28.2.1 解直角三角形 过关练 2025-2026学年人教版数学九年级下册

28.2.1 解直角三角形 一、单选题 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°， ， 则（   ） A． B． C． D． 2．若把一个直角三角形的两条直角边都扩大倍，（是大于的自然数），则两个锐角的三角函数值（    ） A．都变大为原来的倍 B．都缩小为原来的 C．不变化 D．各个函数值变化不一致 3．如图，为等腰直角三角形，，将绕点 A逆时针旋转75°，得到，过点作，交的延长线于点D，若，则的长为(     ) A． B． C． D． 4．如图，在正方形中，E是的中点，F是上一点，，则下列结论中正确的结论有（ ） ①；②；③；④图中有3对相似三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．在Rt△ABC中，，，则的三边、、之比：：为（　　） A．2：：3 B．1：： C．1：2：3 D．2：： 6．△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，如果，那么下列结论正确的是（    ） A．csinA＝ a B．b cosB＝c C．a tanA＝ b D．ctanB＝ b 7．如图，是斜边边上的高，，则（    ） A． B． C． D． 8．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（　　） A． B．﹣1 C． D． 二、填空题 9．若tanA＝，则∠A= ． 10．如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点O分斜边AB为BO：OA=1：，将△BOC绕C点顺时针方向旋转到△AQC的位置，则∠AQC= ． 11．如图，中，，，，现将绕点顺时针旋转至，交于点，则线段的长为 ． 12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，以点C为圆心，任意长为半径作弧，分别交CA，CB于点D，E，再以D，E为圆心，大于DE长为半径作弧，两弧相交于点F，连接CF并延长，交AB于点P，称点P为线段AB的白银分割点，若PB，则AP＝ ． 13．如图，已知在中，，，，点P是斜边上一点，过点P作交边于点M，过点P作的平行线，与过点M作的平行线交于点Q．如果直线，那么的长为 ．    14．如图，的顶点都在格点上， ．    三、解答题 15．如图，在△ABC中，∠B＝30°，tanC＝，AD⊥BC于点D．若AB＝8，求BC的长． 16．在中，，求． 17．在中，，，，的对边分别为，，，已知，求的正弦、余弦和正切值． 18．如图，在中，． (1)求的长； (2)延长至，使，连接，直接写出的值． 19．如图，在中，点E是中点．点F是中点．连接平分． (1)求证：四边形是菱形： (2)连接，与交于点O，连接．若，，求的长． 20．如图，在正方形网格中，的顶点均在格点上．请仅用无刻度直尺完成以下作图．    (1)在图1中，先作出的高，再在上画点D，使得． (2)在图2中，先作出的高，再在上画点E，使得． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C A C A A B B 1．B 根据题意利用三角函数的定义，定义成三角形的边的比值，进行分析计算即可求解． 解：在△ABC中，∠C=90°， ∵ 设BC=3x，则AC=4x， 根据勾股定理可得： ， 故选：B 本题主要考查三角函数的定义，注意掌握求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值． 2．C 若把一个直角三角形的两条直角边都扩大n倍，根据相似三角形的判定，可知这两个直角三角形相似，再由相似三角形的性质，得出对应角相等，根据锐角三角函数的定义，可知两个锐角的三角函数值不变． 解：若把一个直角三角形的两条直角边都扩大n倍，则这两个直角三角形相似，得到对应角相等，故两个锐角的三角函数值不变． 故选：C． 本题主要考查了相似三角形的判定、性质以及锐角三角函数的定义． 3．A 本题考查勾股定理，旋转的性质，含30°角直角三角形的性质， 根据题意可得：，根据旋转图形可得：，则，进而可得：2 解：在中，， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴ 故选A 4．C 本题考查正方形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的性质． 由题中条件可得，进而得出对应线段成比例，得到，根据点E是即可推出，故可判断结论①；由得到，根据，，可得，从而证得，因此，即可判断结论②；由题意易证与的三边不相等，即可判定结论③；综上可得，即可判断结论④． ∵四边形 是正方形， ∴，， ∴， ， ∴， ， ， ， ∴，即 是的中点， ∴， ， ∴ ∴ ∴，故①正确； ∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∵， ∴与不全等，故③错误； ∵，， ∴， ∴有3对相似三角形．故④正确． 综上所述，结论正确的有3个． 故选：C 5．A 利用余弦的定义得到，则可设，，利用勾股定理计算出，然后计算：：的值． ∵， ∴， 设，， ∴， ∴． 故选：A 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．合理使用勾股定理和锐角三角函数是解决问题的关键． 6．A 解：∵，∴根据勾股定理逆定理，得△ABC是直角三角形，且∠C=900． ∴根据锐角三角函数定义，有： ，∴ ，∴ ，∴ ，∴． ∴正确的是：csinA= a． 故选A． 7．B 本题考查求锐角三角函数，勾股定理， 根据勾股定理先求出，再证明，进而即可求解 解：在中， ∵在和中， ， 故选B. 8．B 作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，根据构造的直角三角形，设AC＝x，再用x表示出CD，即可求出tan22.5°的值. 解：作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，设AC＝x，则：BC＝x，AB＝，CD＝， 故选：B. 本题考查解直角三角形，解题的关键是根据阅读构造含45°的直角三角形，再作辅助线得到22.5°的直角三角形. 9．60° 根据特殊的三角函数值即可解题. 解：∵tanA＝， ∴∠A=60° 本题考查了特殊的三角函数值,属于简单题,熟记三角函数值是解题关键. 10．105°． 连接OQ，由旋转的性质可知：△AQC≌△BOC，从而推出∠OAQ=90°，∠OCQ=90°，再根据特殊直角三角形边的关系，分别求出∠AQO与∠OQC的值，可求出结果． 连接OQ， ∵AC=BC，∠ACB=90°， ∴∠BAC=∠B=45°， 由旋转的性质可知：△AQC≌△BOC， ∴AQ=BO，CQ=CO，∠QAC=∠B=45°，∠ACQ=∠BCO， ∴∠OAQ=∠BAC+∠CAQ=90°，∠OCQ=∠OCA+∠ACQ=∠OCA+∠BCO=90°， ∴∠OQC=45°， ∵BO：OA=1：， 设BO=1，OA=， ∴AQ=1，则tan∠AQO==， ∴∠AQO=60°， ∴∠AQC=105°． 故答案为105°． 11． 首先根据旋转不变形得到∠EBC=∠EBF=∠FBD=∠D=30°，设EF=x，则FB=FD=2x，ED=3x，在Rt△DEB中，利用边角关系列出有关x的方程求解即可． ∵∠A=30°,现将△ABC绕点B顺时针旋转30°至△DEB， ∴∠EBC=∠EBF=∠FBD=∠D=30°， ∴FB=FD ∵∠C=90°， ∴设EF=x，则FB=FD=2x， ∴ED=3x， ∵在RT△DEB中， cos∠D=,即： 解得：x= . 故答案为. 本题考查旋转的性质，解直角三角形.关键是找对已知边和恰当的三角函数. 12．1 过点作于点，证明出，再解直角三角形求出即可． 解：如图，过点作于点． 由作图可知平分， ，， ， ，， ， ， ， 故答案为：1． 本题考查应用与设计作图，角平分线的性质定理，解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 13． 如图，设．证明，根据，构建方程求解． 解：如图，设．    ∵， ， ∴四边形是平行四边形，， ∴， 在在中，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验是分式方程的解， ∴． 故答案为：． 本题考查直解直角三角形，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 14． 作于点，，求得、即可． 解：如图所示，作于， ，， ∴为等腰三角形， ∴， ∴．    故答案为：． 本题考查了等腰三角形三线合一，解直角三角形，正确构造直角三角形是解题关键． 15． 根据直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半可以求得AD的长，然后即可求得BD的长，再根据AD的长和tanC＝，可以求得CD的长，从而可以求得BC的长，本题得以解决． 解：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°． ∵在Rt△ADB中，∠B＝30°，AB＝8， ∴AD＝4，BD＝， ∵在Rt△ADC中，tanC＝，AD＝4， ∴CD=， ∴CD＝3． ∴BC＝BD+CD＝． 本题考查解直角三角形、勾股定理、含30°角的直角三角形，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 16． 根据∠A的正切值和BC的长度求解即可． 解：如图所示， ∵， ∴， 此题考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握解直角三角形的方法． 17．，， 根据即可求得和，的关系，即可解题． 解：， 或， ∴，，． 本题考查了直角三角形中三角函数的运用，考查了直角三角形中三角函数的计算，勾股定理，本题中求得各边的关系是解题的关键． 18．(1)6 (2) 本题考查了解直角三角形及勾股定理． （1）过A点作于D点，先根据求出的长，进而可知的长，再根据可求出的长，由此可得的长； （2）作于F点，先根据勾股定理求出的长，再根据求出的长，再根据勾股定理求出的长，即可求出的值． 熟练掌握三角函数的定义及用面积法求三角形的高是解题的关键． （1）解：过A点作于D点， 则， ， ， ． ， ， ． （2）解：作于F点， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ． 19．(1)见解析 (2) （1）根据四边形ABCD是平行四边形及F是AD中点，E是BC中点，可得四边形AECF是平行四边形，再根据EF平分∠AEC，易证得，则可得，继而证得结论； （2）过点O作于点G，由三角形面积公式可求的长，勾股定理可求，的长，的长即可求解. （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴， ∵F是AD中点，E是BC中点 ∴， ∴四边形AECF是平行四边形 ∵EF平分∠AEC ∴ ∵ ∴ ∴ ∴四边形AECF是菱形 （2）解：∵四边形AECF是菱形 ∴，， ∵，， ∴ ∴， 过点O作于点G， ∵， 即 ∴， ∵ ∴， ∴ 本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理的应用，解直角三角形，三角形面积公式的应用，解题的关键是熟练掌握各知识点，作出辅助线，用好数形结合的思想. 20．(1)见详解 (2)见详解 （1）由题意可得，，确定的中点，即可求解，由可得，即可求解； （2）根据题意，找到相应的格点，作出对应的线段即可求解． （1）解：如图，以及点，即为所求，    （2）解：如图，以及点即为所求，    此题考查了网格作图，涉及了相似三角形的性质，三角函数的定义等内容，解题的关键是根据题意，找到相应的格点，作出对应的线段． 学科网（北京）股份有限公司 $