2025—2026学年九年级上学期期末数学模拟优选卷（江苏·苏州）

( ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025—2026学年九年级上学期期末数学模拟优选卷（江苏·苏州） （共27小题 考试时间：120分钟 试卷满分：135分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相对应的位置上． 1．菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，常被视为数学界的诺贝尔奖，每四年颁发一次，最近一届获奖者获奖时的年龄（单位：岁）分别为：36，39，35，38，则这组数据的中位数是（    ） A．35 B．36 C．37 D．39 2．在中，若，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．已知的半径为5 ， 若， 则点在（   ） A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．无法判断 4．已知抛物线，下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口方向向下 B．抛物线的对称轴是直线 C．抛物线与轴交于点 D．抛物线与轴没有交点 5．如图，在中，，以点为圆心，的长为半径作，交斜边 于点，交的延长线于点，点是上一点，连接，，．若，，则的值是（     ）    A． B． C． D． 6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，sinA＝，则BC的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 7．如图，在中，，，，将它绕着中点顺时针旋转一定角度小于后得到，恰好使，与交于点，则的长为（　　） A． B． C． D． 8．如图，矩形中，，，动点从点出发以/秒向终点运动，动点同时从点出发以/秒按的方向在边，，上运动，设运动时间为（秒），那么的面积随着时间（秒）变化的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡相对应的位置上． 9．二次函数y=-2（x-3）2-4的顶点坐标为 ． 10．定义：在中，，把∠Ａ的邻边与对边的比叫做的余切，记作．等腰三角形中有两条边为4和6，则底角的余切值为 ． 11．请你写一个一元二次方程，使该方程有一根为1，则这个方程可以是 ． 12．如图，在墙壁中埋着一个未知半径的圆柱形木材，现用锯子去锯这个木材，锯口深cm，锯道cm，则这根圆柱形木材的半径是 cm． 13．一款飞镖游戏板由如图所示的正方形制成，游戏板阴影区域是以A为圆心，为半径的部分圆，小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，则击中阴影部分的概率是 ；    14．若，且，则的值为 ． 15．半径为6，圆心角为的扇形的面积为 ． 16．如图，在正方形中，，点在边上，，将线段绕点旋转，得到线段，连接，，当最大时，的长为 ． 17．计算：． 18．解方程：． 19．如图，的顶点坐标分别为，，．以坐标原点为位似中心，将按相似比2：1放大，得到． (1)在图中画出（不要求写出画法）； (2)的面积为__________． 20. 某校为组织学生参加温州市初中学生“我的数学故事”演讲比赛，从各班挑选20名同学先进行校内选拔，其中八（1）班同学的比赛成绩统计如表： 成绩（分 10 9 8 7 6 人数（人 3 4 7 4 2 (1)求八（1）班同学比赛成绩的平均数、中位数与众数． (2)八（2）班20名同学比赛成绩的平均数为8.1分，中位数为8.5分，众数为9分．请你从平均数、中位数、众数的角度进行分析，评价两个班级中哪个班同学在比赛中的表现更加优异． 21. 在□ABCD中，已知∠A＝60°，BC＝8，AB＝6.P是AB边上的任意一点，过P点作PE⊥AB，交AD于E，连结CE、CP． (1)若AP＝3时，试求出△PEC的PE边上的高； (2)当AP的长为多少时，△CPE的面积最大，并求出面积的最大值． 22. 如果三角形的两个内角α与β满足α﹣β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． （1）若△ABC是“准互余三角形”，∠A＞90°，∠B＝20°，求∠C的度数； （2）如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，BC＝5，点D是BC延长线上一点．若△ABD是“准互余三角形”，求CD的长； （3）如图②，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，AC＝4，CD＝5，∠BAC＝90°，∠ACD＝2∠ABC，且△BCD是“准互余三角形”，求BD的长． 23. 河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，当水面宽时，水面距桥孔顶部．因降暴雨水位上升了到达位置．建立平面直角坐标系，如图1所示． (1)求此时水面的宽度（结果保留根号）； (2)一艘装满物资的小船，露出水面的高为，宽为（横断面如图2所示）．暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过吗？请说明理由． 24. 一个不透明的袋子里装有三个分别标注字母A，B，C的小球，它们的大小、质地完全相同，先从袋子里随机摸出一个小球，然后将其放回袋子，搅匀后再从袋子中随机摸出一个小球． (1)第一次摸到小球A的概率为__________； (2)求两次摸到的是同一个小球的概率（用画树状图或列表的方法求解）． 25. 已知关于x的方程的两根为满足：，求实数k的值 26. 我们定义：在内有一点，连接，，，在所得的，，中，有且只有两个三角形相似，则称点为的相似心． (1)如图1，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，若点为的相似心，则下列结论正确的是（   ） A．   B．   C． (2)如图2，在中，，，是内一点，且． ①求证：点是的相似心； ②求的值． 27. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线交于A． (1)分别求出A、B、C的坐标； (2)若D是线段上的点，且的面积为3，求直线的函数解析式； (3)在（2）的条件下，设P是射线上的点，在平面内是否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025—2026学年九年级上学期期末数学模拟优选卷（江苏·苏州） （共27小题 考试时间：120分钟 试卷满分：135分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相对应的位置上． 1．菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，常被视为数学界的诺贝尔奖，每四年颁发一次，最近一届获奖者获奖时的年龄（单位：岁）分别为：36，39，35，38，则这组数据的中位数是（    ） A．35 B．36 C．37 D．39 【答案】C 【分析】本题考查了确定一组数据的中位数的能力，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据数据的个数来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两个数的平均数．把所给数据按照由小到大的顺序排序，再求出中间两个数的平均数即可． 【详解】把已知数据按照由小到大的顺序重新排序后为35，36，38，39 ∴中位数： 故选：C． 2．在中，若，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正弦的定义，掌握正弦是直角三角形的对边与斜边的比值成为解题的关键． 直接利用正弦的定义解答即可． 【详解】解：∵在中，若，，， ∴． 故选C． 3．已知的半径为5 ， 若， 则点在（   ） A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．无法判断 【答案】C 【分析】根据点P到圆心的距离d与圆的半径r之间的大小关系判断点与圆的位置关系：点P在圆外；点P在圆上；点P在圆内；即可得到答案． 【详解】解：的半径为5 ，， 点P在外， 故选C． 4．已知抛物线，下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口方向向下 B．抛物线的对称轴是直线 C．抛物线与轴交于点 D．抛物线与轴没有交点 【答案】C 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴、与坐标轴的交点问题对各选项一一进行判断即可得出答案． 【详解】解：A、由知抛物线开口向上，故此选项说法错误，不符合题意； B、抛物线的对称轴是直线，故此选项说法错误，不符合题意； C、当时，，故抛物线与轴交于点，此选项说法正确，符合题意； D、由知抛物线与轴有两个不同交点，故此选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 5．如图，在中，，以点为圆心，的长为半径作，交斜边 于点，交的延长线于点，点是上一点，连接，，．若，，则的值是（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是圆周角定理、圆直径所对的角是直角、勾股定理解直角三角形、相似三角形的判定与性质、正切三角函数的定义，解题关键是熟练运用相似三角形的判定与性质． 先根据圆周角定理推得，用勾股定理解直角三角形求出，圆直径所对的角是直角推得后即可根据相似三角形性质求解． 【详解】解：依题得：为直径， 如图，连接，   ， ， ， ， 又， ， ， 即， ， ， ， 又， ， ， ． 故选：． 6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，sinA＝，则BC的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，sinA=， 则sinA=， 即， 解得，BC=2， 故选：A． 7．如图，在中，，，，将它绕着中点顺时针旋转一定角度小于后得到，恰好使，与交于点，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，过点作，可证四边形是矩形，可得，通过证明，可得，可求，即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ∵，，， ∴， ∵将绕着中点顺时针旋转一定角度（小于）后得到， ∴，，， ∵ ∴，且， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴，   ∴， 故选：D． 8．如图，矩形中，，，动点从点出发以/秒向终点运动，动点同时从点出发以/秒按的方向在边，，上运动，设运动时间为（秒），那么的面积随着时间（秒）变化的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分三种情况讨论△APQ面积的变化，进而得出△APQ的面积y（cm2）随着时间x（秒）变化的函数图象大致情况． 【详解】解：根据题意可知：AP＝x，Q点运动路程为2x， ①当点Q在AD上运动时， y＝AP•AQ＝x•2x＝x2，图象为开口向上的二次函数； ②当点Q在DC上运动时， y＝AP•DA＝x×3＝，是一次函数； ③当点Q在BC上运动时， y＝AP•BQ＝x•（12−2x）＝−x2＋6x，为开口向下的二次函数， 结合图象可知A选项函数关系图正确， 故选：A． 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡相对应的位置上． 9．二次函数y=-2（x-3）2-4的顶点坐标为 ． 【答案】 【详解】解：二次函数y＝－2（x−3）2−4的顶点坐标为（3，−4）， 故答案为：（3，−4）． 10．定义：在中，，把∠Ａ的邻边与对边的比叫做的余切，记作．等腰三角形中有两条边为4和6，则底角的余切值为 ． 【答案】或 【分析】此题需要分类讨论：若；或．利用勾股定理和等腰三角形的性质求出，然后利用余切的定义求解． 【详解】解：若， 过A作于D，如图， ∴， ∴， ∴； 若， 过A作于D，如图， ∴， ∴， ∴； 故答案为：或． 11．请你写一个一元二次方程，使该方程有一根为1，则这个方程可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 以0和1为根写一个一元二次方程即可． 【详解】解：是方程的一个根， ∴写一个一元二次方程，使该方程有一根为1，则这个方程可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 12．如图，在墙壁中埋着一个未知半径的圆柱形木材，现用锯子去锯这个木材，锯口深cm，锯道cm，则这根圆柱形木材的半径是 cm． 【答案】10 【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理的应用．设圆心为，连接，依题得，为的中点，则三点共线，，设圆的半径为，由，则，再用勾股定理列出等量关系求解即可． 【详解】解：如图，设圆心为，连接， 依题得，为的中点 则三点共线， 设圆的半径为，由，则 在中，由勾股定理得 解得． 故答案为：10． 13．一款飞镖游戏板由如图所示的正方形制成，游戏板阴影区域是以A为圆心，为半径的部分圆，小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，则击中阴影部分的概率是 ；    【答案】 【分析】用阴影部分的面积除以正方形的面积即可求得答案．本题考查了几何概率的知识，解题的关键是求得阴影部分的面积，难度不大． 【详解】解：设正方形的边长为， 则， 击中阴影部分的概率是， 故答案为：． 14．若，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】利用设法，进行计算即可解答． 【详解】解：设， ，，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15．半径为6，圆心角为的扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积公式．．利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】扇形的面积． 故答案为： 16．如图，在正方形中，，点在边上，，将线段绕点旋转，得到线段，连接，，当最大时，的长为 ． 【答案】5或 【分析】首先根据题意得到点P的运动轨迹是以点A为圆心，1为半径长的圆，当与相切时，最大，然后分点P在左侧和点P在右侧两种情况讨论，根据勾股定理求出，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵点E在边上，，将线段绕点A旋转，得到线段， ∴点P的运动轨迹是以点A为圆心，1为半径长的圆， ∴当与相切时，最大 如图1，当点P在左侧时， 根据题意得，，， ∵ 过点P作，交的延长线于点H， ∴ ∴， 又∵ ，即 ，， ∴在中，； 如图2，当点P在右侧时， 同理，可得，， ∴ ∴在中，． 综上所述，的长为5或． 故答案为：5或． 17．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查的是锐角三角函数，解答本题的关键是记熟一些特殊角的三角函数值； 熟记特殊角的锐角三角函数值，把这些函数值代入所求的代数式即可求解． 【详解】解：原式 ． 18．解方程：． 【答案】， 【分析】此题考查解一元二次方程，根据因式分解法解一元二次方程． 【详解】解：， 或， ，． 19．如图，的顶点坐标分别为，，．以坐标原点为位似中心，将按相似比2：1放大，得到． (1)在图中画出（不要求写出画法）； (2)的面积为__________． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】此题考查了画位似图形，利用网格求三角形的面积，熟练掌握位似图形的画法是解题的关键： （1）根据位似图形的性质画出图形； （2）利用割补法求出面积． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：， 故答案为6． 20. 某校为组织学生参加温州市初中学生“我的数学故事”演讲比赛，从各班挑选20名同学先进行校内选拔，其中八（1）班同学的比赛成绩统计如表： 成绩（分 10 9 8 7 6 人数（人 3 4 7 4 2 (1)求八（1）班同学比赛成绩的平均数、中位数与众数． (2)八（2）班20名同学比赛成绩的平均数为8.1分，中位数为8.5分，众数为9分．请你从平均数、中位数、众数的角度进行分析，评价两个班级中哪个班同学在比赛中的表现更加优异． 【答案】(1)平均数为8.1，中位数为8分，众数为8分 (2)八（2）班同学在比赛中的表现更加优异，理由见解析 【分析】对于（1），根据平均数的计算公式计算即可；再根据众数和中位数的定义判断即可； 对于（2），对比平均数，众数和中位数，即可得出答案． 【详解】（1）平均数（分；第10人和第11人的成绩都是8，所以中位数是8；8出现的次数最多，所以众数是8. 答：八（1）班同学比赛成绩的平均数为8.1，中位数为8分，众数为8分． （2）从平均数分析，2个班相同；从中位数和众数分析，八（2）班均高于八（1）班，八（2）班同学在比赛中的表现更加优异． 21. 在□ABCD中，已知∠A＝60°，BC＝8，AB＝6.P是AB边上的任意一点，过P点作PE⊥AB，交AD于E，连结CE、CP． (1)若AP＝3时，试求出△PEC的PE边上的高； (2)当AP的长为多少时，△CPE的面积最大，并求出面积的最大值． 【答案】(1)△PEC的PE边上的高=7 (2)PE=4时，S△PCE增大= 【分析】（1）延长PE交CD延长线于F，根据平行四边形性质得出AB∥CD，AB=CD=6，BC=AD=8，利用30°直角三角形性质得出AE=2AP=6，求出DF=即可； （2）设AP=x，利用锐角三角函数求出PE=tan60°×PA=，AE=，根据点E在AD上，得出0≤x≤4,利用锐角三角函数求出DF=cos60°DE=4-x，用含x的式子表示CF，然后利用面积公式求出S△PCE=即可． 【详解】（1）解：延长PE交CD延长线于F， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD=6，BC=AD=8， ∵PE⊥AB， ∴PF⊥CD， ∵∠A=60°，AP=3，∠APE=90°， ∴∠PEA=90°-∠A=30°， ∴AE=2AP=6， ∴ED=AD-AE=8-6=2， 在Rt△EDF中，∠DEF=∠PEA=30°，DE=2， ∴DF=， ∴CF=CD+DF=6+1=7， ∴△PEC的PE边上的高CF=7； （2）解：如上图，设AP=x， 在Rt△APE中，∠APE=90°，∠A=60°， ∴PE=tan60°×PA=，AE=， ∴ED=AD-AE=8-2x， ∵点E在AD上， ∴0≤8-2x≤8， ∴0≤x≤4， ∵AB∥CD， ∴∠EDF=∠A=60°， ∴DF=cos60°DE=4-x， ∴CF=CD+DF=6+4-x=10-x， ∴S△PCE=， ∵a=＜0，在对称轴左侧，S随x的增大而增大， ∴x=4时，S△PCE增大=． 22. 如果三角形的两个内角α与β满足α﹣β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． （1）若△ABC是“准互余三角形”，∠A＞90°，∠B＝20°，求∠C的度数； （2）如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，BC＝5，点D是BC延长线上一点．若△ABD是“准互余三角形”，求CD的长； （3）如图②，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，AC＝4，CD＝5，∠BAC＝90°，∠ACD＝2∠ABC，且△BCD是“准互余三角形”，求BD的长． 【答案】（1） ∠C＝50°或35°；（2）CD＝或3；（3）BD＝3． 【分析】（1）由“准互余三角形”定义可求解； （2）由勾股定理可求AC=3，分两种情况讨论，由等腰三角形的性质和相似三角形的性质可求解； （3）如图，将△ABC沿BC翻折得到△EBC，可得CE=AC=4，∠BCA=∠BCE，∠CBA=∠CBE，∠E=∠BAC=90°，通过证明△CEB∽△BED，可求BE=6，由勾股定理可求解． 【详解】解：（1）∵△ABC是“准互余三角形”，∠A＞90°，∠B=20°， 若∠A-∠B=90°，则∠A=110°， ∴∠C=180°-110°-20°=50°， 若∠A-∠C=90°， ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠C=35°； 故 ∠C＝50°或35°； （2）∵∠BAC＝90°，AB＝4，BC＝5，∴AC＝＝＝3， ∵△ABD是“准互余三角形”，∴∠BAD﹣∠B＝90°，或∠BAD﹣∠ADB＝90°， 当∠BAD﹣∠ADB＝90°，∴∠BAC+∠CAD﹣∠ADB＝90°，∴∠CAD＝∠ADB， ∴AC＝CD＝3; 当∠BAD﹣∠B＝90°，∴∠BAC+∠CAD﹣∠B＝90°，∴∠B＝∠CAD， ∵∠ADC＝∠BDA，∴△ADC∽△BDA，∴， ∴，∴CD＝； （3）如图，将△ABC沿BC翻折得到△EBC， ∴CE＝AC＝4，∠BCA＝∠BCE，∠CBA＝∠CBE，∠E＝∠BAC＝90°， ∴∠ABE+∠ACE＝180°，∵∠ACD＝2∠ABC＝∠ABE， ∴∠ACD+∠ACE＝180°，∴点D，点C，点E三点共线， ∵∠BCD＝∠ACD+∠ACB＝2∠ABC+∠ACB＝90°+∠ABC， ∴∠BCD﹣∠CBD＝90°，∵△BCD是“准互余三角形”，∴∠BCD﹣∠CDB＝90°， ∴90°+∠ABC﹣∠CDB＝90°，∴∠CDB＝∠ABC＝∠EBC， 又∵∠E＝∠E，∴△CEB∽△BED，∴，即，∴BE＝6， ∴BD＝＝＝3． 23. 河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，当水面宽时，水面距桥孔顶部．因降暴雨水位上升了到达位置．建立平面直角坐标系，如图1所示． (1)求此时水面的宽度（结果保留根号）； (2)一艘装满物资的小船，露出水面的高为，宽为（横断面如图2所示）．暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过吗？请说明理由． 【答案】(1)此时水面宽度为米 (2)暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过，理由见解析 【分析】该题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意． （1）由题意设抛物线型拱桥的解析式为：，由题意可知此抛物线过点，，由此即可求出抛物线的解析式，把代入所得解析式，解此对应的x的值，即可求得此时水面的宽； （2）由题意在（1）中所得的解析式中，求出当时对应的y的值，即可求解． 【详解】（1）解：设函数解析式为，，， 把点B坐标代入得：， 解得：，即； 当时，，解得：， 故此时水面宽度为米． （2）解：当时，． ， 暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过． 24. 一个不透明的袋子里装有三个分别标注字母A，B，C的小球，它们的大小、质地完全相同，先从袋子里随机摸出一个小球，然后将其放回袋子，搅匀后再从袋子中随机摸出一个小球． (1)第一次摸到小球A的概率为__________； (2)求两次摸到的是同一个小球的概率（用画树状图或列表的方法求解）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了画树状图求概率、概率公式等知识点，正确画出树状图成为解题的关键． （1）直接运用概率公式求解即可； （2）先画树状图确定所有等可能结果数以及两次摸到的是同一个小球的结果数，再运用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：第一次摸到小球A的概率为． 故答案为：． （2）解：如图：画出树状图如下： 由上图知，共有9种等可能的结果，其中两次恰好摸到同一个小球的情况有3种， 则P（两次摸到同一个小球）； 答：两次摸到同一个小球的概率为． 25. 已知关于x的方程的两根为满足：，求实数k的值 【答案】或. 【分析】根据根与系数的关系可得，，将其代入，可得，得出与k有关的方程，可解出k的值，最后验证方程是否有实数根即可. 【详解】解：∵关于x的方程， ∴， ∴，， 将其代入可得： ， 解得：， ∵经检验可得当或时方程均有两个实数根， ∴均满足题意. 故答案为:或. 26. 我们定义：在内有一点，连接，，，在所得的，，中，有且只有两个三角形相似，则称点为的相似心． (1)如图1，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，若点为的相似心，则下列结论正确的是（   ） A．   B．   C． (2)如图2，在中，，，是内一点，且． ①求证：点是的相似心； ②求的值． 【答案】(1)A (2)①见解析；② 【分析】（1）取格点、，连接、、、，则，，由勾股定理求得，，则，而，即可证明，求得，由，，可知与不相似，与不相似，于是得到问题的答案． （2）①由，，得，由，求得，由，，可知与不相似，与不相似，推导出，进而证明，然后问题可求证． ②因为，所以，由相似三角形的性质得，则，所以，然后问题可求解． 【详解】（1）解：如图1，取格点、，连接、、、， ∵在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1， ∴，，， ，， ，， ∴， ∴， ， ∴与中的最大角，与中的最大角， ∴与不相似，与不相似， 故答案为：A． （2）解：①证明：如图2，∵，， ， ∵， ∴， ∴与中的最大角，与中的最大角， ∴与不相似，与不相似， ， ∴， ∴， ∴点是的相似心． ②解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴的值为． 27. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线交于A． (1)分别求出A、B、C的坐标； (2)若D是线段上的点，且的面积为3，求直线的函数解析式； (3)在（2）的条件下，设P是射线上的点，在平面内是否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)A（－3，），B（－6，0），C（0，3）； (2)y＝x＋3； (3)点Q的坐标为（，）或（，）或（－3，3）． 【分析】（1）在中，分别令x＝0，y＝0可求出点C、B的坐标，联立两函数解析式可求出点A的坐标； （2）由△COD的面积为3，列出式子求得点D的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线CD的函数解析式； （3）分情况讨论：①当OC是对角线时，可得点P、Q在OC的垂直平分线上，求出P点坐标可得Q点坐标；②当OC是边，OP是对角线时，根据CP＝CO列式求出P点坐标，进而可得Q点坐标；③当OC是边，OP也是边时，此时菱形OPQC是正方形，进而可得Q点坐标． 【详解】（1）解：在中， 当x＝0时，y＝3， 当y＝0时，x＝－6， ∴B（－6，0），C（0，3）， 联立，解得：， ∴A（－3，）； （2）设D（x，）， ∵△COD的面积为3， ∴， 解得：x＝－2， ∴D（－2，1）， 设直线CD的函数表达式为：y＝kx＋b（k≠0）， 把C（0，3），D（－2，1）代入得：， 解得：， ∴直线CD的函数表达式为：y＝x＋3； （3）分情况讨论： ①当OC是对角线时，如图，点P、Q在OC的垂直平分线上， 则点P、Q的纵坐标为， 把代入y＝x＋3得：， ∴P（，）， ∴Q（，）； ②当OC是边，OP是对角线时，如图， 设P（a，a＋3）， 由CP＝CO得：， 解得：或（舍去）， ∴P（，）， 设Q（x，y）， 则，解得：， ∴Q（，）； ③当OC是边，OP也是边时，如图， ∵∠POC＝90°， ∴此时菱形OPQC是正方形， ∵OP＝OC＝3， ∴Q（－3，3）， 综上所述，点Q的坐标为（，）或（，）或（－3，3）． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $