上海科技大学附属学校2025-2026学年七年级上学期期末数学试卷

上海科技大学附属学校2025-2026学年度第一学期期末考试 七年级数学试卷（原卷版） 注意事项： 1. 你拿到的试卷满分为100分，考试时间为900 分钟。 2. 试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题 卷”上答题 是无效的。 3. 考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回。 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的. 1．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A． B． C． D． 3．下列分式中，是最简分式的是（ ） A． B． C． D． 4．如图，不是的同旁内角的是（    ） A． B． C． D． 5．下列命题中，判断错误的是（ ） A．所有定理都有逆命题 B．对顶角相等的逆命题是真命题 C．假命题的逆命题不一定是假命题 D．两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行 6．如图，将一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，点A，B分别折叠至点，，若，则的度数为（    ） A．80° B．70° C．65° D．50° 二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 7．如图，三角形是由三角形沿射线方向平移得到的，若，则 ． 8．计算： ． 9．因式分解： ． 10．计算： ． 11．要说明命题“若，则”是假命题，请举出一个反例： ． 12．在△中，，则x的取值范围为 . 13．若分式的值为零，则x的值为 ． 14．一个三角形的三个外角的度数比为，那么这个三角形是 三角形． 15．如图，给出下列条件：①；②；③；④．其中，一定能判定的条件有 （填写所有正确的序号）． 16．如图，如果平分，，，那么的度数是 ． 17．已知，且则的值为 ． 18．在△ABC中，若存在一个内角是另外一个内角度数的倍为大于1的正整数），则称△ABC为倍角三角形．例如，在△ABC中，，，，可知，所以△ABC为2倍角三角形．如图，直线直线于点，点、点分别在射线、上；已知、的角平分线分别与的角平分线所在的直线交于点、.若为4倍角三角形，则= ．    三、解答题（本大题共7题，满分46分） 19．（本题满分6分）因式分解： （1）； （2）． 20．（本题满分6分）解下列方程： （1）； （2）． 21．（本题满分6分）如图，已知：平分，平分，，求证：． 证明：∵， ∴____________，（______）． ∴______，（______）， ∵平分，平分， ∴，∠______． ∴． ∴． 22．（本题满分6分）如图，已知直线、相交于点O，平分，．若，求的度数．    23．（本题满分6分）已知关于x的方程=． （1）若，求出方程的解； （2）若方程无解，求m的值． 24．（本题满分6分）反证法是数学中一种常用的证明方法，请你用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于60º”．（提示；先根据题意写出已知求证，再给予证明） 已知： 求证： 证明： 25．（本题满分10分）如图，，现将一块含的三角板按如图1放置，，，使点、分别在直线、上，设． （1）求的度数； （2）如果的角平分线交直线于点，如图2． ①当时，求的度数； ②在①的条件下，如果点是射线上的一点，将三角板绕着点以每秒的速度进行顺时针旋转，同时射线绕着点以每秒的速度进行顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．当旋转多少时间时，与的一边平行？ 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海科技大学附属学校2025-2026学年度第一学期期末考试 七年级数学试卷（解析版） 注意事项： 1. 你拿到的试卷满分为100分，考试时间为900 分钟。 2. 试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题 卷”上答题 是无效的。 3. 考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回。 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的. 1．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； 故选：D． 2．下列等式从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可． 【详解】解：A、是整式乘法运算，故选项A不符合题意； B、结果不是整式乘积的形式，故选项B不符合题意； C、，是因式分解，故选项C符合题意； D、结果不是整式的乘积形式，故选项D不符合题意． 故选：C． 3．下列分式中，是最简分式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简分式的定义．最简分式是指分子与分母没有公因式的分式，要判断哪个分式是最简分式，需依次分析每个选项的分子与分母是否有公因式，若没有公因式则为最简分式． 【详解】、，不是最简分式，不符合题意； 、是最简分式，符合题意； 、，不是最简分式，不符合题意； 、，不是最简分式，不符合题意； 故选：． 4．如图，不是的同旁内角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同位角、内错角和同旁内角，解题关键是正确识别图形，能够准确判断同位角、内错角和同旁内角．观察图形，根据同旁内角、内错角和同位角的定义，对各个选项中的角与的关系进行判断即可． 【详解】解：A．观察图形可知：和是同旁内角，故此选项不符合题意； B．观察图形可知：和是同旁内角，故此选项不符合题意； C．观察图形可知：和不是同旁内角，故此选项符合题意； D．观察图形可知：和是同旁内角，故此选项不符合题意； 故选：C． 5．下列命题中，判断错误的是（ ） A．所有定理都有逆命题 B．对顶角相等的逆命题是真命题 C．假命题的逆命题不一定是假命题 D．两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行 【答案】B 【分析】本题考查命题与定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据命题，定理的定义，逆命题的定义一一判断即可． 【详解】解：、所有定理都有逆命题，正确，本选项不符合题意； B、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，原说法错误，本选项符合题意； C、假命题的逆命题不一定是假命题，例如相等的角是对顶角是假命题，而此命题的逆命题是对顶角相等，是真命题，因此原说法正确，不符合题意； D、两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行，正确，本选项不符合题意． 故选：B． 6．如图，将一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，点A，B分别折叠至点，，若，则的度数为（    ） A．80° B．70° C．65° D．50° 【答案】A 【分析】由折叠的性质得∠BFE=∠B' FE，再由平行线的性质可求得∠BFE= 50°，从而得解． 【详解】解：由折叠得：∠BFE=∠B'FE， ∵四边形ABCD是长方形 ∴AD//BC， ∴∠AEF +∠BFE= 180°， ∵∠AEF= 130°， ∴∠BFE= 50°， ∴∠B' FE= 50°， ∴∠B' FC= 180°－∠BFE－∠B' FE=80°， 故选：A． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补． 二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 7．如图，三角形是由三角形沿射线方向平移得到的，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平移的性质，先根据平移的性质得出，再利用，即可求出的长． 【详解】解：将沿射线方向平移得到， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 8．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是同底数幂的除法及乘方运算，先计算同底数幂的除法，再计算乘方即可． 【详解】解：． 故答案为： 9．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；因此此题可根据十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为． 10．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 通过因式分解分母，将第二个分式简化，再与第一个分式相加． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 11．要说明命题“若，则”是假命题，请举出一个反例： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查命题的判断，以及不等式的性质，理解命题的定义，能够根据命题适当的举出反例是解题关键． 本题要使得成立，则或，因此举反例可列举的数字即可． 【详解】解：当时，，但不满足， 故答案为：（答案不唯一）． 12．在△中，，则x的取值范围为 . 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，做题的关键是掌握三角形中任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．利用三角形三边关系得出x的取值范围． 【详解】解：∵在△中，， ∴， 即． 故答案为：． 13．若分式的值为零，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的值为0的条件，根据分式的值为零的条件，分子为零且分母不为零求解即可． 【详解】解：由分式的值为零的条件，得 且 ． 解 ，得 ， ∴或． 由 ， 得 ． ∴． 故答案为： 14．一个三角形的三个外角的度数比为，那么这个三角形是 三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角形的外角和是． 设三个外角的度数分别为，，，得到，求出，得到三个外角的度数，从而求出这个三角形三个内角的度数，即可判断此三角形的形状． 【详解】解：∵这个三角形三个外角的度数比为， ∴设三个外角的度数分别为，，， ∴， ∴， ∴三个外角的度数分别为，，， ∴与三个外角对应的三个内角分别为，，， ∴这个三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 15．如图，给出下列条件：①；②；③；④．其中，一定能判定的条件有 （填写所有正确的序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解答的关键．根据平行线的判定方法逐个判断即可解答． 【详解】解：①，根据“同旁内角互补，两直线平行”可得，故①正确； ②，根据“内错角相等，两直线平行”可得，不能判定，故②错误； ③，根据“内错角相等，两直线平行”可得，故③正确； ④，根据“同位角相等，两直线平行”可得，故④正确. 故答案为：①③④． 16．如图，如果平分，，，那么的度数是 ． 【答案】/度 【分析】此题考查了平行线的性质和角平分线的相关计算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，再用平行线的性质即可得到． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 17．已知，且则的值为 ． 【答案】19 【分析】由已知得到和，再将分式变形后整体代入，化简即可求解． 【详解】解：∵ ∴, ∴ ∵=3， ∴=3， ∴ ∴ ∴， ∴m=19． 故答案为：19． 【点睛】本题考查了分式的加减以及完全平方公式的运用，解题关键是正确将已知变形． 18．在△ABC中，若存在一个内角是另外一个内角度数的倍为大于1的正整数），则称△ABC为倍角三角形．例如，在△ABC中，，，，可知，所以△ABC为2倍角三角形．如图，直线直线于点，点、点分别在射线、上；已知、的角平分线分别与的角平分线所在的直线交于点、.若为4倍角三角形，则= ．    【答案】或 【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质等知识，读懂新定义倍角三角形的意义和分类讨论是解决问题的基础和关键． 首先证明，分两种情形分别求出即可． 【详解】平分，平分， ，， ， 是4倍角三角形， 或， ， 或． 三、解答题（本大题共7题，满分46分） 19．（本题满分6分）因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查因式分解，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）用提公因式法进行因式分解； （2）用完全平方公式进行因式分解． 【详解】（1）解： = =； （2）解： . 20．（本题满分6分）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． （1）去分母转化为整式方程求解并检验； （2）去分母转化为整式方程求解并检验． 【详解】（1）解： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为； （2）解： 解得： 经检验：是增根， ∴原方程无解． 21．（本题满分6分）如图，已知：平分，平分，，求证：． 证明：∵， ∴____________，（______）． ∴______，（______）， ∵平分，平分， ∴，∠______． ∴． ∴． 【答案】；；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，同位角相等； 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义．根据平行线的判定和性质，补齐各步骤的结论和推理依据，即可得到结果． 【详解】证明：∵， ∴，（同旁内角互补，两直线平行）． ∴，（两直线平行，同位角相等）， ∵平分，平分， ∴，． ∴． ∴． 故答案为：；；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；． 22．（本题满分6分）如图，已知直线、相交于点O，平分，．若，求的度数．    【答案】 【分析】本题考查的是对顶角的性质，角平分线的定义，垂直的含义，掌握角的和差运算是解本题的关键，先证明，再求解，再结合垂直的定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 23．（本题满分6分）已知关于x的方程=． （1）若，求出方程的解； （2）若方程无解，求m的值． 【答案】（1） （2）或2或 【分析】本题考查了分式方程的增根，解分式方程． （）将代入方程，解方程再检验即可 （）根据分式方程的解法得出，分当时、当时和当时原分式方程无解，从而求解； 【详解】（1）解：当时，原方程变为， 两边同乘得，， 解得, 经检验，是原分式方程的解； （2）解：去分母得， 整理得， 当时，整式方程无解，即时，原方程无解； 当时，，解得； 当时，，解得， 即或时，整式方程的解为2或1，此时分式方程无解， 综上所述，m的值为或2或． 24．（本题满分6分）反证法是数学中一种常用的证明方法，请你用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于60º”．（提示；先根据题意写出已知求证，再给予证明） 已知： 求证： 证明： 【答案】见解析 【详解】解：已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角． 求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个小于或等于60º． 证明：假设求证的结论不成立，即∠A＞60°、∠B＞60°、∠C＞60°； ∴∠A＋∠B＋∠C＞180° 则这与三角形内角和等于180°相矛盾． ∴假设不成立， ∴原命题为真命题. 25．（本题满分10分）如图，，现将一块含的三角板按如图1放置，，，使点、分别在直线、上，设． （1）求的度数； （2）如果的角平分线交直线于点，如图2． ①当时，求的度数； ②在①的条件下，如果点是射线上的一点，将三角板绕着点以每秒的速度进行顺时针旋转，同时射线绕着点以每秒的速度进行顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．当旋转多少时间时，与的一边平行？ 【答案】（1） （2）①；②当旋转20秒或40秒或50秒或80秒时，与的一边平行． 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，添加辅助线是解题的关键，第3问是动点问题，找到模型即可解答． （1）先作辅助线构造平行，然后根据平行线的性质即可解答； （2）①利用两次平行线的性质，找到等量关系，②动点问题，先把图形画出来，然后数形结合找到角之间的数量关系，列出方程，从而求出t． 【详解】（1）解：如图1，过点G，作， ， ， ，， ， ； （2）解：①， ， 平分， ， 又， ，， ， 解得； 【点睛】②如图2，当时，延长至点Q， ， ， ， ， 由题意知，， 由①得， ， 解得：； 当时， ， 由题意知得， ∴， 解得； 如图4，当时，延长交于点T，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； 如图4，当（第二次）时， 则， ∴， 解得：； 综上，当旋转20秒或40秒或50秒或80秒时，与的一边平行． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $