2025-2026学年人教版数学八年级上册寒假复习巩固题（五）

寒假复习巩固试题（五） 一、单选题 1．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国民间剪纸中分布最广、数量最大、最为普及的品种，是中国古老的传统民间艺术之一．下列窗花作品为轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．我国芯片技术已实现多项重大突破，其中最引人注目的是芯片工艺的量产，这一成就标志着中国在全球半导体领域的竞争力显著提升．已知，则用科学记数法表示是（   ） A． B． C． D． 3．若x，y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，是高，是中线．若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D．4 5．下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 6．小刚是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：济、爱、我、惠、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱美 B．惠济游 C．我爱惠济 D．美我惠济 7．阅读以下作图步骤：①以点O为圆心，适当的长度为半径画弧，分别交于点C，D；②分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M；③作射线，连接，如图．根据以上作图步骤，判断下列结论错误的是（   ） A．平分， B．， C．， D．， 8．如图，在中，，是边上的中线，，，垂足分别是，．下面给出四个结论：①平分；②；③上的点到，两点的距离相等；④连接，被垂直平分．其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 9．如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，的平分线交于点F．若，则的长与的度数分别是（   ） A．4， B．3， C．4， D．3， 10．如图，在四边形中，，，，，E，F是边上的两个动点，，连接．若，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C． D．6 11．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个长方形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（   ） A． B． C． D． 12．如图，△ABC的角平分线 CD、BE相交于F，∠A=90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG=2∠DCB；②CA平分∠BCG；③∠ADC=∠GCD；④∠DFB=∠CGE．其中正确的结论是（     ） A．只有①③ B．只有②④ C．只有①③④ D．①②③④ 二、填空题 13．“奥密克戎”病毒的直径为0.00000011米，0.00000011用科学记数法表示为 ． 14．已知等腰三角形的一边长等于，一边长，它的周长为 ． 15．若关于x的方程无解，则a的值是 ． 16．计算： ． 17．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类若干张，如果用A、B、C三类卡片拼成一个边长为（2a+3b）的正方形，则需要C类卡片 张． 18．如图，在等边中，于D，E是线段上一点，F是边上一点，且满足，连接，则下列五个结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的有 ．（填正确的序号） 三、解答题 19．先化简，再求值：，其中，． 20．如图，点E、F在上，，，．求证：．    21．如图，点C在线段上，平分交 于F．    (1)求证：； (2)若，则的度数为____________．（用a，β表示） 22．已知a、b、c分别是的三边． （1）分别将多项式，进行因式分解； （2）若，试判断的形状，并说明理由． 23．如图是6×8的小正方形构成的网格，每个小正方形的边长为1，的三个顶点A，B，C均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不写画法，保留作图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．    (1)在图1中，，作出的高，并直接写出的长为____________； (2)在图2中，在边上找到点D，使得； (3)在图3中，在内部找一点P，使得． 24．如图，在中，，为的角平分线．    (1)如图1，E为边上一点，若，求证： (2)如图2．，点P为延长线上一点， ① 猜想：比较大小_________（直接填“”或“”或“”） ② 试证明上述你的猜想． 25．（1）如图，在和中，，．且，B、D、E三点共线，与交于点F． ① 求证：； ② 如图2，若点G是中点，且，连接、，求证：； （2）若，，且，在直线上取一点D，使得，连，过A作，且，使直线和交于F，则____________．    26．如图，点，点，，且，若与x轴交于点H．    (1)求点C的坐标； (2)求点H的坐标； (3)如图2，过A作轴交于点M，连，试探究、和的数量关系并加以证明． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D D B C C B C C A 题号 11 12 答案 C C 1．A 本题考查了轴对称图形的识别；如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，据此逐项判断即可． 解：A、是轴对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 2．D 本题考查了科学记数法，理解“科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于时，n是正数；当原数的绝对值小于时，n是负数．”是解题的关键． 解：∵， ∴， 故选：D． 3．D 本题考查分式的基本性质，通过直接代入验证分式值是否不变即可． 解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意； 故选D． 4．B 本题考查三角形面积和中线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形面积公式． 根据三角形的中线性质得出，再由面积公式求解即可． 解：∵，是中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 5．C 本题考查整式的运算，根据幂的乘方，积的乘方，单项式乘以单项式，单项式除以单项式的法则，逐一进行判断即可． 解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选C． 6．C 本题主要考查了因式分解的应用．将多项式因式分解是解题的关键，注意因式分解要分解到每一个因式都不能再分解为止． 将所给的多项式因式分解，然后结合已知的密码确定出文字信息即可解答． 解：∵， 又∵分别对应下列四个字我，爱，惠，济 ∴结果呈现的密码信息是：我爱惠济． 故选：C． 7．B 本题主要考查了角平分线的作法，全等三角形的判定和性质，根据作图方法依次判断即可得到答案． 解：由作图方法可得平分，，， ∴， ∴A、C、D正确，不符合题意； 无法得出，符合题意； 故选：B． 8．C 由三线合一定理可得平分，，结合角平分线定义、三角形内角和定理可判断①；利用“”证明，由全等性质可判断②；由垂直平分线性质可得③；结合垂直平分线的判定定理与性质定理可判断④． 解：，是边上的中线， 平分，，， ， ，， ， ， 即平分，①正确； 平分，，， ， 在和中， ， ， ，②正确； ，是边上的中线， 即垂直平分， 上的点到，两点的距离相等，③正确； 连接交于点， ， ， 点在的垂直平分线上， ，， ， 即， 点在的垂直平分线上， 即是的垂直平分线， 则当且仅当时，被垂直平分， 根据已知条件无法证明，④错误． 综上，正确的结论有个． 故选：． 本题考查的知识点是三线合一、三角形内角和定理、角平分线性质定理、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质，解题关键是熟练掌握垂直平分线的判定与性质． 9．C 本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质定理和判定定理，线段垂直平分线的性质定理是解题的关键． 根据题意可得 为等腰三角形，再由线段垂直平分线的性质可得 是等腰三角形，从而得到，继而 ，则 是等腰三角形，，和是等腰三角形，再由等量代换即可求解． 解：∵，， ∴， ∵是的中垂线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵平分， ∴，且， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴． 故选C． 10．A 题目主要考查矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 根据矩形的判定得出四边形为矩形，确定，，，连接，再由全等三角形的判定和性质得出，，最后根据三角形三边关系即可求解． 解：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，， 连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为4， 故选：A． 11．C 此题考查了平方差公式与几何图形，根据两个正方形及长方形面积的计算公式即可得到答案． 解：解：根据图甲可得阴影面积为， 根据图乙可得阴影面积为， ∴可以验证等式， 故选：C． 12．C 根据平行线、角平分线、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案． 解：①∵EG//BC， ∴∠CEG＝∠ACB， 又∵CD是△ABC的角平分线， ∴∠CEG＝∠ACB＝2∠DCB，故本选项正确； ②无法证明CA平分∠BCG，故本选项错误； ③∵∠A＝90°， ∴∠ADC+∠ACD＝90°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD， ∴∠ADC+∠BCD＝90°． ∵EG∥BC，且CG⊥EG， ∴∠GCB＝90°，即∠GCD+∠BCD＝90°， ∴∠ADC＝∠GCD，故本选项正确； ④∵∠EBC+∠ACB＝∠AEB，∠DCB+∠ABC＝∠ADC， ∴∠AEB+∠ADC＝90°+（∠ABC+∠ACB）＝135°， ∴∠DFE＝360°﹣135°﹣90°＝135°， ∴∠DFB＝45°＝∠CGE，故本选项正确． 故正确的是①③④ 故选：C． 本题考查的是三角形内角和定理，熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键． 13． 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 解：； 故答案为： 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 14． 本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分等腰三角形的腰长为，等腰三角形的腰长为，两种情况结合构成三角形的条件进行求解即可． 解：当等腰三角形的腰长为时，则该等腰三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴该等腰三角形的周长为； 当等腰三角形的腰长为时，则该等腰三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴此时不能构成三角形； 综上所述，该等腰三角形的周长为， 故答案为：． 15．1或2/2或1 解：方程去分母，得：ax=4+x﹣2， 解得， ∴当a=1时，方程无解． 把x=2代入方程得：2a=4+2﹣2，解得：a=2． 综上所述，当a=1或2时，方程无解． 故答案为：1或2 16． 本题考查负指数幂，积的乘方及分式的乘除运算，先根据积的乘方去括号再进行单项式的乘除法，最后把结果转化为正整数指数幂的形式即可． 解： ． 故答案为：． 17．12． 根据面积关系可得（2a+3b）（2a+3b）＝4a2+12ab+9b2，再结合小纸片的面积进行分析. 边长为（2a+3b）的正方形的面积为（2a+3b）（2a+3b）＝4a2+12ab+9b2， A图形面积为a2，B图形面积为b2，C图形面积为ab， 则可知需要C类卡片12张． 故答案为12． 考核知识点：整式运算和面积关系.列式子表示关系是关键. 18．①②③⑤ 本题主要考查了等边三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，熟练掌握这些知识是解题的关键． ①连接，根据等边三角形的性质可得①符合题意；②证明，可得，结合，进一步可得②符合题意；③证明，可得，可得③符合题意；④可以由结论反向推理需要G是的中点才可以，但没有这个条件，故④不符合题意；⑤求解，进一步可得⑤符合题意． 解：如图，是等边三角形，连接， ∵，， 由条件可知，，故①符合题意； 由条件可知垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴，故②符合题意； 由条件可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故③符合题意； ∵，若，则， ∵，但点G未说明是的中点， 故④不符合题意； 由条件可知， ∵， ∴， ∴， ∴，故⑤符合题意． 故答案为：①②③⑤． 19．， 本题考查了运用完全平方公式进行运算，运用平方差公式进行运算，整式的混合运算，已知字母的值求代数式的值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用完全平方公式，平方差公式计算，再合并同类项，然后代入求值． 解： 当，时， 原式 ． 20．见解析 根据推出，进而即可证明． 解：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 本题主要考查全等三角形的判定，属于简单题，熟悉全等三角形的判定方法是解题关键． 21．(1)见解析 (2) （1）由，可得，证明即可； （2）由，可得，则，，由平分，可得，计算求解即可． （1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：． 本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，角平分线．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 22．（1），；（2）的形状是等腰三角形．理由见解析． （1）ac-bc利用提公因式法分解，-a2+2ab-b2先提出-1，再利用公式法分解； （2）根据已知条件得到含a、b、c的等式，再利用（1）中结论对等式进行因式分解，最后根据积为0的条件进行判断即可得解． （1） （2）∵ ∴ ∵a、b、c分别是的三边，满足两边之和大于第三边，即 ∴ 即 故的形状是等腰三角形． 本题考查因式分解与三角形的综合应用，熟练掌握等腰三角形的判定方法及因式分解的各种方法并灵活运用是解题关键． 23．(1)见解析， (2)见解析 (3)见解析 （1）取格点G，连接交于点G，点G即为所作，利用分割法求得的面积，据此求解即可； （2）取格点E，连接交于点D，点D即为所作，为等腰直角三角形，则； （3）取和与格线的交点，连接相交于点P，点P即为所作，点P为的重心，则． （1）解：的高如图所示，    ， ， ∴， 故答案为：； （2）解：点D如图所示，    （3）解：点P如图所示，    本题考查作图——应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形重心等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 24．(1)见解析 (2)①②见解析 （1）证明解题即可； （2）①；②在上取一点使得，连接，则有，由三角形任意两边之差小于第三边得解题即可． （1）证明:∵为的角平分线 ∴ ∵， ∴， 又∵ ∴ ∴ （2）① ②证明:在上取一点使得，连， 由得 ∵ ∴ ∴， 在中,由三角形任意两边之差小于第三边得， 故； ∵， ∴， ∴． 本题考查全等三角形的证明，构造全等三角形证明结论以及三角形三边关系． 25．（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）或或 （1）①利用“”易证，即可证明结论； ②延长至点，使得，连接，可证，得到，，进而得到，，从而证明，得到，即可证明结论； （2）点在直线上有两种情况：①点在线段上；②点在线段的延长线上，同时又存在两种情况，利用全等三角形的判定和性质，以及等腰直角三角形的性质分别求解，即可得到答案． （1）证明：①， ， ， 在和中， ， ， ； ②解：如图，延长至点，使得，连接，   点G是中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即； （2）①如图，点在线段上，此时，    当时，连接， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 当时， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； ②如图，点在线段的延长线上，此时，   ，， ， 当时，连接， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； 当时， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； 综上可知，或或， 故答案为：或或． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，利用分类讨论的思想，正确作辅助线构造全等三角形是解题关键． 26．(1)； (2)； (3)，证明见解析 （1）设点，根据坐标两点间的距离公式，得到，，，再利用已知条件和勾股定理列方程，求出、的值，即可得到点C的坐标； （2）利用待定系数法求出直线的解析式为，令，求出的值，即可得到点H的坐标； （3）先得到，再利用待定系数法，求出直线的解析式为，进而得到，再利用坐标两点间的距离公式，得出，，即可得到、和的数量关系． （1）解：设点， 点，点， ，，， ，且， ，， ， 整理得：， 得：， ， 将代入②，得：， 解得：或（舍）， ， 点C的坐标为； （2）解：设直线的解析式为， 点，， ，解得：， 直线的解析式为， 与x轴交于点H， 令，则，解得：， 点H的坐标为； （3）解：，证明如下： 点，点， ， 设直线的解析式为， 点，， ，解得：， 直线的解析式为， 过A作轴交于点M， 点在上，且横坐标为2， 点M的纵坐标为， ， ，， ， 即． 本题考查了坐标两点间的距离公式，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $