第8章整式乘法中档题拓展训练2025-2026学年苏科版数学七年级下册

第8章整式乘法 中档题拓展训练★★ 2025-2026学年苏科版数学七年级下册 【解析版】 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用多项式乘多项式的法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 2．下列多项式的乘法中，可用平方差公式进行计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式的计算，掌握平方差公式的计算方法是解题的关键． 根据平方差公式进行判定即可求解． 【详解】解：A、，不满足平方差公式的形式，不能用平方差公式计算，不符合题意； B、，满足平方差公式的形式，能用平方差公式计算，符合题意； C、，不满足平方差公式的形式，不能用平方差公式计算，不符合题意； D、，不满足平方差公式的形式，不能用平方差公式计算，不符合题意； 故选：B ． 3．下列运算中，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握其运算法则和性质是解题的关键．根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；完全平方公式；幂的乘方，底数不变指数相乘以及合并同类项法则，对各选项计算后利用排除法求解． 【详解】A、，故A选项错误，不符合题意； B、，故B选项错误，不符合题意； C、，故C选项错误，不符合题意； D、，故D选项正确，符合题意． 故选：D． 4．下列各式中，计算正确的是（　　） A．x（2x﹣1）＝2x2﹣1 B．（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣4b2 C．（a+2）2＝a2+4 D．（x+2）（x﹣3）＝x2+x﹣6 【答案】B 【分析】根据单项式乘以多项式、平方差公式、完全平方公式、多项式乘以多项式等运算法则分别计算即可． 【详解】解：A、x（2x﹣1）＝2x2﹣x，错误，不合题意； B、（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣4b2，正确，符合题意； C、（a+2）2＝a2+4a+4，错误，不合题意； D、（x+2）（x﹣3）＝x2-x﹣6，错误，不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是解本题的关键． 5．若，则的值是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了整式的乘法；先利用多项式乘以多项式法则展开，得到的值即可得到答案． 【详解】解：， ∴， 故选：C． 6．下列算式中正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用单项式乘多项式、同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方运算法则分别化简得出答案． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了单项式乘多项式、同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方，正确掌握相关运算法则是解题关键． 7．如图，边长为的正方形卡片剪出一个边长为a的正方形卡片之后，剩余部分可剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．若拼成的长方形一边长为2，则另一边长是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用．根据拼成的长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，进行计算求解即可． 【详解】解：∵大正方形的边长为，小正方形的边长为， 剩余部分的面积为， ∵拼成的长方形一边长为2， 则另一边长是； 故选：C． 8．若，则的值分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用多项式与多项式相乘的法则将等式左边展开，通过比较左右两边的对应项系数，将问题转化为关于m，n的方程来确定m，n的值． 【详解】∵（x-1）（x+3）=x2+2x-3=x2+mx+n， ∴m=2，n=-3，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，运算法则需要熟练掌握，利用对应项系数相等求解是解题的关键． 9．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，那么需要C类卡片张数为（    ）． A．7 B．6 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式的乘法，数形结合的思想，掌握多项式乘多项式法则及矩形的面积公式是解决本题的关键．先计算拼成图形的面积和长方形的面积，根据计算结果确定需要的张数． 【详解】解： ； 长方形的面积是， 需要类7张． 故选：A． 10．若等式成立，则的值是（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】D 【分析】先运用多项式乘以多项式法则计算等式左边．再根据两多项式相等，对应项系数相等，求出m、n值，代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查多项式乘以多项，熟练掌握多项式乘以多项式法则是解题的关键． 11．公园里有一个长方形花坛，原来长，宽，现在要把花坛四周均向外扩展，则这个花坛的面积将增加（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，单项式乘单项式的实际应用，用改变后的花坛的面积减去改变前的面积即可． 【详解】解：由题意得：改变后花坛的长，宽， ， ， 这个花坛的面积将增加：， 故选：A． 12．观察下列各式及其展开式 …… 请你猜想的展开式第三项是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题中规律可得：（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6，由此可得第三项是15a4b2． 【详解】解：由题可知，（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6， 可得第三项是15a4b2． 故选：B． 【点睛】本题考查了整式乘方规律性问题，观察得出（a+b）6的展开式系数的规律是解题的关键． 13．如果是完全平方式，那么实数的值是（  ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了对完全平方式的应用，熟练掌握完全平方式是解此题的关键； 根据所给多项式确定两平方项，再根据完全平方式的特点即可求解． 【详解】解：，是完全平方式， ， 解得：或， 故选：D． 14．如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的有（   ） ①小长方形的较长边为； ②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值． A．①② B．②④ C．①③ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查列代数式，整式的混合运算，利用数形结合的思想是解题关键．①观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为，说法①正确；②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②错误；③由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为，结合x为定值可得出说法③正确；④由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和为，代入可得出说法④正确． 【详解】解：①∵大长方形的长为，小长方形的宽为， ∴小长方形的长为，说法①正确； ②∵大长方形的宽为，小长方形的长为，小长方形的宽为， ∴阴影A的较短边为，阴影B的较短边为， ∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②错误； ③∵阴影A的较长边为，较短边为，阴影B的较长边为，较短边为， ∴阴影A的周长为，阴影B的周长为， ∴阴影A和阴影B的周长之和为， ∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为定值，说法③正确； ④∵阴影A的较长边为，较短边为，阴影B的较长边为，较短边为， ∴阴影A的面积为，阴影B的面积为， ∴阴影A和阴影B的面积之和为， 当时，，说法④正确． 综上可知正确的为①③④． 故选D． 15．若有两个整式，．下列结论中，正确的有（    ） ①当为关于的三次三项式时，则； ②当多项式乘积不含时，则； ③； ④当能被整除时，； ⑤若或时，无论和取何值，值总相等，则． A．①②④ B．①③④ C．③④⑤ D．①③④⑤ 【答案】C 【分析】求出，可得当时，为关于的三次三项式，此时，故说法①错误；求出，再由多项式乘积不含，可得，解得：，故说法②错误；当时，可得，当时，可得，故③说法正确；设，可得，从而得到，故④说法正确；根据当或时，无论和取何值，值总相等，可得且，故⑤说法正确，即可． 【详解】解：∵，， ∴， 当时，为关于的三次三项式，此时，故说法①错误； ∵多项式乘积不含， ∴，解得：，故说法②错误； 当时，， 即， 当时，， 即， ∴，故③说法正确； ∵能被整除， ∴可设， ∵ ∴， 即， ∴， ∴，故④说法正确； 当时，， 当时，， ∵当或时，无论和取何值，值总相等， ∴且， 解得：，故⑤说法正确； 故选：C 【点睛】本题考查了整式的加减与乘法，熟练掌握整式混合运算法则是解题关键． 二、填空题 16．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了平方差公式，直接根据平方差公式求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 17．若，则的值为 ． 【答案】0 【分析】将代入计算即可． 【详解】∵， ∴， 故答案为：0． 【点睛】本题主要考查了平方差公式，掌握平方差公式，是解答本题的关键． 18．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式的计算，熟知单项式乘以单项式的计算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 19．已知，，则 ． 【答案】37 【分析】本题考查完全平方公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．利用完全平方公式计算即可． 【详解】解：，， ， 故答案为：37． 20．观察：下列等式，，，据此规律，当时，代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律探索、求代数式的值，由题意得出根据，结合，得到，求出，代入到代数式求值即可． 【详解】解：∵，，… ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，， 故答案为：． 21．，则 【答案】12 【分析】本题考查了完全平方公式的变形．设，则，，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：12 22． ． 【答案】 【分析】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键；因此此题可根据平方差公式，依次计算即可求得答案． 【详解】解： ． 故答案为． 23．若 ，则 = ． 【答案】-1 【分析】原式利用平方差公式分解，把各自的值代入计算即可求出值． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 故答案为：-1． 【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解答本题的关键． 24．若实数x满足，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用整体的思想进行代数式求值，单项式与多项式的乘法．由可得 ，将其代入所求表达式 中，通过代数变形降次，合并同类项后计算常数值得出结果． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故答案为：． 25．如图，两个正方形的边长分别为，已知，．则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】14 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．根据代入计算即可． 【详解】解：由题意得，，， ． 故答案为：． 26．已知，，则 . 【答案】 【分析】把两边平方，利用完全平方公式化简，将代入求出的值，利用完全平方公式及平方根定义求出的值即可． 【详解】解：把两边平方得： ， ∴， 把代入得，， 即 ， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 27．观察下列各式的规律： … 可得到 ． 【答案】 【分析】发现规律，根据规律即可得到计算结果． 【详解】根据规律可得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，发现规律是解题的关键． 28．已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【详解】 ． 当时，原式． 29．如果，那么代数式的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了整式混合运算，代数式求值，熟练掌握整体思想的利用是解题的关键． 把代数式整理成用已知条件表示的形式，然后代入数据计算即可． 【详解】解： ； 原式． 故答案为：． 30．定义：如果一个正整数平方后得到的数，十位数字比个位数字大1，我们把这样的正整数称为“领先数”．例如，，那么11是领先数．若将领先数从小到大排列，则第4个领先数是 ；第36个领先数是 ． 【答案】 39 439 【分析】本题考查了新定义，完全平方公式的应用，令，，，…，，…，是领先数，且，根据定义得，，，，是解题的关键． 【详解】解：令，，，…，，…，是领先数，且， 由题意可知，最小的领先数是11，即， 由定义可知，一个领先数平方后得到的数，十位数字比个位数字大1， 设， 则， ∵， 要保证是领先数，则的十位数字比个位数字大1， 则只需保证，为100的倍数，则， 的十位和个位必定和的相同， ∴， 即是领先数，同理，，，…，是领先数， 现计算50以内的正整数的平方，根据定义可得： ，，，， ∴，，，， ∴，，，， 则， 故答案为：39，439． 三、解答题 31．计算：． 【答案】 【分析】先运用乘法公式进行计算，再合并同类项即可． 【详解】解：， =， =， =． 【点睛】本题考查了整式的乘法，解题关键是熟记乘法公式，准确进行计算． 32．化简求值：，其中 【答案】， 【分析】先根据乘法公式和多项式乘法进行展开，再合并同类项，再把代入即可得到答案． 【详解】解： 当时， 原式 【点睛】此题考查整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 33．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】利用完全平方公式和整式加减的运算法则进行化简，根据平方根的性质即可求得答案． 【详解】原式 ． 当时， 原式 ． 【点睛】本题主要考查完全平方公式、整式的加减、平方根，牢记完全平方公式和整式加减的运算法则是解题的关键． 34．先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，完全平方公式，平方差公式．先利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ， 当时，原式． 35．如图是用相同材料做成的A，B两种造型的长方形窗框，已知窗框的长都是x米，宽都是y米．    (1)制作这两种造型的窗框各一个，共需要多少材料？ (2)若一位用户需要A型的窗框5个，B型的窗框3个，且这种材料每米的价格为a元，求这位用户共需要花多少钱？（接缝处忽略不计） 【答案】(1)米的材料 (2)元 【分析】（1）由长方形图形特征，列代数式表示图形中线段长即可求解； （2）根据题意，知共需材料的长度为：，去括号，合并同类项，得原式，相应求解所需钱数． 【详解】（1）解：根据题意得，制作A种造型的窗框一个，需要材料米， 制作B种造型的窗框一个，需要材料米， 则 (米)． 即制作这两种造型的窗框各一个，共需要米的材料； （2）解：共需材料的长度为： (米)， ∵这种材料每米的价格为a元， ∴这位用户共需要花的钱数为元． 【点睛】本题考查列代数式，整式的运算；根据几何图形构建代数式是解题的关键． 36．【数学模型】已知小长方形纸片的两边长分别为、，用四张这样的纸片构成如图1所示的大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，从而得到等式： __________． 解决问题  如图2，学校生物兴趣小组打算用篱笆围成长方形生物园来饲养小兔． （1）若篱笆的长为，怎样围可使小兔的活动范围最大？试说明理由． （2）若生物园的面积为，怎样围可使用的篱笆最短？试说明理由． 【答案】[数学模型] ；（1）生物园围成一个边长为的正方形时，小兔的活动范围最大；（2）把生物园围成一个边长为的正方形时，用的篱笆最短 【分析】本题考查了完全平方公式与几何的应用，利用完全平方公式变形求值及其非负性解决问题． [数学模型]由于大正方形的边长为，则面积表示为，而大正方形的面积表示为4个长方形的面积与一个小正方形的面积和，则大正方形面积为：，即可建立等式； （1）设篱笆长为，则宽为，那么长方形面积为：，利用完全平方公式变形为，再由非负性求解即可； （2）设生物园的长为，宽为，由题意得，则，由上可得：，即，再利用平方根的定义即可求解． 【详解】[数学模型] 解：大正方形的边长为，则面积为， 大正方形的面积表示为4个长方形的面积与一个小正方形的面积和，则大正方形面积为：， ∴得到等式：； （1）解：设篱笆长为，则宽为， ∴长方形面积为：， ∵， ∴， ∴当时，取得最大值为16，此时， 即把生物园围成一个边长为的正方形时，小兔的活动范围最大； （2）解：设生物园的长为，宽为， 由题意得， ∴， 由上可得：， ∴， ∵， ∴， 当时，等号成立， ∴当把生物园围成一个边长为的正方形时，用的篱笆最短． 37．已知， (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)18 (2)5 【分析】本题考查了完全平方公式变形运用，掌握完全平方公式是解题的关键． （1）由可变形为，利用完全平方公式即可求解； （2）先相乘后整理得，再整体代入即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， 即， ∴， 即， ∴； （2）解：∵， ∴． 38．计算 （1） （2） （3） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）先计算乘方，然后计算单项式乘以单项式，即可得到答案； （2）由单项式乘以多项式的运算法则进行计算，即可得到答案； （3）由多项式乘以多项式的法则，即可得到答案． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ； 【点睛】本题考查了整式的乘法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行计算． 39．某公园有一块长为米，宽为来的长方形地块，规划部门计划在其内部一块正方形空地上修建一座的雕像，正方形边长为米，左边修一条宽为米的长方形道路，其余阴影部分为绿化场地，尺寸如图所示.    (1)用含，b的代数式表示绿化的面积(结果要化简)； (2)当，时，求出绿化的面积. 【答案】(1) (2)平方米 【分析】（1）根据图形的面积之差列式即可求解； （2）将字母的值代入进行计算即可求解． 【详解】（1）解：依题意， ； （2）解：当，时， 【点睛】本题考查的是多项式的乘法与图形面积，完全平方公式的应用，熟练的利用图形面积差列出正确的运算式是解本题的关键． 40．【方法简介】 “数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可以将抽象的数学知识变得直观且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． 【初步感知】 如图1，利用图形的几何意义推证完全平方公式：． 解：∵图是由两个长方形和两个正方形组成的一个大正方形． ∴这个图形的面积可以表示为：或 ∴．这就验证了两数和的完全平方公式． 【深入研究】 如何利用图形几何意义的方法推证：． 如图，表示个的正方形，即：，表示个的正方形，与恰好可以拼成个的正方形，因此：，，就可以表示个的正方形，即：，而，，，恰好可以拼成一个的大正方形，由此可得：． 【理解运用】 (1)请你类比上述推导过程，利用图形几何意义的方法计算：的值；（要求画出自己构造的图形，并直接写出结果）． (2)______． (3)图3是由棱长为的小正方体搭成的大正方体，则大小正方体一共有多少个？ 为了正确数出大小正方体的总个数，我们可以分类统计，即分别数出棱长是，，，的正方体的个数，再求总和． 解：棱长是的正方体有：个，棱长是的正方体有：个， 棱长是的正方体有：个，棱长是的正方体有：个， 然后利用（2）的结论，可得：______=______． (4)图4是由棱长为的小正方体组成的大正方体，则大小正方体共有______个． 【答案】(1)图形见解析，； (2)； (3)，； (4) 【分析】本题主要考查了数形结合思想、立方和公式的推导与应用，熟练掌握“利用几何图形的面积/体积表示代数运算，归纳立方和的规律”是解题的关键． （1）类比已知推导方法，构造图形表示、、，通过大正方形面积得出和； （2）根据前面规律归纳的表达式； （3）分类统计不同棱长的正方体个数，利用（2）的结论计算总和； （4）先确定大正方体棱长，再用（2）的结论计算所有正方体个数． 【详解】（1）解：构造图形如图， 表示个的正方形，即：，表示个的正方形，与恰好可以拼成个的正方形，因此：，，就可以表示个的正方形，即：， 表示个的正方形，与恰好可以拼成个的正方形，与恰好可以拼成个的正方形，因此：，，，，就可以表示个的正方形，即：， 而，，，，，，，，恰好可以拼成一个的大正方形，由此可得：． （2）解：∵ ， ， ， ∴ ， 故答案为：； （3）解：∵ 棱长1的正方体：个，棱长2的正方体：个，棱长3的正方体：个，棱长4的正方体：个， ∴ ， ∴ 故答案为：，； （4）解：设图4大正方体棱长为，则大小正方体个数为，由（2）可知大小正方体共有（个）， 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8章整式乘法 中档题拓展训练★★ 2025-2026学年苏科版数学七年级下册 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．下列多项式的乘法中，可用平方差公式进行计算的是（   ） A． B． C． D． 3．下列运算中，正确的是（    ）． A． B． C． D． 4．下列各式中，计算正确的是（　　） A．x（2x﹣1）＝2x2﹣1 B．（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣4b2 C．（a+2）2＝a2+4 D．（x+2）（x﹣3）＝x2+x﹣6 5．若，则的值是（   ） A．， B．， C．， D．， 6．下列算式中正确的是(    ) A． B． C． D． 7．如图，边长为的正方形卡片剪出一个边长为a的正方形卡片之后，剩余部分可剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．若拼成的长方形一边长为2，则另一边长是（    ） A．2 B． C． D． 8．若，则的值分别是（    ） A． B． C． D． 9．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，那么需要C类卡片张数为（    ）． A．7 B．6 C．3 D．2 10．若等式成立，则的值是（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 11．公园里有一个长方形花坛，原来长，宽，现在要把花坛四周均向外扩展，则这个花坛的面积将增加（    ） A． B． C． D． 12．观察下列各式及其展开式 …… 请你猜想的展开式第三项是（    ） A． B． C． D． 13．如果是完全平方式，那么实数的值是（  ） A． B． C．或 D．或 14．如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的有（   ） ①小长方形的较长边为； ②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值． A．①② B．②④ C．①③ D．①③④ 15．若有两个整式，．下列结论中，正确的有（    ） ①当为关于的三次三项式时，则； ②当多项式乘积不含时，则； ③； ④当能被整除时，； ⑤若或时，无论和取何值，值总相等，则． A．①②④ B．①③④ C．③④⑤ D．①③④⑤ 二、填空题 16．计算： ． 17．若，则的值为 ． 18．计算： ． 19．已知，，则 ． 20．观察：下列等式，，，据此规律，当时，代数式的值为 ． 21．，则 22． ． 23．若 ，则 = ． 24．若实数x满足，则 ． 25．如图，两个正方形的边长分别为，已知，．则图中阴影部分的面积为 ． 26．已知，，则 . 27．观察下列各式的规律： … 可得到 ． 28．已知，则代数式的值为 ． 29．如果，那么代数式的值为 ． 30．定义：如果一个正整数平方后得到的数，十位数字比个位数字大1，我们把这样的正整数称为“领先数”．例如，，那么11是领先数．若将领先数从小到大排列，则第4个领先数是 ；第36个领先数是 ． 三、解答题 31．计算：． 32．化简求值：，其中 33．先化简，再求值：，其中． 34．先化简，再求值：，其中． 35．如图是用相同材料做成的A，B两种造型的长方形窗框，已知窗框的长都是x米，宽都是y米．    (1)制作这两种造型的窗框各一个，共需要多少材料？ (2)若一位用户需要A型的窗框5个，B型的窗框3个，且这种材料每米的价格为a元，求这位用户共需要花多少钱？（接缝处忽略不计） 36．【数学模型】已知小长方形纸片的两边长分别为、，用四张这样的纸片构成如图1所示的大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，从而得到等式： __________． 解决问题  如图2，学校生物兴趣小组打算用篱笆围成长方形生物园来饲养小兔． （1）若篱笆的长为，怎样围可使小兔的活动范围最大？试说明理由． （2）若生物园的面积为，怎样围可使用的篱笆最短？试说明理由． 37．已知， (1)求的值； (2)求的值． 38．计算 （1） （2） （3） 39．某公园有一块长为米，宽为来的长方形地块，规划部门计划在其内部一块正方形空地上修建一座的雕像，正方形边长为米，左边修一条宽为米的长方形道路，其余阴影部分为绿化场地，尺寸如图所示.    (1)用含，b的代数式表示绿化的面积(结果要化简)； (2)当，时，求出绿化的面积. 40．【方法简介】 “数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可以将抽象的数学知识变得直观且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． 【初步感知】 如图1，利用图形的几何意义推证完全平方公式：． 解：∵图是由两个长方形和两个正方形组成的一个大正方形． ∴这个图形的面积可以表示为：或 ∴．这就验证了两数和的完全平方公式． 【深入研究】 如何利用图形几何意义的方法推证：． 如图，表示个的正方形，即：，表示个的正方形，与恰好可以拼成个的正方形，因此：，，就可以表示个的正方形，即：，而，，，恰好可以拼成一个的大正方形，由此可得：． 【理解运用】 (1)请你类比上述推导过程，利用图形几何意义的方法计算：的值；（要求画出自己构造的图形，并直接写出结果）． (2)______． (3)图3是由棱长为的小正方体搭成的大正方体，则大小正方体一共有多少个？ 为了正确数出大小正方体的总个数，我们可以分类统计，即分别数出棱长是，，，的正方体的个数，再求总和． 解：棱长是的正方体有：个，棱长是的正方体有：个， 棱长是的正方体有：个，棱长是的正方体有：个， 然后利用（2）的结论，可得：______=______． (4)图4是由棱长为的小正方体组成的大正方体，则大小正方体共有______个． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $