4.3.1等比数列的概念课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.3.1 等比数列的概念 第四章 数列 1 教学目标 理解等比数列的概念（重点） 01 理解等比数列通项公式的含义（难点） 02 掌握等比数列通项公式的推导过程及应用（重点、难点） 03 会用等比数列的概念、性质和通项公式解决一些简单问题 04 2 学科素养 等比数列的概念 数学抽象 直观想象 等比数列通项公式的推导过程 逻辑推理 用等比数列的概念、性质和通项公式解决一些简单问题 数学运算 数据分析 等比数列通项公式 数学建模 3 特殊数列 等差数列 等比数列 概念 通项公式 前项和公式 应用 数列 概念 表示 表格、图像、通项公式、递推公式 特殊化 类比 复习回顾 1. 等差数列的概念　 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列. 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示. 等差数列的符号语言： (是常数, n≥2且n∈N*)或(是常数, n∈N*) 2. 等差中项　 如果a, A, b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项. 3. 通项公式　 我们知道，等差数列的特征是“从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数”，类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的? 请看以下几个数列，思考它们有何共同特征？ 1. 两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列: 9, 92, 93, ‧‧‧, 9l0 ①; 100, 1002, 1003, ‧‧‧ ,10010 ②; 5, 52, 53, ‧‧‧, 5l0 ③. 2.《庄子•天下》中提到: “一尺之棰, 日取其半, 万世不竭.” 如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”, 那么从第1天开始, 各天得到的“棰”的长度依次是 细菌个数 第一次 第二次 第三次 2 4 第 次 …… 分裂次数 8 3. 在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20 min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是 4. 某人存入银行a元，存期为5年，年利率为r，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是 复利是指把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息. . ⑥ . ⑥ 思考. 仔细观察以下六个数列，类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以下数列的取值规律？你发现了什么规律？ 取值规律：从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于 9． 如果用表示数列①，那么有 共同特点: 从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数. 9，92，93，‧‧‧，9l0 ① 100，1002，1003， ‧‧‧，10010 ② 5，52，53，‧‧‧，5l0 ③ ， ， ⋯， 11 如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的___都等于__________，那么这个数列就叫做________. 这个常数叫做等 数列的_____ 公比通常用字母表示 2 比 同一个常数 等比数列 公比 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差.公差通常用字母d表示 比 (n≥2,n∈N*) 等差数列的概念 等比数列的概念 类比等差数列的概念，你能抽象出等比数列的概念吗？ 概念生成 符号： (n≥2且n∈N*) (n∈N*) (n∈N*) 思考1.等差数列的项、公差均可以是0吗？等比数列呢？ 思考2.常数列是等差数列吗？是等比数列吗？ 思考3.是否存在既是等差数列又是等比数列的数列？ 常数列一定是等差数列，公差为0；不一定是等比数列 非零常数列既是等差数列又是等比数列，公差为0，公比为1. 等差数列的项、公差均可以是0，但等比数列的项和公比均不可以是0 注：， 应说明 (1) 思考：观察并判断下列数列是否是等比数列，是的话，指出公比，不是的话请说明理由: 是,公比是 2 是,公比是2 是,公比是 1 不一定,分类讨论 不是,分母不能为 0 不是,公比不能是 0 (2) (3) (4) (5) (6) 14 1. 判断下列数列是否是等比数列. 如果是，写出它的公比. 课本P31 等差中项 等比中项 如果三个数a，A，b组成等差数列， 那么A叫做a和b的等差中项. 如果三个数，，组成等比数列， 那么叫做和的等比中项 定义 a，G，b成等比数列 关系 类比等差中项的概念，你能抽象出等比中项的概念吗？ ⇒ ⇐ (1).因为G2=ab>0 ,故只有同号的两个数才有等比中项，且等比中项有两个. 注： (2).等比数列{an}中，所有奇数项的符号相同，所有偶数项的符号相同. (3).{an}为等比数列⇔ ⇒ (多用于求值) 思考.你能类比等差数列的通项公式推导，根据等比数列的定义及递推公式推导它的通项公式吗？怎么推？ 等差数列 类比 法一：不完全归纳法 …… 由此归纳等比数列的通项公式可得： 等比数列 思考.你能类比等差数列的通项公式推导，根据等比数列的定义及递推公式推导它的通项公式吗？怎么推？ 法二：累加法 …… +） 等差数列 类比 …… 由等比数列的定义 得 n-1个 又a1=a1q0=a1q1-1，即当n=1时上式也成立. an=a1qn-1 (n∈ ) 累乘法 思考. 在等差数列中，公差d ≠ 0的等差数列可以与相应的一次函数建立联系，那么对于等比数列，公比q满足什么条件的数列可以与相应的函数建立类似的联系? 通项公式　 首项为a1, 公差为q的等比数列{an}的通项公式为 l 指数函数的单调性   等比数列的单调性 不变 等比数列的 单调性 不变 不变 单调递减 单调递减 单调递减 单调递减 单调递增 单调递增 单调递增 单调递增 思考.类比指数函数的性质，说说公比的等比数列的单调性. 例1.若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12，求{an}的第5项. 思考.若等比数列{an}的第4项和第8项分别为48和12，求{an}的第6项. 结论.已知数列是等比数列，,, , ,∈N*, 且+， 则. 变式. 在等比数列{an}中， (1) a1＝1，a4＝8，求an； (2) an＝625，n＝4，q＝5，求a1； (3) a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. 例2.已知等比数列{an}的公比为q，试用{an}的第m项am表示an. 注：已知公比和任一项都可以求通项公式. 等比数列{an}的通项公式： 等差数列{an}的通项公式： 例3.数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80, 第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132. 求这个数列. 变式1.有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8；后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求出这四个数． √ 变式2.一个等比数列前三项的积为2，后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有(　　) A．13项 B．12项 C．11项 D．10项 (1)如果是三个数成等比数列，可设为，， 【归纳总结】 对称设元法 (2)如果是四个数成等比数列，可设为，，，或，， 1.与等差数列有关的数的设元技巧： 2.与等比数列有关的数的设元技巧： (1)如果是三个数成等差数列，可设为，， (2)如果是四个数成等差数列，可设为，，， 但前一种设法的公比为，只适合数列的各项同正或同负． a1 a3 a5 a7 q 2 8 2 0.2 2. 已知{an}是一个公比为q等比数列，请在下表中的空格处填入适当的数. 3. 在等比数列{an}中，a1a3＝36，a2+a4＝ 60. 求a1和公比q. 4 16 50 0.08 0.0032 课本P31 例4 推广.已知b>0且b≠1，如果数列{an}是等差数列，那么数列是等比数列. 如果数列{an}是各项均为正的等比数列，那么数列{logban}是等差数列. (1)定义法：若数列满足(为常数且不为零)或(n≥2， 为常数且不为零)，则数列是等比数列． 判断一个数列是等比数列的常用方法 (2)通项公式法：若数列的通项公式为(， )，则数列是等比数列． (3)等比中项法：若，则数列为等比数列． 说明：证明一个数列是等比数列，只能用定义法或等比中项法．　 变式1.设数列满足(),其中.求证:{是等比数列. 变式2.在数列中，若，且.求证:{是等比数列.并求数列的通项公式. 4.对于数列，若点(n, an) (n∈N*)都在函数的图象上，其中c, q为常数，且c≠0，q≠0，q≠1，试判断数列是否是等比数列，并证明你的结论. 课本P31 5.已知数列是等比数列. (1) ，，是否构成等比数列? 为什么? ，，呢? (2)当时，，，是否构成等比数列？为什么？ 当时，，，是否构成等比数列？ 课本P31 2.设数列{an}, {bn}都是等比数列，分别研究下列数列是否是等比数列，若是，证明结论；若不是，请说明理由. 课本P34 1．等比数列的单调性 公比q 单调性 首项a1 q>1 0<q<1 q=1 q<0 a1>0 a1<0 递增数列 递减数列 常数列 摆动数列 递减数列 递增数列 2.等比数列的项与序号的关系 两项关系 多项关系 等比数列的性质： 3.由等比数列衍生的新数列 (1)在等比数列中，连续取相邻项的和(或积)构成等比数列． (2)若，是项数相同的等比数列，公比分别是和，那么与{也都是等比数列，公比分别为和． (3)若是等比数列，公比为，则数列，，{， ，{}都是等比数列． 2.等比数列的公比，，则数列是(　　) A.递增数列　　　B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 3.在等比数列中，a3a4a6a7＝81，则a1a9的值为(　　) A.9 B.－9 C.±9 D.18 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 当q>1时，{an}为递增数列．(　　) (2) 当q＝1时，{an}为常数列．(　　) (3) {an}是等比数列，若m＋n＝p，则am·an＝ap. (　　) (4) 若等比数列{an}的公比是q，则an＝amqm－n(m，n∈N*). (　　) × √ × × √ √ 注意：在等比数列中，奇数项(或偶数项)的符号相同. 例5. 例6. (1) 若数列是递增的等比数列， ， ，则(　　) A. B. C. D. 　　　　 (2)已知各项都为正数的等比数列满足，，则(　 ) A. B. C. D. C B (3)若等比数列(n∈N*)满足a1＋a3＝30，a2＋a4＝10，则a1·a2·…·an的最大值为________． 729 例7.用10000元购买某个理财产品一年. (1) 若以月利率0. 400%的复利计息，12个月能获得多少利息(精确到1元)? (2) 若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息(精确到10-5)? 变式.某家庭决定要进行一项投资活动，预计每年收益5%.该家庭2021年1月1日投入10万元，按照复利(复利是指在每经过一个计息期后，都将所得利息加入本金，以计算下期的利息)计算，到2031年1月1日，该家庭在此项投资活动的资产总额大约为(　　) 参考数据：1.058≈1.48，1.059≈1.55，1.0510≈1.63，1.0511≈1.71 A．14.8万 B．15.5万 C．16.3万 D．17.1万 √ 解：因为该家庭2021年1月1日投入10万元，按照复利计算，且每年收益5%， ∴10年后的资产总额为10×(1＋5%)10. ∵1.0510≈1.63， ∴10×(1＋5%)10≈16.3(万元). 故选C. 1.求满足下列条件的数: (1) 在9与243中间插入2个数，使这4个数成等比数列; (2) 在160与－5中间插入4个数，使这6个数成等比数列. 课本P34 3. 某汽车集团计划大力发展新能源汽车，2017 年全年生产新能源汽车5000辆，如果在后续的几年中，后一年新能源汽车的产量都是前一年的150%，那么2025年全年约生产新能源汽车多少辆(精确到1)? 4.某城市今年空气质量为“优”“良”的天数为105，力争2年后使空气质量为“优”“良”的天数达到240. 这个城市空气质量为“优”“良”的天数的年平均增长率应达到多少(精确到0.01)? 课本P34 5.已知数列{an}的通项公式为 ，求使an取得最大值时n的值. 课本P34 小结： 1. 等比数列的概念　 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列. 这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q (q≠0)表示. 等比数列的符号语言： 2. 等比中项　 如果在a与b中间插入一个数G，使a, G, b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项. 此时，G2=ab . 3．等比数列的单调性 公比q 单调性 首项a1 q>1 0<q<1 q=1 q<0 a1>0 a1<0 递增数列 递减数列 常数列 摆动数列 递减数列 递增数列 4.等比数列的项与序号的关系 两项关系 多项关系 (3)∵，由得q＝，∴a1＝32. 又an＝1，∴32×＝1，即26-n＝20，解得n＝6. 解：(1)∵a4＝a1q3，即8＝q3，解得q＝2，∴an＝a1qn－1＝2n－1. (2) a1＝＝＝5. 解：由题意设这四个数分别为，b，bq，a， 则有解得或 所以这四个数分别为1，－2，4，10或－，－2，－5，－8. 解：设数列的前三项分别为a1，a1q，a1q2，后三项分别为a1qn-3，a1qn-2，a1qn-1. 由题意得aq3＝2，aq3n－6＝4，两式相乘得aq3(n－1)＝8，即aqn－1＝2. 又a1·a1q·a1q2·…·a1qn－1＝64，∴aq＝64，即(aqn－1)n＝642， ∴2n＝642＝212，解得n＝12. 证明：∵an＋1＝(n∈N*)， ∴＝＝＝＝2×， ∴是首项为＝＝2，公比为2的等比数列． $