4.3.2 等比数列的前n项和公式课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.3.2 等比数列的前项和公式 第四章 数列 1 教学目标 掌握等比数列前项和的推导（重点、难点） 01 理解等比数列的通项公式与前项和公式的关系（重点） 02 2 学科素养 等比数列前项和的推导 逻辑推理 等比数列前项和的简单应用 数学运算 等比数列前项和公式 数学建模 3 复习回顾 1. 等比数列的定义与递推公式是怎样的？ 等比数列的递推关系： 2.等比数列的通项公式是什么？ （n∈N﹡, q≠0） (n∈N﹡, q≠0） 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数, 那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示(显然)． 或 4 国际象棋起源于古印度.相传国王舍罕要奖赏他的发 明者—达依尔宰相,问他想要什么.达依尔说:“请在棋盘 的第1个格子里放上1颗麦粒,第2个格子里放上2颗麦粒, 第3个格子里放上4颗麦粒,依次类推,每个格子里放的麦 粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍,直到第64个格子. 请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求 不高,就欣然同意了.你觉得国王能否实现他的诺言. 思考 把上述问题中每个格子里放的麦粒数看成一个数列,请分析这个数列是否是等比数列? 若是,请求出通项公式,并求和,同时猜想国王能满足达依尔宰相的要求吗？ 参考数据：已知1000颗麦粒的质量约为40g,据查,2024年度世界小麦产量约为7.9723亿吨. 1 2 第1格： 第2格： 第4格： 第3格： 第63格： 第64格： …… 每个格子里放的麦粒数构成一个以为首项， 为公比的等比数列. 问题1.这位宰相到底要的是多少麦粒呢？ 麦粒总数为1＋2＋22＋23＋⋯＋262＋ 263 = 思考.求1＋2＋22＋23＋⋯＋262＋ 263应归结为什么数学问题呢？ 求等比数列的前项和的问题 ①式两边同乘以2则有 2=2+22+23+⋯+263+264 ② 思考.观察相邻两项的特征，有何联系？ 如果我们把每一项都乘以2， 就变成了与它相邻的后一项 令=1+2+22+⋯+ 262 +263 ① ① ② 反思：纵观全过程，①式两边为什么要乘以2？ 乘以3？ 会达到一样的效果吗？ 思考.比较①、②两式，你有什么发现？ ①②得： 这种求和方法叫乘公比错位相减法 这是一个二十位数，将这个数字的小麦折算成质量(假设千粒麦子重40 g)，超过7 000 亿吨，而2024年全世界小麦总产量约为7.9723亿吨，由此看来，国王根本不可能兑现他的诺言． 回到前面故事，这位宰相要的麦粒为 ① ② ①②得： ①×q 得 问题2.类比上面求和的方法能否得到等比数列前项和公式呢？ 思考:要求出Sn,是否可以把上式两边同除以(1-q)？ 注意：分类讨论是一种常用的数学思想方法！ 首项 末项 公比 前n项和 项数 等比数列前n项和公式： 例：求等比数列的前项和时，可直接套用公式( ) 等比数列的前n项和公式： 这个公式表明，等比数列的前项和可由首项、公比和项数(或末项)唯一确定． 说明： ╳ (1).当不确定时，分，分类讨论. (2). ，， ， ， 知三求二 14 等比数列的前n项和公式： 说明: (3).公式的推导方法：乘公比错位相减法 可推广到为等差数列、为等比数列，求， 的前n项和； 例:求数列、的前n项和. 【必须掌握】 15 等比数列的前n项和公式： （ ） （ ） 说明: 16 等比数列的前n项和公式： (5). n较小时，充分利用,可避免讨论； 例：在等比数列{an}中，S3=3a3，求公比q. 说明: 17 等比数列的前n项和公式： (6).证明数列为等比数列只能用定义和等比中项， 判断数列为等比数列可借助通项公式和前n项和的结构特征. 例：在数列{an}中，已知对任意正整数n,有 ， 则 （ ） 说明: 18 3. 2. 跟踪练习：判断是非 个 n 1. 4. 再次提醒：用公式前，一定要先弄清楚数列的首项、公比、项数 例1 已知数列{an}是等比数列. 变式 已知数列{an}是等比数列. 1. 已知数列{an}是等比数列. 课本P37 例2.已知等比数列的首项为，前n项和为Sn，若，求公比q. 变式(2025新高考1卷T13)若一个等比数列的各项均为正数，且前项的和等于，前项的和等于，则这个数列的公比等于 . P37练习5.如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么这个数列的公比等于多少? 若{an}是公比为q的等比数列,则 若{an}是公比为q的等比数列,则 2. 已知a ≠ b，且ab ≠ 0，对于n∈N*，证明： 课本P37 4. 已知三个数成等比数列，它们的和等于14，积等于64. 求这个等比数列的首项和公比. 例3.已知等比数列{an}的公比，前n项和为Sn，证明Sn , S2n－Sn , S3n－S2n成等比数列，并求这个数列的公比. (1).等比数列{an}的公比,Sn为前n项和,则Sn , S2n－Sn , S3n－S2n , ⋯仍成等比数列. 等比数列前n项和的有关性质 均匀分段的和仍为等比数列 解题时可画线段示意图 (2).在等比数列中,若项数为2n，则 若项数为2n+1，则 变式1.已知在等比数列{an}中，若前10项的和为10，前20项的和为30，则前30项的和为 . 变式2.已知等比数列{an}共有2n项，若和为，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q为 . 例4.如图，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点E, F, G, H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I, J, K, L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去. (1) 求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和; (2) 如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少? 例4.如图，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点E, F, G, H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I, J, K, L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去. (1) 求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和; (2) 如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少? 例5.去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理，预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨. 为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量 (精确到0.1万吨). 例6.某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3，‧‧‧ . (1)写出一个递推公式，表示cn+1与cn之间的关系; (2) 将(1)中的递推公式表示成cn+1－k = r(cn－k)的形式，其中k，r为常数; (3) 求S10= c1＋c2＋c3＋‧‧‧＋c10的值(精确到1). 例6.某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3，‧‧‧ . (1)写出一个递推公式，表示cn+1与cn之间的关系; (2) 将(1)中的递推公式表示成cn+1－k = r(cn－k)的形式，其中k，r为常数; (3) 求S10= c1＋c2＋c3＋‧‧‧＋c10的值(精确到1). 1. 一个乒乓球从1 m高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的0.61倍. (1) 当它第6次着地时，经过的总路程是多少(精确到1 cm)? (2) 至少在第几次着地后，它经过的总路程能达到400 cm? 课本P40 2. 某牛奶厂2015 年初有资金1000万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50%. 每年年底扣除下一年的消费基金后，剩余资金投入再生产.这家牛奶厂每年应扣除多少消费基金，才能实现经过5年资金达到2000万元的目标(精确到1万元)? 课本P40 3. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn =2an+1，求Sn . 课本P40 $