28.1 锐角三角函数 过关练-2025-2026学年人教版数学九年级下册

28.1 锐角三角函数 一、单选题 1．如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，则cosA的值是(　　)    A． B． C． D． 2．如图，在中，，，那么下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 3．的值是（   ） A． B． C． D．1 4．如图，为一幅重叠放置的三角板，其中∠ABC=∠EDF=90°，BC与DF共线，将△DEF沿CB方向平移，当EF经过AC的中点O时，直线EF交AB于点G，若BC=3，则此时OG的长度为（  ） A． B． C． D． 5．在中，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A，B分别是x轴和y轴上的点，且∠BAO=30°，以点A为圆心，BO长为半径画弧交AO于点C，分别以A，C为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点D，连接AD，CD，则∠DAC的余弦值是（　　） A． B． C． D． 7．比较tan46°，cos29°，sin59°的大小关系是（ ） A．tan46°＜cos29°＜sin59° B．tan46°＜sin59°＜cos29° C．sin59°＜tan46°＜cos29° D．sin59°＜cos29°＜tan46° 8．如图，的顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 二、填空题 9．如果，那么锐角 度． 10．如图，A点的坐标为（2，3），则tan∠AOX的值是 ． 11．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则tanA= ． 12．已知点A、B分别在反比例函数y=（x＞0），y=﹣（x＞0）的图象上，且OA⊥OB，则tanB为 ． 13．如图，在正方形和中，，连结、，则 ． 14．如图，在中，为边上的中线，，若，的面积为20，则线段的长为 ． 三、解答题 15．计算：． 16．先化简，再求值：，其中． 17．计算：． 18．如图，在菱形中，于点E， ，． (1)求的长． (2)则的值． 19．在中，，求的长． 20．在中，，分别是，，的对边． (1)已知，，求； (2)已知，，求． 21．如图所示，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别在AC、AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB，cotA＝，求tan∠DBC的值． 22．如图，在△ABC中，AB=AC=3，BC=4，求sinB的值. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B B A A B D A 1．D 根据勾股定理，可得AC的长，根据锐角三角函数的余弦等于邻边比斜边，可得答案． 如图：   ， 由勾股定理，得 AC===2， 由锐角三角函数的余弦等于邻边比斜边，得cosA===， 故选D． 本题考查了锐角三角函数的定义，先求斜边，再求锐角三角函数的余弦． 2．B 根据锐角三角函数的概念求解即可． ∵ ∴是直角三角形 ∴ ∴． 故选：B． 此题考查了锐角三角函数的概念，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的概念． 3．B 根据特殊角的锐角三角形函数值求出结果. 特殊角的锐角三角函数值． . 故选B. 4．A 分别过O作OH⊥BC，过G作GI⊥OH，由O是中点，根据平行线等分线段定理，可得H为BC的中点，则可得BH=，再由三个角都是直角的四边形是矩形，可得GI=BH=，在等腰直角三角形OGI中，即可求解． 解：过O作OH⊥BC于H，过G作GI⊥OH于I ∵∠ABC=90°， ∴AB⊥BC， ∴OH∥AB， 又O为中点， ∴H为BC的中点， ∴BH=BC= ∵GI⊥OH， ∴四边形BHIG为矩形， ∴GI∥BH，GI=BH=, 又∠F=45°， ∴∠OGI=45°， ∴在Rt△OGI中，． 故选：A 本题考查了解直角三角形及平行线等分线段定理，构造合适的辅助线是解题关键． 5．A 根据锐角三角函数的定义以及勾股定理求出，再根据锐角三角函数的定义进行计算即可． 解：在中，，， 可设，则，由勾股定理得， ， ， 故选：． 本题考查锐角三角函数以及勾股定理，理解锐角三角函数的定义以及勾股定理是正确解答的前提． 6．B 作DH⊥AC于H，设OB=m，解直角三角形△AOB求出AO=OB=m，再利用等腰三角形三线合一的性质推出AH=CH=m，则cos∠DAC=． 解：如图，作DH⊥AC于H， 设OB=m， 在Rt△AOB中，∵∠OAB=30°， ∴AO=OB=m， 由题目中作图方法可知，DC=DA，AC=OB=m， ∵DH⊥AC， ∴AH=CH=m， ∵DC=DA=OA=m， ∴cos∠DAC=， 故选：B． 本题考查解直角三角形以及等腰三角形的性质，解题的关键是掌握三角函数的定义，正确作出辅助线． 7．D 根据三角函数的增减性，以及互余的两个角之间的关系即可做出判断． 又 故选D． 本题考查的知识点是三角函数的增减性，解题关键是熟记锐角三角函数的增减性． 8．A 连接小正方形的对角线，证明是直角三角形，再利用正切的定义求解即可． 如图，连接小正方形的对角线， 设每个小正方形的边长为1， 则由勾股定理得，， ∵， 即， ∴是直角三角形， ∴． 故选：A． 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．灵活运用勾股定理和锐角三角函数是解决问题的关键． 9．45 根据三角函数的值，求角的度数. 解：∵，为锐角， ∴， 故答案为：45． 本题主要考查三角函数，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键． 10． 作AB⊥x轴于B，如图，则OB=2，AB=3，然后根据正切的定义求解． 解：作AB⊥x轴于B，如图， ∵A（2，3）， ∴OB=2，AB=3， ∴tan∠AOX==． 故答案为． 本题考查了解直角三角形：灵活运用勾股定理和锐角三角函数的定义求直角三角形中未知的角和边． 11．． 直接利用特殊角的三角函数值计算得出答案． 解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， ∴tanA=． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键． 12． 解：过A作AC⊥y轴，过B作BD⊥y轴，可得∠ACO=∠BDO=90°， ∴∠AOC+∠OAC=90°， ∵OA⊥OB， ∴∠AOC+∠BOD=90°， ∴∠OAC=∠BOD， ∴△AOC∽△OBD， ∵点A、B分别在反比例函数y=（x＞0），y=﹣（x＞0）的图象上， ∴S△AOC=1，S△OBD=4， ∴S△AOC：S△OBD=1：4，即OA：OB=1：2， 则在Rt△AOB中，tan∠ABO=． 本题考查反比例函数及锐角三角函数综合题，正确添加辅助线，数形结合解题是关键． 13．/0.5 根据正方形的性质可得，根据题意求得，即可求解． 连接，如图， 正方形和中，， ，， ， ． 故答案为：． 本题考查了正方形的性质，求角的正切，证明是解题的关键． 14． 过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥AC于点F，由，得AF=3x，DF=4x，AD=AC=5x，进而得CF=2x，再由勾股定理得CD=2x，由等腰三角形性质得DE=EC=CD=x，由为边上的中线，得BD=CD=2x，S△ADC=S△ABC，最后根据面积和勾股定理求解即可. 解：过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥AC于点F ∵， ∴AF=3x，DF=4x，AD=AC=5x ∴CF=2x 在Rt△DCF中 由勾股定理得CD==2x， ∵，AE⊥BC ∴DE=EC=CD=x ∵为边上的中线 ∴BD=CD=2x，S△ADC=S△ABC 又S△ABC =20 ∴S△ADC=10 ∴×AC×DF=10 ∴×5x×4x=10 解得x=1或x=-1（舍去） ∴AC=5，BD=CD=2，EC=DE=CD= ∴BE= DE+ BD=3 在Rt△AEC中 由勾股定理得AE==2 在Rt△AEB中 由勾股定理得AB== 故答案为：. 本题主要考查了中线的性质，锐角三角函数，等腰三角形的性质以及勾股定理求边长，熟练地掌握以上知识是解决问题的关键. 15． 由绝对值、特殊角的三角函数、零指数幂、负整数指数幂进行化简，然后合并同类项，即可得到答案． 解：原式 ． 本题考查了特殊角的三角函数值，绝对值，零指数幂，负整数指数幂，解题的关键是熟练掌握运算法则． 16．，． 先根据分式的运算法则进行化简，再利用特殊角的三角函数值求出的值，代入化简后的分式中，求值即可． 原式 ； ； ∴． 本题考查分式的化简求值，以及特殊角的三角函数值的计算．熟练掌握分式的运算法则，正确的进行化简，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 17．． 根据绝对值的意义、特殊角的锐角三角函数、负整指数幂、二次根式的化简、零指数幂的性质进行计算即可 解：原式= = = 本题考查了绝对值、特殊角的锐角三角函数、负整指数幂、二次根式的化简、零指数幂，熟练掌握相关知识是解题的关键． 18．(1) (2) （1）设，则，根据菱形的性质得到等式，即可得到答案； （2）由菱形的性质得到，然后证明便可计算答案． （1）解：，， ， 设，则， 菱形， ， ， 解得， ； （2）解：， 由（1）可得， 在，由勾股定理可得， 菱形， ， ， ， ． 本题主要考查三角函数值，勾股定理的应用，菱形的性质以及平行线的性质，熟练掌握三角函数值和勾股定理的应用是解题的关键． 19．12 本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键；由题意易得，然后利用勾股定理即可求解． 解：∵， ∴， ∴． 20．(1) (2) （1）已知直角边和斜边的长，可以利用的余弦即可求解； （2）根据余弦是邻边与斜边的比，已知斜边的长，由比例的性质即可求解． （1）解：如图所示，，， ∴， 根据特殊角的三角函数可知，； （2）解：如图所示， ∵，，即， ∴． 本题主要考查利用三角函数解直角三角形，熟练掌握三角形函数的定义是解题的关键． 21．tan∠DBC= 设AE=3x，ED=4x，由勾股定理可知：AD=5x，根据角平分线的性质可知ED=CD=4x，再根据cotA＝ ＝，所以BC=12x，再根据锐角三角函数即可求出答案． 解：∵cotA＝， ∴设AE＝3x，ED＝4x， ∴由勾股定理可知：AD＝5x， ∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，∠C＝90°， ∴ED＝CD＝4x， 在RtABC中 cotA＝ ＝， ∴BC＝12x， ∴tan∠DBC＝ ＝. 故答案为tan∠DBC＝. 本题考查锐角三角函数，涉及锐角三角函数，角平分线的性质，勾股定理等知识．掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 22．. 过点A作AD⊥BC于点D，根据题意得△ABC为等腰三角形，据此可知BD=CD，根据勾股定理求出AD的长度，在Rt△ABD中，根据锐角三角函数的定义得sinB= . 解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，∵AB=AC， ∴BD=DC=2. 在Rt△ABD中,AB=3，BD=2，根据勾股定理，得, ∴. 故答案为. 本题考查勾股定理，锐角三角函数的定义，等腰三角形的性质 学科网（北京）股份有限公司 $