4.2.1 等差数列的概念及通项公式 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.2.1 等差数列的概念 第四章 数列 1 教学目标 理解等差数列的概念（重点） 01 理解等差数列通项公式的含义（难点） 02 掌握等差数列通项公式的推导过程及应用（重点、难点） 03 会用等差数列的概念、性质和通项公式解决一些简单问题 04 2 学科素养 等差数列的概念 数学抽象 直观想象 等差数列通项公式的推导过程 逻辑推理 用等差数列的概念、性质和通项公式解决一些简单问题 数学运算 数据分析 等差数列通项公式 数学建模 3 数列是一种特殊的函数。在函数的研究中，我们理解函数的一般概念，了解函数变化规律的研究内容(单调性、奇偶性等)，通过研究基本初等函数，不仅加深了对函数的理解，且掌握了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等非常有用的函数模型。 在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列，建立它们的通项公式和前n项和公式，并运用它们解决实际问题和数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用. 下面， 我们从一类取值规律比较简单的数列入手. 请看下面几个问题中的数列： 1. 北京天坛圜丘坛的地面有石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为 9,18,27,36,45,54,63,72,81 ① 圜丘坛是我国明朝嘉庆年间建立的一个三层露天圆台，别名祭天台，有圜丘，皇穹宇、神厨、三库及宰牲亭等组成。其位于天坛南部，为皇帝冬至日祭天大典的场所。 2. S, M, L, XL, XXL, XXXL型号的女装上衣对应的意大利尺码分别是 38,40,42,44,46,48 ② 3. 测量某地垂直地面方向上海拔500米以下的大气温度，得到从距离地面20米起每升高100米处的大气温度(单位°C)依次为 25, 24.4, 23.8, 23.2, 22.6 ③ 4.某人向银行贷款a万元，贷款时间为n年，如果个人贷款月利率为r，那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金b( =a/12n)万元，每月支付给银行的利息(单位:万元)依次为 ar, ar-br, ar-2br, ar-3br, ... ④ 思考： 上述4个数列的取值规律是什么？有何共同点？ 提示:在代数的学习中,我们常常通过运算来发现规律.例如，在指数函数的学习中， 我们通过运算发现了A，B两地旅游人数的变化规律.类似地，你能通过运算发现以上数列的取值规律吗？ 1. 9,18,27,36,45,54,63,72,81 ① 2. 38,40,42,44,46,48 ② 3. 25, 24.4, 23.8, 23.2, 22.6 ③ A景区 B景区 年份 人次 增加量 人次 增加量 2001 600 278 2002 609 9 309 31 2003 620 11 344 35 2004 631 11 383 39 2005 641 10 427 44 2006 650 9 475 48 2007 661 11 528 53 2008 671 10 588 60 2009 681 10 655 67 2010 691 10 729 74 2011 702 11 811 82 2012 711 9 903 92 2013 721 10 1005 102 2014 732 11 1118 113 2015 743 11 1224 126 从2002年起，将B地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到 结果表明，B地景区的游客人次的年增长率都约为1.11-1＝0.11，是一个常数． ⋯ 对于实例1：9，18，27，36，45，54，63，72，81 ① 我们发现 18=9+9，27=18+9···81=72+9， 换一种写法，就是 189=9，2718=9···8172=9. 如果用{an}表示数列 ① ， 那么有a2a1=9，a3a2 =9，···，a9a8=9. 这表明，数列 ① 有这样的取值规律： 从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数 实例2，实例3，实例4是否都有同样的取值规律呢？ 10 4. ar, ar-br, ar-2br, ar-3br, ... ④ 2. 38,40,42,44,46,48 ② 3. 25, 24.4, 23.8, 23.2, 22.6 ③ 实例2，实例3，实例4都有同样的取值规律. 从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数. 我们把具有这种取值规律的数列称为等差数列. 1. 等差数列的概念　 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列. 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示. 例如数列①②③④的公差依次为 9, 2, －0.6, －br. 等差数列的符号语言： (是常数, n≥2且n∈N*)或(是常数, n∈N*) 注意： 1.证明一个数列是不是等差数列,主要是利用定义,即判定是不是同一个常数. 2.公差d是每一项(从第2项起)与它的前一项的差，而且公差可以是正数，负数，也可以为0. [练一练] 判断对错： 1. 常数列是等差数列. ( ) 2. 若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列. ( ) 差都是同一个常数. 3. 数列{an}满足an＋1－an＝1(n＞1)，则数列{an}是等差数列. ( ) {an}不一定是等差数列，忽略了第1项. √ × × 2. 等差中项　 由三个数a, A, b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列. 这时，A叫做a与b的等差中项. 根据等差数列的定义可以知道，2A=a+b . 思考：一个等差数列最少需要几项？ 若a，A，b成等差数列，那么A应满足什么条件？ 1. 判断下列数列是否是等差数列. 如果是，写出它的公差. 2. 求下列各组数的等差中项: 课本P15 探究 你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？ 设一个等差数列{an}的首项为a1, 公差为d, 根据等差数列的定义, 可得 an+1－an = d 等差数列的递推公式 所以 a2－a1 = d， a3－a2 = d， a4－a3 = d，‧ ‧ ‧ 于是 a2= a1＋d， a3= a2＋d = (a1＋d)＋d = a1＋2d ， a4= a3＋d = (a1＋2d)＋d = a1＋3d ， ‧ ‧ ‧ ‧ ‧ ‧ an= a1＋(n－1)d， 当n=1时，a1= a1＋(1－1)d = a1 ，也就是说，上式当n=1时也成立. 这时，我们把an= a1＋(n－1)d称为等差数列{an}的通项公式. 不完全归纳法 (n≥2) 若等差数列{an}的首项为a1，公差为d ，那么根据等差数列的定义可得： a2－a1=d ； a3－a2=d ； a4－a3=d ； …… an－an-1=d，n≥2 ． 把这n－1个式子相加可得： an－a1=(n－1)d ． 由此得到 an=a1＋(n－1)d ． 当n=1时，等式两边均为a1，这表明该等式对任意nN*都成立，因此等差数列{an}通项公式为： an=a1＋(n－1)d（nN* ） 累加法 求数列通项公式的一种常用方法． 17 (1)等差数列与一次函数的关系： ①公差为d≠0的等差数列{an}的图象是点(n, an)组成的集合, 这些点均匀分布在直线f(x)＝dx＋(a1－d)上. ②任给一次函数f(x)＝kx＋b(k, b为常数), 则 f(1)＝k＋b，f(2)＝2k＋b, …, f(n)＝nk＋b,构成一个等差数列{f(n)}={nk＋b}, 其首项为________，公差为____. (k＋b) k 3. 通项公式　 首项为a1, 公差为d的等差数列{an}的通项公式为 an= a1＋(n－1)d = dn+ (a1 － d). 其特点是关于n的一次式. (1) an， a1， n， d 知三求一： 3. 通项公式　 首项为a1, 公差为d的等差数列{an}的通项公式为 an= a1＋(n－1)d (3)等差数列{an}的单调性与公差d有关. 当d>0时，等差数列{an}为递增数列； 当d＝0时，等差数列{an}为常数列； 当d<0时，等差数列{an}为递减数列． = dn+ (a1 － d). 其特点是关于n的一次式. an＝am＋(n－m)d (n,m∈N*) . (4) an= a1＋(n－1)d. am= a1＋(m－1)d. an－am= (n－m)d. 注：已知公差和任一项都可以求通项公式. 例1. (1) 已知等差数列{an}的通项公式为an＝5－2n，求{an}公差和首项; (2) 求等差数列 8，5，2，···的第20项. 解: (1)当n≥2时，由{an}的通项公式为an＝5－2n，可得 an－1＝5－2(n－1) ＝7－2n. 于是 d＝an－an-1＝5－2n－(7－2n)＝－2， a1＝5－2＝3. ∴{an}公差为－2，首项为3. (2) 由已知条件，得 d＝5－8＝－3，a1＝8. ∴an＝ a1＋ (n－1)d ＝8－3(n－1)＝－3n＋11. ∴a20 ＝－3×20＋11＝－49. 例2.－401是不是等差数列－5，－9，－13， ···的项？如果是，是第几项？ 解: 由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得数列{an}的通项公式为 an＝ a1＋ (n－1)d ＝－5－4(n－1)＝－4n－1. 设 －4n－1＝－401，解得 n＝100. ∴－401是这个数列第100项. 变式.已知在等差数列中，，试判断153是不是这个数列的项？如果是，是第几项？ 3. 已知{an}是一个等差数列，请在下表中的空格处填入适当的数. 4. 已知在等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝ 12. 求a4. a1 a3 a5 a7 d －7 8 2 －6.5 0.5 15.5 3.75 15 －11 －24 课本P15 5. 在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列. 课本P15 例3.某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少. 经验表明，每经过一年其价值会减少d(d为正常数）万元. 已知这台设备的使用年限为10年，超过10年 ，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废. 请确定d的范围. 解: 设使用n年后，这台设备的价值为an万元，则可得数列{an}. 由已知条件，得an＝an－1－d (n≥2)， ∴数列{an}是一个公差为－d的等差数列，且a1＝220－d . ∴ an＝a1＋(n－1)(－d)＝220－nd. 由题意，得a10 ≥ 220×5％=11，a11 < 220×5％=11， 例4.已知等差数列{an}的首项a1=2, d = 8, 在{an}中每相邻两项之间都插入3个数, 使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}. (1)求数列{bn}的通项公式. (2) b29是不是数列{an}的项 ? 若是, 它是{an}的第几项 ? 若不是, 请说明理由. 证明数列为等差数列的第二种思路！！ 即若等差数列的下标成等差数列，则项也成等差数列. 例5.已知数列{an} 是等差数列，p, q, s, t∈N*, 且p+q=s+t，求证: ap+aq= as +at . 思考.例5是等差数列的一条性质，图4.2-2是它的一种情形. 你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗? n an O ‧ ‧ ‧ ‧ s p q t as ap aq at S(s,as) P(p,ap) Q(q,aq) T(t,at) 例6.若a1+a4+a7=39, a2+a5+a8=33,则a3+a6+a9= ——. 分析：这是一组求等差数列中某些元素的问题，考察等差数列的基本参数和其性质. 解：数列a1+a4+a7，a2+a5+a8，a3+a6+a9也是等差数列，所以： 2(a2+a5+a8)=(a1+a4+a7) +(a3+a6+a9） 所以：a3+a6+a9=2×33－39=27 例7.已知数列满足，，记.求证：数列是等差数列. 变式.(2025年新高考1卷T16(1))已知数列满足，.证明：数列是等差数列. 变式.数列满足，，是否存在实数，使数列为等差数列？若存在，求其通项公式，若不存在，说明理由. 1. 某体育场一角看台的座位是这样排列的：第1排有15个座位，从第2排起每一排都比前一排多2个座位. 你能用an表示第n排的座位数吗? 第10排有多少个座位? n an O • 1 5 6 9 12 15 18 • 2 • • • • 3 4 6 3 课本P17 3. 在等差数列{an}中， an = m，am = n，且n ≠ m，求am+n . 课本P17 4. 已知数列{an}, {bn}都是等差数列, 公差分别为d1, d2, 数列{cn}满足cn= an +2bn . (1) 数列{cn}是否是等差数列? 若是, 证明你的结论; 若不是, 请说明理由. (2) 若{an}, {bn}的公差都等于2, a1= b1=1, 求数列{cn}的通项公式. 课本P17 5. 已知一个无穷等差数列{an}的首项为a1, 公差为d. (1) 将数列中的前m项去掉, 其余各项组成一个新的数列, 这个新数列是等差数列吗? 如果是, 它的首项和公差分别是多少? (2) 依次取出数列中的所有奇数项, 组成一个新的数列, 这个新数列是等差数列吗? 如果是, 它的首项和公差分别是多少? (3) 依次取出数列中所有序号为7的倍数的项, 组成一个新的数列, 它是等差数列吗? 你能根据得到的结论作出一个猜想吗? 课本P17 数列 结论 公差为_______的等差数列(为任一常数) 公差为_______的等差数列(为任一常数) 公差为_______的等差数列(为常数，∈N*) 公差为________的等差数列(，为常数) 由等差数列衍生的新数列：若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 d cd 2d pd＋qd′ 总结： 课堂检测： 1. 在等差数列{an}中，已知a5＝3，a9＝6，则a13＝(　　) A．9　　　 B．12 C．15 D．18 A C 3. 已知数列{an}，{bn}都是等差数列且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则数列 {an＋bn}的第37项为(　　) A．0 B．37 C．100 D．－37 C 2. 如果在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝(　　) A．14 B．12 C．28 D．36 4.我国古代用日晷测量日影的长度，晷长即为所测量影子的长度.《周脾算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同．二十四个节气及晷长变化如图所示．相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始．从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，若测得冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为25.5尺，则冬至日影的长为(　　) A．11.5 B．12.5 C．13.5 D．14.5 C 解：设冬至的日影长为a1，公差为d，则 a1＋a4＋a7＝31.5,a3＋a6＋a9＝25.5,两式相减得 －6d＝6,解得d＝－1,∴a1＋a4＋a7＝3a1＋9d＝31.5，解得a1＝13.5，故选C. 小结： 1. 应用等差数列解决生活中实际问题的方法. 2. 等差数列的每相邻两项之间都插入k(k∈N*)个合适的数，仍然可以构成一个新的等差数列. 3. 等差数列{an}，p, q, s, t∈N*，若p+q=s+t，则ap+aq= as+at . 解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则an＝a1＋(n－1)d， 由已知，得解得 所以an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27， 令an＝153，即4n－27＝153，解得n＝45，45∈N*， 所以153是数列{an}的第45项． $