28.1 锐角三角函数（第1课时 正弦）过关练 2025-2026学年人教版数学九年级下册

28.1 锐角三角函数 一、单选题 1．如图，点A为边上的任意一点，作于点C，于点D，下列用线段比表示出的值，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，，则（　　） A． B． C． D． 3．在中，，、、所对的边分别是a、b、c．则下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．在中，已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，， ，，则的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 6．把的三条边的长度都扩大为原来的4倍，则锐角的正弦值（    ） A．不变 B．扩大为原来的4倍 C．缩小为原来 D．无法确实 7．如图，在菱形中，，，以顶点A为圆心画弧，恰好与边、相切，分别交、于点E、F．则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 8．已知一个不等臂跷跷板AB长3米，支撑柱OH垂直地面，当AB的一端A着地时，AB与地面夹角的正弦值为，如图1；当AB的另一端B着地时，AB与地面夹角的正弦值为，如图2，则支撑柱OH的高为（　　）米． 　　 A．0.4 B．0.5 C． D．0.6 二、填空题 9．如图，在中，，，，则的长是 ． 10．如图，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为 ． 11．如图，已知点P在格点的外接圆上，连接，则的正弦值为 ． 12．在平面直角坐标系的第一象限内有一点，射线与x轴正半轴的夹角为，如果，那么点P坐标为 ． 13．如图，在中，，，D为AC上一点，，，则 ． 三、解答题 14．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，四边形的顶点均在网格的格点上． (1)求的值． (2)操作与计算：用尺规作图法过点C作，垂足为E，并直接写出的长．（保留作图痕迹，不要求写出作法） 15．如图，四边形内接于，是的直径， ，交的延长线于点E，平分 ，连接． (1)求证：为 的切线； (2)若，求的值． 16．如图，在中， (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：作，使得是以为底的等腰三角形，且点D在延长线上．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，已知：，求的底边上的高及的值． 17．如图，在中，，于点，是的中点，连接，，． (1)求线段的长． (2)求线段的长． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A C B C A D D 1．B 由同角的余角相等可得，在三个直角三角形中由正弦函数的定义即可确定答案． ，， ， ， ； 故正确的是B选项； 故选：B． 本题考查了正弦函数的定义，同角的余角相等，掌握正弦函数的定义是关键． 2．A 本题考查了三角函数．利用三角函数的定义即可求解． 解：， 故选：A． 3．C 根据在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比斜边求解即可． 解：如图， ∴ 故选C． 本题考查了锐角三角函数的概念：在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；锐角的正切等于对边比邻边． 4．B 本题考查了一个锐角的正弦与正切值．根据题意设，则，得出，再利用正切的定义求解即可． 解：∵在中，，， 设，则， ∴， ∴    故选：B． 5．C 本题考查锐角三角函数的定义，此为基础且重要，必须熟练掌握知识点是解题关键．根据锐角三角函数的定义即可求得答案． 解：在中，，，， ， ， 故选：C． 6．A 锐角A的正弦值是∠A的对边比斜边，当三边长度扩大为原来的4倍时，比值不变，据此可得答案． 设△ABC中，锐角A所对的直角边为a，斜边为c， 则， 当三边长度扩大为原来的4倍时， ∴锐角的正弦值不变 故选A． 本题考查三角函数，熟记三角函数的定义是解题的关键． 7．D 设与圆相切于点，连接，由切线的性质定理可得，在中，利用特殊角的三角函数可得，利用菱形的性质可得，，由两直线平行同旁内角互补可得，然后根据即可求出图中阴影部分的面积． 解：如图，设与圆相切于点，连接， 则， 在中，，， ， 四边形为菱形， ，， ， 则图中阴影部分的面积为： ， 故选：． 本题主要考查了切线的性质定理，特殊角的三角函数，已知正弦值求边长，菱形的性质，两直线平行同旁内角互补，利用菱形的性质求面积，求扇形面积，求其他不规则图形的面积等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 8．D 根据正弦的定义得到OA＝2OH，OB＝3OH，根据题意列式计算即可． 解：在Rt△AOH中，sinA， ∴OA＝2OH， 在Rt△BOH中，sinB， ∴OB＝3OH ∵AB＝3米， ∴2OH+3OH＝3， 解得：OH＝0.6（米）， 故选：D． 本题考查的是锐角三角函数，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 9．15 本题考查三角函数，解题关键在于按照定义找准对应边，其次注意计算仔细即可． 利用正弦三角函数的定义即可直接作答． ∵在中，， ∴ ∴ ∴． 故答案为：15． 10．/ 本题考查了网格与勾股定理，求正弦；取格点，连接，勾股定理求得，进而根据正弦的定义，即可求解． 解：如图所示，取格点，连接， ∵，， ∴ ∴， 故答案为：． 11． 本题考查了圆周角定理，解直角三角形，由，得，再由勾股定理求出的长即可推出结果． 解：如图， ∵点P在格点的外接圆上，， ∴， ∴， 设每个小正方形的边长为1，则，， ∴， 故答案为：． 12． 过点P作轴于点M，利用三角函数的定义，勾股定理，点的坐标的意义解答． 本题考查了正弦函数的应用，勾股定理，坐标的确定，熟练掌握正弦函数，勾股定理是解题的关键． 解：如图，过点P作轴于点M， ∵，， ∴， ∴， ∴点． 故答案为：． 13．20 根据在中，，，为上一点，，，可以求得的长，的长．本题考查锐角三角函数，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 解：在中，，，，， ， ，，， ， 故答案为：20． 14．(1) (2)图见解析， 本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理、正弦、作垂线，熟练掌握正弦的定义是解题关键． （1）先根据勾股定理和勾股定理的逆定理得出是以为直角的直角三角形，再根据正弦的定义求解即可得； （2）先以点为圆心、为半径画弧交于点，再分别以点为圆心，长为半径画弧，分别交于点，然后画直线，交于点，则即为所作；最后利用正弦的定义即可求出的长． （1）解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∴是以为直角的直角三角形， ∴． （2）解：用尺规作图法过点作，垂足为，作图如下： 在中，． 15．(1)证明见解析 (2) 本题主要考查了圆的切线的判定，勾股定理，垂径定理，矩形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握基本的性质和判定． （1）连接，得出，证明，根据，是的半径，即可证明结论； （2）连接并延长交于点F，连接，先证明四边形是矩形，得出，进而求出及，求出结果即可． （1）证明：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：如图，连接并延长交于点F，连接， 是的直径， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点O是中点， ∴是中位线， ∴， ∴， ， 是的直径， ∴ ∴． 16．(1)见详解 (2)边上的高为， （1）作得垂直平分线与得延长线交于点D，连接即可； （2）根据等腰三角形的性质得出，设，根据勾股定理及线段的和差得出，，，建立方程求解即可得出，运用等面积法求出边上的高，然后根据正弦的概念即可得出答案． 本题考查了作垂直平分线、等腰三角形的性质、勾股定理以及求一个角的正弦值，熟练掌握性质定理和概念是解题的关键． （1）解：是以为底的等腰三角形，如图所示： ； （2）解：∵是以为底的等腰三角形， ， 设， ， ，，， ， 解得 即， 即， 则边上的高， 则边上的高， ， 故答案为：． 17．(1)25 (2)7 本题主要考查了正弦函数、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，掌握正弦函数成为解题的关键． （1）在中运用正弦函数可得，然后再根据直角三角形的性质即可解答； （2）先运用勾股定理求得，再中运用正弦函数求出，然后利用勾股定理即可解答． （1）解：∵在中，，， ∴，即，解得：， ∵是的中点， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴，即， 解得：， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $