28.2.2 应用举例 过关练 2025-2026学年人教版数学九年级下册

28.2.2 应用举例 一、单选题 1．如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA等于（　　） A．100sin35°米 B．100sin55°米 C．100tan35°米 D．100tan55°米 2．如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道(B，C在同一水平面上)，为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升200米到达A处，在A处观察B地的俯角为α，则B，C两地之间的距离为(　　) A．米 B．米 C．米 D．米 3．如图，一架无人机航拍过程中在C处测得地面上A，B两个目标点的俯角分别为30°和60°．若A，B两个目标点之间的距离是120米，则此时无人机与目标点A之间的距离（即AC的长）为（   ） A．120米 B．米 C．60米 D．米 4．如图中是抛物线形拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m，从O、A两处观测P处，仰角分别为α、β，且tanα=，tanβ=，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系.若水面上升1m，水面宽为（   ）      A． B． C． D． 5．如图，一艘轮船在处测得灯塔位于其北偏东方向上，轮船沿正东方向航行30海里到达处后，此时测得灯塔位于其北偏东方向上，此时轮船与灯塔的距离是( ) A．海里 B．30海里 C．45海里 D．海里 6．如图，一辆小车沿倾斜角为的斜坡向上行驶13米，已知，则小车上升的高度是（ ） A．5米 B．6米 C．6.5米 D．12米 7．如图，在坡度为的山坡上种树，如果相邻两树之间的水平距离是4米，那么斜坡上相邻两树的坡面距离是（    ） A．米 B．米 C．4米 D．米 8．如图，某水渠的横断面是等腰梯形，已知其斜坡AD的坡度为1：1.2，斜坡BC的坡度为1：0.8，现测得放水前的水面宽EF为3.8米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH为6米．则放水后水面上升的高度是（　　）米． A．1.2 B．1.1 C．0.8 D．2.2 9．一人乘雪橇沿坡度为1：的斜坡滑下，滑下距离S（米）与时间t（秒）之间的关系为S=10t+2t2，若滑动时间为4秒，则他下降的垂直高度为（　　） A．72米 B．36米 C．米 D．米 10．小明想测一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为16米，坡面上的影长为8米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（    ） A．米 B．24米 C．米 D．20米 二、填空题 11．已知一条斜坡的长度是10米，高度是6米，那么坡角的角度约为 ． （备用数据tan31° = cot59°≈0.6， sin37° = cos 53°≈0.6) 12．如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2，物体从地面沿着该斜坡前进了5米，那么物体离地面的高度为 ． 13．如图，斜坡AB的长为200米，其坡角为45°．现把它改成坡角为30°的斜坡AD，那么BD＝ 米．（结果保留根号） 14．坡角为的坡面的坡度为 15．如图，小明在楼AB顶部的点A处测得楼前一棵树CD的顶端C的俯角为37°，已知楼AB高为18m，楼与树的水平距离BD为8.5m，则树CD的高约为 m（精确到0.1m）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 16．如图所示，河坝横断面迎水坡的坡比为1∶2（坡比是坡面的铅直高度与水平宽度之比），坝高，则坡面的长度是 m． 三、解答题 17．如图，⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于E、F两点，连结DE，已知∠B=30°，⊙O的半径为12，弧DE的长度为4π． （1）求证：DE∥BC； （2）若AF=CE，求线段BC的长度． 18．如图，某翼装飞行员从离水平地面高AC=500m的A处出发，沿着俯角为15°的方向，直线滑行1600米到达D点，然后打开降落伞以75°的俯角降落到地面上的B点．求他飞行的水平距离BC（结果精确到1m）． 19．如图，海中有一灯塔C，它的周围11海里内有暗礁．一渔船以18海里/时的速度由西向东航行，在A点测得灯塔C位于北偏东60°的方向上，航行40分钟到达B点，此时测得灯塔C位于北偏东30°的方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？ 20．如图，小明从点A出发，沿着坡度为为α的斜坡向上走了0.65千米到达点B，sinα=，然后又沿着坡度为i=1：4的斜坡向上走了1千米达到点C．问小明从A点到点C上升的高度CD是多少千米（结果保留根号）？ 21．九（1）班同学在上学期的社会实践活动中，对学校旁边的山坡护墙和旗杆进行了测量． (1)如图1，第一小组用一根木条斜靠在护墙上，使得与的长度相等，如果测量得到，求护墙与地面的倾斜角α的度数． (2)如图2，第二小组用皮尺量的为16米（E为护墙上的端点），的中点离地面的高度为米，请你求出E点离地面的高度． (3)如图3，第三小组利用第一、第二小组的结果，来测量护墙上旗杆的高度，在点P测得旗杆顶端A的仰角为，向前走4米到达Q点，测得A的仰角为，求旗杆的高度（精确到米）． 备用数据：． 22．（2014湖南怀化）两个城镇A、B与两条公路ME、MF位置如图所示，其中ME是东西方向的公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离相等，到两条公路ME、MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部． （1）那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）； （2）设AB的垂直平分线交ME于点N，且km，在M处测得点C位于点M的北偏东60°方向，在N处测得点C位于点N的北偏西45°方向，求点C到公路ME的距离． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B A B A B B B A 1．C 根据正切函数可求小河宽PA的长度． 解：∵PA⊥PB，PC=100米，∠PCA=35°， ∴小河宽PA=PCtan∠PCA=100tan35°米． 故选C． 2．D 根据正切的定义解答即可． 由题意得，∠B=， 在Rt△ACB中，tanB=， 则BC=米， 故选D． 3．B 设CE＝x米，根据正切的定义用x分别表示出AE、BE，根据题意列方程，解方程得到答案． 解：设CE＝x米， 在Rt△ACE中，tan∠CAE＝， 则AE＝， 在Rt△BCE中，tan∠CBE＝， 则BE＝， 由题意得，， 解得，x＝60，即CE＝60， 则AC＝2CE＝120（米） 故选B． 4．A 分析：求出OB，PB的长得到点P的坐标，从而求出抛物线的解析式，再把y＝1代入抛物线的解析式中求横坐标，横坐标的差即是所要求的结果. 详解：设AB＝2b，则PB＝3b，OB＝6b， 所以OA＝8b，则8b＝4，所以b＝， 所以OB＝，PB＝，则P(，). 设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)， 把x＝，y＝代入得×(－4)a，解得x＝2±， 所以水面上升1m后的宽为2＋－(2－)＝. 故选A. 5．B 试题分析：作CD⊥AB，垂足为D．构建直角三角形后，根据30°的角对的直角边是斜边的一半，求出BP． 作BD⊥AP，垂足为D ． 根据题意，得∠BAD=30°，BD=15海里， ∴∠PBD=60°，则∠DPB=30°，BP=15×2=30（海里）， 故选B． 6．A 解：如图AC=13，作CB⊥AB， ∵cosα=， ∴AB=12， ∴BC==5， ∴小车上升的高度是5m． 故选A． 7．B 根据坡度的概念求出BC，根据勾股定理计算，得到答案． 解：如图，构造直角三角形，在中， 由题意可知，， ∵米， 米， 由勾股定理得：（米）. 故选：B. 8．B 解：过点E作EM⊥GH于点M，过点F作FN⊥GH于点N，可得四边形EFNM为矩形，则MN=EF，设ME=FN=x，在Rt△GME中，∵斜坡AD的坡度为1：1.2，∴ME：GM=1：1.2，∴GM=1.2x．在Rt△NHF中，∵斜坡BC的坡度为1：0.8，∴NF：NH=1：0.8，∴NH=0.8x，则GH=1.2x+0.8x+3.8=6，解得：x=1.1．故选B． 9．B 求滑下的距离，设出下降的高度，表示出水平高度，利用勾股定理即可求解. 当时，， 设此人下降的高度为米，过斜坡顶点向地面作垂线， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 解得. 故选：. 此题主要考查了坡角问题，理解坡比的意义，使用勾股定理，设未知数，列方程求解是解题关键. 10．A 延长AC交BF延长线于D点，则BD即为AB的影长，然后根据物长和影长的比值计算即可． 解：如图，延长AC交BF的延长线于点D，作于E. 在中，，米，米， 米， 在中，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，， 米， 米. 在中，米. 故选：A. 11．37°． 画出图形，设坡角为α，根据sinα=，可求得α的度数． 由题意，作出图形，设坡角为α， ∵sina= 即sina= 0.6 ∴a= 37° 故答案为: 37°. 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，解直角三角形. 12． 作BC⊥地面于点C，根据坡度的概念、勾股定理列式计算即可． 解：作BC⊥地面于点C， 设BC＝x米， ∵传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2， ∴AC＝2x米， 由勾股定理得，AC2＋BC2＝AB2，即（2x）2＋x2＝52， 解得，x＝(负值舍去)，即BC＝米， 故答案为：． 本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念是解题的关键． 13． 根据坡角为45°，求出AC，再根据∠ADC=30°，由三角函数的概念可求得DC的长,即可得到BC的长. ∵在直角三角形ACB中，斜边AB=200米，坡角为45° ∴AC=BC=×200=100， 在直角三角形ACD中,∠ADC=30°， ∴tan30°===， ∴DC= (米)； ∴BD=DC-BC=(米)； 故答案为 14．1 坡度=坡角的正切值． 解：∵tan=1 ∴坡角为的坡面的坡度为1 故答案为1 本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题关键是熟记坡度=坡角的正切值． 15．11.6 作CE⊥AB，垂足为E．在Rt△AEC中，AE=CE•tan37º=BD•tan37º≈8.5×0.75=6.375米；用AB-AE即可得到BE的长． 解：作CE⊥AB，垂足为E． 在Rt△AEC中，AE=CE•tan37º=BD•tan37º≈8.5×0.75=6.375米； BE=AB-AE≈18-6.375=11.625≈11.6米． 故答案为11.6． 16． 根据坡度的概念求出AC，根据勾股定理计算，得到答案． 解：∵河坝的横断面AB的坡比是1：2， ∴， ∵BC=3米， ∴AC=6米， 由勾股定理得：（米）， 故答案为：3． 本题考查的是坡度的概念、勾股定理，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键． 17．（1）证明见解析；（2）60. （1）证明：如图，连接OE、OD． ∵ 弧DE的长度为4π，⊙O的半径r＝12， ∴， ∴n＝60，即∠EOD＝60°． ∵OE＝OD，∴∠EDO＝60°， ∵AB与⊙O相切于点D， ∴∠ADO＝90°， ∴∠ADE＝30°， ∵∠B＝30°， ∴∠ADE＝∠B， ∴DE∥BC． （2）如图，作OG⊥AC于G，连接FO， ∴EG＝FG． ∵DE∥BC，∠C＝90°，∴∠FED＝90°， ∴FD是⊙O的直径， ∴， ∵∠A＝60°，ED＝12，∠AED＝90°， ∴， ， ∵∠FDA＝90°， ∴， ∴， ∵AF＝CE， ∴， ∴， ∴． 18．1575米. 如图，过点D作DE⊥AC，作DF⊥BC，垂足分别为E，F， ∵AC⊥BC，∴四边形ECFD是矩形， ∴EC＝DF． 在Rt△ADE中，∠ADE＝15°，AD＝1600． ∴AE＝AD·sin∠ADE＝1600sin15°， DE＝AD·cos∠ADE＝1600cos15°， ∵EC＝AC－AE，∴EC＝500－1600sin15°． 在Rt△DBF中，BF＝DF·tan∠FDB＝ECtan15°， ∴BC＝CF＋BF＝1600cos15°＋（500－1600sin15°）·tan15°≈1575． ∴运动员飞行的水平距离约为1575米． 19．继续向东航行，有触礁的危险． 过C作CD⊥AB延长线于点D，根据已知分别在Rt△CBD中，在Rt△ADC中用式子表示CD，从而求得CD的长，再与11作比较，若大于11则没有危险，否则有危险． 试题解析：如图，过C作CD⊥AB延长线于点D， 解： 易求AB=18×=12（海里）． 在Rt△CBD中，∠CBD=60°， 在Rt△ADC中，∠CAB=30°， ∵∠CBD=∠CAB+∠ACB=60° ∴∠ACB=∠CAB=30°， ∴BC=AB=12海里， 则CD=BC•sin∠CBD=BC•sin60°=BC， ∴CD=6（海里） ∵6＜11， ∴继续向东航行，有触礁的危险． 考点：解直角三角形的应用 -方向角问题． 20．． 试题分析：根据题意画出图形，构造直角三角形，进而利用锐角三角函数关系分别求出BF，CE的长，即可得出点C相对于起点A升高的高度． 试题解析：解：如答图所示，过点B作BF⊥AD于点F，过点C作CD⊥AD于点D， 由题意得：AB=0.65千米，BC=1千米， ∴sinα=.∴BF=0.65×=. ∵斜坡BC的坡度为：1：4，∴CE：BE=1：4. 设CE=x，则BE=4x， 由勾股定理得：，解得：x=. ∴CD=CE+DE=BF+CE=. 答：点C相对于起点A升高了千米． 考点：1.解直角三角形的应用（坡度坡角问题）；2.锐角三角函数定义；3.勾股定理；4.方程思想的应用． 21．(1) (2)米 (3)米 （1）根据等腰三角形的性质结合即可得出答案． （2）设的中点为M，过M作，垂足为点N，过点E作，垂足为点H，证明即可求出E点离地面的高度； （3）延长，交于点C，设，则，，根据，得出，求出x即可． （1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：如答图1，设的中点为M，过M作，垂足为点N，过点E作，垂足为点H， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴（米）． ∴E点离地面的高度是米． （3）解：如答图2，延长，交于点C， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． ∴（米）． 答；旗杆的高度是米． 本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 22．（1）答图如图见解析；（2）点C到公路ME的距离为2km． （1）到城镇A、B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，到两条公路距离相等的点在两条公路所夹角的角平分线上，分别作出垂直平分线与角平分线，它们的交点即为所求作的点C． （2）作CD⊥MN于点D，由题意得：∠CMN＝30°，∠CND＝45°，分别在Rt△CMD中和Rt△CND中，用CD表示出MD和ND的长，从而求得CD的长即可． （1）答图如图： （2）作CD⊥MN于点D， 由题意得：∠CMN＝30°，∠CND＝45°， ∵在Rt△CMD中，＝tan∠CMN， ∴MD＝＝； ∵在Rt△CND中，＝tan∠CNM， ∴ND＝＝CD； ∵MN＝2（+1）km， ∴MN＝MD+DN＝CD+CD＝2（+1）km， 解得：CD＝2km． 故点C到公路ME的距离为2km． 本题考查了解直角三角形的应用及尺规作图，正确的作出图形是解答本题的关键，难度不大． 学科网（北京）股份有限公司 $