4.1数列的概念课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.1 数列的概念(1) 第四章 数列 数列的概念与通项公式 1 2025新高考1卷，T13+T16 共20分 2025新高考2卷，T7+T9 共11分 2024新高考1卷，T19 共17分 2024新高考2卷，T12+T19(2) 共11分 2023新高考1卷，T17+T20 共17分 (共22题) 2023新高考2卷，T8+T18 共17分 教学目标 理解数列的有关概念和几种简单的表示方法（重点） 01 发现数列的规律，找出数列可能的通项公式（难点） 02 掌握数列通项公式概念及其应用（重点、难点） 03 04 3 学科素养 理解数列的有关概念 数学抽象 直观想象 逻辑推理 发现数列的规律，找出数列可能的通项公式 数学运算 数据分析 数列的几种简单的表示方法 数学建模 4 在现实生活和数学学习中，我们经常需要根据问题的意义，通过对一些数据按特定顺序排列的方法来刻画研究对象.例如: 1. 王芳从1岁到17岁，每年生日那天测量身高，将这些身高数据(单位: cm)依次排成一列数: 75, 87, 96, 103, 110, 116, 120, 128, 138, 145, 153, 158, 160, 162, 163, 165, 168 ① 2. 在两河流域发掘的一块泥版上， 有一列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数: 5, 10, 20, 40, 80, 96, 112, 128, 144, 160, 176, 192, 208, 224, 240 ② 这一列数是身高按岁数从1到17的顺序排列得到的，它们之间不能交换位置. 所以，①是具有确定顺序的一列数. 这一列数按日期从1到15的顺序排列得到的，同样它们之间也不能交换位置. 所以，②也是具有确定顺序的一列数. 数列的相关概念： 一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列. 备注： 1、数列中的数有顺序，如1,2,3,4和4,3,2,1是不同的数列； 2、数列中的数可以相同，如1,1,1,1和2,2,2,2都是数列. 1、数列的定义： 2、数列的项： 数列中的每一个数叫做这个数列的项. 数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项(也称为首项)，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示······第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示. 数列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，…. (n∈N*)，简记作{an} . 备注： 1、{an}表示一个数列：a1，a2，a3，…，an，…. ； an表示数列{an}中的第n项. {an}是数列的简记符号，不表示一个集合. 2、{a1，a2，a3，…，an …}是错误的。 由于数列{an}中的每一项an与它的序号n有下面的对应关系: 序号 1 2 3 ··· n ··· 项 a1 a2 a3 ··· an ··· 所以从函数的观点看，数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2,···,n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an = f(n). 也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值f(1)， f(2) ,···, f(n), ···就是数列{an}.另一方面，对于函数y=f(x)，如果f(n)(n∈N*)有意义，那么f(1)， f(2) , ···, f(n), ···构成了一个数列{f(n)}. 以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数. 与其他函数一样，数列也可以用表格和图象来表示. 数列的分类： 1. 以项数来分类： (1) 有穷数列： (2) 无穷数列： 2. 以各项的大小关系来分类： (1) 递增数列： (2) 递减数列： (3) 常 数 列： (4) 摆动数列： 各项都相等的数列； 从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列. 项数有限的数列； 项数无限的数列. 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列. 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列. 1．下列说法中，正确的是(　　) A．数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7} B．数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是相同的数列 C．数列的项可以相等 D．数列a，b，c和数列c，b，a一定不是同一数列 C C 练习： 数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式，简称通项. 例如数列：1, 4, 9, 16, ···的通项公式是 填空：(1) 2，4， ，16，32， ，128，… ，通项公式为________; 思考 数列5, 10, 20, 40, 80, 96, 112, 128, 144, 160, 176, 192, 208, 224, 240有通项公式吗？ 为什么？ 注意： （1）通项公式具有双重身份，它既能表示数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示.通项公式反映了一个数列项与序号的函数关系，它的主要作用有： 如：数列{n2}的第11项是121. 如：122不是数列{n2}中的项. （2）一些数列的通项公式不是唯一的；如：数列1，1，1，1，… （3）不是每一个数列都能写出它的通项公式. 如：1，24，8，3，19 ①通项公式就是数列的函数解析式，借助通项公式可以求数列中的任何一项； ②可以判断某个数是不是数列中的项； ③判断数列的增减性； ④求数列的最大项和最小项。 例1.根据下列数列{an}的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象. (1) ; (2) . 数列图象是一些离散的点 数列与函数 函数 数列 定义域 R或R的子集 N*或它的子集 解析式 y=f(x) an=f(n) 图像 点的集合 一些离散的点的集合 1. 写出下列数列的前10项，并作出它们的图象: (1) 所有正整数的倒数按从大到小的顺序排列成的数列; (2) 当自变量x依次取1, 2, 3, ‧‧‧时，函数f(x) =2x +1的值构成的数列; 课本P5 2. 根据数列{an }的通项公式填表: n 1 2 ‧‧‧ 5 ‧‧‧ ‧‧‧ ‧‧‧ n an ‧‧‧ ‧‧‧ 153 ‧‧‧ 273 ‧‧‧ 3(3+4n) 21 33 69 12 22 3. 除数函数(divisor function) y=d(n)(n∈N*)的函数值等于n的正因数的个数, 例如, d(1)=1, d(4)=3. 写出数列d(1), d(2) , ‧‧‧, d(n), ‧‧‧的前10项. 课本P5 例2. 根据下列数列的前4 项，写出数列的一个通项公式: (1) (2) 常见数列通项公式求法： (1)常见数列：正整数列，奇数列，偶数列，平方数列等直接写通项公式； (2) 分式数列：观察分子、分母的特点后写通项公式； (3) 指数数列：观察底数、指数的特点后写通项公式； (4) 各项符号一正一负： 练习：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 4. 根据下列数列的前5项，写出数列的一个通项公式: (1) (2) 课本P5 例3.如果数列{an}的通项公式为，那么120是不是这个数列的项? 如果是，是第几项? 变式.已知数列{an}的通项公式为. (1)写出此数列的第4项和第6项； (2)－49是否是该数列中的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列中的一项？如果是，应是哪一项？ 根据下列数列的通项公式，写出前五项 (1) .并判断， 是不是数列中的项，若是，是第几项？ (2) 4.1 数列的概念(2) 第四章 数列 数列的单调性与最值 24 教学目标 了解数列的单调性的相关概念（重点） 01 理解数列的单调性与函数单调性的联系与区别（重点） 02 掌握判断数列的单调性的常用方法（重点、难点） 03 会求数列最大、最小项及参数范围（难点） 04 25 学科素养 数列的单调性的相关概念 数学抽象 通过特定数列及其图像归纳出数列的单调性 直观想象 判断数列的单调性的常用方法 逻辑推理 求数列最大、最小项及参数范围 数学运算 数据分析 数学建模 26 数列的分类： 以各项的大小关系来分类： (1) 递增数列： (2) 递减数列： (3) 常 数 列： (4) 摆动数列： 各项都相等的数列； 从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列. 对任意n∈N*，总有an+1>an (或an+1an>0). 对任意n∈N*，总有an+1<an (或an+1an<0). 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列. 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列. 对任意n∈N*，总有an+1=an . 要判断数列{an}的单调性，从单调性的定义来看，我们只需比较 an+1与an的大小，而作差法是比较大小常用的一种方法． 例1.已知数列的通项公式,判断数列的单调性. 数列的单调性. 变式.判断下列数列{an}的单调性： 29 练习.判断下列数列{an}的单调性： 利用函数的单调性也是判断数列{an}的单调性的一种常用方法． 若y=f (x)在单调递增(或递减)，则数列{an}(其中an=f (n))是递增数列(或递减数列).反之不一定成立． 30 变式1.已知数列的通项公式,若数列单调递增，则实数的取值范围是( ). 例2.已知数列的通项公式,求数列中的最大项. 变式.已知数列{an}的通项公式为，判断该数列是否有最大项？若有，指出第几项最大；若没有，试说明理由． 33 变式.已知数列{an}的通项公式为，判断该数列是否有最大项？若有，指出第几项最大；若没有，试说明理由． 4.1 数列的概念(3) 第四章 数列 数列的递推公式与前项和 36 教学目标 了解数列递推公式的定义，理解用递推公式定义数列的方法（重点） 01 能根据递推公式和首项写出数列的后续各项（重点） 02 根据数列的递推公式和首项，猜想该数列的通项公式（重点、难点） 03 能由数列{an}的前项和公式Sn求通项公式an（重点、难点） 04 数列的递推公式 37 学科素养 数列递推公式的定义 数学抽象 直观想象 用递推公式定义数列的方法，由Sn求an的推导过程 逻辑推理 根据递推公式和首项写出数列的后续各项，由Sn求an 数学运算 数据分析 根据数列的递推公式和首项，猜想该数列的通项公式 数学建模 数列的概念 数列的递推公式 38 例1.图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形. 在图中4个大三角形中, 着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项, 写出这个数列的一个通项公式. 换个角度观察图可以发现，从第2个图形开始，每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的3倍. 这样，例1中的数列的前4项满足： a1=1, a2=3a1, a3=3a2, a4=3a3. 由此猜测这个数列满足公式 像an=3an-1(n≥2)这样，如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一 个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 数列的递推公式： 如果知道了一个数列的首项或前几项，以及递推公式，就能求出数列的每一项了. 当不能明显看出数列的项的取值规律时, 可以尝试通过运算来寻找规律. 如依次取出数列的某一项，减去或除以它的前一项，再对差或商加以观察. 例2.已知数列{an}的首项为a1=1, 递推公式为 写出这个数列的前5项. 练习: 根据递推公式和初始条件， 写出数列{an}的前5项，并猜想数列{an}的通项公式． 解 反复利用递推公式，列表如下： n 1 2 3 4 5 …… n an 1 …… 3 7 15 31 2n-1 于是，数列{an}的前5项分别是：1，3，7，15，31，猜想数列{an}的通项公式为2n-1． 41 数列的递推公式 例3.2500多年前的古希腊毕达哥拉斯学派在研究数时，喜欢把数描述成沙滩上的小石子．他们发现1，3，6，10，15， …这些数量的石子，都可以排成三角形(如图)，并称这样的数为“三角形数”．记图中小圆的个数依次构成数列{an}，试写出数列{an}的一个递推关系． 42 数列的递推公式 解 由图可知， a1=1，a2=3，a3=6，a4=10， 而且，在第n个“三角形数”图案的下面添加n＋1个小圆，即得到第n＋1个 “三角形数”图案，因此， an+1=an＋n＋1(n≥1)，a1=1 为数列{an}的一个递推关系． 43 数列的递推公式 练习.观察下图，写出点数列{an}的一个递推关系，并写出数列{an}的一个通项公式． 解 由图可知， a1=4，a2=7，a3=10，a4=13，…… 而且，在第n个图案的添加3个小圆，即得到第n＋1个图案，因此， an+1=an＋3(n≥1)，a1=4 为数列{an}的一个递推关系． 数列{an}的一个通项公式为：an=3n＋1． 44 探索延拓创新 斐波那契数列指的是这样一个数列： 1、1、2、3、5、8、13、21、…… “斐波那契数列”的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，籍贯大概是比萨）. 　 有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的. 这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和.它的通项公式为： （又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例.） 1. 根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式，并在横线上和括号中分别填上第5项的图形和点数. 21 13 35 课本P8 2. 根据下列条件, 写出数列{an}的前5项: 课本P8 课本P8 数列的前项和： 我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作，即 如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. 显然S1=a1，而，于是我们有 思考.已知数列的前项和公式为,你能求出的通项公式吗? 课本P8 4.已知数列的前项和公式为，求的通项公式. 变式.已知数列的前项和公式为，求的通项公式. 由数列{an}的前n项和公式Sn求通项公式an： （1）将n＝1代入Sn，求得a1=S1 （2）两式相减可得an=Sn－Sn－1，n≥2； （3）当n≥2时，用“n－1”替换Sn中的“n”，求得Sn－1； ； （4）若a1不符合an=Sn－Sn－1，n≥2，则 若a1符合an=Sn－Sn－1，n≥2，则可以把式子统一起来． 由数列的前n项和公式求通项公式 52 总结 通项公式 数列的概念 表示方法 分类 列表 图象 项数 有穷数列 无穷数列 递增 数列 递减 数列 摆动 数列 常 数列 大小 函数 数列 2．下列数列中，即是无穷数列又是递增数列的是(　　) A．1，，，，… B．sin ，sin ，sin ，sin ，… C．－1，－，－，－，… D．1，2，3，4，…，30 (2) 由3n2－28n＝－49，得n＝7或n＝(舍去)， ∴－49是该数列中的项，是第7项． 由3n2－28n＝68，得n＝－2或n＝，均不合题意， ∴68不是该数列中的项． 解：(1) a4＝－64，a6＝－60. $