上海市上海交通大学附属中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷

2025-2026学年度第一学期 高二数学期末考试卷 (满分150分，120分钟完成。答案一律写在答题纸上。) 命题：李深冰 审核：杨逸峰 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第7~12题每题5 分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1.不等式|x-2K3的解集可用区间表示为 2.若ina-子，则cos2a= 3.设事件小、B相互独立，若P4nB=名且P()=分，则P(B)= 4.经过点(4,5)且与直线y=7x+2垂直的直线的方程为 *5.如图所示，在正方体ABCD-ABC,D中，直线AC与BD D 所成角的大小为 6.在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若 a2+b2-c2=ab,则C= *7.函数y=cos2x-sin2x,xe, 42 的值域是 8.设集合A={z川zs1,z∈C,B={z川z-bis1,z∈C}(其中b∈R,i为虚数单 位).若A∩B≠☑，则实数b的取值范围是 9.如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是边长为3的正方 形，PA⊥平面ABCD且PA=3,2是棱PC上一点.若PQ=2CQ, 则平面BQD与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为， 10.盒子中有散落的黑白棋子若干粒，已知从中取出2粒都是黑子的概率是 0从 中取出2粒都是白子的概率是号，则从中取出2粒棋子恰好颜色不同的概率为】 1,设椭圆「：乙+为1(Q>b>0)的右焦点为R,椭圆T上一点A关于坐标原 点的对称点为B.设∠ABF=a,若AF上BF且aG4 椭圆的离心率e的最大值 为 2025-2026学年度第一学期高二数学期末考试卷 第1页共4页 12.在棱长为1的正方体ABCD-AB,C,D中，点P、2分别是 D 棱AA、BC上的点，满足AP=C?.若过线段P2中点且垂直于P2 的平面与正方体的棱CD、C,D均有公共点，则这两个公共点之间距 离的取值范围为 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13、14题每题4分， 15、16题每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表 正确选项的小方格涂黑。 13.下列幂函数中，既是偶函数，又是(0，+∞)上的严格增函数的是（ A.y=x-2 B.y=x3 C.y=xi D.y=x *14.在一次男子10米气手枪射击比赛中，甲运动员 的成绩（单位：环）为7.5、7.8、、10.9；乙运动员的 85 977 8 3 成绩为8.3、8.4、、10.1，如右侧茎叶图所示.从这组 64 9 2 4 5 9 数据来看，下列说法正确的是 (). 943 10 ) A,甲的平均成绩和乙一样，且甲更稳定 B.甲的平均成绩和乙一样，但乙更稳定 C,甲的平均成绩高于乙，且甲更稳定 D.乙的平均成绩高于甲，且乙更稳定 15.在空间直角坐标系O-z中，点集2中至少有三个点，且点（们，0,0）∈2.设 ∈R(i=1,2,3),若对于点集2中任意三个点、P、B,“2OE+元OP+入OR=0” 都是“1=入==0”的充分条件，则下列选项中的两点不能同时属于2的是（). A.点(0,0,1)与点(0，-1,0) B.点(0,1,0)与点(0,1,1) C.点(0,1,0)与点(1,1,1) D.点(0,0,1)与点(1,0,1) 6.设双曲线「x-名=】（其中常数k>0,点4(x,月是双曲线Γ右支上一动点 (异于顶点)，点B与A关于x轴对称；点P(x,y)是y轴右侧一点且不在双曲线「上.给 出以下两个命题：①当k>1时，对任意点P,存在点A使得PA1PB;②若PAPB关于 x的函数是(1，+∞)上的严格减函数，则k≥」；下列说法正确的是（). A.①是真命题②是假命题 B.①是假命题②是真命题 C.①②都是真命题 D.①②都是假命题 2025-2026学年度第一学期高二数学期末考试卷 第2页共4页 ma 三、解答题（本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置 写出必要的步骤， *17.(第1小题满分6分，第2小题满分8分) gri 设数列{an}是首项为1，公差为d的等差数列. rink Op (1)若a3=5,求数列{an}的前n项和Sn; icik (2)记bn=2,证明数列{bn}是等比数列；并求出当d=3时，数列bn}的前n项 me 和T, anti ey w 18.(第1小题满分6分，第2小题满分8分) ave nei 如图所示，在长方体ABCD-ABC,D中，AA=1, AB=AD=2,E、F分别是AB、BC的中点· frc ys (1)求证：A、C、FE四点共面； pe (2)求直线CD与平面A,C,EF所成角的正弦值· ot 'si ns *19.(第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题6分) za A校高一年级共有330名学 身高分组区间 数 频 浆肌籁数 o 161.5,5.5) 0.5 3 生，为了解该校高一年级学生的身 f15.5.57.5) 0.9 9 L157.5,l60.5) 6 0.9 15 高情况，学校按照性别分成随机抽 C160.5.163.5y .5 19 1G3.5,l60.s) 12 418 31 样的方法抽取了66名学生，测量 [16.5.160.5 6 0.12 39 他们的身高并记录，将样本数据分 [169.5.172.5) 012 47 〔172.3,75.5 2 1 51 成了11组：[151.5,154.5)、 [175.5.1785) 8 0.12 2 L178.5.151.5」 0.3 64 [154.5,157.5)、、[181.5,184.5] [181,5.184.53 2 0.3 66 (单位：厘米)，得到如右图所示的频率分布表。 (1)如果该校有220名男生，110名女生，求样本中男生和女生的人数； (2)以区间的中点值给区间内的每个数据赋值，试估计该校高一学生的平均身高（精 确到0.1厘米)； (3)在该样本中身高不低于178.5的学生中随机取2名学生测量体重，求这2名学 生身高均在区间[181.5,184.5]中的概率 2025-2026学年度第一学期高二数学期末考试卷 第3页共4页 20.(第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 如图所示，已知抛物线Γ：y2=4x,点T(1,0)(t>0) 是x轴正半轴上一点，过T的直线(、I2分别与抛物线Γ交 于点(，乃)、B(2,y2)和点C(,y3)、D(x4,y4)，,其中 AC在x轴上方（y,y3>0)且A在C右侧(x>), B、D在x轴下方（y2,y4<0). ()若点A到抛物线焦点的距离为4，求点A的坐标； (2)若直线AB的斜率为2且yy2=-8,求实数1的 值和△AOB的面积S△4oB) (3)分别记△ATC、△BTD的面积为S△C、S△BrD,直线AD、CB的斜率为kD kxc·若S△c=4S△mD且kc=2kD,求证：垂直于x轴. 21.(第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 李华同学用如下左图所示的炒勺做蛋饺，在学习立体几何后，他打算研究炒勺（不考 虑勺柄，下同)的容积与表面积，如图21-1所示，取定球面上一点N,联结N与球心O, 在线段NO上取一点O',过O'垂直于WO的平面（记作α）将球面分成了两部分；李华 同学将炒勺抽象为其中含有点N的那部分曲面，并设球面半径为R. 21-1 (1)若将炒勺简化为一个半球面（即O与0重合），求炒勺的容积； (2)李华记得必修三教材中，半球体 积是利用如图21-2所示的圆柱、圆锥以及 祖胞原理推导所得、模仿教材中的方法， N0=h(0<h≤R),求炒勺的容积V,并 21-2 写出推导过程； (3)设R=4厘米，NO'=h=2厘米，利用必修三教材中近似地推导球的表面积公 式的方法，帮助李华同学推测炒勺的内表面面积S(近似到0.01平方厘米)，并写出推导 过程. 2025-2026学年度第一学期高二数学期末考试卷 第4页共4页