2025-2026学年人教版数学八年级上册寒假复习巩固题（四）

寒假复习巩固试题（四） 一、单选题 1．下列是北京大学、中国科学院大学、中国药科大学和中南大学的标志性图案，其中是轴对称图形的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．若是分式，则□可以是（   ） A． B．2025 C．0 D． 3．下列图形中，作的边上的高，正确的是（    ） A．B． C．D． 4．甲型流感病毒的颗粒近似为球形，其直径大约为．数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 5．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在△和△中，已知，还需添加两个条件才能使△≌△，不能添加的一组条件是（    ）． A．， B．， C．， D．， 8．如图，点O是的重心．若阴影部分的面积的和是6，则的面积是（   ）    A．8 B．10 C．12 D．14 9．观察图中尺规作图的痕迹，下列说法正确的是（    ） A．作已知线段的垂直平分线 B．作一个角等于已知角 C．经过直线外一点作已知直线的垂线 D．作一个角的平分线 10．如图，在等边中，点D，E分别在上，且与相交于点F，则的度数为（    ） A． B． C． D． 11．随着人工智能的快速发展，某快递站使用机器人分拣小型包裹，其效率是人工分拣的4倍，且机器人分拣3200件小型包裹比人工分拣1600件小型包裹少用，则人工每小时分拣小型包裹的数量为（   ） A．200件 B．300件 C．400件 D．500件 12．数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，其中能够验证平方差公式的方案是（    ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 二、填空题 13．若，则 ． 14．已知，则的值为 ． 15．如图，于，且，，若，则 ． 16．如图，已知△ABC的面积为36，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝CD，CE＝2AE，AD与BE相交于点F，若△AEF的面积为3，则图中阴影部分的面积为 ． 17．若关于x的分式方程无解，则 ． 18．如图，是等边三角形，为边的中点，，为中线上的动点，则的最小值是 ． 三、解答题 19．计算： (1) (2) 20．因式分解： (1) (2) 21．先化简，再求值:(1﹣)÷，并在-1，0，1，2中选择一个适当的x值代入求值． 22．解分式方程：（1）；（2） 23．（1）画关于轴对称的图形，并写出的顶点坐标； （2）若方格的边长为1，则______． 24．如图，在和中，，，与相交于点O．求证：． 25．福州第十九中学科艺节前夕，学校决定购买，两种奖品，用于表彰在科艺节活动中表现突出的学生．已知奖品比奖品每件多15元，预算资金为1350元，其中450元购买奖品，其余资金购买奖品，且购买奖品的数量是奖品的3倍． (1)求，奖品的单价； (2)学校计划用不超过765元的总费用购买，两种奖品共20个，且购买奖品的数量多于购买奖品数量的，学校应如何进行购买． 26．（1）问题发现：如图1，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接． ①的度数为______； ②线段、之间的数量关系为______． （2）拓展探究：如图2，和都是等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出的度数． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B C D D C C C B 题号 11 12 答案 C B 1．B 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 解：左起第二、四两个图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 第一、三两个图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 故选：B． 此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置． 2．D 本题主要查了分式，根据形如，都是整式，其中中含有字母，这样的式子叫做分式，进行判断即可． 解：∵是分式， 则观察四个选项，满足条件的□是， 故选：D 3．B 本题考查了三角板作三角形高的基本操作方法，解决本题的关键在于理解如何利用三角板的直角边确保所作的高与底边垂直． 作的边上的高，需由点A向边上做垂线，由此判断选项即可． 解：A选项，需由点A向边上做垂线，故A错误； B选项，是点A向边上做垂线，故B正确； C选项，是的边上的高，故C错误； D选项，是的边上的高，故D错误． 故选：B ． 4．C 此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数． 解：． 故选：C． 5．D 本题主要考查了单项式乘以单项式，合并同类项，积的乘方，同底数幂除法，熟知相关计算法则是解题的关键．根据运算法则逐一计算验证即可． 解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 6．D 本题主要考查三角形外角的性质，由题意可得，再代入计算即可． 解：根据三角形外角性质，， ， ． 故选：D． 7．C 直接利用全等三角形的四组判断方法逐项判断即可． 解：∵CB=CE. ∴当，时，满足SAS，可证△≌△，故A不符合题意； 当，时，满足SSS，可证△≌△，故B不符合题意； 当，时，满足是ASS，不能证明△≌△，故C符合题意； 当，时，满足AAS，可证△≌△，故D不符合题意． 故选C． 本题主要考查全等三角形的判定方法，灵活运用全等三角形的判定方法（SSS、SAS、ASA，AAS）是解答本题的关键． 8．C 本题考查了三角形重心，三角形中线平分面积的知识．三角形的重心：是三角形三条中线的交点，由此得到是的中线，根据三角形中线平分三角形面积得到，再根据阴影部分面积和为 6即可求解． 解：∵是的重心， ∴是的中线，即点分别是的中点， ∴是的中线， ， ， ． 故选：C． 9．C 此题主要考查了基本作图，正确把握作图方法是解题关键． 根据过直线外一点作已知直线的垂线的作法进而判断得出答案． 由作图痕迹可知，该作法为过直线外一点作已知直线的垂线． 故选：C． 10．B 本题主要考查等边三角形的性质，三角形外角性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是关键． 根据题意，可证，得到，再根据三角形外角性质计算即可． 等边中，， 又， ， ． ． 故选：B． 11．C 本题考查分式方程的实际应用，设人工每小时分拣x件包裹，则每小时分拣件包裹，根据分拣3200件比人工分拣1600件少用的时间差关系列方程求解． 解：设人工每小时分拣x件包裹，则每小时分拣件包裹， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 因此，人工每小时分拣400件包裹． 故选：C． 12．B 本题考查平方差公式的几何背景，用代数式表示拼接前后的面积是得出答案的前提．针对每一种拼法，利用代数式表示拼接前、后的面积，适当化简或变形可得答案． 解：在方案①中，左边的图形阴影部分的面积，右边图形中阴影部分的面积， 故可得：，可以验证平方差公式； 在方案②中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积，右边阴影部分面积， 可得：，可以验证平方差公式； 在方案③中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积，右边阴影部分面积， 可得：，不可以验证平方差公式． 故选：B． 13． 本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，熟记性质并灵活运用是解题的关键，要注意整体思想的利用．将看作一个整体并求出其值，然后逆运用同底数幂相乘，底数不变指数相加进行计算即可得解． 解：∵， ∴， ∴． 故答案为：81． 14． 本题主要考查了整式的混合运算以及代数式求值，熟练掌握多项式乘法法则以及整体代入法是解题的关键．先对进行化简，然后将已知条件，代入化简后的式子进行计算．解题思路是先展开式子，再通过变形将式子转化为含有与的形式，最后代入求值． 解： 又∵，，将其代入上式可得： 故答案为：． 15． 此题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，利用等腰三角形三线合一的性质得到，，再证明，得到． 解：过点A作于点H， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为． 16．9 连接CF，由△AEF与△CEF等高，CE=2AE，可得到S△CEF=6．又因为△ABD与△ACD同底等高，故可得S△ABD=S△ACD=S△ABC=18，从而S△CFD=18-3-6=9，又△BFD与△CFD同底等高，则S△BFD=9，即得答案． 解：连接CF，如图所示． ∵△AEF与△CEF等高，CE=2AE， ∴S△CEF=2S△AEF=2×3=6， 又∵S△ABC=36，BD=CD， ∴S△ABD=S△ACD=S△ABC=18， ∴S△CFD=18-3-6=9， 又∵△BFD与△CFD同底等高， 故S△BFD=S△CFD=9， 即阴影部分面积为9， 故答案为：9． 本题考查了三角形面积的计算，涉及三角形中线的性质，当两个三角形等高时，面积比即为底之乡比、同底等高时，面积即相等等知识点，作出正确的辅助线是解此题的关键． 17．2 先去分母，将原方程化为整式方程，根据一元一次方程无解的条件看能否得出一类a值，再根据分式方程无解的条件看能否得出另外一类a值即可． 解：， 去分母得：， 整理得：， 由于此方程未知数的系数是1不为0，故无论a取何值时，都有解，故此情形下无符合题意的a值； 由分式方程无解即有增根，可得2x﹣4＝0，得x=2 把x＝2代入， 解得：a＝2，故此情形下符合题意的a值为2； 综上，若要关于x的分式方程无解，a的值为2． 故答案为： 2． 本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程及整式方程无解的条件是解题的关键． 18．12cm 本题考查等边三角形的性质，含的直角三角形，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 过点作于，过点作于．求出，再证明，根据垂线段最短，解决问题即可． 解：如图，过点作于，过点作于． 是等边三角形，， ，平分， ， ， ， ，， 根据面积法可得， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 19．(1) (2)3 本题主要考查整式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式先计算积的乘方和幂的乘方，以及单项式乘以单项式，最后合并即可； （2）原式先计算有理数的乘方，负整数指数幂和零指数幂，再计算除法，最后进行加减运算即可． （1）解： ； （2）解： ． 20．(1) (2) 本题主要考查了分解因式，熟练掌握分解因式的方法，是解题的关键． （1）先提公因式，然后根据完全平方公式，进行求解即可； （2）先提公因式，然后根据平方差公式，进行求解即可． （1）解： ； （2）解： ． 21．；x=2，值为1． 根据题意首先计算括号里面减法，再算括号外的除法，化简后，再确定x的值计算即可． 解：(1﹣)÷ = 将x=2代入可得. 本题主要考查分式的化简求值，关键是掌握分式的计算法则，正确把分式进行化简． 22．（1）x=-；（2）原分式方程无解． （1）方程两边都乘以（x-1）（x+2）化分式方程为整式方程，解整式方程求得x的值，再检验即可得； （2）方程两边都乘以（x+1）（x-1）化分式方程为整式方程，解整式方程求得x的值，再检验即可得． 解：（1）两边都乘以（x-1）（x+2），得：x（x-1）=2（x+2）+（x-1）（x+2）， 整理，得：4x+2=0， 解得：x=-， 经检验：x=-是原分式方程的解， 所以原分式方程的解为x=-； （2）两边都乘以（x+1）（x-1），得：（x+1）2-4=（x+1）（x-1）， 整理，得：2x-2=0， 解得：x=1， 检验：当x=1时，（x+1）（x-1）=0， ∴x=1是分式方程的增根， 则原分式方程无解． 本题主要考查解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． 23．（1）作图见解析，、、；（2）5 （1）找出点、、关于轴对称的点、、的位置，然后顺次连接，再根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可； （2）利用割补法求三角形的面积即可． （1）解：如图所示，即为所求． 其中、、． ∴的顶点坐标为：、、． （2）, 故答案为：5． 本题考查利用轴对称变换作图以及割补法求三角形的面积．画一个图形的轴对称图形时，先确定一些特殊点的对称点，一般的步骤是：（1）由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；（2）直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；（3）连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．熟练掌握平面直角坐标系并准确找出各点的位置是解题的关键． 24．证明见详解． 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点．掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据条件先利用证明，得出，再利用线段的和差，即可证明． 证明：， 和均为直角三角形， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 25．(1)奖品的单价为45元，则奖品的单价为30元． (2)共有三种方案， 方案一：购买奖品的数量为9件，则购买奖品的数量为11件； 方案二：购买奖品的数量为10件，则购买奖品的数量为10件； 方案三：购买奖品的数量为11件，则购买奖品的数量为9件； （1）设奖品的单价为元，则奖品的单价为元，已知预算资金为1350元，其中450元购买奖品，其余资金购买奖品，且购买奖品的数量是奖品的3倍， 列出分式方程，解方程即可； （2）设购买奖品的数量为件，则购买奖品的数量为件，根据题意：总费用不超过765元，且购买奖品的数量多于购买奖品数量的，列出一元一次不等式组，解不等式组即可； （1）设奖品的单价为元，则奖品的单价为元， 由题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， 当时，， 答：奖品的单价为45元，则奖品的单价为30元． （2）设购买奖品的数量为件，则购买奖品的数量为件， 由题意得： ， 解得：， 由题意可知：为整数， ∴可以取9、10、11， ∴共有三种方案， 方案一：购买奖品的数量为9件，则购买奖品的数量为11件； 方案二：购买奖品的数量为10件，则购买奖品的数量为10件； 方案三：购买奖品的数量为11件，则购买奖品的数量为9件； 本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用等知识，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出分式方程；（2）找出不等关系，列出一元一次不等式组． 26．（1）①，②；（2），，理由见解析；（3） 本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质是解题的关键． （1）①根据等边三角形的性质可得，证明，根据全等三角形的性质即可求解；②根据全等三角形的性质即可解答； （2）根据等腰直角三角形的性质可得，进而得到；，从而得，，由全等三角形的性质得出，，由角的和差关系即可求出．由是等腰直角三角形，为中边上的高，可得，进而即可得到结论； （3）由等腰三角形的性质得：，结合和是等腰三角形，即可得到答案 解：（1）①∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴； ② ∵， ∴；                （2），，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形，为中边上的高， ， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ∴ ∴，， ∴，． ∴． （3）∵是等腰三角形，， ∴， ∴， 同（1）可得：， ∴， ∴， ∵是等腰三角形，， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $