专题05 圆中的重要模型之阿基米德折弦（定理）模型、婆罗摩笈多（定理）模型（几何模型讲义）数学沪科版九年级下册

专题05 圆中的重要模型之阿基米德折弦（定理）模型、 婆罗摩笈多（定理）模型 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模型（阿基米德折弦（定理）模型、婆罗摩笈多（布拉美古塔）（定理）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 5 模型运用 6 模型1.阿基米德折弦模型 6 模型2.圆中的“婆罗摩笈多”模型 12 16 折断的琴弦：“折弦”之名源于其几何形态—从圆周一点 B 引出的两条弦 AB 与 BC 宛如一根被折弯的琴弦。阿基米德通过观察此类折线结构，揭示了隐藏的等量关系，后人便以“折弦定理”命名此模型‌。 数学家的浪漫：据传阿基米德曾用诗歌形式记录该定理（如“折弦端点连中点，垂线落处定等分”），将抽象几何化为韵律，体现了古希腊学者对数学与艺术融合的追求‌尽管原始诗作已佚，这一传说仍被数学史研究者津津乐道。 婆罗摩笈多（布拉美古塔）（定理）模型以‌7世纪印度数学家婆罗摩笈多‌（Brahmagupta）命名，他是首个系统研究圆内接四边形性质的学者。其著作《婆罗摩历算书》首次记载了该定理，比欧洲同类研究早近千年，彰显了古印度数学的卓越成就。有趣的是，西方文献常称其为“布拉美古塔定理”，实为同一人名的音译差异。‌ （2025·湖南长沙·一模）【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接、、和，∵M是的中点，，又，，， 又，，，即 (1)【理解运用】如图1，、是的两条弦，，点M是的中点，于点D，求的长；(2)【变式探究】如图3，若点M是中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明． (3)【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下面问题：如图4，是的直径，点A是圆上一定点，点D是圆上一动点，且满足，若，的半径为10，求长． （2024·山西太原·三模）请阅读下面的材料，并解答问题． 婆罗摩笈多（Brahmagupta）约公元598年生，约660年卒，在数学、天文学方面有所成就，他编著了《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》，婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，其中有著名的婆罗摩笈多定理．婆罗摩笈多定理：圆的内接四边形的对角线与垂直相交于M，过点M的直线与边分别相交于点F、E．则有下两个结论： 如果，那么；如果，那么． 数学课上，赵老师带领大家对该定理的第一条进行了探究． 证明：，，即，，， 在中，，…… 请解答以下问题：(1)请完成所给材料的证明过程；(2)请证明结论（2）；(3)应用：如图圆O中，半径为4，A，B，C，D为圆上的点，，连接交于点F，过点F作于E，延长交于G，则的长度为______． 1）阿基米德折弦（定理）模型 条件：如图1所示，AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，BC>AB，M是 的中点，则从M向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，结论：CD=AB+BD。 图1 图2 图3 图4 证明：法1（垂线法）：如图2，过点M作射线AB，垂足为点H，连接，AC； ∵M是的中点，∴．∵，，∴． 又∵，∴，∴，．∵，， ∴．∴．∴． 法2（截长法）：如图3，在CD上截取DG=BD，连接BM，MC，MA，AC； ∵BD=DG，MD⊥BG，∴MB=MG，∠MBG=∠MGB，∵M是的中点，∴∠MAC=∠MCA，∴MA=MC， ∵∠CMG＋∠MCG=∠MGB=∠MBG=∠MAC=∠MCA=∠ACB＋∠MCG，∴∠CMG=∠ACB=∠AMB， ∵MB=MG，MA=MC，∠BMA=∠GMC，∴△MBA≌△MGC（SAS），∴BA=GC，CD=AB+BD． 法3（补短法）：如图4，如图，延长DB至F，使BF=BA；连接MA、MB、MC、MF、AC， ∵M是的中点， ∴MA=MC，∠MAC=∠MCA， ∵∠MBA=180°-∠MCA，∠MBF=180°-∠CBC=180°-∠MAC=180°-∠MCA，， ∴∠MBA=∠MBF， 在△MBF和△MBA中，， ∴△MBF≌△MBA（SAS）， ∴MF=MA=MC， 又∵MD⊥BC，∴FD=CD， ∴DC=BF+BD=BA+BD； 2）婆罗摩笈多定理（古拉美古塔定理）模型 条件：如图，四边形ABCD内接于，对角线，垂足为点M，直线，垂足为点E，并且交直线AD于点F．结论：． 证明：∵，，∴， ∴，， ∴，∵，∴． 又∵，∴，∴． 在Rt△ADM中，∠ADM＝90°，∴∠DMF＝90°﹣∠AMF，∠ADM＝90°﹣∠CAD， 又∠AMF＝∠CAD，∴∠DMF＝∠ADM，∴FM＝FD，∴AF＝FD 2）婆罗摩笈多定理（古拉美古塔定理）的逆定理 条件：如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD，垂足为M，F为AD上一点，直线FM交BC于点E，FA=FD．结论：FE⊥BC． 证明：∵AF=FD，AC⊥BD，∴∠AMD=90°，∴AF=MF=FD，∴∠FMD=∠ADM， ∵∠DAM+∠ADM=90°，∴∠FMD+∠DAM=90°， ∵∠FMD=∠BME，∠DAM=∠DBC，∴∠DBC+∠BME=90°，∴∠MEB=90°，∴FE⊥BC． 模型1.阿基米德折弦模型 例1（2025·江西赣州·二模）阿基米德不仅是物理学家，还是伟大的数学家，阿基米德折弦定理就是圆中关于弦的一个定理，其条件大致如下：如图，，为的两条弦，点是的中点，过点作于点，根据以上条件，下列说法错误的是（    ） A． B．连接、，则 C． D．作射线交于点，则平分 例2阿基米德是古希腊最伟大的数学家之一，他曾用图1发现了阿基米德折弦定理．如图2，已知BC为⊙O的直径，AB为一条弦(BCAB)，点M是上的点，MD⊥BC于点D，延长MD交弦AB于点E，连接BM，若BM=，AB=4，则AE的长为(    ) A． B． C． D． 例3（2024·湖南株洲·二模）阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，M是弧的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．请应用阿基米德折弦定理解决问题：如图2，已知等边内接于，，D为上一点，，于点E，则的周长是 ． 例4（24-25九年级下·北京海淀·月考）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，和组成圆的折弦，于F，则．如图2，是上一点，，连接，则 °． 例5（2024·山东济宁·二模）阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子，在后世的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容．前苏联在1964年根据阿尔·比鲁尼本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理． 【定理内容】一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点． 【定理模型】如图①，已知AB和BC是的两条弦（即折线ABC是的一条折弦），，M是的中点，那么从M向弦BC作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即． 下面是运用“补短法”证明的部分证明过程： 如图②，延长DB至点F，使，连接MF，AB，MC，MA，AC，… 【定理证明】按照上面思路，写出剩余部分的证明过程． 【问题解决】如图③，内接于，已知，D为上一点，连接AD，DC，，，求的周长． 模型2.圆中的“婆罗摩笈多”模型 例1（24-25九年级上·浙江温州·期中）婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类四边形称为“婆氏四边形”．如图，在中，四边形是“婆氏四边形”，对角线相交于点E，过点E作于点H，延长交于点F，则的值为（    ） A． B． C． D． 例2（24-25九年级下·江西南昌·期末）婆罗摩笈多是公元7世纪的古印度伟大数学家，曾研究对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类四边形称为“婆罗摩笈多四边形”．如图，四边形是的内接四边形，且是“婆罗摩笈多四边形”、若，则的半径为 ．    例3（2024·山西太原·三模）请阅读下面的材料，并解答问题． 婆罗摩笈多（Brahmagupta）约公元598年生，约660年卒，在数学、天文学方面有所成就，他编著了《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》，婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，其中有著名的婆罗摩笈多定理．婆罗摩笈多定理：圆的内接四边形的对角线与垂直相交于M，过点M的直线与边分别相交于点F、E．则有下两个结论： 如果，那么； 如果，那么． 数学课上，赵老师带领大家对该定理的第一条进行了探究． 证明：， ，即， ， ， 在中，， …… 请解答以下问题： (1)请完成所给材料的证明过程； (2)请证明结论（2）； (3)应用：如图圆O中，半径为4，A，B，C，D为圆上的点，，连接交于点F，过点F作于E，延长交于G，则的长度为______． 例4（2025·山西晋中·三模）阅读与思考 请认真阅读材料，并完成相应任务． 婆罗摩笈多是公元7世纪的古印度伟大数学家，曾研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，这类四边形被称为“婆罗摩笈多四边形”．我们一起了解这位数学家的研究成果吧！ 如图1，已知⊙O的内接四边形，对角线于点．婆罗摩笈多发现等于⊙O半径平方的4倍． 下面是他的探究思路： 于点， ． ．（依据1） 如图2，连接并延长交⊙O于点，连接， 则．（依据2） ． 又，． ，． ．． …… 任务： (1)填空：材料中的依据1是指： ，依据2是指： ； (2)请完成材料中的剩余证明； (3)如图3，⊙M的半径为5，四边形内接于⊙M，且于点，则的长为 ． 例5（24-25九年级上·山西长治·期末）阅读与思考 阅读下列材料，完成相应的任务． 婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古印度著名的数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算数运算法则、二次方程等方面均有建树，特别在研究一阶和二阶不定方程方面作出了巨大贡献，他曾提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“布拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下． 婆罗摩笈多定理：如图，已知四边形内接于，对角线，，相交于点M，如果直线，垂足为E，并且交边于点F，那么． 证明：， ，． ． 又_______，， ． … 任务： (1)材料中横线部分缺少的条件为_______________． (2)补全后面的证明过程． 1．（24-25九年级上·浙江温州·期中）阿基米德折弦定理：如图1，与是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，于点N，则点N是折弦的中点，即．如图2，半径为4的圆中有一个内接矩形，，点M是的中点，于点N，若矩形的面积为20，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）古代数学家阿基米德曾经提出一个定理：一个圆中一条由两条长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．如图（1），弦，是的一条折弦，点是的中点，过点作于，则．根据这个定理解决问题： 如图（2），边长为的等边内接于，点为优弧上的一点．，则的周长是 ． 3．定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC组成圆的折弦，AB＞BC，M是弧ABC的中点，MF⊥AB于F，则AF＝FB+BC． 如图2，△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一点，BD＝1，作DE⊥AB交△ABC的外接圆于E，连接EA，则∠EAC＝ °． 4．（2024·山东济宁·二模）阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．在后世的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容．前苏联在1964年根据阿尔·比鲁尼本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理． 【定理内容】一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点． 【定理模型】如图①，已知和是的两条弦（即折线是的一条折弦），，M是的中点，那么从M向弦作垂线的垂足D是折弦的中点，即． 下面是运用“补短法”证明的部分证明过程： 如图②，延长至点F，使，连接，…      【定理证明】 (1)按照上面思路，写出剩余部分的证明过程． 【问题解决】 (2)如图③，内接于，已知，D为上一点，连接，，，求的周长． 5．（2024·河南南阳·一模）请阅读下面材料，并完成相应的任务： 阿基米德折弦定理 阿基米德（Archimedes公元前287—公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数学王子． 阿拉伯Al-Birni（973年—1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据AI-Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理． 阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），，M是弧ABC的中点，则从点M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即． 这个定理有很多证明方法，下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在CD上截取，连接MA，MB，MC和MG． ∵M是弧ABC的中点， … 任务： (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)如图3，已知等边三角形ABC内接于，D为弧AC上一点，，于点E，，连接AD，则△DAB的周长是___________． 6．阿基米德（，公元前287年~公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿拉伯（973年~1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理． 阿基米德折弦定理：如图①，已知和是的两条弦（即折线是的一条折弦），是的中点．那么从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即． 下面是运用“截长法”证明的部分证明思路： 证明：如图②，在上截取，连接，…… …… 【定理证明】 按照上面的思路，写出剩余部分的证明过程． 【问题解决】 如图③，等边内接于为上一点，． 求的周长． 7．（2024·安徽宿州·一模）阿基米德（公元前287年-公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，阿基米德流传于世的著作有10余种，多为希腊文手稿．下面是《阿基米德全集》中记载的一个命题：如图1，是的弦，点在上，且于点，在弦上取点，使，点是上的一点，且，连接，求证：． 学习小组中的一位同学进行了如下证明： 如图2，连接，， ∵，． ∴ ∵， ∴ …… 请完成下列的任务： (1)完成上面的证明： (2)如图3，将上述问题中弦改为直径，若，求证点是的中点． 8．（2024九年级下·广东·学业考试）某某中学组织有关圆的学习活动，他们对阿基米德折弦定理进行了深入研究． 【问题呈现】 阿基米德折弦定理：如图．和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦）．，点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即． 同学们正在讨论如何证明该定理的正确性．他们想到用“截长法”进行证明．下面是部分证明过程．请补充完整． 证明：如图，在上截取，连接、、和． 是的中点． ___________． 又，， ______________________． ， 又， ___________． ． 即． 【变式探究】 如图，若点是的中点．【问题呈现】中的其他条件不变．判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明． 【实践应用】 如图，是的直径，点是圆上一定点，点是圆上一动点，且满足．若，的半径为．求的值． 9．（24-25九年级上·浙江舟山·期中）（1）【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．那么如何来证明这个结论呢？小明运用“截长法”来证明此结论． 具体证明思路是：如图2，在上截取，连接、、和，……，请你按照小明的思路完成证明过程． （2）【理解运用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题： ①如图3，已知等边三角形内接于，，点是上的一点，，于点，则的周长为________． ②如图4，、是的两条弦，，，点是的中点，于点，则的长为________； ③如图5，是的直径，点A圆上一定点，点圆上一动点，且满足，若，的半径为5，求长． 10．（24-25九年级上·吉林长春·期中）有关阿基米德折弦定理的探讨与应用 【问题呈现】 （1）阿基米德折弦定理：如图①，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从点M向作垂线，垂足D是折弦的中点，即． 下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图②，在上截取，连接、、和． ∵M是的中点，． …… 请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分． 【理解运用】 （2）如图③，内接于，过点O作于点D，延长交于点E，过点E作于点F．若，，则的长为______． 【实践应用】 （3）如图④，等边内接于，点D是上一点，且，连接．若，则的周长为______．          11．（24-25九年级上·广东湛江·期末）综合运用： 【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接和， ∵M是的中点， ∴， ∴（相等的弧所对的弦相等）， 又∵（同弧所对的圆周角相等）， ∴，∴， 又∵，∴，∴，即． (1)【理解运用】如图1，是的两条弦，，，点M是的中点，于点D，则的长为________； (2)【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断之间存在怎样的数量关系？并加以证明； (3)【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题： 如图4，是的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足，若，的半径为10，求长． 12．（2024·河南南阳·一模）阅读下列相关材料，并完成相应的任务．婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，也称“布拉美古塔定理”．定理的内容是：“若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边”． 任务： （1）按图（1）写出了这个定理的已知和求证，并完成这个定理的证明过程； 已知：__________________ 求证：_________________ 证明： （2）如图（2），在中，弦于M，连接分别是上的点，于于H，当M是中点时，直接写出四边形是怎样的特殊四边形：__________． 13．（24-25九年级上·山西临汾·期末）阅读下列材料，完成相应的任务． 婆罗摩笈多（Brahmagup1a）是古印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术运算规则、二次方程等方面均有建树，特别是在研究一阶和二阶不定方程方面作出了巨大贡献．他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“布拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下： 布拉美古塔定理：已知：如图1，四边形内接于，对角线，垂足为，点为的中点，连结并延长，交于点，则． 证明：， ， ， （依据）， ， … (1)上述证明过程中的依据是指______． (2)请补全上述证明过程． (3)请利用布拉美古塔定理完成如下问题：如图2，三角形内接于，，点是弧的中点，，请直接写出线段的长度． 14．（2025九年级·全国·专题练习）阅读下列相关材料，并完成相应的任务． 布拉美古塔定理 婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，也称“布拉美古塔定理”．定理的内容是：若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边． 某数学兴趣小组的同学写出了这个定理的已知和求证． 已知：如图，在圆内接四边形中，对角线，垂足为P，过点P作的垂线分别交，于点H，M． 求证：M是的中点． 任务： (1)请你完成这个定理的证明过程． (2)该数学兴趣小组的同学在该定理的基础上写出了另外一个命题：若圆内接四边形的对角线互相垂直，则一边中点与对角线交点的连线垂直于对边请判断此命题是 　　命题．（填“真”或“假”） (3)若，求的长． 15．阅读与思考； 婆罗摩笈多是一位印度数学家与天文学家，书写了两部关于数学与天文的书籍，他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，他的负数及加减法运算仅晚于中国九章算术而他的负数乘除法法则在全世界都是领先的，他还提出了著名的婆罗摩笈多定理，该定理的内容及证明如下： 已知：如图，四边形内接与圆O对角线于点M，于点E，延长交于F，求证： 证明：， ， ，同时 ，即F是中点． （1）请你阅读婆罗摩笈多定理的证明过程，完成婆罗摩笈多逆定理的证明： 已知：如图1，四边形内接与圆O，对角线于点M，F是中点，连接并延长交于点E，求证： （2）已知如图2，内接于圆O，，，，点D在圆O上，，连接交于点P，作于点N，延长交于点M，求证并求的长． 16．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）【背景知识】对角线互相垂直的圆内接四边形，称为婆氏四边形．   注：婆氏（婆罗摩笈多 Brahmagupta，598-668年，印度数学家和天文学家） 【性质探究】 （1）婆氏定理：若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边． 即如图，四边形是的婆氏四边形，过点M作于E，延长交于F，求证：F为中点； （2）如图，在直径为d的中，弦互相垂直，垂足为M．  求证： 【性质运用】 （3）如图， 是圆中两条互相垂直的弦，交点为M，分别以为弦作直角扇形（即扇形的圆心角为），若此圆的面积为S，这四个直角扇形的面积之和为S1，是否为定值？若是，求出这个值；若否，请说明理由． 17．婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古代印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术运算规则、二次方程等方面均有建树，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“古拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下： 古拉美古塔定理：如图①，四边形ABCD内接于，对角线，垂足为点M，直线，垂足为点E，并且交直线AD于点F．则． 证明：∵，，∴， ∴，，∴， ∵，∴． 又∵，∴，∴． … 任务： (1)将上述证明过程补充完整； (2)古拉美古塔定理的逆命题：如图②，四边形ABCD内接于，对角线，垂足为点M，直线FM交BC于点E，交AD于点F．若，则．请证明该命题． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 圆中的重要模型之阿基米德折弦（定理）模型、 婆罗摩笈多（定理）模型 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模型（阿基米德折弦（定理）模型、婆罗摩笈多（布拉美古塔）（定理）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 5 模型运用 6 模型1.阿基米德折弦模型 6 模型2.圆中的“婆罗摩笈多”模型 12 16 折断的琴弦：“折弦”之名源于其几何形态—从圆周一点 B 引出的两条弦 AB 与 BC 宛如一根被折弯的琴弦。阿基米德通过观察此类折线结构，揭示了隐藏的等量关系，后人便以“折弦定理”命名此模型‌。 数学家的浪漫：据传阿基米德曾用诗歌形式记录该定理（如“折弦端点连中点，垂线落处定等分”），将抽象几何化为韵律，体现了古希腊学者对数学与艺术融合的追求‌尽管原始诗作已佚，这一传说仍被数学史研究者津津乐道。 婆罗摩笈多（布拉美古塔）（定理）模型以‌7世纪印度数学家婆罗摩笈多‌（Brahmagupta）命名，他是首个系统研究圆内接四边形性质的学者。其著作《婆罗摩历算书》首次记载了该定理，比欧洲同类研究早近千年，彰显了古印度数学的卓越成就。有趣的是，西方文献常称其为“布拉美古塔定理”，实为同一人名的音译差异。‌ （2025·湖南长沙·一模）【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接、、和，∵M是的中点，，又，，， 又，，，即 (1)【理解运用】如图1，、是的两条弦，，点M是的中点，于点D，求的长；(2)【变式探究】如图3，若点M是中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明． (3)【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下面问题：如图4，是的直径，点A是圆上一定点，点D是圆上一动点，且满足，若，的半径为10，求长． 【答案】(1)3(2)，证明见解析；(3)或． 【详解】（1）解：由阿基米德折弦定理可知，， ，，，； （2）解：，证明如下：如图3，在上取，连接、、、， 点M是中点，，， 在和中，，，，， ，，，即； （3）解：是的直径，， 的半径为10，，，由勾股定理得：，， ①当点在上方时，如图，过点作于点，连接、， ，，，，， ，即点是的中点，， ，； ②当点在下方时，如图，过点作于点， ，，，，即点是的中点， 由（2）可知，，，在中，， 综上可知，长为或． （2024·山西太原·三模）请阅读下面的材料，并解答问题． 婆罗摩笈多（Brahmagupta）约公元598年生，约660年卒，在数学、天文学方面有所成就，他编著了《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》，婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，其中有著名的婆罗摩笈多定理．婆罗摩笈多定理：圆的内接四边形的对角线与垂直相交于M，过点M的直线与边分别相交于点F、E．则有下两个结论： 如果，那么；如果，那么． 数学课上，赵老师带领大家对该定理的第一条进行了探究． 证明：，，即，，， 在中，，…… 请解答以下问题：(1)请完成所给材料的证明过程；(2)请证明结论（2）；(3)应用：如图圆O中，半径为4，A，B，C，D为圆上的点，，连接交于点F，过点F作于E，延长交于G，则的长度为______． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）证明：，，即， ，，在中，，， 又∵，∴，∴， ∵，∴∴，∴； （2）证明：∵∴，∴ 又∵，∴， ∵，∴∴，∴； （3）解：如图，连接，设交于点M， ，， ，，即，，， ，，，由（1）中结论可得， ，，在中，，． 1）阿基米德折弦（定理）模型 条件：如图1所示，AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，BC>AB，M是 的中点，则从M向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，结论：CD=AB+BD。 图1 图2 图3 图4 证明：法1（垂线法）：如图2，过点M作射线AB，垂足为点H，连接，AC； ∵M是的中点，∴．∵，，∴． 又∵，∴，∴，．∵，， ∴．∴．∴． 法2（截长法）：如图3，在CD上截取DG=BD，连接BM，MC，MA，AC； ∵BD=DG，MD⊥BG，∴MB=MG，∠MBG=∠MGB，∵M是的中点，∴∠MAC=∠MCA，∴MA=MC， ∵∠CMG＋∠MCG=∠MGB=∠MBG=∠MAC=∠MCA=∠ACB＋∠MCG，∴∠CMG=∠ACB=∠AMB， ∵MB=MG，MA=MC，∠BMA=∠GMC，∴△MBA≌△MGC（SAS），∴BA=GC，CD=AB+BD． 法3（补短法）：如图4，如图，延长DB至F，使BF=BA；连接MA、MB、MC、MF、AC， ∵M是的中点， ∴MA=MC，∠MAC=∠MCA， ∵∠MBA=180°-∠MCA，∠MBF=180°-∠CBC=180°-∠MAC=180°-∠MCA，， ∴∠MBA=∠MBF， 在△MBF和△MBA中，， ∴△MBF≌△MBA（SAS）， ∴MF=MA=MC， 又∵MD⊥BC，∴FD=CD， ∴DC=BF+BD=BA+BD； 2）婆罗摩笈多定理（古拉美古塔定理）模型 条件：如图，四边形ABCD内接于，对角线，垂足为点M，直线，垂足为点E，并且交直线AD于点F．结论：． 证明：∵，，∴， ∴，， ∴，∵，∴． 又∵，∴，∴． 在Rt△ADM中，∠ADM＝90°，∴∠DMF＝90°﹣∠AMF，∠ADM＝90°﹣∠CAD， 又∠AMF＝∠CAD，∴∠DMF＝∠ADM，∴FM＝FD，∴AF＝FD 2）婆罗摩笈多定理（古拉美古塔定理）的逆定理 条件：如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD，垂足为M，F为AD上一点，直线FM交BC于点E，FA=FD．结论：FE⊥BC． 证明：∵AF=FD，AC⊥BD，∴∠AMD=90°，∴AF=MF=FD，∴∠FMD=∠ADM， ∵∠DAM+∠ADM=90°，∴∠FMD+∠DAM=90°， ∵∠FMD=∠BME，∠DAM=∠DBC，∴∠DBC+∠BME=90°，∴∠MEB=90°，∴FE⊥BC． 模型1.阿基米德折弦模型 例1（2025·江西赣州·二模）阿基米德不仅是物理学家，还是伟大的数学家，阿基米德折弦定理就是圆中关于弦的一个定理，其条件大致如下：如图，，为的两条弦，点是的中点，过点作于点，根据以上条件，下列说法错误的是（    ） A． B．连接、，则 C． D．作射线交于点，则平分 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理、弦与弧的关系、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的三线合一等知识，熟练掌握圆周角定理是解题关键．先求出，再根据即可判断A正确；连接，，，先证出，再根据三角形的三边关系可得，由此即可判断B错误；在上截取点，使得，连接，，，，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，由此即可判断C正确；先求出，再根据圆周角定理可得，由此即可判断D正确． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∵， ∴，则选项A正确； 如图，连接，，， ∵， ∴， ∵， ∴，则选项B错误； 如图，在上截取点，使得，连接，，，， 由圆周角定理得：， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则选项C正确； 由题意，画出图形如下： ∵是的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分，则选项D正确； 故选：B． 例2阿基米德是古希腊最伟大的数学家之一，他曾用图1发现了阿基米德折弦定理．如图2，已知BC为⊙O的直径，AB为一条弦(BCAB)，点M是上的点，MD⊥BC于点D，延长MD交弦AB于点E，连接BM，若BM=，AB=4，则AE的长为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长ME，设交圆于点F，连接BF、AF，可得BF=BM，∠BMF=∠BFM=∠FAB，从而可得△BFA∽△BEF，利用相似三角形的性质列式可求BE的长度，从而可求得AE的长度． 【详解】解：延长ME，设交圆于点F，连接BF、AF，如图， ∵BC为⊙O的直径， MD⊥BC于点D， ∴MB=FB=，∠BMF=∠BFM 又∠BMF=∠FAB ∴∠BFM=∠FAB ∴∠BFE=∠FAB ∵∠EBF=∠FBA ∴△BFA∽△BEF ∴ 即 ∴BE= ∴AE=4-= 故选：A． 【点睛】本题考查了垂径定理及三角形相似的判定和性质，解题的关键是准确做出辅助线，得出三角形相似． 例3（2024·湖南株洲·二模）阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，M是弧的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．请应用阿基米德折弦定理解决问题：如图2，已知等边内接于，，D为上一点，，于点E，则的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形外接圆与外心，等边三角形的性质，阿基米德折弦定理，根据等腰直角三角形的性质和等边三角形的性质以及阿基米德折弦定理即可得到结论． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 例4（24-25九年级下·北京海淀·月考）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，和组成圆的折弦，于F，则．如图2，是上一点，，连接，则 °． 【答案】60 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，如图2，连接，先计算得到，则根据阿基米德折弦定理得到点E为弧的中点，即，根据圆心角、弧、弦的关系得到，接着利用圆周角得到，则可得到，然后再利用圆周角定理得到的度数． 【详解】解：如图，连接 ∵ ∴， ∴， 而， ∴点E为弧的中点，即， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：60． 例5（2024·山东济宁·二模）阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子，在后世的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容．前苏联在1964年根据阿尔·比鲁尼本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理． 【定理内容】一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点． 【定理模型】如图①，已知AB和BC是的两条弦（即折线ABC是的一条折弦），，M是的中点，那么从M向弦BC作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即． 下面是运用“补短法”证明的部分证明过程： 如图②，延长DB至点F，使，连接MF，AB，MC，MA，AC，… 【定理证明】按照上面思路，写出剩余部分的证明过程． 【问题解决】如图③，内接于，已知，D为上一点，连接AD，DC，，，求的周长． 【答案】[定理证明]见解析；[问题解决] 【分析】[定理证明] 证明，则，再证明，则，可得； [问题解决]过点A作交于E，可得为等边三角形，则，根据阿基米德折线定理，，即可求的周长为． 【详解】[定理证明]证明：∵M是的中点， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； [问题解决] 解：过点A作交于E， ∵，，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， 根据阿基米德折线定理，， ∴的周长为． 【点睛】本题考查圆的综合应用，理解阿基米德折线定理，熟练掌握圆的性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键． 模型2.圆中的“婆罗摩笈多”模型 例1（24-25九年级上·浙江温州·期中）婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类四边形称为“婆氏四边形”．如图，在中，四边形是“婆氏四边形”，对角线相交于点E，过点E作于点H，延长交于点F，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明，再根据同弧所对的圆周角相等推出，则，再证明，得到，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，等腰三角形的判定，同角的余角相等，直角三角形两锐角互余，证明，是解题的关键． 例2（24-25九年级下·江西南昌·期末）婆罗摩笈多是公元7世纪的古印度伟大数学家，曾研究对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类四边形称为“婆罗摩笈多四边形”．如图，四边形是的内接四边形，且是“婆罗摩笈多四边形”、若，则的半径为 ．    【答案】1 【分析】连接，交于点E，连接并延长交于F，连接，设的半径为r，根据圆周角定理的推论得出，然后求出，再利用勾股定理得出，同理可得，然后得出，即可求出的半径． 【详解】解：连接，交于点E，连接并延长交于F，连接，设的半径为r，      ∵是直径， ∴， 由题意知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴， ∴，即的半径为1， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理的推论，圆心角、弧、弦的关系，勾股定理，作出合适的辅助线，证明是解题的关键． 例3（2024·山西太原·三模）请阅读下面的材料，并解答问题． 婆罗摩笈多（Brahmagupta）约公元598年生，约660年卒，在数学、天文学方面有所成就，他编著了《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》，婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，其中有著名的婆罗摩笈多定理．婆罗摩笈多定理：圆的内接四边形的对角线与垂直相交于M，过点M的直线与边分别相交于点F、E．则有下两个结论： 如果，那么； 如果，那么． 数学课上，赵老师带领大家对该定理的第一条进行了探究． 证明：， ，即， ， ， 在中，， …… 请解答以下问题： (1)请完成所给材料的证明过程； (2)请证明结论（2）； (3)应用：如图圆O中，半径为4，A，B，C，D为圆上的点，，连接交于点F，过点F作于E，延长交于G，则的长度为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用圆周角定理及直角三角形的性质得到进而推出，同理得到，根据等边对等角即可得出结论； （2）根据题意得到，进而得到，利用圆周角定理结合对顶角推出，从而得到，即可证明； （3）连接，设交于点M，先利用等腰三角形的性质结合题意易证，再利用三角形内角和定理推出，从而证明，由（1）中结论易得，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得到，再根据勾股定理求出，即可得出结果． 【详解】（1）证明：， ，即， ， ， 在中，， ， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； （2）证明：∵ ∴， ∴ 又∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； （3）解：如图，连接，设交于点M， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， 由（1）中结论可得， ， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查圆的内接四边形，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理，熟练运用等腰三角形等角对等边的性质是解题的关键． 例4（2025·山西晋中·三模）阅读与思考 请认真阅读材料，并完成相应任务． 婆罗摩笈多是公元7世纪的古印度伟大数学家，曾研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，这类四边形被称为“婆罗摩笈多四边形”．我们一起了解这位数学家的研究成果吧！ 如图1，已知⊙O的内接四边形，对角线于点．婆罗摩笈多发现等于⊙O半径平方的4倍． 下面是他的探究思路： 于点， ． ．（依据1） 如图2，连接并延长交⊙O于点，连接， 则．（依据2） ． 又，． ，． ．． …… 任务： (1)填空：材料中的依据1是指： ，依据2是指： ； (2)请完成材料中的剩余证明； (3)如图3，⊙M的半径为5，四边形内接于⊙M，且于点，则的长为 ． 【答案】(1)勾股定理；直径所对的圆周角是直角 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据勾股定理和直径所对的圆周角是直角即可解答； （2）根据圆周角定理进行线段的转换，再利用勾股定理即可解答； （3）直接利用（2）中原理即可解答． 【详解】（1）解：材料中的依据1是指勾股定理，依据2是指直径所对的圆周角是直角， 故答案为：勾股定理；直径所对的圆周角是直角； （2）证明：于点， ， ， 如图2，连接并延长交⊙O于点，连接， 则， ， 又， ， ， ． ， ， ， ， 即等于⊙O半径平方的4倍； （3）解：根据（2）中结论可得， ， 故答案为：． 例5（24-25九年级上·山西长治·期末）阅读与思考 阅读下列材料，完成相应的任务． 婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古印度著名的数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算数运算法则、二次方程等方面均有建树，特别在研究一阶和二阶不定方程方面作出了巨大贡献，他曾提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“布拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下． 婆罗摩笈多定理：如图，已知四边形内接于，对角线，，相交于点M，如果直线，垂足为E，并且交边于点F，那么． 证明：， ，． ． 又_______，， ． … 任务： (1)材料中横线部分缺少的条件为_______________． (2)补全后面的证明过程． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，等腰三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等知识．熟练掌握同弧所对的圆周角相等，等腰三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余是解题的关键． （1）由等量代换作答即可； （2）根据等边对等角可得，由，可得，则，进而结论得证． 【详解】（1）解：由题意知，材料中横线部分缺少的条件为， 故答案为：； （2）证明：，， ，， ， 又，， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 1．（24-25九年级上·浙江温州·期中）阿基米德折弦定理：如图1，与是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，于点N，则点N是折弦的中点，即．如图2，半径为4的圆中有一个内接矩形，，点M是的中点，于点N，若矩形的面积为20，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查圆与勾股定理的综合应用；连接，，，根据圆周角定理，结合已知条件易证得为的直径，，则，再根据弧、弦、圆心角的关系及等腰直角三角形的性质可求得，然后根据同弧所对的圆周角相等及勾股定理可得，，设，，其中，利用勾股定理及矩形面积公式列得方程，解方程求得，的长度，再结合可证得，则，最后利用勾股定理列得方程，解方程求出或，再进一步分析即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，，， 四边形为矩形， ， 为的直径，， 的半径为4， ， 点为的中点， ， ， ，， ，， 设，，其中， 则， 解得：或 舍去， 即，， ，， ， ， ， ， ， 解得：或， ∴或， 当时，， 当时，， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 2．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）古代数学家阿基米德曾经提出一个定理：一个圆中一条由两条长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．如图（1），弦，是的一条折弦，点是的中点，过点作于，则．根据这个定理解决问题： 如图（2），边长为的等边内接于，点为优弧上的一点．，则的周长是 ． 【答案】/ 【分析】过点Q作于T，在上截取，连接，，先求出，得到等腰直角，利用勾股定理求得，再证明，得，从而利用等腰三角形三线合一性质得出，即可得出，则，即可由三角形周长公式求解． 【详解】解：如图，过点Q作于T，在上截取，连接，， ∵等边 ∴，， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， 由题意可得：，， 在和中， ， ， ， ， ， ∴ ∴ ∴的周长， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形判定和性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，合理添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 3．定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC组成圆的折弦，AB＞BC，M是弧ABC的中点，MF⊥AB于F，则AF＝FB+BC． 如图2，△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一点，BD＝1，作DE⊥AB交△ABC的外接圆于E，连接EA，则∠EAC＝ °． 【答案】60°． 【分析】连接OA、OC、OE，由已知条件，根据阿基米德折弦定理，可得到点E为弧ABC的中点，即,进而推得∠AOE＝∠COE，已知∠ABC＝60°，则∠AOC＝2∠ABC＝2×60°＝120°，可知∠AOE＝∠COE＝120°，故∠CAE＝∠COE＝60°. 【详解】解：如图2，连接OA、OC、OE， ∵AB＝8，BC＝6，BD＝1， ∴AD＝7，BD+BC＝7， ∴AD＝BD+BC， 而ED⊥AB， ∴点E为弧ABC的中点，即， ∴∠AOE＝∠COE， ∵∠AOC＝2∠ABC＝2×60°＝120°， ∴∠AOE＝∠COE＝120°， ∴∠CAE＝∠COE＝60°． 故答案为60°． 【点睛】本题是新定义型题，考查了圆周角定理及推论，解本题的关键是掌握题中给出的关于阿基米德折弦定理的内容并进行应用. 4．（2024·山东济宁·二模）阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．在后世的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容．前苏联在1964年根据阿尔·比鲁尼本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理． 【定理内容】一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点． 【定理模型】如图①，已知和是的两条弦（即折线是的一条折弦），，M是的中点，那么从M向弦作垂线的垂足D是折弦的中点，即． 下面是运用“补短法”证明的部分证明过程： 如图②，延长至点F，使，连接，…      【定理证明】 (1)按照上面思路，写出剩余部分的证明过程． 【问题解决】 (2)如图③，内接于，已知，D为上一点，连接，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，则，再证明，则，由此即可得证； （2）过点作交于，可得为等边三角形，则，根据阿基米德折线定理可得，然后根据的周长等于即可得． 【详解】（1）证明：∵是的中点， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：过点作交于，    ∵，，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， 由阿基米德折线定理得：， ∴的周长为． 【点睛】本题考查了圆周角定理、三角形全等的判定与性质、解直角三角形、等边三角形的判定与性质等知识点，理解阿基米德折线定理，熟练掌握圆的相关定理是解题的关键． 5．（2024·河南南阳·一模）请阅读下面材料，并完成相应的任务： 阿基米德折弦定理 阿基米德（Archimedes公元前287—公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数学王子． 阿拉伯Al-Birni（973年—1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据AI-Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理． 阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），，M是弧ABC的中点，则从点M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即． 这个定理有很多证明方法，下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在CD上截取，连接MA，MB，MC和MG． ∵M是弧ABC的中点， … 任务： (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)如图3，已知等边三角形ABC内接于，D为弧AC上一点，，于点E，，连接AD，则△DAB的周长是___________． 【答案】(1)见解析 (2)2＋4 【分析】（1）首先证明△MBA≌△MGC（SAS），进而得出MB＝MG，再利用等腰三角形的性质得出BD＝GD，即可得出答案； （2）首先证明△CBF≌△CAD（SAS），进而得出CF＝CD，AD+DE＝BE，进而求出BE和AB的长即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图2，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG． ∵M是的中点， ∴MA＝MC． 在△MBA和△MGC中 ∵ ∴△MBA≌△MGC（SAS）， ∴MB＝MG， ∴△MBG是等腰三角形 又∵MD⊥BC， ∴BD＝GD， ∴DC＝GC+GD＝AB+BD； （2））解：如图4，截取BF＝AD，连接CF，CD， ∵△ABC是等边三角形 ∴ BC＝AC，∠CBF＝∠CAD，∠ABC＝60°， 在△CBF和△CAD中 ∵ ∴△CBF≌△CAD（SAS）， ∴CF＝CD，∠BCF＝∠ACD＝∠ABD＝15° ∴△CDF是等腰三角形， ∵CE⊥BD， ∴FE＝DE，∠BCE＝90° 则AD+DE＝BE， ∵∠ABD＝15° ∴∠CBE＝∠ABC－∠ABD＝45° ∴∠BCE＝90°－∠CBE＝45° ∴△BCE是等腰直角三角形 ∴BE＝CE＝2，BC＝ ∴AD+DE＝BE＝2，AB＝BC＝2 ∴△DAB的周长＝AB＋AD+DE＋BE＝2＋4 故答案为：2＋4 【点睛】本题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形解决问题． 6．阿基米德（，公元前287年~公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿拉伯（973年~1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理． 阿基米德折弦定理：如图①，已知和是的两条弦（即折线是的一条折弦），是的中点．那么从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即． 下面是运用“截长法”证明的部分证明思路： 证明：如图②，在上截取，连接，…… …… 【定理证明】 按照上面的思路，写出剩余部分的证明过程． 【问题解决】 如图③，等边内接于为上一点，． 求的周长． 【答案】【定理证明】：见解析；【问题解决】：的周长为 【分析】（1）首先证明△MBA≌△MGC（SAS），进而得出MB=MG，再利用等腰三角形的性质得出BD=GD，即可得出答案； （2）首先证明△ABF≌ACD（SAS），进而得出AF=AD，以及CD+DE=BE，进而求出DE的长即可得出答案． 【详解】解：（1）如图②，连接． 可得． 由是的中点，可求得． ， ． ． ， ． ． 即． （2）如图③，作． 由，可得． 由阿基米德折弦定理，可得． 由于， 所以，在中，可求得． 故的周长为． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形以及等边三角形的性质，正确作出辅助线利用全等三角形的判定与性质解题是解题关键． 7．（2024·安徽宿州·一模）阿基米德（公元前287年-公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，阿基米德流传于世的著作有10余种，多为希腊文手稿．下面是《阿基米德全集》中记载的一个命题：如图1，是的弦，点在上，且于点，在弦上取点，使，点是上的一点，且，连接，求证：． 学习小组中的一位同学进行了如下证明： 如图2，连接，， ∵，． ∴ ∵， ∴ …… 请完成下列的任务： (1)完成上面的证明： (2)如图3，将上述问题中弦改为直径，若，求证点是的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明，即可得出答案； （2）先证明，再证明为等边三角形，进而得出四边形为菱形，推出，即可得出结论． 【详解】（1）解：， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）证明：如答图，连接，，． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴四边形为菱形， ∴， ∴， ∴点是的中点． 【点睛】本题考查菱形的判定与性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握这些知识点是解题的关键． 8．（2024九年级下·广东·学业考试）某某中学组织有关圆的学习活动，他们对阿基米德折弦定理进行了深入研究． 【问题呈现】 阿基米德折弦定理：如图．和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦）．，点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即． 同学们正在讨论如何证明该定理的正确性．他们想到用“截长法”进行证明．下面是部分证明过程．请补充完整． 证明：如图，在上截取，连接、、和． 是的中点． ___________． 又，， ______________________． ， 又， ___________． ． 即． 【变式探究】 如图，若点是的中点．【问题呈现】中的其他条件不变．判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明． 【实践应用】 如图，是的直径，点是圆上一定点，点是圆上一动点，且满足．若，的半径为．求的值． 【答案】【问题呈现】；；； 【变式探究】，证明见解析 【实践应用】 的值为或 【分析】【问题呈现】根据相等的弧所对的弦相等，全等三角形的判定，等腰三角形三线合一依次补充完整证明过程． 【变式探究】在上截取，连接、、、，由“”可证，可得，由等腰三角形的性质可得，进而利用线段之间的数量关系等量代换可得结论． 【实践应用】分点在下方和点在上方两种情况讨论，分别对应【变式探究】和【问题呈现】两种情况的结论即可求解，注意构造辅助线过点作的垂线． 【详解】解：【问题呈现】；；；． 【变式探究】． 证明：如图，在上截取，连接、、、， 点是的中点， ，， 又， ， ， ， ， 又， ， ，即； 【实践应用】如图，当点在下方时，过点作于点，连接， 是的直径， ， 的半径为， ， 在中，， ， ， ， 点为的中点， ， ，即， 解得， ； 如图，当点在上方时，过点作于点， 同理可得，，即，解得， ， ； 综上所述：的值为或． 【点睛】本题考查的是圆的综合题，考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，理解阿基米德折弦定理是解题的关键． 9．（24-25九年级上·浙江舟山·期中）（1）【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．那么如何来证明这个结论呢？小明运用“截长法”来证明此结论． 具体证明思路是：如图2，在上截取，连接、、和，……，请你按照小明的思路完成证明过程． （2）【理解运用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题： ①如图3，已知等边三角形内接于，，点是上的一点，，于点，则的周长为________． ②如图4，、是的两条弦，，，点是的中点，于点，则的长为________； ③如图5，是的直径，点A圆上一定点，点圆上一动点，且满足，若，的半径为5，求长． 【答案】（1）见解析；（2）①；②；③或 【分析】（1）在上截取，连接、、和，由是的中点，得到，从而得到，进而证明，得到，再由“三线合一”得到，即可得证． （2）①由，，得到是等腰直角三角形，从而可求得，又由等边三角形得到，，从而，进而点A是的中点，由（1）结论可得，根据即可解得； ②在上截取，连接、、、，证明可得，由等腰三角形的性质可得，即可解答； ③分两种情况分别讨论：①点在下方，②点在上方，分别求解即可． 【详解】（1）证明：如图2，在上截取，连接、、和， ∵是的中点， ∴， ∴（相等的弧所对的弦相等）， 又∵（同弧所对的圆周角相等）， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即． （2）①解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴点A是的中点， ∵， ∴由（1）可得， ∴； 故答案为： ②在上截取，， 连接、、、，   是弧的中点， ∴ ，， 又， ， ， ， 又， ， ∵， ∴， ∴； 故答案为：8 ③解：如图4，当点在下方时，过点作于点，连接， ∵是圆的直径， ∴， ∵，圆的半径为5， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴由②可得， ∴， ∴在等腰中，； 当点在上方时，，同理得， 综上所述：的长为或． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，理解题意是解本题的关键． 10．（24-25九年级上·吉林长春·期中）有关阿基米德折弦定理的探讨与应用 【问题呈现】 （1）阿基米德折弦定理：如图①，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从点M向作垂线，垂足D是折弦的中点，即． 下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图②，在上截取，连接、、和． ∵M是的中点，． …… 请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分． 【理解运用】 （2）如图③，内接于，过点O作于点D，延长交于点E，过点E作于点F．若，，则的长为______． 【实践应用】 （3）如图④，等边内接于，点D是上一点，且，连接．若，则的周长为______．          【答案】（1）见解析；（2）3；（3） 【分析】（1）先证明，得出，根据三线合一性质得到，进而得到；（2）利用垂径定理得到，根据阿基米德折弦定理求出，利用求出结果；（3）根据等边三角形性质，基米德折弦定理，结合题意得出是等腰直角三角形，求出，进而求出，从而求出结果． 【详解】解：（1）问题呈现：在和中， ， ， ， ， ， 即； （2）， ， 是的中点， ，， ， ， ， ， 故答案为：3； （3）是等边三角形， ， ， 是的中点， ， 如图：作于点， 则， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，理解题中给出的阿基米德折弦定理是解答本题的关键． 11．（24-25九年级上·广东湛江·期末）综合运用： 【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接和， ∵M是的中点， ∴， ∴（相等的弧所对的弦相等）， 又∵（同弧所对的圆周角相等）， ∴，∴， 又∵，∴，∴，即． (1)【理解运用】如图1，是的两条弦，，，点M是的中点，于点D，则的长为________； (2)【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断之间存在怎样的数量关系？并加以证明； (3)【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题： 如图4，是的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足，若，的半径为10，求长． 【答案】(1)2 (2)，理由见解析 (3)的长为或． 【分析】（1）由“问题”呈现结论即可求解； （2）在上截取，连接、、、，证明可得，由等腰三角形的性质可得，可得结论； （3）分两种情况讨论，由（1）结论可求解． 【详解】（1）解：由题意得：，即， ， ， ， 故答案为：2； （2）解：， 证明：在上截取，连接、、、，如图3，   是弧的中点， ，， 又， ， ， ， 又， ， ，即； （3）解：如图4，当点在下方时，过点作于点，连接，   是圆的直径， ， ，圆的半径为10， ， ， ， ， ， ， 当点在上方时，， 同理得， 综上所述：的长为或． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，理解题意是解本题的关键． 12．（2024·河南南阳·一模）阅读下列相关材料，并完成相应的任务．婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，也称“布拉美古塔定理”．定理的内容是：“若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边”． 任务： （1）按图（1）写出了这个定理的已知和求证，并完成这个定理的证明过程； 已知：__________________ 求证：_________________ 证明： （2）如图（2），在中，弦于M，连接分别是上的点，于于H，当M是中点时，直接写出四边形是怎样的特殊四边形：__________． 【答案】（1）见解析；（2）菱形 【分析】（1）先写出已知、求证，先证明，再证明，即可证明 （2）先证明，再证明,由布拉美古塔定理证明即可证明 【详解】（1）已知：如图，在圆内接四边形中，对角线于点M，过点M作的垂线分别交于点． 求证：点E是的中点 证明： ， ， ， ， ， 同理可证， ， ∴点E是的中点 故答案为：已知：如图，在圆内接四边形中，对角线于点M，过点M作的垂线分别交于点． 求证：点E是的中点 （2）四边形是菱形 理由：由布拉美古塔定理可知，分别是的中点， 是中点 ∴四边形是菱形 故答案为：四边形是菱形 【点睛】本题考查菱形的判定、根据题意写已知求证、灵活进行角的和差关系的转换是解题的关键 13．（24-25九年级上·山西临汾·期末）阅读下列材料，完成相应的任务． 婆罗摩笈多（Brahmagup1a）是古印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术运算规则、二次方程等方面均有建树，特别是在研究一阶和二阶不定方程方面作出了巨大贡献．他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“布拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下： 布拉美古塔定理：已知：如图1，四边形内接于，对角线，垂足为，点为的中点，连结并延长，交于点，则． 证明：， ， ， （依据）， ， … (1)上述证明过程中的依据是指______． (2)请补全上述证明过程． (3)请利用布拉美古塔定理完成如下问题：如图2，三角形内接于，，点是弧的中点，，请直接写出线段的长度． 【答案】(1)等边对等角； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）根据条件和结论即可判断出答案； （2）根据前面的证明过程得到，由等量代换得到，即可得到，结论得证； （3）由圆周角定理求出，根据等腰三角形三线合一得到，，由勾股定理求出，由等积法求出，在中，由勾股定理求出，根据布拉美古塔定理可得，则，即可证明，得到，代入已知线段即可得到答案． 【详解】（1）∵， （等边对等角）， ∴上述证明过程中的依据是指等边对等角； 故答案为：等边对等角 （2）证明：， ， ， （等边对等角）， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴是等腰三角形， ∵点是弧的中点， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 由题意得，四边形内接于，对角线，垂足为F，点G为的中点，连结并延长，交于点，根据布拉美古塔定理可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关定理并进行正确推理是解题的关键． 14．（2025九年级·全国·专题练习）阅读下列相关材料，并完成相应的任务． 布拉美古塔定理 婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，也称“布拉美古塔定理”．定理的内容是：若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边． 某数学兴趣小组的同学写出了这个定理的已知和求证． 已知：如图，在圆内接四边形中，对角线，垂足为P，过点P作的垂线分别交，于点H，M． 求证：M是的中点． 任务： (1)请你完成这个定理的证明过程． (2)该数学兴趣小组的同学在该定理的基础上写出了另外一个命题：若圆内接四边形的对角线互相垂直，则一边中点与对角线交点的连线垂直于对边请判断此命题是 　　命题．（填“真”或“假”） (3)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)真 (3)． 【分析】（1）在中，证明，再由同弧所对的圆周角相等，可得，可得，则；同理可证，即可得到； （2）仿照（1）的证明过程，直接证明即可； （3）求出，再由，可得，求出，再由，即可求出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴M是的中点； （2）解：若圆内接四边形的对角线互相垂直，则一边中点与对角线交点的连线垂直于对边，理由如下： 已知：如图，在圆内接四边形中，对角线，垂足为P，M是的中点，连接交于点H， 求证：； 证明：∵M是的中点； ∴， ∴，且， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：真； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握直角三角形的性质，同弧所对的圆周角相等，同角的余角相等是解题的关键． 15．阅读与思考； 婆罗摩笈多是一位印度数学家与天文学家，书写了两部关于数学与天文的书籍，他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，他的负数及加减法运算仅晚于中国九章算术而他的负数乘除法法则在全世界都是领先的，他还提出了著名的婆罗摩笈多定理，该定理的内容及证明如下： 已知：如图，四边形内接与圆O对角线于点M，于点E，延长交于F，求证： 证明：， ， ，同时 ，即F是中点． （1）请你阅读婆罗摩笈多定理的证明过程，完成婆罗摩笈多逆定理的证明： 已知：如图1，四边形内接与圆O，对角线于点M，F是中点，连接并延长交于点E，求证： （2）已知如图2，内接于圆O，，，，点D在圆O上，，连接交于点P，作于点N，延长交于点M，求证并求的长． 【答案】（1）证明见解析;（2）证明见解析,． 【分析】本题考查圆的综合问题，涉及垂径定理，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质，含的直角三角形的性质等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用知识. （1）由于，所以，，由于F是的中点，所以，从而可证明． （2）由圆周角定理得出，由三角形内角和定理求出，得出是等腰直角三角形，，，由（1）的证明过程可知：，再由含的直角三角形的性质即可求出，，最后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出的长度． 【详解】， 解：（1）， ， ∵F是的中点， ， ， ， ，， ， ； （2），， ， 又， ， ，是等腰直角三角形， ，， ， ， ∴由垂径定理可知：N是的中点， ∴由（1）的证明过程可知：， ，， ， ， ， ， ∵N是的中点，， ． 16．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）【背景知识】对角线互相垂直的圆内接四边形，称为婆氏四边形．   注：婆氏（婆罗摩笈多 Brahmagupta，598-668年，印度数学家和天文学家） 【性质探究】 （1）婆氏定理：若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边． 即如图，四边形是的婆氏四边形，过点M作于E，延长交于F，求证：F为中点； （2）如图，在直径为d的中，弦互相垂直，垂足为M．  求证： 【性质运用】 （3）如图， 是圆中两条互相垂直的弦，交点为M，分别以为弦作直角扇形（即扇形的圆心角为），若此圆的面积为S，这四个直角扇形的面积之和为S1，是否为定值？若是，求出这个值；若否，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）是， 【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角，等角对等边，勾股定理，“弧，弦，圆心角”之间的关系，求扇形面积， 对于（1），先根据婆氏四边形的定义得，再根据可得 “同弧所对的圆周角”，然后根据“等角对等边”得，则此题可证； （2）作直径，连接，先根据“弧，弦之间的关系”得，再根据勾股定理得，则此题可证； 对于（3），由（2）得，再表示出，求出比值即可. 【详解】（1）证明：∵四边形是的婆氏四边形， ∴， ∴， 即. ∵， ∴， ∴， 即， ∴. ∵， ∴， ∴， 即， 则点F是的中点； （2）证明：作直径，连接， ∴. ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：是， 由（2）得， 则，， ∴为定值. 17．婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古代印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术运算规则、二次方程等方面均有建树，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“古拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下： 古拉美古塔定理：如图①，四边形ABCD内接于，对角线，垂足为点M，直线，垂足为点E，并且交直线AD于点F．则． 证明：∵，，∴， ∴，，∴， ∵，∴． 又∵，∴，∴． … 任务： (1)将上述证明过程补充完整； (2)古拉美古塔定理的逆命题：如图②，四边形ABCD内接于，对角线，垂足为点M，直线FM交BC于点E，交AD于点F．若，则．请证明该命题． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）可推出∠DMF＝∠ADM，进而得证； （2）先推出FM＝AF＝FD，进而可推出∠CBD+∠BME＝90°即可得证． 【详解】（1）在Rt△ADM中，∠ADM＝90°， ∴∠DMF＝90°﹣∠AMF， ∠ADM＝90°﹣∠CAD， 又∠AMF＝∠CAD， ∴∠DMF＝∠ADM， ∴FM＝FD， ∴AF＝FD （2）在Rt△AMD中，AF＝FD， ∴FM＝AF＝FD， ∴∠MAD＝∠AMF， ∠ADM＝∠FMD， ∵， ∴∠MAD＝∠CBD， ∵∠BME＝∠FMD， ∴∠BME＝∠ADM， ∴∠CBD+∠BME＝∠MAD+∠ADM＝90°， ∴∠BEM＝90°， ∴FE⊥BC． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，圆周角定理及等腰三角形的判定和性质，解决问题的关键是熟练掌握相关图形的性质和判定． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $