专题8.3实数及其简单运算题型突破讲义(常考题型精析+强化题型+寒假预习)2025-2026学年人教版七年级数学下册

专题8.3实数及其简单运算题型突破讲义 01 重难点 必拿分重点 1.实数=有理数+无理数，两种分类要会：按定义分（有理/无理）、按正负分（正 实数/0/负实数)。 2.实数的相反数、绝对值、倒数，用法和有理数完全一样，0没倒数，绝对值非负。 3.核心结论：实数与数轴上的点一一对应，任何实数都能在数轴上找到家。 4.实数混合运算，顺序不变：先乘方开方，再乘除，最后加减，无理数可按要求取近 似值算。 易丢分难点 1无理数判断：别被根号骗了：只有开方开不尽的数（如2）和元这类无限不循环 小数才是无理数， √4可是有理数。 2.数轴画无理数：比如画√2，用勾股定理造直角边为1的直角三角形，斜边就是√2， 圆规一移就搞定。 3.含无理数的绝对值化简：先判正负！比如V5-3引，√53，结果就是35。 4.运算细节：别搞混运算顺序，无理数参与运算要么化简合并，要么精准估算。 避坑小贴士 1.无限循环小数是有理数，不是无理数！ 2.化简绝对值，先判正负是王道！ 3运算顺序错，全题都白做！. 题型梳理 1.无理数 2.实数概念理解 基础 3.实数的分类 4.实数的性质 过关题 5.实数与数轴 6.实数的大小比较 试卷第1页，共3页 能力 7.无理数的大小估算 8.无理数整数部分的有关计算 提升题 9.实数的混合运算 拓展 10.程序设计与实数运算 11.新定义下的实数运算 拔高题 12.实数运算的实际应用 13.与实数运算相关的规律题 基础过关题 【题型1.无理数】 下列路数：0.020020002（每相邻两个22之间0的个数依次加1D，-2,0,〉n,9 其中无理数的个数是() A.4 B.3 C.2 D.1 2.下列命题中，正确的是() A.无理数包括正无理数、0和负无理数B.无理数不是实数 C.无理数是带根号的数 D.无理数是无限不循环小数 3.将下列各数填入相应的集合内.（用序号填空） D7,②2.图-，④0，⑤023⑧25，⑦-®01303003003相邻的 4 两个3之间依次多1个0)，⑨3.14. (1)整数集合：{ } (2)分数集合：{ }: (3)无理数集合：{ …} 4.有一个数值转换器原理如图.当输入x=16时，输出的数是」 是无理数 输入 取算术平方根 输出 是有理数 【题型2.实数概念理解】 5.实数-π的相反数是() A.π B.-π 试卷第1页，共3页 6.在实数，0,4，-π，4.5050050005…（两个5之间依次增加一个0）中，无理数的个数是 () A.1 B.2 C.3 D.4 7.己知二次三项式x2+mx+16,则实数m的值为 8.已知非负实数a,,c满足a_b-3-5-C,设5=4+26+3c的最大值为m,最小值 246 为，则”的值为 m 【题型3.实数的分类】 9在实数5、2、0、 22 牙56、-114中，有理数有（) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10.下列说法不正确的是() A.实数包括有理数和无理数 B.实数和数轴上的点一一对应 C.√16的算术平方根是4 D.平方根和立方根相等的数是0 22 1.在-}，20% 03,0，-1.7,21，-2，g,7010101(每两个1之同0 的个数逐次增加1)中正数有m个，非负整数有n个，正分数有k个，则 m-n-k= 12.把下列各数分别填入相应的集合中： 0.各16,3.1415926，-7,2，反-1,0130303003（相邻两个3之间的0逐 次加1)，0.15，-125，+(-4)，1016. (1)整数集合：{」 …}; (2)正分数集合：{ }; (3)负有理数集合：{ …} (4)无理数集合：{」 …}; (5)非负整数集合：{ } 【题型4.实数的性质】 13.-√5的相反数是() 试卷第1页，共3页 C.±5 1 A.-3 B.5 D.5 14.已知√2<x<V17,且x是整数，则所有x值的个数为() A.5 B.6 C.7 D.8 15.如图，实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简V(a-b)2-a的结果是() 06→ A.a B.b C.2a-b D.b-2a 16.设m、n是有理数，且满足等式m2+3n+n√2+5√2=21则m+n=一 【题型5.实数与数轴】 17.如下图，直径为1个单位长度的圆从表示-1的点A沿数轴向左滚动一周（不滑动）， 圆上的一点由点A到达点B,点B表示的数是 0-3 -2 0 18.如图，正方形ABCD的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为-1，若点E在数轴上（点 E在点A的左侧)，且AD=AE,则点E所表示的数为」 D B -5-4E-3-2-10123 19.实数一a,a,。在数轴上对应点的位置如图所示，下列四个点中，表示1的点可能是 () R S -a a a A.P B.0 C.R D.S 20.如图，点A,B,C在数轴上分别表示实数Q,b,C,则下列式子正确的是() AB C d 0bc A.ab>0 B.b-c>-a C.a+cx0 D.b-a<0 试卷第1页，共3页 【题型6.实数的大小比较】 21,√万的相反数是 2-√5的绝对值等于 比较大小：-1 -5 22.比较大小：5-1 1 5· (填“>“<”或“=”) 5 23.已知a为8-√⑧，b为7-√万，c为6-√6，则这三个数的大小关系是() A.c<b<a B.b<c<a C.a=b=c D.b<a<c 24.若a=9,b=-√5，c=-5,则a,b,c的大小关系为() A.c<b<a B.b<a<c C.a<c<b D.a<b<c 能力提升题 【题型7.无理数的大小估算】 25.对于任意实数a,我们用a表示不大于a的最大整数，则a-1<[a≤a,如：[l.6=1, [2024=2024,【-3.07]=-4,请根据以上信息，「7]=一· 26.如图，若将8，√9，-√，48对应的点表示在数轴上，则其中被墨迹覆盖住的点 对应的数是() 0123}○45 A.⑧ B.√19 c.-6 D.48 27.若a=3,6=5,c=}34,则a,,c的大小关系是() A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.c<a<b 28.对于实数P,我们规定：用{√D表示不小于√下的最小整数.例如：{4=2， {V5=2.现在对72进行如下操作：721达{72=9第2诚){=3第*){N5=2 ，即对72只需进行3次操作就变为2.类比上述操作，若对正整数只需进行3次操作就 变为2，则的最大值为 试卷第1页，共3页 【题型8.无理数整数部分的有关计算】 29,若√19的值在两个整数a与a+1之间，则a= 30.如果x、y分别是4-√5的整数部分和小数部分，则x-y=() A.5 B.-V5 C.1+5 D.2-√5 31.已知a-1的平方根是±2，b+4是-27的立方根，c是√30的小数部分，则a+b+c的值 为一 32.若用[x表示任意正实数的整数部分，例如：[2.5]=2，[2]=2，[√2]=1，则式子 [2]-[5]+[4]-[5]+…+[2022]-[V2023]+[V2024]-[2025]的值为()（式子中的 “+”,“-”依次相间) A.67 B.-22 C.68 D.-21 解答题 3.3.已知正数m的平方根是2a-7和a+4,b-12的立方根为-2，c是√15的整数部分. (1)求a,m,b,c的值； (2)求a+3b+c的算术平方根. 【题型9.实数的混合运算】 34.下列等式成立的是() A.5-√4=√5 B.I1-√5=√3-1 C.27=±3 D.-V-9y=9 35.计算6-8+1-√2的结果是() A.5+V2 B.1+V2 C.7-√2 D.3-√2 36.定义：对于任意的实数a,b,有a*b=a2+6+1.例如：1*(-8)=12+-8+1=0，则 [(-2)*64]*1= 37.有一个数值转换器，设定的输入值为0到100的整数，流程如图；当输出y值为√2时， 输入的x值是 试卷第1页，共3页 是无理数、 输出y下 输入x 取算术平方根 是有理数 无 取立方根 数 是有理数 解答题 38.计算： (1)4-8+|-√2. (2)27+1√2-31-√49 (3)-2+27+V(-2)2-13-π. 拓展拔高题 【题型10.程序设计与实数运算】 39.按照如图所示的操作步骤，若输入x的值为7，则输出的值为 输入 减去5 平方 加上3 开平方 →输出 40.在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是（) 是有理数 输入x值 取算术 是有理数 是无理数 取立方根 平方根 输出y 是无理数 A.2 B.2 C.√2 D.8 解答题 41.如图是一个数值转换器(x<25) 取算术平方根 是无理数 输入x 计算x2 输出y 是有理数 (1)当输入的x为-14时，输出的y值是 (2)若输入实数x后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为 (3)若输出的y是√5，求x的负整数值， 【题型11.新定义下的实数运算】 试卷第1页，共3页 42.现对实数a,b定义一种运算：a※b=ab-a+b.则V9※-8的值为() A.-11 B.-10 C.-9 D.-7 43.阅读材料：对于任意一个两位数x,如果x满足个位数字与十位数字互不相同，且都 不为零，那么我们称这个两位数为“迥异数”，将一个“迥异数”的个位数字与十位数字对调后 得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为fx),例如： x=23，对调个位数字与十位数字得到新的两位数32，新两位数与原两位数的和为 23+32=55,和与11的商为55÷11=5，所以f(23)=5·则f(18)=一：如果一 个“迥异数”a的十位数字是m,个位数字是2m+3,且f(a=12,则“迥异数”a的值 为 44.对于两个正整数a,b(a<b),将这两个数进行如下操作：第一次操作：计算b与a的差 的算术平方根，记作X;第二次操作：计算b与X的差的算术平方根，记作x2；第三次操 作：计算b与x,的差的算术平方根，记作x;依次类推，若x=x2=…=x。,则下列说法 () (1)当a=1时，b=2; (2)当a=4时，b=20; (3)当a=1,2,3,…n时，对应b的值分别为b,b2,b,.bn,若 11112024 十 +… bb2 b3 6,2025, 则n的值为2024. 其中正确的个数是() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 45.一个四位正整数m各个数位上的数字互不相同且都不为0，四位数m前两位数字之和 为4，后两位数字之和为10，称这样的四位数m为“事实数”；把四位数m的前两位上的数 字和后两位上的数字整体轮换后得到新的四位数m,称此时的m是m的“伴随数”，并规定 m="。m，例如：m=1234,1+2≠4,3+4≠10,1234不是“事实数：m=3128 3+1=4,2+8=10,3128是“事实数.则m'=2831,Fm=3128-2831=3.已知： 99 s=130+c,t=1004+100a+10b(0≤a≤9,0≤b≤9,0≤c≤5，其中a、b、c均为整数)， 当s+t为“事实数”时，求出所有(s+)的值：一，F(s+的最大值：· 试卷第1页，共3页 解答题 46.对于实数a,b.定义关于“⑧”的一种运算：a⑧b=2a+b,例如3⑧4=2？3+4=10. (1)求3⑧(-2)的值； (2)若x⑧(-3y)=2y⑧(x-3,求2x-14y+8的值. 【题型12.实数运算的实际应用】 47.设x、y是有理数，并且x、y满足等式x2+2y+V2y=17-4V2,求x+y= 48.在一次“冒险活动”中，玩家小明和小美正在共同探索神秘“宝藏”.他们一路披荆斩棘， 终于来到了“宝藏”所在的神秘洞穴”.然而，他们遇到了一个难题，“宝藏”的位置由实数x 决定，且满足方程x-3=V5 小明兴奋地说：“我觉得x的值应该是3+√5；” 小美思考片刻后说道：“不对，我觉得还有可能是另一个值.” 那么小美所说的另一个值是() A.3-V5 B.-3+V5 C.-3-V5 D.以上都不对 49.已知min{a,b,c表示取三个数中最小的数.例如：min{1,2,3=1,当 mnx后时，则的值为) 1 1 C. 1 A16 B.4 D. 256 解答题 50.某班将在期中学生表彰大会上邀请受表彰学生的家长参会，小王设计了如图所示的长方 形邀请函：正面绘制了3个A类正方形和4个B类正方形，并对阴影部分进行上色，己知 每个A类正方形的面积为2，每个B类正方形的面积是4. B A (1)A类正方形的边长是 (②)分别求出一个A类正方形和一个B类正方形的周长： 试卷第1页，共3页 (③)求长方形邀请函的长和宽。 【题型13.与实数运算相关的规律题】 51.按规律排列的一组数：3,4√2,5√3,12,7V5,则这组数的第9个数是 52.已知4，为实数，规定运算：4，=1-1,4，=1-1,4，=1-4，=1-1 a a, a a,=1-1,按上述方法计算：当a,=3时，a的值等于（） an-l B吉 C. D.3 53.将1，√2，√5，√6按如图方式排列，若规定(m,n)表示第m排从左向右第n个数，则 (5,4与12,4)表示的两数之差是 第1排 √2√5 第2排 √61V2 第3排 √5612 第4排 5√61√2√5第5排 54.按规律排列的一组数：3,4√2,5√5,12,7√5，则这组数的第9个数是 解答题 55.观察下列等式，并回答下列问题： ①l-V2=v2-1; ②小W2-5=5-V2; ③5-4=4-5： ④V4-5=5-4: (1)请写出第⑤个等式： 计算5-4= (②)写出你猜想的第n个等式： (用含n的式子表示)· ③)比较⑧-1与1的大小 2 试卷第1页，共3页 专题8.3实数及其简单运算题型突破讲义 必拿分重点 1.实数 = 有理数 + 无理数，两种分类要会：按定义分（有理 / 无理）、按正负分（正实数 / 0 / 负实数）。 2.实数的相反数、绝对值、倒数，用法和有理数完全一样，0 没倒数，绝对值非负。 3.核心结论：实数与数轴上的点一一对应，任何实数都能在数轴上找到家。 4.实数混合运算，顺序不变：先乘方开方，再乘除，最后加减，无理数可按要求取近似值算。 易丢分难点 1.无理数判断：别被根号骗了！只有开方开不尽的数（如）和 π 这类无限不循环小数才是无理数，可是有理数。 2.数轴画无理数：比如画，用勾股定理造直角边为 1 的直角三角形，斜边就是​，圆规一移就搞定。 3.含无理数的绝对值化简：先判正负！比如∣−3∣，<3，结果就是3−。 4.运算细节：别搞混运算顺序，无理数参与运算要么化简合并，要么精准估算。 避坑小贴士 1.无限循环小数是有理数，不是无理数！ 2.化简绝对值，先判正负是王道！ 3.运算顺序错，全题都白做！. 基础 过关题 1.无理数 2.实数概念理解 3.实数的分类 4.实数的性质 5.实数与数轴 6.实数的大小比较 能力 提升题 7.无理数的大小估算 8.无理数整数部分的有关计算 9.实数的混合运算 拓展 拔高题 10.程序设计与实数运算 11.新定义下的实数运算 12.实数运算的实际应用 13.与实数运算相关的规律题 【题型1.无理数】 1．下列各数：0.020020002…（每相邻两个2之间0的个数依次加1），，0，，，9，其中无理数的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】此题主要考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是解题的关键． 根据无理数的定义（无限不循环小数）判断每个数是否为无理数即可． 【详解】解：∵ （每相邻两个之间的个数依次加）是无限不循环小数，∴ 是无理数； ∵ 是整数，∴ 是有理数； ∵ 是整数，∴ 是有理数； ∵是分数，∴ 是有理数； ∵ 是无限不循环小数，∴ 是无理数； ∵ 是整数，∴ 是有理数. ∴ 无理数有个． 故选：C． 2．下列命题中，正确的是（   ） A．无理数包括正无理数、0和负无理数 B．无理数不是实数 C．无理数是带根号的数 D．无理数是无限不循环小数 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的定义，熟练掌握无理数是无限不循环小数是解题的关键．根据无理数的定义，判断各选项的正误即可． 【详解】解：A、0是有理数，不属于无理数，故A错误； B、无理数和有理数统称为实数，故B错误； C、带根号的数不一定无理（如是有理数），且无理数不一定带根号（如），故C错误； D、无理数是无限不循环小数，故D正确； 故选：D． 3．将下列各数填入相应的集合内．（用序号填空） ①，②，③，④0，⑤    ⑥，⑦，⑧0.13030030003…（相邻的两个3之间依次多1个0），⑨3.14． （1）整数集合：{ …}； （2）分数集合：{ …}； （3）无理数集合：{ …}． 【答案】 ③④⑥ ①⑤⑨ ②⑦⑧ 【分析】此题考查了实数的分类，化简需要化简的各数后，根据实数的分类方法分类即可． 【详解】解：， （1）整数为：③，④0，⑥； 故答案为；③④⑥ （2）分数为：①，⑤，⑨3.14． 故答案为；①⑤⑨ （3）无理数为：②，⑦，⑧0.13030030003…（相邻的两个3之间依次多1个0）， 故答案为：②⑦⑧ 4．有一个数值转换器原理如图.当输入时，输出的数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查算术平方根及无理数，熟练掌握算术平方根及无理数是解题的关键；因此此题可根据数值转换器进行代值求解即可． 【详解】解：由题意得：当时，输出的数为，是有理数， 当时，输出的数为，是有理数， 当时，输出的数为，是无理数； 所以最后输出的数是； 故答案为． 【题型2.实数概念理解】 5．实数的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义，一个数的相反数是与其相加等于零的数，判断即可． 【详解】解：实数的相反数是其符号取反后的结果，原数为，其相反数为， 选项中只有A项为，B项为原数本身，C、D项涉及倒数，与相反数无关， 故选：A． 6．在实数（两个5之间依次增加一个0）中，无理数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义，算术平方根，根据无理数的定义（无限不循环小数），逐一判断各数是否为无理数． 【详解】解：是分数，属于有理数； 是整数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数； （两个5之间依次增加一个0）的规律不循环，属于无限不循环小数，故为无理数． 综上，无理数有2个， 故选：B． 7．已知二次三项式，则实数m的值为 ． 【答案】非零实数 【分析】本题主要考查了多项式的定义．根据多项式的定义解答即可求解． 【详解】解：∵二次三项式， ∴， 即m的值为非零实数． 故答案为：非零实数 8．已知非负实数a，b，c满足，设的最大值为m，最小值为n，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，不等式的性质，实数的概念，正确表示出S与a之间的关系是解决本题的关键． 先化简求出b与a的关系，c与a的关系，再根据非负数的性质可表示出a的取值范围，进而表示出S的取值范围，由此可求． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 即，， ∵，，， 即，， 即， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 当时，，，，符合题意； 当时，，，，符合题意； ∴，， ∴． 故答案为：． 【题型3.实数的分类】 9．在实数、、0、、、中，有理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了实数的分类，以及有理数的概念． 根据有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，判断每个数是否满足定义，并统计符合定义的个数，即可解题． 【详解】解：∵是无理数（5不是完全平方数）， （分数）是有理数， 0（整数）是有理数， 是无理数， （整数）是有理数， （有限小数）是有理数， ∴有理数有4个， 故选：D． 10．下列说法不正确的是（   ） A．实数包括有理数和无理数 B．实数和数轴上的点一一对应 C．的算术平方根是4 D．平方根和立方根相等的数是0 【答案】C 【分析】本题主要考查实数的概念、算术平方根、平方根及立方根，熟练掌握各个概念是解题的关键；因此此题可根据实数的概念、算术平方根、平方根及立方根进行排除选项． 【详解】解：A、实数包括有理数和无理数，说法正确，故不符合题意； B、实数和数轴上的点一一对应，说法正确，故不符合题意； C、，4的算术平方根是2，原说法错误，故符合题意； D、平方根和立方根相等的数是0，原说法正确，故不符合题意； 故选C． 11．在，，，，0，，21，，，（每两个1之间0的个数逐次增加1）中正数有m个，非负整数有n个，正分数有k个，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了有理数的分类，注意不要漏写或写错．注意整数和正数的区别，注意 0 是整数，但不是正数．根据实数的分类：实数是有理数和无理数的统称，整数包括正整数、 0 和负整数，有理数是正有理数、 0 和负有理数的统称，即可得出答案． 【详解】解：在，，，，0，，21，，，（每两个1之间0的个数逐次增加1）中， 正数有（每两个 1 之间的0的个数逐次增加1 ），有6个，则； 非负整数有 0，21 ，有2个，则； 正分数有，有3个，则； 则， 故答案为：1． 12．把下列各数分别填入相应的集合中： ，，，，，，，（相邻两个之间的逐次加），，，，． （1）整数集合：{ }； （2）正分数集合：{ }； （3）负有理数集合：{ }； （4）无理数集合：{ }； （5）非负整数集合：{ }． 【答案】 ，，，， ， ，， ，，，（相邻两个之间的逐次加） ，， 【分析】本题考查实数的分类， （1）根据整数的定义选出即可； （2）根据正数和分数的定义选出即可； （3）根据负数和有理数的定义选出即可； （4）根据无理数的定义选出即可； （5）根据非负整数的定义（即正整数和零）选出即可； 解题的关键是明确实数包括无理数和有理数，无理数包括正无理数和负无理数，有理数包括正有理数，，负有理数． 【详解】解：，，， （1）整数集合：{，，，，，}， 故答案为：，，，，； （2）正分数集合：{，，}， 故答案为：，； （3）负有理数集合：{，，，}， 故答案为：，，； （4）无理数集合：{，，，（相邻两个之间的逐次加），}， 故答案为：，，，（相邻两个之间的逐次加）； （5）非负整数集合：{，，，}， 故答案为：，，． 【题型4.实数的性质】 13．的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的求解，解题的关键是熟练掌握相反数的定义． 根据只有符号不同的两个数互为相反数求解即可． 【详解】解：的相反数是， 故选：B． 14．已知，且是整数，则所有值的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查的是实数的性质，无理数的估算，由条件可得或，结合，，是整数，从而可得答案. 【详解】解：∵， ∴或， ∵，，是整数， ∴的值为，，，，，； ∴所有值的个数有个， 故选：B． 15．如图，实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A．a B．b C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质，解题的关键是掌握二次根式的性质和绝对值的性质． 先根据数轴推出，进而得到，据此可得，化简绝对值和求算术平方根，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，，， ． 故答案为：B． 16．设、是有理数，且满足等式则 ． 【答案】1或 【分析】本题考查了实数的性质、利用平方根解方程，熟练掌握实数的性质是解题的关键．对等式整理得，结合、是有理数得出，，解出的值即可解答． 【详解】解：， ， 、是有理数， ，， 解得：或，， 当时，， 当时，， 综上所述，或 故答案为：1或． 【题型5.实数与数轴】 17．如下图，直径为1个单位长度的圆从表示的点沿数轴向左滚动一周（不滑动），圆上的一点由点A到达点B，点B表示的数是 ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查了实数与数轴上的点之间的对应关系，数轴上两点之间的距离，解题的关键是理解实数与数轴上的点之间的对应关系． 先计算圆的周长，则向左滚动一周的距离即为圆的周长，再由从表示的点A向左滚动，可得点B表示的数． 【详解】解：∵圆的周长为， ∴圆从表示的点A沿数轴向左滚动一周（不滑动），圆上的一点由点A到达点B，点B表示的数是：， 故答案为：． 18．如图，正方形的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且，则点E所表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根，实数与数轴，先求出正方形的边长，进而根据两点间的距离求出点E所表示的数即可． 【详解】解：∵正方形的面积为7， ∴， ∵顶点A在数轴上表示的数为， ∴点E所表示的数为； 故答案为：． 19．实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，下列四个点中，表示1的点可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用数轴比较大小，实数与数轴，先理解题意，得与是符号不相同，再由数轴得 ，则，得，故表示1的点可能是，即可作答． 【详解】解：依题意，，且与是符号不相同， 观察数轴，得， ∴， 则， ∴在和之间， ∴表示1的点可能是， 故选：C 20．如图，点，，在数轴上分别表示实数，，，则下列式子正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了实数与数轴，绝对值的意义，理解数轴的意义是解决问题的关键．根据点，，在数轴上分别表示实数，，得，，然后对题目中的四个选项逐一进行判断即可得出答案． 【详解】解：依题意得：，， ，故选项A不正确，不符合题意； ， 个单位， 个单位， ，故选项B不正确，不符合题意； ，， ，故选项C正确，符合题意； ， ，故选项D不正确，不符合题意； 故选：C． 【题型6.实数的大小比较】 21．的相反数是 ，的绝对值等于 ，比较大小： ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查相反数的定义、绝对值的性质以及实数的大小比较，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数；先判断的正负值，再根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是其相反数”即可求解；两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 【详解】①解：的相反数是； 故答案为； ② 的绝对值是， 故答案为； ③， 即 ． 故答案为：． 22．比较大小： ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查的是实数的大小比较，掌握实数大小比较的方法是解本题的关键．由，可得，再利用不等式的性质可得答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为： ． 23．已知a为，b为，c为，则这三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了进行实数大小比较的能力，关键是能准确运用作差法进行比较． 通过计算与的差以及与的差，利用平方根的性质比较大小，即可得到这三个数的大小关系． 【详解】解：∵ ∵ ∴，即 ∴ ∴ ∵ ∵ ∴，即 ∴ ∴ 综上，，即 . 故选：A． 24．若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将均计算6次幂，通过比较6次幂的大小，结合负数的绝对值越大，数越小的性质，确定的大小关系． 本题考查了实数的大小比较，掌握通过偶次幂将负数转化为正数比较，结合负数的绝对值越大，数越小是解题的关键． 【详解】解：将整理为：， ， ， 分别计算6次幂： ； ； 比较6次幂的大小：， 即， ∵均为负数，负数的偶次幂越大，原数的绝对值越大，数越小 ∴． 故选：B． 【题型7.无理数的大小估算】 25．对于任意实数a，我们用表示不大于a的最大整数，则，如：，，，请根据以上信息， ． 【答案】4 【分析】本题考查了无理数的估算． 根据最大整数的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：4． 26．如图，若将，，，对应的点表示在数轴上，则其中被墨迹覆盖住的点对应的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握立方根、平方根的取值范围判断方法是解题的关键． 先确定每个数的近似值或取值范围，判断哪个数对应的点位于数轴上3和4之间的区域． 【详解】解：A、，对应点在2的位置，不在之间，不符合题意； B、，对应点在之间，不符合题意； C、，且，对应点在之间，不符合题意； D、， 对应点在之间，符合题意． 故选：D． 27．若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握正数比较大小时，可通过比较其平方的大小来确定原数的大小是解题的关键． 通过比较平方值来确定大小关系，因为所有数都是正数，平方后大小关系不变． 【详解】解：， ； ， ； ， ， ，即，且均为正数， ． 故选：D． 28．对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作就变为2．类比上述操作，若对正整数只需进行3次操作就变为2，则的最大值为 ． 【答案】256 【分析】本题主要考查了新定义运算，数字规律探索，无理数的估算，从后往前逆推操作过程，根据定义 表示不小于的最小整数，结合不等式关系确定每步操作前数值的最大可能值，从而得到的最大值 【详解】解：设第三次操作前的数值为，由，得，平方得，取 时最大， 设第二次操作前的数值为，由，得，平方得，取 ， 设第一次操作前的数值为，由得，平方得，故 最大值为， 验证：对，第一次操作，第二次操作，第三次操作 ，恰好三次操作后变为2． 故答案为：256． 【题型8.无理数整数部分的有关计算】 29．若的值在两个整数与之间，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键． 利用估算无理数的方法得出取值范围即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵的值在两个整数与之间， ∴． 故答案为：4． 30．如果x、y分别是的整数部分和小数部分，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了估算无理数的大小，利用不等式的性质确定出的范围是解题的关键． 先估算出的大小，然后利用不等式的性质得到的范围，从而得到x、y的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 31．已知的平方根是，是的立方根，c是的小数部分，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查平方根、立方根，估算无理数的大小，掌握算术平方根、立方根的定义是正确解答的关键．根据平方根、立方根的定义以及估算无理数的方法进行解答即可． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， 解得， ∵是的立方根， ∴， 解得； 又∵c是的小数部分，而， ∴， ∴． 故答案为：． 32．若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子的值为（   ）式子中的“”，“”依次相间 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根的意义，本题是阅读型题，正确理解新定义的含义是解题的关键．利用题干中的新定义依次得到各数的整数部分，计算即可得出结论． 【详解】解：，， 与之间共有个数， ，， 与之间共有个数， ，， 与之间共有个数， ， ，， 与之间共有个数， ． 故选B． 解答题 3.3．已知正数m的平方根是和，的立方根为，c是的整数部分． (1)求a，m，b，c的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，，， (2)4 【分析】本题考查平方根，立方根的性质，无理数的估算，算术平方根的计算． （1）根据正数的平方根互为相反数求出和的值，根据立方根的计算求的值，估算，找出其整数部分，得到的值； （2）将（1）中求得的值代入代数式中求值，再求算术平方根即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， ， ∵的立方根为， ， ， ∵是的整数部分，且， ； （2）解：由（1）可知，，， ， 算术平方根为． 【题型9.实数的混合运算】 34．下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题通过直接计算每个选项的左右值，判断等式是否成立，注意算术平方根和绝对值的性质． 本题考查了算术平方根、立方根、绝对值的性质，掌握算术平方根与立方根的计算规则、绝对值的化简方法是解题的关键． 【详解】解：A、∵=3，=2， ∴ =1，而≠1，故A错误，不符合题意； B、∵ ≈1.732 > 1， ∴ =，故B正确，符合题意； C、=3，而非±3，故C错误，不符合题意； D、== 9， ∴ =−9 ≠9，故D错误，不符合题意． 故选：B． 35．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平方根、立方根及绝对值的值，解题的关键是掌握以上运算法则． 分别计算平方根、立方根及绝对值的值，再合并结果． 【详解】 ． 故选：A． 36．定义：对于任意的实数a，b，有．例如：，则 ． 【答案】83 【分析】此题考查了实数的新定义运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先根据所给的定义，求出的值为，再求出的值即可． 【详解】解：∵ ． ∴ 故答案为：83． 37．有一个数值转换器，设定的输入值为0到100的整数，流程如图；当输出值为时，输入的x值是 ． 【答案】2或64 【分析】本题主要考查了求立方根，求算术平方根，无理数的定义，根据题意可得只有取算术平方根的结果是无理数时，输出的结果才会是；当第一次取算术平方根后的结果为无理数时，则；当第一次取算术平方根后的结果为有理数时，那么取立方根的结果为有理数，若第二次取算术平方根的结果为时，则取立方根的结果为，则可推出x的值；若第三次取算术平方根的结果为时，可推出第一次取立方根的结果为，符合题意，据此可得答案． 【详解】解： 若取立方根后所得的结果为无理数，那么输出的结果不可能为， ∴只有取算术平方根的结果是无理数时，输出的结果才会是； 当第一次取算术平方根后的结果为无理数时，则； 当第一次取算术平方根后的结果为有理数时，那么取立方根的结果为有理数， 若第二次取算术平方根的结果为时，则取立方根的结果为， ∴第一次取算术平方根的结果为， ∴； 若第三次取算术平方根的结果为时，则第二次取立方根的结果为， ∴第二次取算术平方根的结果为，则第一次取立方根的结果为，不符合题意； 综上所述，或， 故答案为：2或64． 解答题 38．计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)． (2)． (3)． 【分析】（1）先分别计算算术平方根、立方根、绝对值，再对结果进行加减运算； （2）先计算立方根、判断绝对值内式子的正负并化简绝对值、计算算术平方根，再依次进行加减运算； （3）先计算乘方、立方根、算术平方根、判断绝对值内式子的正负并化简绝对值，再按顺序进行加减运算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握先算乘方、开方、绝对值，再算加减，化简绝对值时需判断内部式子的正负是解题的关键． 【题型10.程序设计与实数运算】 39．按照如图所示的操作步骤，若输入x的值为7，则输出的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，把的值代入操作步骤计算即可求出输出结果． 【详解】解：把代入运算程序得：． 故答案为：． 40．在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了程序运算，算术平方根、立方根及有理数和无理数，按照运算程序逐步运算即可得到答案，解决本题的关键是看懂运算顺序． 【详解】解：当，取算术平方根，可得：， 是有理数， 再取的立方根， 又是有理数， 再取的算术平方根， 的算术平方根是是无理数， ． 故选：C． 解答题 41．如图是一个数值转换器（） (1)当输入的x为时，输出的y值是______； (2)若输入实数x后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为______； (3)若输出的y是，求x的负整数值． 【答案】(1)； (2) (3)或． 【分析】本题主要考查了算术平方根与实数的概念，熟练掌握其算术平方根与实数定义是解题的关键． （1）由题意利用框图中的算法，直接计算求值即可； （2）根据0和1的算术平方根是它本身，确定的值，进而求得的值即可； （3）由是逆推的值，进而求得的值即可． 【详解】（1）解：当时，，，，是无理数， ∴ 当输入的为时，输出的值是； 故答案为：； （2）∵算术平方根是它本身的数为，而且为有理数， ∴当或时，始终输不出y值， ∴或或 （3）若第1次运算是， ∴， ∴， 解得或， ∵ 为负整数， ∴ 输入的值为； 若第2次运算是， ∴，， ∴， 解得或， ∵ 为负整数， ∴ 输入的值为， ∴， ∴的负整数值均为或． 【题型11.新定义下的实数运算】 42．现对实数，定义一种运算：．则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了实数的混合运算，先化简算术平方根和立方根，再依据新定义规定的运算计算可得． 【详解】解：， 故选：A． 43．阅读材料：对于任意一个两位数 x ，如果 x 满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么我们称这个两位数为“迥异数”，将一个“迥异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为，例如： ，对调个位数字与十位数字得到新的两位数 32，新两位数与原两位数的和为，和与 11 的商为 ，所以 ．则 ；如果一个“迥异数”a 的十位数字是 m ，个位数字是 ，且 ，则“迥异数”a的值为 ． 【答案】 9 39 【分析】本题考查了两位数的表示方法、代数式的运算及一元一次方程的求解，解题的关键是理解“迥异数”的定义（个位与十位数字互不相同且均不为零）和函数的计算规则（新两位数与原两位数的和与11的商）． 计算时，先求出18对调后的两位数，再计算两数之和，最后除以11；求“迥异数”时，先根据十位数字和个位数字表示出原数与对调后的数，利用列方程求解，再结合“迥异数”的定义确定的取值，进而得到的值． 【详解】解：∵为“迥异数”，对调其个位与十位数字得新两位数81， ∴原数与新数的和为， ∴； 设“迥异数”的十位数字为，则个位数字为， ∴原数，对调后新两位数为， ∵， ∴， 化简得，即， 解得， ∴个位数字为，且、、，符合“迥异数”定义， ∴； 故答案为：；39． 44．对于两个正整数a，，将这两个数进行如下操作：第一次操作：计算b与a的差的算术平方根，记作；第二次操作：计算b与的差的算术平方根，记作；第三次操作：计算b与的差的算术平方根，记作；…依次类推，若，则下列说法（   ） （1）当时，； （2）当时，； （3）当，2，3，…n时，对应b的值分别为，，，，若，则n的值为． 其中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根以及新定义．关键是根据给定的操作规则，得到a和b之间的关系． 先得到和的代数式，进而根据和相等可得a和b的关系式．把代入得到的关系式中可得b的值，即可判断（1）；把代入得到的关系式中可得b的值，即可判断（2）；分别得到，，的值，进而根据所给等式可得n的值，即可判定（3）． 【详解】解：由题意得：， ， ， 则， 故， ∴， 即， 当时，， 故（1）正确； 当时，， 故（2）正确； （3）由题意得：，， ， ， 则， 即， ， ， 故（3）正确， 故正确的个数是3个． 故选：D 45．一个四位正整数m各个数位上的数字互不相同且都不为0，四位数m前两位数字之和为4，后两位数字之和为10，称这样的四位数m为“事实数”；把四位数m的前两位上的数字和后两位上的数字整体轮换后得到新的四位数，称此时的是m的“伴随数”，并规定，例如：，∵，，∴1234不是“事实数”；，∵，，3128是“事实数”．则，．已知：，（，，，其中a、b、c均为整数），当为“事实数”时，求出所有的值： ，的最大值： ． 【答案】 1346、1364、1328 【分析】本题考查了新定义运算，整式的加减的应用，先求出，再分两种情况：当时，若为“事实数”，则，且；当时，若为“事实数”，则，且；分别计算即可得解，理解题意，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：（，，，其中a、b、c均为整数）． 当时，若为“事实数”，则，且． ∴，． 经分析，此时b、c的值可能存在以下4种情况： ①当时，则．此时，（不符合题意，故舍去）． ②当时，则．此时，． ③当时，则．此时，（不符合题意，故舍去）． ④当时，则．此时，． 当时，若为“事实数”，则，且． ∴，． 经分析，此时b、c的值可能存在以下三种情况： ⑤当时，则（不合题意，舍去）． ⑥当时，则．此时，（不符合题意，故舍去）． ⑦当时，则．此时，． 综上：的值有1346、1364、1328． 当，． 当，． 当，． ∴的最大值为， 故答案为：1346、1364、1328；． 解答题 46．对于实数a，b．定义关于“”的一种运算：，例如． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)4 (2)2 【分析】本题考查定义新运算，代数式求值，熟练掌握新运算的法则，是解题的关键： （1）根据新运算的法则，列出算式进行计算即可； （2）根据新运算的法则，列出等式，得到，整体代入法求出代数式的值即可． 【详解】（1）解：； （2）， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型12.实数运算的实际应用】 47．设x、y是有理数，并且x、y满足等式，求 ． 【答案】或1/1或 【分析】本题主要考查了实数混合运算的应用，根据已知等式求出x与y的值，即可求出的值． 【详解】解：∵x、y是有理数，并且x、y满足等式， ∴，， 解得：，， 则或． 故答案为：或1． 48．在一次“冒险活动”中，玩家小明和小美正在共同探索神秘“宝藏”．他们一路披荆斩棘，终于来到了“宝藏”所在的“神秘洞穴”．然而，他们遇到了一个难题，“宝藏”的位置由实数x决定，且满足方程． 小明兴奋地说：“我觉得x的值应该是；” 小美思考片刻后说道：“不对，我觉得还有可能是另一个值．” 那么小美所说的另一个值是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】此题考查了实数的运算，化简绝对值，根据绝对值的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴小美所说的另一个值是． 故选：A． 49．已知表示取三个数中最小的数．例如：，当时，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的大小比较，算术平方根及其最值问题，解此类题关键要注意分类思想的运用． 比较、、的大小，最小的值为，再求出的值即可． 【详解】解：由题意可知的取值范围是； 当时，， 此时， 解得， 符合题意； 当时， 此时， 不符合题意舍去； 综上所述：； 故选：B 解答题 50．某班将在期中学生表彰大会上邀请受表彰学生的家长参会，小王设计了如图所示的长方形邀请函：正面绘制了3个A类正方形和4个B类正方形，并对阴影部分进行上色，已知每个A类正方形的面积为2，每个B类正方形的面积是4． (1)A类正方形的边长是___________； (2)分别求出一个A类正方形和一个B类正方形的周长； (3)求长方形邀请函的长和宽． 【答案】(1) (2)A类正方形的周长是：；B类正方形的周长为 (3)长方形的长为，宽为 【分析】本题考查了算术平方根，实数的混合运算．正确求解四边形的边长是解题的关键． （1）由A类正方形的面积为2，可知A类正方形的边长是； （2）由B类正方形的面积是4，可知B类正方形的边长是， （3）根据长方形的长为，宽为，根据周长公式计算求解，即可求解． 【详解】（1）解：∵A类正方形的面积为2， ∴A类正方形的边长是， 故答案为：； （2）解：∵A类正方形的边长是， ∴A类正方形的周长是：， ∵B类正方形的面积是4， ∴B类正方形的边长是， ∴B类正方形的周长为； （3）解：长方形的长为，宽为． 【题型13.与实数运算相关的规律题】 51．按规律排列的一组数：3，，，12，，则这组数的第9个数是 ． 【答案】33 【分析】本题主要考查数式规律问题、算术平方根等知识点，结合已知条件总结出规律是解题的关键． 根据已知数总结规律，然后利用规律即可解答． 【详解】解：第1个数：； 第2个数：； 第3个数：； 第4个数：； …… 第9个数是． 故答案为：33． 52．已知为实数，规定运算：，…，，按上述方法计算：当时，的值等于（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了实数的运算，数字规律探索，找到规律是解题的关键． 通过计算序列的前几项，发现序列呈现周期为3的循环规律，根据2025除以3的余数即可确定的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴序列每3项循环一次：． ∵，余数为0， ∴． 故选C． 53．将1，，，按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，则与表示的两数之差是 . 【答案】 【分析】此题主要考查了数字的变化规律，实数的减法运算，找准数字变化规律是关键． 根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第排有个数，从第一排到排共有：个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第排第个数到底是哪个数后再计算． 【详解】解：根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第排有个数，从第一排到排共有：个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回， 表示第5排从左向右第4个数是， ∵前11排共有 (个)数， 表示第12排第4个数即第70个数， ， 表示的数是， 与表示的两数之差是， 故答案为：． 54．按规律排列的一组数：3，，，12，，则这组数的第9个数是 ． 【答案】33 【分析】本题主要考查数式规律问题、算术平方根等知识点，结合已知条件总结出规律是解题的关键． 根据已知数总结规律，然后利用规律即可解答． 【详解】解：第1个数：； 第2个数：； 第3个数：； 第4个数：； …… 第9个数是． 故答案为：33． 解答题 55．观察下列等式，并回答下列问题： ①； ②； ③； ④； (1)请写出第⑤个等式：_______；计算_______． (2)写出你猜想的第n个等式：_______（用含n的式子表示）． (3)比较与1的大小． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题属于探究规律类试题，主要考查绝对值的性质、实数大小比较，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键． （1）根据已知等式的规律可以得到第⑤个等式，由于，可以根据规律得到结果； （2）由前4个等式可以猜想第n个等式为； （3）利用作差法比较大小． 【详解】（1）解：根据前4个式子可得第⑤个等式为：， ， 故答案为：；． （2）解：由前4个等式可以猜想第n个等式为， 故答案为：． （3）解：∵， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $