28.1 锐角三角函数（第2课时 余弦和正切）过关练 2025-2026学年人教版数学九年级下册

28.1锐角三角函数 一、单选题 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5,AC=4,则c0sB=() c D.3 4 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=3,AB=5,则∠B的正切值为() R c.5 3 D 3.如图，ABC的顶点是正方形网格的格点（网格线的交点），则tanB的值为() A.月 B.1 C.V10 D. 10 5 4.如图，小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处，再向正北方向走到C处，己知 ∠BAC=a,则A,C两处相距() 桃 a A A. a米 B.x米 C.x“sina米 D.x“cosa米 cosa 5.如图，在ABC中，BC=4,AC=5,AB=6,矩形DEFG的一边DE在AB上，其余 两个顶点分别在边BC,AC上.设AD=a,BE=b,当AD长度变化时，下列代数式的值 为定值的是() O A.4a 5b B.a-b -a 54 C.- D. 6.如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥AB,BD⊥AD,CD∥AB,且BD=3, cos∠CDB=3 ,则下底AB的长是() NB A.21 B.95 D.15 5 4 7.如图，在ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,AD=2BD,下列说法：① CD:=BD:4D,②AC=5,@amA=5,④cos∠BCD=5 ,其中正确的个数是() BC 2 D A.1 B.2 C.3 D.4 8.如图，是用12个相似的直角三角形（点O的对应点是点O)组成的图案，若AB=1,则 0C的长是() G B E A.1 B.5 C.2 D.4v3 3 二、填空题 △4BC中，LC=90°，AB=10,osA:那么直角边4 10.如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，点A、B、C都是格点，则cosLABC的值 为_ 11.如图，由边长为2的小正方形组成的网格中，点A,B,C都在格点上，以AB为直径的 圆经过点C和点D,则tanZADC=一 D 2,知在R0ABC中，∠C=90.BC=2.anAC)则4AB的长为 13.如图，在ABC中，AD是边BC上的高，BC=17,AD=9,cOs∠BAD= 5，则线段 CD长为 14.如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，正方形EFGH的顶点G、H都 在边AD上，若AB=4,BC=5,则tanZDAF的值为_ H GD E B 15.如图，在矩形ABCD中，AB=8,AD=6,点E在AB上，BE=2,点F在BD上， tan∠AEF=3,则EF= D 三、解答题 1 16.己知，Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= 2,求sinA、cosA、sinB、cosB. 17.如图，在ABC中，CD是边AB上的中线，∠A和∠B都是锐角且snB=5 5 1 anA=3′BC=5. B (1)求AB的长： (2)求tan∠CDB的值. 18.如图，在ABC中，CD⊥AB于点D,AD=BC=26,tanA= 12 13 A D B (I)求CD的长： (2)求ABC的面积. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 8 答案 A B B D C D 1.A 本题考查了勾股定理，余弦值的计算，掌握余弦的计算方法是解题的关键。 根据题意运用勾股定理可得BC=3,由c05B=BC即可求解. AB 解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5,AC=4, .BC=VAB2-AC2=V52-42=3, BC 3 .cos B= AB5’ 故选：A. 2.A 本题考查的是锐角三角函数的定义，勾股定理，熟记锐角A的对边Q与邻边b的比叫做∠A 的正切是解题的关键.先根据勾股定理求出BC,再根据正切的定义计算即可. 解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,AB=5, 由勾股定理得：BC=√AB2-AC2=V52-32=4, tanB=AC、3 BC 4' 故选：A. 3.B 本题考查了锐角三角函数定义.根据正切函数的定义即可完成. 解：如图，AD=3,BD=3, B tan B=AD 3 =1 BD 3 故选：B. 4.B 本题考查了锐角三角函数中的余弦值，解题的关键在于熟练掌握余弦值的定义，余弦值就是 在直角三角形中，锐角的邻边与斜边之比 根据锐角三角函数中余弦值的定义即可求出答案. 解：：小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处，再向正北方向走到C处， ∠ABC=90°且AB=x米 :∠BAC=a AB .'cosa AC ·AC=AB =X米 cosa cosa 故选：B 5.D 本题考查了矩形的性质，勾股定理，正切的定义；过点C作CM⊥AB于点M,根据勾股定 理求得CM,根据正切的定义得出GD=5。, 3一口，EE=V7b进而根据矩形的性质可得 9 GF=DE,即可得出a,b的关系，即可求解. 解：四边形DEFG是矩形， .GF DE, 如图所示，过点C作CM⊥AB于点M, G A DM E :在ABC中，BC=4,AC=5,AB=6, 设AM=x,则BM=AB-AM=6-x 在Rt△ACM中，CM2=AC2-AM2, 在Rt△BCM中，CM2=CB2-BM2, .AC2-AM2=CB2-BM2 52-x2=42-(6-x)2 解得：=5 4 AM=15 1 CM=VAc2-AM=5万 4 5 S .tan 4=- GD CM 4 CM EF 4 5v7 DAM15=3’tanB= MB BE 9 9 4 a,EF=N5b 3 9 又：GD=EF 5a-55 3 9 a 5 故选：D. 6.C 根据题意得出CD=2,∠ADB=∠BCD=90°，∠ABD=∠BDC,然后可得△ADB∽△BCD, 然后问题可求解， 解BD=3,cOs∠CDB=,BCLB .CD=BD×cos∠CDB=2, :BC⊥AB,BD⊥AD,CDIAB, .∠ADB=∠BCD=90°，∠ABD=∠BDC, .△ADB∽△BCD, AB BD ·.BDCD 即BD=AB·CD, BD=3,CD=2, AB=BD:9 CD-2 碰谷案为} 本题主要考查，已知余弦求边长，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与 判定是解题的关键 7.C 此题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，掌握相关结论是解题关键.证 △ADC∽△CDB,即可判断①；设BD=m,则AD=2m,可推出CD=√2m,求得 AC=√AD2+CD2=√6m,BC=√BD2+CD2=V5m,即可判断②；由②得： mA-CD-2.5,即可刻断③：由2待：os∠aCD-C巴_m_6 即可判断④： AD 2m 2 BC3m 3 解：由题意得：∠ACD+∠BCD=∠ACD+∠CAD=90°， .∠BCD=∠CAD, :∠ADC=∠CDB=90°， .△ADC∽△CDB, AD:CD=CD:BD,即CD2=BDAD,故①正确： 设BD=m,则AD=2m, ∴CD2=2m2,解得CD=√2m, ∴AC=VAD2+CD2=√6m,BC=VBD'+CD2=V5m, 4C=2,故②正确 由②得：tanA=CD=V2m-V ,故③正确； AD 2m 2 由②得：cos∠BCD= CDV2m√6 ,故④错误： BC 3m 3 故选：C 8.D 本题考查了特殊角的三角函数值，含30°角直角三角形，相似三角形的性质，熟记特殊角的 三角函数值是解题的关键. 根据题意得出∠A0B=∠B0C=30°，得到08=2A8=2,进而得出BC=25, 即可得到答 3 案 解：根据题意得LA0B=∠B0C=360°÷12=30°， :∠0AB=∠0BC=90°，AB=1, 0B=2AB=2, :tan∠BOC= BC OB 3 BC=25 3 0C=2BC=2x25=45 33 故选：D, 9.4 本题考查解直角三角形.先根据余弦定义求得AC即可. 解：如图， ◇》 C B :在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10,cosA= 2 AC 5 AB AC=AB=2×10=4) 5 故答案为：4. 10.525 55 本题考查求角的余弦值，勾股定理，连接AC,根据勾股定理的逆定理判定∠ACB=90°，再 根据余弦函数的定义求解， 解：如图，连接AC, B 由格点及勾股定理知：BC=V2,AD=22+2=2反，AB=VP+32=0, :(2+(22=(1o, BC2+AC2=AB2, :∠ACB=90°， ·CoS∠ABC= BC5 AB 105 故答案为： 5 n月 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所 对的圆心角的一半：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径，也考 查了解直角三角形.先利用圆周角定理得到∠ACB=90°，∠ADC=∠ABC,再利用正切的 定义得到am∠4BC-子，从而得到an8L4DC的值 解：：AB为直径， ∠ACB=90°. 在Rt△ABC中，tan∠ABC=4C_3 ΓBC-2 :∠ADC∠=LABC, 3 :tan∠ADC= 2 故答案为：2 12.25 颜考查的是锐角三角函数的定义，先根据∠C=90°，BC=2,amA)求出4C的K 再由勾股定理即可得出AB的长 解：在Rt△ABC中， BC 1 :∠C=90°，BC=2,tanA= AC2 :AC=2BC=4, .AB=VAC2+BC2=V42+22=2W5, 故答案为：25. 13.5 本题主要考查了余弦的定义，勾股定理，由余弦的定义可得出AB=15,根据勾股定理求出 BD,再根据线段的和差即可得出答案， 解：：cos∠BAD=4D-3, AB5’AD=9,