周长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点P作于点H，连接， ∵的平分线交于点，点是上一点，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可得， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴的周长 ， 故答案为：． 16. 如图1，在中，，点从点出发沿以的速度匀速运动至点，图2是点运动时，的长度（单位：）随时间（单位：）变化而变化的函数图象，则的值为______，的面积为______． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，勾股定理，三线合一定理，过点C作于点H，设运动3秒时点P运动到点D，运动5秒时点P运动到点E，连接，可求出，则可求出，根据垂线段最短可得a的值；利用勾股定理求出的长，利用等面积法用的长表示出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作于点H，设运动3秒时点P运动到点D，运动5秒时点P运动到点E，连接， 由图2可知，和时的函数值都为4，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 由垂线段最短可知，当点P运动到点H时，有最小值，即y有最小值， ∴； 中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得； ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴或（舍去）， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题有8小题，共72分．第17～21题每题8分，第22～23题每题10分，第24题12分．） 17. 解不等式（组） （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式和不等式组，熟练掌握解不等式的基本步骤，是解题的关键． （1）先去括号，再移项，合并同类项，最后系数化为1即可； （2）先求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； 【小问2详解】 解：， 由①得：， 由②得， 不等式组的解集为． 18. 一次函数（，都是常数，且）的图象经过，两点． （1）求函数解析式． （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数值的取值范围，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求可判断出函数的增减性，再求出和时的函数值即可得到答案． 【小问1详解】 解：把点A和点B的坐标分别代入，得， 解得 ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴随的增大而减小 当时，．当时，， ∴的取值范围是． 19. 如图，点，分别是线段，上的点，且，连接，交于点． （1）从“，”中选择一个作为条件，使得结论“”成立，并证明； （2）若，当，时，求的度数． 【答案】（1）选择，见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （）根据题意可得添加不能证明，添加选择，通过“”即可求证； （）根据全等三角形的性质可得，然后通过三角形的外角性质即可求解． 【小问1详解】 解：添加，不能证明； 选择， 证明：在与中， ， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴． 20. 如图，在边长为1的小正方形网格中建立平面直角坐标系，已知线段是格点线段（线段两个端点都在正方形网格的交点上）． （1）画出线段关于轴对称的线段，若点在线段上，则点的对称点的坐标为______． （2）已知轴上一点，连接，． ①求的最小值． ②当时，求证：是直角三角形． 【答案】（1）作图见解析， （2）①；②见解析 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质、最短路径问题与勾股定理的逆定理，解题的关键是利用轴对称转化线段求最短距离，以及通过计算边长的平方验证勾股定理逆定理来判定直角三角形． （1）根据要求画出点、关于x轴对称点、即可解答；利用关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标变为相反数，直接写出对称点坐标． （2）①连接，根据两点之间线段最短，的长度即为的最小值，再用勾股定理计算的长度．②先确定、、三点坐标，分别计算三边长度的平方，验证两边平方和是否等于第三边的平方，若满足则根据勾股定理的逆定理判定即可． 【小问1详解】 解：如图所示：线段即为所求， ∵关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标变为相反数． ∴点对称点的坐标为． 故答案为：； 【小问2详解】 ①作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为使最小的点． ； ②证明：当时，，，． ∵， ， ． ∴，满足勾股定理， ∴是直角三角形． 21. 我们知道几何命题的证明一般需要经历以下步骤： 按题意画出图形并标记； 分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论； 分析并证明，写出推理过程． 请同学们尝试证明命题：“两边分别相等且其中一组等边上的中线相等的两个三角形全等．” 已知：如图，在和中，，，____________． 求证：_____________． 证明： 【答案】，，证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理，全等三角形的判定和性质，由条件画出图形，然后证明，所以，再证明即可得到答案，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：已知：如图，在和中，，，点，分别是，的中点，且． 求证：． 证明：因为点，分别是，的中点， 所以，， 因为， 所以． 在与中， 因为， 所以， 所以， 在与中， 因为， 所以． 所以命题“两边分别相等且其中一组等边上的中线相等的两个三角形全等．”成立， 故答案为：，． 22. 在教科书中，我们将不等式（，）趣称为“糖水不等式”． 【模型推广】 “如果，那么（，）”，它可以看作两种浓度不同的溶液，取质量按进行混合，混合溶液的浓度高于低浓度的溶液，低于高浓度的溶液． （1）由，可判断_____（填写“”或“”），请证明不等式成立． 【应用模型】 某饮料公司生产混合果汁，使用两种基础果汁原料： 果汁：糖的浓度为；（） 果汁：糖的浓度为． （2）若取相同质量的果汁和果汁进行混合，混合果汁的糖的浓度可以表示为_____． （3）饮料公司需要生产一批的混合果汁，果汁和果汁的利润分别为5元/和12元/，要求混合果汁的糖的浓度不高于，如何生产能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1），见解析；（2），；（3）生产果汁的质量为，生产果汁的质量为时，能获得最大利润，最大利润为2720元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，不等式的性质，正确理解题意是解题的关键． （1）根据不等式的性质可得，则可证明，再证明，即可证明，即； （2）根据两种果汁的糖的浓度和果汁的糖的浓度计算公式求解即可； （3）设生产果汁的质量为，则生产果汁的质量为，根据混合果汁的糖的浓度不高于列出不等式求出x的取值范围，再根据果汁A每千克的利润小于果汁B每千克的利润可得答案． 【详解】解：（1）∵，且， ∴不等式两边同时乘以得； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）若取相同质量的果汁和果汁进行混合，混合果汁的糖的浓度可以表示为； （3）设生产果汁的质量为，则生产果汁的质量为， 由题意得，， 解得， ∴x的最小值为160， ∵果汁和果汁的利润分别为5元/和12元/，且， ∴生产果汁A的质量越小，则获得的利润越大， ∴当时，能获得最大利润， 此时，最大利润为元， 答：生产果汁的质量为，生产果汁的质量为时，能获得最大利润，最大利润为2720元． 23. 某景区，两个景点相距14千米．每隔20分钟有一辆观光车从景点出发，匀速开往景点，去时需要35分钟，到景点时游客下车需要3分钟，观光车再从景点匀速返回景点，又需要28分钟． （1）观光车从景点出发，经过20分钟与景点相距______千米； （2）观光车从景点出发，经过分钟，离景点的距离为千米，写出往返一次与的函数关系式； （3）观光车从景点返回景点的途中，会与______辆观光车相遇，并求第一次相遇时，这辆观光车离景点的距离． 【答案】（1）6 （2） （3）3；第一次相遇时观光车离景区的距离为千米 【解析】 【分析】本题考查了分段函数的实际应用与行程问题中的相遇问题，解题的关键是根据观光车行驶的不同阶段建立分段函数模型． （1）先算出去程速度，再求出20分钟行驶的路程，最后用总距离减去已行驶路程，得到与景点B的距离． （2）将观光车往返过程分为去程、停留、返程三个阶段，分别计算每个阶段离景点B的距离，从而建立分段函数关系式． （3）先确定返程时间区间，再分析该区间内从A点发车的观光车的行驶状态，找出会相遇的车辆数量；第一次相遇时，根据两车离B点的距离相等列方程求解． 【小问1详解】 解：去程速度：（千米/分钟） 20分钟行驶的路程：（千米） 与B景点的距离：（千米） 故答案为：6； 【小问2详解】 解：观光车往返一次的总时间：（分钟），分三段讨论 ①去程阶段：， 行驶路程为，离B的距离， ②停留阶段：， 到达B景点后停留3分钟，离B的距离不变，， ③返程阶段：， 返程速度：千米/分钟， 返程的行驶时间：， 返程行驶的路程：， 离B的距离， 综上，函数关系式为：； 【小问3详解】 解：观光车返程时间，从A出发的车发车时间，20，40，60， 当，车返程时间，和当前车同时间段返程，同向不相遇， 当：时，该车已行驶18分钟（去程），还在去程（），后续会和返程的车相遇， 当：时发车，去程，会和返程的车相遇， 当：时发车，此时返程车还有分钟到A，会相遇， 车辆相遇，共3辆； 第一次相遇（的车与返程车）， 设相遇时间为分钟， 返程车行驶时间：，离B的距离：， 的车行驶时间：，离B的距离： 则， 解得， 离B的距离：（千米）， 答：会与3辆观光车相遇，第一次相遇时，这辆观光车离景点的距离为千米． 24. 如图，在四边形中，，连接，，且，把沿着翻折，得到，连接． （1）若，则______，______． （2）若（）， ①求出的度数； ②求证：； （3）若，则______． 【答案】（1）150；30； （2）①；②见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）可证明是等边三角形，得到，则，再由等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，即可求出的度数；由折叠的性质可得，再由等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，即可求出的度数； （2）①同理可证明是等边三角形，则，由折叠的性质可得，求出的度数即可得到答案；②在上取一点E，连接使得，证明，得到；过点B作于点F，可证明，据此可证明结论； （3）过点A作于点M，过点作交延长线于点N，证明，得到，则，，证明，得到；设，则，，可得；在上取一点E，连接使得，过点B作于点F，由（2）可知，，则，据此可得答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ， ∴； 由折叠的性质可得， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①同理可证明是等边三角形， ∴， ∴ 由折叠的性质可得， ∴，， ∴， ∴； ②如图所示，在上取一点E，连接使得， 由（2）①得，， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 如图所示，过点B作于点F， ∴， 在 中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，过点A作于点M，过点作交延长线于点N， 设（）， 同理可得是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴； ∴ ∵， ∴， 由（2）可知， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴可设， ∴， ∴， ∴； 如图所示，在上取一点E，连接使得，过点B作于点F， 由（2）可知，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，折叠的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临海市2025学年第一学期初中教学质量监测试题 八年级数学 注意事项： 1．全卷共4页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效． 3．请认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题．本次考试不得使用计算器． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分．） 1. 下列国产软件图标属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 木工师傅要做一个三角形木架，有两根木条的长度分别为和，则第三根木条的长度可以是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在数轴上表示其中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 下列关系中，不能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在等边中，若边上的中线与边上的中线交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，的平分线交于点，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线，交，于点，，下列结论不一定成立的是（ ） A B. C. D. 9. 已知一次函数，（），其中图像经过点，则下列说法正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 如图，点，，分别在等边三角形的三边上，且，连接，，，与交于点，与交于点，若，，则的长度为（ ） A. 1 B. 1.3 C. D. 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分．在答题卷的相应位置直接填写答案．） 11. 若，则______．（填“”或“”） 12. 点沿着轴向右平移5个单位长度得到点，则点的坐标为______． 13. 要说明命题“如果，那么”的逆命题是假命题，可以举反例为______． 14. 若一次函数（为常数）的图象经过点，则方程的解为______． 15. 如图，在中，，的平分线交于点，点是上一点，过点分别作，的垂线，垂足为，，若，，则的周长为______． 16. 如图1，在中，，点从点出发沿以的速度匀速运动至点，图2是点运动时，的长度（单位：）随时间（单位：）变化而变化的函数图象，则的值为______，的面积为______． 三、解答题（本题有8小题，共72分．第17～21题每题8分，第22～23题每题10分，第24题12分．） 17. 解不等式（组） （1）； （2）． 18. 一次函数（，都是常数，且）的图象经过，两点． （1）求函数解析式． （2）若，求的取值范围． 19. 如图，点，分别是线段，上的点，且，连接，交于点． （1）从“，”中选择一个作为条件，使得结论“”成立，并证明； （2）若，当，时，求的度数． 20. 如图，在边长为1的小正方形网格中建立平面直角坐标系，已知线段是格点线段（线段两个端点都在正方形网格的交点上）． （1）画出线段关于轴对称的线段，若点在线段上，则点的对称点的坐标为______． （2）已知轴上一点，连接，． ①求的最小值． ②当时，求证：是直角三角形． 21. 我们知道几何命题的证明一般需要经历以下步骤： 按题意画出图形并标记； 分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论； 分析并证明，写出推理过程． 请同学们尝试证明命题：“两边分别相等且其中一组等边上的中线相等的两个三角形全等．” 已知：如图，在和中，，，____________． 求证：_____________． 证明： 22. 在教科书中，我们将不等式（，）趣称为“糖水不等式”． 【模型推广】 “如果，那么（，）”，它可以看作两种浓度不同的溶液，取质量按进行混合，混合溶液的浓度高于低浓度的溶液，低于高浓度的溶液． （1）由，可判断_____（填写“”或“”），请证明不等式成立． 【应用模型】 某饮料公司生产混合果汁，使用两种基础果汁原料： 果汁：糖的浓度为；（） 果汁：糖的浓度为． （2）若取相同质量的果汁和果汁进行混合，混合果汁的糖的浓度可以表示为_____． （3）饮料公司需要生产一批的混合果汁，果汁和果汁的利润分别为5元/和12元/，要求混合果汁的糖的浓度不高于，如何生产能获得最大利润？最大利润是多少？ 23. 某景区，两个景点相距14千米．每隔20分钟有一辆观光车从景点出发，匀速开往景点，去时需要35分钟，到景点时游客下车需要3分钟，观光车再从景点匀速返回景点，又需要28分钟． （1）观光车从景点出发，经过20分钟与景点相距______千米； （2）观光车从景点出发，经过分钟，离景点的距离为千米，写出往返一次与的函数关系式； （3）观光车从景点返回景点的途中，会与______辆观光车相遇，并求第一次相遇时，这辆观光车离景点的距离． 24. 如图，四边形中，，连接，，且，把沿着翻折，得到，连接． （1）若，则______，______． （2）若（）， ①求出的度数； ②求证：； （3）若，则______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $