第二十八章 锐角三角函数 章末综合达标题 2025-2026学年人教版数学九年级下册

第二十八章 锐角三角函数 一、单选题 1．在中，，设，，所对的边分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 2．在中，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．如果锐角A的余弦值为，下列关于锐角A的取值范围的说法中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．在直角坐标平面内有一点，那么射线与轴正半轴的夹角的正弦值等于（） A． B． C． D． 5．如果一传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从传送带最低处送到离地面3米高的处，那么物体从到所经过的路程是（    ） A．9米 B．米 C．米 D．米 6．小明带妹妹玩秋千，当秋千停止不动时，踏板与地面的距离米．小明推了一把，秋千旋转到位置，踏板与地面的距离米．已知，则秋千顶O与地面距离（   ）米 A．4.3 B．4.1 C．4 D．3.8 7．在中，若，则的值是（    ） A． B． C．或 D． 8．在的网格中，点A，B，C均是网格线的交点，则（　　） A． B． C．2 D． 9．如下图所示，在矩形中，于点，设，且，，则的长为（    ）    A．3 B． C． D． 10．如图，、分别与相切于点A、B，连接并延长与⊙O交于点C、D，若，，则的值为（  ）    A． B． C． D． 11．如图，在观测站处测得船和灯塔分别位于正东方向和北偏东方向，灯塔位于船的北偏东方向海里处，若船向正东航行，则船离灯塔的最近距离是（   ） A．海里 B．海里 C．海里 D．4海里 12．如图，在平面直角坐标系中，，，连结，将线段绕着原点O逆时针方向旋转得到对应线段，若点恰好落在y轴上，则点到y轴的距离为（   ） A．3 B．4 C．4.8 D．5 二、填空题 13．中，，，，则 ． 14．如图，渔船向东航行，8点到达O处，看到灯塔A在其北偏东方向，距离12海里，10点到达B处，看到该灯塔在其正北方向，则渔船每小时航行 海里．    15．已知α、β均为锐角，且满足+=0，则α+β= ． 16．如图，把一个长方形卡片放在每行宽度为的横线纸中，恰好四个顶点都在横线上，已知，则的长约为 （参考数据：）． 17．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，在计算时，如图，，，，延长至点，使，连接，得，．类比这种方法得 ． 三、解答题 18．计算： 19．如图，已知是的直径，切圆O于A，交圆O于D，，，求的值． 20．在一次数学综合实践活动中，小华想要测量城门大楼的高度．如图，小华在点B处测得楼顶A的仰角为，然后前进18米到达点C处，再登上3米高的楼台D处，并测得此时楼顶A的仰角为，已知，，点B、C、F在同一条直线上，求城门大楼的高度约为多少米．（结果保留整数，参考数据：，，） 21．如图，在中，，，．点D是边的中点，过点D作的垂线，与边相交于点E． (1)求线段的长； (2)求的值． 22．龙门石窟被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”．它坐落在龙门山突然断裂的“伊阙”上，伊河横流，把山分成东西两座．资料显示，西山山顶A比河谷高出116米；东山又名香山，山顶D比河谷高出166米，小明游玩西山石窟后，渡河从B到C，然后沿坡度是1：0.75的登上东山山顶，俯瞰西山山顶A的俯角为．已知，量得西山的坡角是76°，求河宽．（参考数据：，，） 23．一副三角尺由两块直角三角尺组成，其中一块是含角的直角三角形，另一块是含角的直角三角形．用这两块三角尺可以拼成一个四边形（如图），设． (1)用含的代数式直接表示： ． (2)求的正切值． 24．某数学兴趣小组为测量一座古塔的高度（假定该塔与地面垂直），他们在与塔底B在同一水平线上的C处测得塔顶A的仰角为，然后沿斜坡前行到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，，且点A，B，C，D，E在同一平面内． (1)求点D到直线的距离； (2)求古塔的高度． 25．北滨路延伸段建设是我区的重大民生项目，在建设过程中十分重视便民利民．如图，四边形区域是规划的休闲公园，其中四周是人行步道，对角线、为两条自行车道，点B为公园入口．经测量，点A在点B的正东方向，同时点A在点D的南偏东方向，点C在点D的南偏西方向，点C在点A的北偏西方向，若米．（参考数据：，，） (1)求自行车道的长．（结果保留小数点后一位） (2)测得，小明从A地以60米/分钟的速度步行前往B地，小明出发2分钟后，小刚以小明步行速度的3倍骑自行车从D出发赶往B地给小明送东西，问他们谁先到达B地，通过计算说明先到达多长时间？（结果保留小数点后两位） 26．如图是某地下车库的剖面图，某综合实践小组将无人机放在坡道起点A处，让无人机飞到点处，与底板平行，测得米，此时在点处又测得坡道上的点的俯角为．接着让无人机飞到点处，，与底板平行，测得米． (1)求坡道的坡度； (2)已知地面、地下车库的顶板都与底板平行且它们到底板的距离相等，无人机从点飞到点处，，测得米，此时在点处测得点的俯角为，在不考虑其他因素的前提下，有一辆高度为3米的货车能否进入该地下车库？请说明理由． （参考数据：，，） 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C A D A C B D B 题号 11 12 答案 A C 1．C 本题考查了解直角三角形的相关计算，解题的关键在于正确掌握正弦、余弦、正切的定义．根据题意画出草图，结合正弦、余弦、正切的定义逐项判断，即可解题． 解：由题意，可画图如下： A、，选项结论错误，不符合题意； B、，选项结论错误，不符合题意； C、，选项结论正确，符合题意； D、，选项结论错误，不符合题意； 故选：C． 2．C 本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键．由得，求出，进而可求出． 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选C． 3．C 本题考查的是锐角三角函数的定义，熟知锐角三角函数的余弦函数值随角增大而减小是解答此题的关键．先求出，及的近似值，然后得出结论即可． 解：，，， 又∵，余弦函数随角增大而减小，且， ∴． 故选：C． 4．A 此题考查直角三角形的边角关系、勾股定理，通过作辅助线构造直角三角形是解决问题的关键．构造直角三角形，由坐标得出线段的长，再根据勾股定理求出斜边的长，根据余弦的意义求出结果即可． 解：过点作轴，垂足为， 在中，由题意得：， ， ，， ， ， 故选：A． 5．D 本题主要考查解直角三角形的实际应用，勾股定理，解决问题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形． 过点B作于点C，构造直角，利用坡度的定义求出，再根据勾股定理求出的长即可． 解：过点B作于点C， ∵传送带和地面所成斜坡的坡度为， ∴ ， ∴米， 在中，，由勾股定理得米 ， 故选：D． 6．A 本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，根据题意可得：米，然后在中，利用锐角三角函数的定义可设米，则米，从而利用勾股定理可得（米），最后根据，利用关于的方程，进行计算即可解答． 解：过点作，垂足为， 由题意得：米， 在中，， ∴设米，则米， 米， ， ， ， 解得：， 米， 米， ∴秋千顶与地面距离为4.3米， 故选：A． 7．C 本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，分类讨论是解题的关键．分当时和当时两种情况求解即可． 解：当时， ∴； 当时， ， ∴． 故选C． 8．B 本题考查了解直角三角形，勾股定理的逆定理．连接，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 解：连接， 由题意得：，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 在中，，， ∴， 故选：B． 9．D 本题考查了矩形的性质，锐角三角函数的定义．根据同角的余角相等求出，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出即可． 解：， ， ， ， ∵矩形中，， ， ， ， ， 故选：D． 10．B 本题考查圆的切线性质，勾股定理，锐角三角函数，圆周角定理，掌握圆的切线性质，锐角三角函数是解题关键．连接、，根据切线的性质得到，，根据切线长定理得到，证明，根据勾股定理求出，再根据正弦的定义计算即可． 解：如图，连接、，    ∵、分别与⊙O相切于点A、B， ∴，，， ∴， ∴由圆周角定理得：，， ∴ 在中，，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 11．A 本题考查了解直角三角形的应用——方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 作于D，则船A离灯塔B的最近距离是的长．作于E．解直角，求出．解直角，求出，那么．再解直角，得出． 解：如图， 作于D，则船A离灯塔B的最近距离是的长．作于E． ，． 在直角中， ，， . . ，， ． 在直角中， ，， ． ． 在直角中， ，， ． 故选：A． 12．C 本题主要考查了坐标与图形．熟练掌握旋转性质，勾股定理，锐角三角函数定义，是解题的关键． 如图，连接，过点作轴于点H，过点B作于点T．求出，，得，，根据，得，即得结论． 解：如图，连接，过点作轴于点H，过点B作于点T， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由旋转知，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 13．/60度 由，从而可得答案． 解：如图，，，， ∴，， ∴， ∴； 故答案为： 本题考查的是利用锐角三角函数求解锐角的大小，熟记锐角的正切的含义是解本题的关键． 14． 利用锐角三角函数求出的长，利用路程除以时间求出速度即可． 解：由题意，得：海里， ∴海里； ∴渔船每小时航行海里； 故答案为：． 本题考查解直角三角形的应用．熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键． 15．75°/75度 根据非负数的性质得到sinα=，tanβ=1，利用特殊角的三角函数值分别求出α、β，计算即可． 由已知得sinα－=0，tanβ－1=0， ∴α=30°，β=45°， ∴α+β=75°． 本题考查的是特殊角的三角函数值、非负数的性质，掌握绝对值和算术平方根的非负性是解题的关键． 16． 本题考查了矩形的性质、锐角三角函数、解直角三角形等知识点，关键是熟练应用知识点解题；通过作辅助线构造直角三角形，利用锐角三角函数解直角三角形． 解：如图分别过作于，于， ∴， ∵每行宽度为的横线纸， ∴， ∵矩形中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17． 在中，，，作的角平分线，作，设，则，，根据，计算求解即可． 解：如图，在中，，，作的角平分线，作， ∴，， ∵， 设， ∴，， ∴， 故答案为：． 本题考查角平分线的性质定理，等腰直角三角形的性质，分母有理化，解直角三角形的相关计算，求角的正切值． 18． 本题主要考查了实数混合运算，根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂，二次根式性质，进行计算即可． 解： ． 19． 连接，求出，再证明即可求解． 解：连接， ∵是直径， ∴， ∴在中，， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴． 本题考查了圆周角定理，切线的性质，直径对的圆周角为直角，以及三角函数的知识，掌握圆的性质是解答本题的关键． 20．约13米 本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答的关键．先根据已知得到，米，再在中，利用正切定义得到，进而求解即可． 解：由题意，四边形是矩形， ∴米，， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，米，米，， 由得， 解得， ∴（米）， 答：城门大楼的高度约为13米． 21．(1) (2) 本题考查锐角三角函数、勾股定理，利用同角的锐角三角函数值相等是关键． （1)由勾股定理求出，再根据斜边上的中线求出，，由余弦定理求出; （2)作交于H，在直角三角形中由勾股定理求出长，从而求出的正弦值． （1）解：在中，， ∵点D是边的中点， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴在中，． ∴． （2）解：过点E作，垂足为点H． ∵在中，，， ∴． 在中，， ∵， ∴． ∴． ∵在中，， ∴． ∴． ∴在中，． 22．河宽等于246.5米 本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过作于E，于H，过D作于F，由，坡度是1：0.75，西山的坡角是76°分别解三角形得到，，，再利用线段的和差计算即可得到河宽． 解：如图，过作于E，于H，过D作于F， 则米，米，      ∴米     ∵， ∴米     ∵坡度是1：0.75， ∴米，     ∵ ∴米．     ∴（米）     即河宽等于246.5米． 23．(1) (2) 本题主要考查了解直角三角形、等腰直角三角形的判定与性质，熟知三角函数的定义及等腰直角三角形的性质是解题的关键． （1）先用表示出的长，再进一步表示出长即可； （2）过点作的垂线，垂足为，用分别表示出及的长，再结合的长及正切的定义即可解决问题． （1）解：在中，，则， ∴， 在中，，则， ∴． 故答案为：； （2）解：过点作的垂线，垂足为，如图所示： ∵，且是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 在中，， ∴， ∴． 在中，． 24．(1)点D到直线的距离为 (2)古塔的高度是 本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）过点D作于点M，解直角三角形求出即可； （2）证明，在中，解直角三角形求出，再在中求出即可． （1）解：过点D作于点M， ∵斜坡的斜面坡度， ∴， ∴， ∴． 即点D到直线的距离为； （2）解：由（1）知，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 答：古塔的高度是． 25．(1)米 (2)小明先到达，先到达分钟． 本题主要考查了解直角三角形的应用、方位角、直角三角形的性质等知识点，将实际问题转化为三角函数问题是解题的关键． （1）由题意可得：，，即，如图：过D作，先说明，解直角三角形可得，再说明，可得，最后根据线段的和差即可解答； （2）先解直角三角形得到米，再说明，解直角三角形得到，，即；然后分别求得小明、小刚所用时间，然后作差比较即可． （1）解：由题意可得：，，即， 如图：过D作， ∵， ∴，米，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴米 （2）解：由题意可得：， ∴， ∵米， ∴米， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵小明从A地以60米/分钟的速度步行前往B地，小明出发2分钟后，小刚以小明骑自行车以180米/分钟从D出发赶往B地， ∴小明用时：分钟；小刚共用时：分钟， ∵， ∴小明先到达，先到达分钟． 26．(1) (2)该货车能进入该地下车库，理由见解析 本题主要考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形是解题的关键． （1）由题意得：，，如图：过点作于点，易证四边形是矩形，则、；然后在和中解直角三角形即可解答； （2）由题意得：，再在中解直角三角形可得，如图：过点作于点，根据勾股定理和解直角三角形可得，设，则，则，解得，进而求得，最后与3米比较即可解答． （1）解：由题意得：， 如图：过点作于点， ∴ ∴四边形是矩形． ∴， 在中，， ∴  解得：． ∴ 在中，， ∴， ∴． （2）解：由题意得： 在中，，，， ∴， 如图：过点作于点， 在中，，，， 设，则， ∴，解得 ∴， ∵  即该货车能进入该地下车库． 学科网（北京）股份有限公司 $