4.2.2 等差数列的前n项和公式课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.2.2 等差数列的前项和公式 第四章 数列 1 教学目标 掌握等差数列前项和的推导（重点、难点） 01 掌握等差数列前项和的简单应用（重点） 02 03 04 2 学科素养 数学抽象 直观想象 等差数列前项和的推导 逻辑推理 等差数列前项和的简单应用 数学运算 数据分析 等差数列前项和公式 数学建模 3 前面我们学习了等差数列的概念和通项公式，下 面我们将利用这些知识解决等差数列的求和问题. 据说，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题： 1＋2＋3＋‧‧‧＋100=？ 高斯（Gauss，1777－1855），德国数学家，近代数学的奠基者之一. 他在天文学、大地测量学、磁学、光学等领域都做出过杰出贡献. 当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯经过细致的观察，迅速地报出得数：5050. 在老师与同学露出惊讶之色时，他解释了自己的思考过程： 将这 100个数分成 50 个数对，其中1＋100=101，2＋99=101，…， 50＋51=101，于是 100 个数的和就是 50 个101，即 50× 101=5 050． 高斯的算法实际上解决了求等差数列1，2，3，…，n，…前100 项之和的问题． 我国南宋数学家杨辉提出了这样一个问题:“今有圭垛草一堆，顶上一束，底阔八束．问共几束？答：36束．” 8层 { { 9束 他的计算方法可以用右图来表示． 设想有另外一堆同样的草，将其倒置，并和原来的草堆拼在一起，这就得到 8×9 的草堆，一共 72 束，因此原来的草堆共有 36 束． 在特殊问题中高斯运用的是“两两配对”的方法，那对于一般等差数列的求和问题，也能否这样处理呢？这个就不行了，因为n不一定是偶数，这样就不好“两两配对”了，这时我们就要改进方法了． 5 大家回忆一下梯形面积公式的求法：先构造一个一模一样的梯形，然后将它倒过来补成一个平行四边形，这样梯形面积等于平行四边形面积的一半，非常之巧妙． 前人计算等差数列前n项和的方法的确巧妙，那么这种方法能推广到求一般等差数列的前n项和吗？ 6 设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，即 Sn=a1＋a2＋a3＋…… ＋ an 再将项的次序反过来，Sn可以写成 Sn=an＋an－1＋an－2＋…… ＋a1 两式两边分别相加，得 2Sn= (a1＋an)＋(a2＋an－1)＋(a3＋an－2)＋…… ＋(an ＋a1) = n (a1＋an) 由此得到等差数列{an}的前n项和的公式 如果数列{an}为等差数列，且n+m=p+q,那么 an＋am=ap＋aq （n，m，p，q∈N*） (a1＋an)=(a2＋an－1)=(a3＋an－2)=… 这种求和方法叫倒序相加法 (1) 7 思考：能否用，，表示呢？ ∴ (2) 思考 不从公式(1)出发，你能用其他方法得到公式(2)吗？ ∴等差数列{an}的前n项和公式为 说明： (1) 推导等差数列的前n项和公式的方法叫 ； (2) {an}为等差数列 ，这是一个关于 的不含 的“ ”. 倒序相加法 Sn=an2+bn n 常数项 二次式 （ 注意 a 还可以是 0） 等差数列前n项和公式 这是等差数列前n项和的结构特征 (3) ，，，，知三求二 (4) 故数列是以为公差的等差数列. 判断与证明数列为等差数列 证明数列为等差数列的方法 1.定义法 2.等差中项法 判断数列为等差数列的方法（选、填中） 1.通项公式的特征 2.前项和的结构特征 例1.已知数列{an}是等差数列. 变式.已知数列{an}是等差数列. 根据下列各题中的条件，求相应等差数列{an }的前n项和Sn . (1) a1＝5, an＝95, n＝10; (2) a1＝100, d＝－2, n＝50; (3) a1＝－4, a8＝－18, n＝10; (4) a1＝14.5, d＝0.7, an＝32. 课本P22 2. 等差数列－1, －3, －5, ‧‧‧的前多少项的和是－100 ? 课本P23 例2.设数列的前项和，求证：是等差数列． 16 课本P24 例3.已知一个等差数列{an}前10项的和是310，前20项的和是1220. 由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗? 变式：等差数列中，若， ，则的值为 . . 9 25 结论 即：均匀分段的和仍为等差数列 设等差数列的前项和为，则， ， ，⋯仍成等差数列. 变式：等差数列{an}的前10项的和是100，前100项的和是10.则该数列的前110项的和 . 3. 在等差数列{an}中，Sn为其前n项的和，若S4＝6，S8＝20，求S16 . 课本P23 奇数项与偶数项和 例4.一个等差数列共有10项,其中奇数项的和为125，偶数项的和为15，求a1、d. 例5.等差数列{an}中，a5=14，a2+a9=31，求S12 例6.等差数列{an}中，S15=90，求a8. 变式1.等差数列中，，则 . 3 变式2.等差数列中, ，则 26 4. 在等差数列{an}中，若S15＝5(a2+a6+ak)，求k. 课本P23 5. 已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261. 求此数列中间一项的值以及项数. 课本P23 和之比与项之比的问题 3 和之比与项之比的问题 设等差数列的前项和，则． 备注：若可令， ． Sn的最值问题 等差数列的前项和为是一个关于的不含常数项的二次式，因此会出现求最值的问题，解题思路有: 1.利用是二次式，找对称轴，注意nN*. 2.利用. 3.针对的情况，也可以用图象法. 所有非正项的和最小 所有非负项的和最大 例7.设等差数列的前项和为，且首项，，则当为多少时，有最大值？ n=8或9 变式1.在等差数列中，若，公差，则前项和取得最大值时正整数=( ). 变式2.等差数列中， ，且前项和有最大值，则使的的最大值为( ). 11 n=5或6 3. 已知等差数列－4.2，－3.7，－3.2，‧‧‧的前n项和为Sn，Sn是否存在最大(小)值? 如果存在，求出取得最值时n的值. 课本P24 课本P24 等差数列{an}的前n项和Sn与数列{|an|}的前n项和Tn的关系 例8.在等差数列中， ，记，求数列的前项和. 等差数列{an}的前n项和Sn与数列{|an|}的前n项和Tn的关系 变式.已知数列的前项和， 求数列的前项和. 总结：本题的关键是找到数列的正负分界项，注意分类讨论！ 变式.已知一个等差数列的前3项的和是34，最后3项的和是146，所有项的和是390，则这个数列的项数是 . 13 1. 某市一家商场的新年最高促销奖设立了两种领奖方式：第一种，获奖者可以选择2000元的奖金；第二种，从12月20日到第二年的1月1日，每天到该商场领取奖品，第1天领取的奖品价值为100元，第2天为110元，以后逐天增加10元. 你认为哪种领奖方式获奖者受益更多? 课本P24 4. 求集合M＝{m| m＝2n－1, n∈N*, 且m<60}中元素的个数，并求这些元素的和. 课本P24 小结： $