2025-2026学年北师大版八年级上册 数学 第20周 周测暨期末模拟二

第20周 周测 暨期末模拟二 一、单选题（每题3分，合计24分） 1．在平面直角坐标系中，点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．南山区博物馆五位小讲解员的年龄分别为10，12，12，13，15（单位：岁），则三年后这五位小讲解员的年龄数据中一定不会改变的是（    ） A．方差 B．众数 C．中位数 D．平均数 4．若，则的平方根是（    ） A．2 B． C． D． 5．下列命题是假命题的是（   ） A．三角形三个内角的和等于 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．的平方根是 D．相等的角是对顶角 6．中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘．问有多少人，多少辆车？设共有人，辆车，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 7．如图，，，若，，则点到的距离是（　　） A． B． C． D． 第7题 第8题 8．如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF，以下结论：①AD∥BC，②∠ACB＝∠ADB，③∠ADC+∠ABD＝90°，④∠ADB＝45°﹣∠CDB，其中正确的结论有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（每题3分，合计15分） 9．函数中自变量x的取值范围是 ． 10．某公司销售部有销售人员27人，销售部为了制定某种商品的销售定额，统计了这27人某月的销售情况如下表： 销售量/件 500 450 400 350 300 200 人数 1 4 4 6 7 5 该公司销售人员这个月销售量的众数是 件，中位数是 件． 11．已知ABx轴，A（﹣2，4），AB＝5，则B点坐标为 ． 12．如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是 ．    第12题 第13题 13．如图，在长方形中，，，点为上一点，将沿翻折至，延长交于点，交的延长线于点，且，则的长为 ． 3、 解答题（共7题，合计61分） 14．（10分）计算与解方程组： (1) (2) (3) (4) （5） 15．（6分）已知点，根据条件解决下列问题： (1)若点A在y轴上，求点A的坐标； (2)若点A在过点且与x轴平行的直线上，求线段的长． 16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，各顶点分别为，，．   (1)在图中作，使和关于y轴对称； (2)直接写出点B关于x轴对称的点的坐标______； (3)在x轴上存在一点Q，使得的值最小，的最小值为______；请直接写出点Q的坐标______． 17．（10分）某校为丰富同学们的课余生活，全面提高科学素养，提升思维能力和科技能力，开展了“最强大脑”邀请赛，现从八年级（1）班和八年级（2）班各随机抽取了10名学生的初赛成绩（初赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）统计、整理如下：八年级（1）班抽取的学生的初赛成绩：6，8，8，8，9，9，9，9，10，10．八年级（2）班抽取的学生的初赛成绩：6，7，8，8，8，9，10，10，10，10，请根据以上信息，完成下列问题： 八年级（1）班、八年级（2）班抽取的学生的初赛成绩统计表： 班级 平均数 中位数 众数 优秀率 八年级（1）班 8.6 9 b m 八年级（2）班 8.6 a 10 (1)填空：______，______，______； (2)小明是抽取的20名学生中的一名，其成绩是9分．小明说：“在本班抽取的10名学生中，我的初赛成绩比一半同学的初赛成绩要好”，若小明的说法是正确的，则可判断小明是八年级______班的学生（选填“（1）”或“（2）”）： (3)若八年级有学生500人，且满分才能进入决赛，估计八年级进入决赛的学生共有多少人？ 18.（8分）函数的图象，如图所示．已知和的交点的横坐标为，另一交点的横坐标为1．回答下列问题：    (1)完善表格：、与的对应值，根据表格中的与的对应值，在图中描点并画出的图象．从中选取合适的数据，求出，的值． (2)根据图象，描述当时，函数随自变量变化的变化趋势． (3)根据图象，直接写出不等式的解集． (4)若，分别满足关于的方程和，则__________（填“＜”或“＞”或“=”）． 19．（10）淄博烧烤凭实力火爆出圈，“进淄赶烤”成为今年五一黄金周期间旅游的新热潮，更推动了当地其他旅游行业的经济发展．某旅游纪念品商店销售，两种伴手礼，已知销售一件种伴手礼和两件种伴手礼可获利220元，销售三件种伴手礼和一件种伴手礼可获利260元． (1)求每销售一件种伴手礼和一件种伴手礼各获利多少元？ (2)该旅游纪念品商店计划一次性购进，两种伴手礼共40件，其中种伴手礼不少于10件，将其全部销售完可获总利润为元．设购进种伴手礼件． ①求与的函数关系式； ②当购进种伴手礼多少件时，该商店可获利最大，最大利润是多少元？ 20．（9分）点P、点和点Q为平面直角坐标系中的三个点，给出如下定义：若，且，则称为点P关于点Q的等垂点． (1)已知点Q的坐标为， ①如下图所示，若点P为原点，直接写出P关于Q的等垂点的坐标________； ②如下图所示，P为y轴上一点，且点P关于点Q的等垂点恰好在一次函数的图象上，求点的坐标； (2)如下图所示，若点Q的坐标为，P为直线上一点，P关于点Q的等垂点位于y轴右侧，连接，，请问是否有最小值？若有，请直接写出最小值；若无，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A A C D C B C 1．D 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，根据第四象限的坐标特征进行判断即可，熟练掌握四个象限的符号特点分别是：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，是解此题的关键． 【详解】解：点的横坐标为正，纵坐标为负，则此点在第四象限， 故选：D． 2．A 【分析】此题考查了算术平方根、立方根的性质与化简，熟练掌握算术平方根、立方根的定义是解题的关键．根据算术平方根、立方根的性质分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A、，故本选项正确，符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：A． 3．A 【分析】本题考查了平均数，中位数，众数以及方差的意义．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．众数是一组数据中出现次数最多的数． 【详解】解：∵南山区博物馆五位小讲解员的年龄分别为10，12，12，13，15， ∴三年后这五位小讲解员的年龄为13，15，15，16，18， ∴会改变的是平均数、众数和中位数，不会改变的是方差． 故选：A． 4．C 【分析】本题考查了非负数的性质，平方根的定义，先根据非负数的性质求出a，b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根是． 故选C． 5．D 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形的内角和定理、平行线的性质、平方根和对顶角的性质等知识，难度不大．根据三角形的内角和定理、平行线的性质、平方根和对顶角的性质判断即可． 【详解】解：A、三角形三个内角的和等于，是真命题，不符合题意； B、平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题，不符合题意； C、其平方根是，是真命题，不符合题意； D、相等的角不一定是对顶角，是假命题，符合题意； 故选：D． 6．C 【分析】根据题意，找到关于x、y的两组等式关系，即可列出对应的二元一次方程组． 【详解】解：由每三人共乘一车，最终剩余2辆车可得：． 由每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘可得：． 该二元一次方程组为：． 故选：C． 7．B 【分析】过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点，在中，利用勾股定理可求出的长，再利用等腰直角三角形的性质可得，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后根据的面积的面积的面积的面积进行计算即可解答． 【详解】 解：过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点， ，，， ， ，， ，， ， ， ， 在中，， ， 的面积的面积的面积的面积， ， ， ， 点到的距离是， 故选：B． 8．C 【分析】根据角平分线定义得出∠ABC＝2∠ABD＝2∠DBC，∠EAC＝2∠EAD，∠ACF＝2∠DCF，根据三角形的内角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，根据三角形外角性质得出∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠EAC＝∠ABC+∠ACB，根据已知结论逐步推理，即可判断各项． 【详解】解：∵AD平分∠EAC， ∴∠EAC＝2∠EAD， ∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB， ∴∠EAD＝∠ABC， ∴AD∥BC，∴①正确； ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC， ∴∠ACB＝2∠ADB，∴②错误； 在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD＝180°， ∵CD平分△ABC的外角∠ACF， ∴∠ACD＝∠DCF， ∵AD∥BC， ∴∠ADC＝∠DCF，∠ADB＝∠DBC，∠CAD＝∠ACB ∴∠ACD＝∠ADC，∠CAD＝∠ACB＝∠ABC＝2∠ABD， ∴∠ADC+∠CAD+∠ACD＝∠ADC+2∠ABD+∠ADC＝2∠ADC+2∠ABD＝180°， ∴∠ADC+∠ABD＝90° ∴∠ADC＝90°﹣∠ABD， 即∠ADC+∠ABD＝90°，∴③正确； ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∵∠ADB＝∠DBC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∵∠DCF＝＝∠DBC+∠BDC， ∴∠BDC＝90°﹣2∠DBC， ∴∠DBC＝45°﹣∠BDC，④正确； 故选C． 9．且 【分析】根据开方数的非负性、分式的分母不能为0列出式子求解即可． 【详解】由开方数的非负性、分式的分母不能为0得 解得 故答案为：且． 10． 300 350 【分析】本题考查了确定一组数据的中位数及众数．要明确定义．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而做错．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后根据数据是奇数个还是偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两个数的平均数．根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数可求众数；根据中位数的定义求解，有27个数据，第14个数就是中位数． 【详解】解：销售300件的有7人，最多，故众数为300． 27个数据的中位数应是这组数据从小到大依次排列后的第14个数，应是350件． 故答案为：300；350． 11. （﹣7，4）或（3，4） 【分析】由AB平行于x轴可知，A、B两点纵坐标相等，再根据线段AB的长为5，B点可能在A点的左边或右边，分别求B点坐标． 【详解】解：∵ABx轴，A（﹣2，4）， ∴A、B两点纵坐标相等，都是4， 又∵线段AB的长为5， ∴当B点在A点左边时，B的坐标为（﹣7，4）， 当B点在A点右边时，B的坐标为（3，4）． 故答案为：（﹣7，4）或（3，4）． 【点睛】本题考查了与坐标轴平行的平行线上点的坐标特点及分类讨论的解题思想，根据B点位置不确定得出两种情况，此题易出现漏解． 12． 【分析】求出的值，利用图象法解方程即可． 【详解】解：∵直线与相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴由图象可知：方程的解是． 故答案为：． 【点睛】本题考查图象法解方程．熟练掌握两条直线交点的横坐标为联立两个函数形成的一元一次方程的解，是解题的关键． 13． 【分析】由折叠可知，，进而可以证明，由全等的性质可得，设，在中利用勾股定理建立方程，求解即可得出结论． 【详解】解：四边形为矩形，，， ，，， 由折叠可知，，，， ， 在和中， ， ， ， ， 即， 设，则，，，， 在中，， 即， 解得：， ． 故答案为：． 14．(1) (2)1 (3) (4) （5） （1）先将二次根式化简，然后相加减即可得到结果； （2）分子分母同乘，然后化简进行相加减即可； 熟练掌握二次根式的化简、二次根式的运算是解题的关键． （3）利用代入消元法求解；（4）利用加减消元法求解．【5】方程组整理后，利用加减消元法求出解即可 【详解】（1）解： = = =； （2）解： = = = = =1 （3）解： 将①代入②得： 将代入①得： ∴原方程组的解是 （4）解： 由得： ③ 由得： 将代入②得： ∴原方程组的解是 （5）解：方程组整理得：， ，可得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， ∴方程组的解为． 15．(1) (2) （1）根据y轴上点的横坐标等于零列式计算即可； （2）根据点A在过点且与x轴平行的直线上，得到A，P两点的纵坐标相同，求出a的值，进而求出线段AP的长即可． 【详解】（1）∵在y轴上 ∴ ∴ ∴点A坐标； （2）在过点且与x轴平行的直线上 ∴ ∴ ∴点A坐标 ∴ 16．(1)见解析 (2) (3)； 【分析】本题主要考查坐标与图形，熟练掌握关于坐标轴对称图形的画法，关于坐标轴对称的两点坐标关系，两点之间线段最短和勾股定理是解题的关键． （1）分别找出关于y轴时称的点，画出图形即可； （2）根据x轴对称的点的坐标写出答案即可； （3）作点关于x轴对称的点的坐标，连接，的值最小值为的长；设的解析式为：，求出解析式，令，即可得到答案． 【详解】（1）解：分别找出关于y轴对称的点，画出图形即可；    （2）解：x轴对称的点的坐标横坐标不变，纵坐标变成相反数， 故点B关于x轴对称的点的坐标为； （3）解：作点关于x轴对称的点的坐标，连接， 故的值最小值为的长， ，故的最小值为， ，， 设的解析式为：， 故， 解得， 的解析式为：， 令，故， 点Q的坐标为．    17．(1)，9， (2)（2） (3)估计八年级进入决赛的学生共有150人． 【分析】本题考查统计表，中位数、众数，样本估计总体，掌握数据整理的方法，中位数、众数是正确解答的前提． （1）根据众数，中位数的概念可求出a，b的值，用优秀的人数除以总人数即可求出优秀率； （2）根据题意得到小明的初赛成绩大于所在班级的中位数，然后结合小明的成绩是9分，八年级（1）班中位数是9，八年级（2）班的中位数求解即可； （3）用总数500乘以满分所占的百分比求解即可． 【详解】（1）八年级（1）班抽取的学生的初赛成绩中9的个数最多， ∴八年级（1）班抽取的学生成绩的众数； 八年级（1）班抽取的学生成绩的优秀率； 八年级（2）班抽取的学生的初赛成绩第5个和第6个数为9和10 ∴中位数； （2）∵小明的初赛成绩比一半同学的初赛成绩要好 ∴小明的初赛成绩大于所在班级的中位数， ∵小明的成绩是9分，八年级（1）班中位数是9，八年级（2）班的中位数， ∴小明是八年级（2）班的学生； （3）（人）， ∴估计八年级进入决赛的学生共有150人． 19．(1)种伴手礼每件获利60元，种伴手礼每件可获利80元 (2)①（）；②当购进种伴手礼10件时，该商店可获利最大，最大利润是3000元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用以及二次函数的应用： （1）设销售每件种伴手礼可获利元，每件种伴手礼可获利元，根据“销售一件种伴手礼和两件种伴手礼可获利220元，销售三件种伴手礼和一件种伴手礼可获利260元”列方程组求解即或； （2）①根据“总利润等于两种商品利润和”列出函数关系式即可；②根据题意求出①中函数最大值即可． 【详解】（1）设销售每件种伴手礼可获利元，每件种伴手礼可获利元，依题意得： 解得： 答：种伴手礼每件获利60元，种伴手礼每件可获利80元． （2）①由题意得： ∴（） ②由题意得：，由①可知，， ∵， ∴随的减小而增大， ∵， ∴当时，有最大值 ∴ 答：当购进种伴手礼10件时，该商店可获利最大，最大利润是3000元． 20．(1)①或②或 (2) 【分析】（1）①根据新定义，得到轴，且，求解即可；②分点在轴正半轴和在轴负半轴上，两种情况进行求解即可； （2）过点作直线，过点作，证明，得到点在直线上运动，作点关于直线的对称点，得到，进而得到当三点共线时，的值最小，为的长，进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵点P为原点，点Q的坐标为， ∴轴， ∴或； 故答案为：或； ②当点在轴负半轴上时：过点作， 则：， ∴， 又， ∴， ∴，即：点的纵坐标为， ∵点在直线上，当时，， ∴； 当点在轴正半轴上时：过点作， 同法可得：， ∴，即：点的纵坐标为， 当时，， ∴； 综上：或； （2）如图，过点作直线，过点作， ∵，点在直线上， ∴， 同（1）②法可得：， ∴， ∴点的横坐标为，即：点在直线上运动， 作点关于直线的对称点， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，为的长， ∵， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $