专题1 选择题知识点分类2025-2026学年江苏省九年级上学期期末数学复习（8个知识点+8种题型）

九年级上学期期末选择题知识点分类汇编（8个知识点+8种题型） 【题型归纳】 题型1 二次函数的定义 3 题型2 点与圆的位置关系 4 题型3 圆周角定理 5 题型4 平均数、中位数、众数、方差的定义 7 题型5 切线的性质 8 题型6 二次函数的平移 11 题型7 一元二次方程的应用 12 题型8 二次函数的图象与a,b,c关系 13 一、知识梳理 考点1 二次函数定义 一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数. 考点2 点与圆的位置关系 　　设⊙O的半径为，OP=，则有 　　点P在⊙O 外；　点P在⊙O 上；点P在⊙O 内. 考点3 圆周角定理 　　 　①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半. 　　 　②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 　　 　③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角. 　　 　④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 　　 　⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 考点4 平均数、中位数、众数、方差的定义 1.算术平均数 一般地，如果有n个数，那么=叫做这n个数的算术平均数，简称平均数.“”读作“x拔”. 通常，平均数可以用来表示一组数据的“集中趋势”. 2.加权平均数 一组数据的平均数，不仅与这组数据中各个数据的值有关，而且与各个数据的“重要程度”有关.我们把衡量各个数据“重要程度”的数值叫做权.按照这种方法求出的平均数，叫做加权平均数. 加权平均数的计算公式为：若数据出现次，出现次，出现次……出现次，这组数据的平均数为，则=（+++…+）（其中n=+++…+） “权”越大，对平均数的影响就越大.加权平均数的分母恰好为各权的和. 3.众数 一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数. 当一组数据中有较多的重复数据时，常用众数来描述这组数据的集中趋势. 4.中位数 一般地，将一组数据按大小顺序排列，如果数据的个数是奇数，那么处于中间位置的数叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，那么处于中间位置的两个数的平均数叫做这组数据的中位数. 当一组数据中个别数据与其他数据的大小差异很大时，通常用中位数来描述这组数据的集中趋势. 考点5 切线的性质 　　 　①圆的切线垂直于过切点的半径. 　　 　②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点. 　　 　③经过切点作切线的垂线经过圆心. 考点6 二次函数的平移 1.平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 考点7 一元二次方程的应用 　　　审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 　　　设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 　　　列 (根据题目中的等量关系，列出方程)； 　　　解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 　　　答 (写出答案，切忌答非所问). 考点8 二次函数的图象与a,b,c关系 　　(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样. 　　(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线， 　 　　故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧； ③(即、异号)时，对称轴在轴右侧. 　　(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置. 　 　　当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)： 　 　　①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴. 　　以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 . 二、题型精讲 题型1 二次函数的定义 例1.下列函数属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【变式1-1】下列函数中，二次函数是（ ） A. y=8x2+1 B. y=8x+1 C. y= D. y= 【变式1-2】已知函数：①；②；③；④．其中，二次函数的个数为　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型2 点与圆的位置关系 例2.已知的半径为3，当时，点与的位置关系为（ ） A. 点在圆外 B. 点在圆内 C. 点在圆上 D. 不能确定 【变式2-1】在平面直角坐标系中，圆心为坐标原点，⊙O的半径为10，则P（﹣10，1）与⊙O的位置关系为（　　） A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O外 C．点P在⊙O内 D．无法确定 题型3 圆周角定理 例3.如图，已知，均为上一点，若，则（ ） A. B. C. D. 【变式3-1】如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD=24°，则∠ABD=（ ） A. 54° B. 56° C. 64° D. 66° 【变式3-2】如图，为的直径，点C、D在上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 题型4 平均数、中位数、众数、方差的定义 例4.已知一组数据26，36，36，3■，41，42，其中一个两位数的个位数字被墨水涂污，则关于这组数据下列统计量的计算结果与被涂污数字无关的是（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 中位数 D. 众数 【变式4-1】甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【变式4-2】在一次演讲比赛中，某位选手的演讲内容、演讲表达的得分分别为95分，90分，将演讲内容、演讲表达的成绩按计算，则该选手的成绩是（ ） A. 94分 B. 93分 C. 92分 D. 91分 题型5 切线的性质 例5.如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切，与y轴相交于A（0，2），B（0，8），则圆心P的坐标是（ ） A. （5，3） B. （5，4） C. （3，5） D. （4，5） 【变式5-1】如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D．若⊙P的半径为5，点A的坐标是（0，8）．则点D的坐标是（　　） A．（9，2） B．（9，3） C．（10，2） D．（10，3） 题型6 二次函数的平移 例6.将二次函数y＝﹣x2的图像向左平移3个单位长度后得到的抛物线的函数表达式是（ ） A. y＝﹣（x﹣3）2 B. y＝﹣（x+3）2 C. y＝﹣x2+3 D. y＝﹣x2﹣3 【变式6-1】将抛物线y＝2x2的图象先向上平移3个单位，再向右平移4个单位所得的解析式为( ) A. B. C. D. 【变式6-2】在平面直角坐标系中，如果抛物线不动，而把轴、轴分别向下、向右平移2个单位长度，那么在新坐标系下抛物线的解析式为　　 A． B． C． D． 题型7 一元二次方程的应用 例7. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【变式7-1】某种品牌的电动车经过四、五月份连续两次降价，每辆售价由3600元降到了3000元，设平均每月降低的百分率为x，根据题意可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【变式7-2】疫情期间居民为了减少外出时间，更愿意使用APP在线上购物，某购物APP今年二月份用户比一月份增加了44%，三月份用户比二月份增加了21%，则二、三两个月用户的平均每月增长率是（　　） A．28% B．30% C．32% D．32.5% 题型8 二次函数的图象与a,b,c关系 例8.二次函数的图像如图，给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【变式8-1】如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③（为任意实数）；④若，则，其中正确结论为（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①③④ 【变式8-2】二次函数的图象如图所示，顶点为，给出四个结论： ①； ②若有三个点都在这个抛物线上，则； ③； ④关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是． 其中正确的有（　　） A. ①②③ B. ①②③④ C. ①③④ D. ①②④ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上学期期末选择题知识点分类汇编（8个知识点+8种题型） 【题型归纳】 题型1 二次函数的定义 3 题型2 点与圆的位置关系 4 题型3 圆周角定理 5 题型4 平均数、中位数、众数、方差的定义 7 题型5 切线的性质 8 题型6 二次函数的平移 11 题型7 一元二次方程的应用 12 题型8 二次函数的图象与a,b,c关系 13 一、知识梳理 考点1 二次函数定义 一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数. 考点2 点与圆的位置关系 　　设⊙O的半径为，OP=，则有 　　点P在⊙O 外；　点P在⊙O 上；点P在⊙O 内. 考点3 圆周角定理 　　 　①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半. 　　 　②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 　　 　③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角. 　　 　④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 　　 　⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 考点4 平均数、中位数、众数、方差的定义 1.算术平均数 一般地，如果有n个数，那么=叫做这n个数的算术平均数，简称平均数.“”读作“x拔”. 通常，平均数可以用来表示一组数据的“集中趋势”. 2.加权平均数 一组数据的平均数，不仅与这组数据中各个数据的值有关，而且与各个数据的“重要程度”有关.我们把衡量各个数据“重要程度”的数值叫做权.按照这种方法求出的平均数，叫做加权平均数. 加权平均数的计算公式为：若数据出现次，出现次，出现次……出现次，这组数据的平均数为，则=（+++…+）（其中n=+++…+） “权”越大，对平均数的影响就越大.加权平均数的分母恰好为各权的和. 3.众数 一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数. 当一组数据中有较多的重复数据时，常用众数来描述这组数据的集中趋势. 4.中位数 一般地，将一组数据按大小顺序排列，如果数据的个数是奇数，那么处于中间位置的数叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，那么处于中间位置的两个数的平均数叫做这组数据的中位数. 当一组数据中个别数据与其他数据的大小差异很大时，通常用中位数来描述这组数据的集中趋势. 考点5 切线的性质 　　 　①圆的切线垂直于过切点的半径. 　　 　②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点. 　　 　③经过切点作切线的垂线经过圆心. 考点6 二次函数的平移 1.平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 考点7 一元二次方程的应用 　　　审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 　　　设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 　　　列 (根据题目中的等量关系，列出方程)； 　　　解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 　　　答 (写出答案，切忌答非所问). 考点8 二次函数的图象与a,b,c关系 　　(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样. 　　(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线， 　 　　故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧； ③(即、异号)时，对称轴在轴右侧. 　　(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置. 　 　　当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)： 　 　　①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴. 　　以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 . 二、题型精讲 题型1 二次函数的定义 例1.下列函数属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义．一般地，形如（a，b，c为常数）的函数叫做二次函数． 根据定义逐一判定．判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成（a，b，c为常数）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是． 【详解】解：A．是一次函数，故不符合题意； B．是二次函数，故符合题意； C．是正比例函数，故不符合题意； D．，当时是一次函数，故不符合题意． 故选：B． 【变式1-1】下列函数中，二次函数是（ ） A. y=8x2+1 B. y=8x+1 C. y= D. y= 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的定义：形如( a≠0)的函数叫二次函数，直接判断即可． 【详解】A、符合二次函数的定义，本选项符合题意； B、是一次函数，不符合题意； C、是反比例函数，不符合题意； D、不二次函数，不符合题意； 故选A 【点睛】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握二次函数的定义，即可完成． 【变式1-2】已知函数：①；②；③；④．其中，二次函数的个数为　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据形如y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数为二次函数即可得到结论． 【答案】解：根据定义②y＝3（x﹣1）2+2；③y＝（x+3）2﹣2x2是二次函数 故选：B． 【解答】本题考查二次函数的定义，解题的关键正确理解二次函数的定义，本题属于基础题型． 题型2 点与圆的位置关系 例2.已知的半径为3，当时，点与的位置关系为（ ） A. 点在圆外 B. 点在圆内 C. 点在圆上 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，通过比较点到圆心的距离与半径的大小确定点与圆的位置关系． 根据“点到圆心的距离大于半径，则点在圆外”即可解答． 【详解】解：∵的半径为3，当， 即点到圆心的距离大于半径， ∴点P在圆外， 故选：A． 【变式2-1】在平面直角坐标系中，圆心为坐标原点，⊙O的半径为10，则P（﹣10，1）与⊙O的位置关系为（　　） A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O外 C．点P在⊙O内 D．无法确定 【分析】先根据勾股定理求出OP的长，再与⊙O的半径为10相比较即可． 【答案】解：∵圆心P的坐标为（﹣10，1）， ∴OP． ∵⊙O的半径为10， ∴10， ∴点P在⊙O外． 故选：B． 【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键． 题型3 圆周角定理 例3.如图，已知，均为上一点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理直接可得，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：． 【变式3-1】如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD=24°，则∠ABD=（ ） A. 54° B. 56° C. 64° D. 66° 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆周角定理得到∠ADB=90°，∠A=∠BCD=24°，然后利用互余计算∠ABD的度数． 【详解】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∵∠A=∠BCD=24°， ∴∠ABD=90°-∠A=90°-24°=66°． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 【变式3-2】如图，为的直径，点C、D在上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理，连接，根据为的直径，可得，从而得到，再根据圆内接四边形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为的圆内接四边形， ∴， ∴． 故选：C． 题型4 平均数、中位数、众数、方差的定义 例4.已知一组数据26，36，36，3■，41，42，其中一个两位数的个位数字被墨水涂污，则关于这组数据下列统计量的计算结果与被涂污数字无关的是（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 中位数 D. 众数 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平均数、中位数、众数、方差的定义，观察数据，可得已经有两个36，故众数为36，被涂染数字无关，解决本题的关键是要熟练掌握平均数，中位数，众数，方差的定义． 【详解】解：平均数是一组数据总和除以总数，跟被涂污数字有关，故A不符合题意； 方差是一组数据中每个数据与这组数据平均数差的平方的平均数，跟被涂污数字有关，故B不符合题意； 中位数是将一组数据按照一定顺序排列后，取最中间这个数或最中间两个数的平均数，跟被涂污数字有关，故C不符合题意； 数据中出现次数最多的数是36，即众数是36，与被涂污数字无关， 故选：D． 【变式4-1】甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】根据方差可进行求解． 【详解】解：由题意得：； ∴成绩最稳定的是丁； 故选D． 【点睛】本题主要考查方差，熟练掌握方差是解题的关键． 【变式4-2】在一次演讲比赛中，某位选手的演讲内容、演讲表达的得分分别为95分，90分，将演讲内容、演讲表达的成绩按计算，则该选手的成绩是（ ） A. 94分 B. 93分 C. 92分 D. 91分 【答案】B 【解析】 【分析】根据加权平均数的公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得：该选手的成绩是 分． 故选：B 【点睛】本题主要考查了求加权平均数，熟练掌握加权平均数的公式是解题的关键． 题型5 切线的性质 例5.如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切，与y轴相交于A（0，2），B（0，8），则圆心P的坐标是（ ） A. （5，3） B. （5，4） C. （3，5） D. （4，5） 【答案】D 【解析】 【详解】如图，过P作PC⊥AB于点C，过P作PD⊥x轴于点D，连接PB， ∵P为圆心， ∴AC=BC， ∵A（0，2），B（0，8）， ∴AB=8﹣2=6， ∴AC=BC=3， ∴OC=8﹣3=5， ∵⊙P与x轴相切， ∴PD=PB=OC=5， 在Rt△PBC中，由勾股定理可得PC===4， ∴P点坐标为（4，5）， 故选D． 考点：切线的性质；坐标与图形性质． 【变式5-1】如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D．若⊙P的半径为5，点A的坐标是（0，8）．则点D的坐标是（　　） A．（9，2） B．（9，3） C．（10，2） D．（10，3） 【分析】设⊙O与x、y轴相切的切点分别是F、E点，连接PE、PF、PD，延长EP与CD交于点G，证明四边形PEOF为正方形，求得CG，再根据垂径定理求得CD，进而得PG、DB，便可得D点坐标． 【答案】解：设⊙O与x、y轴相切的切点分别是F、E点，连接PE、PF、PD，延长EP与CD交于点G， 则PE⊥y轴，PF⊥x轴， ∵∠EOF＝90°， ∴四边形PEOF是矩形， ∵PE＝PF，PE∥OF， ∴四边形PEOF为正方形， ∴OE＝PF＝PE＝OF＝5， ∵A（0，8）， ∴OA＝8， ∴AE＝8﹣5＝3， ∵四边形OACB为矩形， ∴BC＝OA＝8，BC∥OA，AC∥OB， ∴EG∥AC， ∴四边形AEGC为平行四边形，四边形OEGB为平行四边形， ∴CG＝AE＝3，EG＝OB， ∵PE⊥AO，AO∥CB，∴PG⊥CD， ∴CD＝2CG＝6， ∴DB＝BC﹣CD＝8﹣6＝2， ∵PD＝5，DG＝CG＝3，∴PG＝4， ∴OB＝EG＝5+4＝9， ∴D（9，2）． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，圆的切线的性质，垂径定理，勾股定理，关键是求出CG的长度． 题型6 二次函数的平移 例6.将二次函数y＝﹣x2的图像向左平移3个单位长度后得到的抛物线的函数表达式是（ ） A. y＝﹣（x﹣3）2 B. y＝﹣（x+3）2 C. y＝﹣x2+3 D. y＝﹣x2﹣3 【答案】B 【解析】 【分析】根据“左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=-x2的图象向左平移3个单位长度后得到的抛物线的函数表达式是：y=-（x+3）2， 故选：B． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 【变式6-1】将抛物线y＝2x2的图象先向上平移3个单位，再向右平移4个单位所得的解析式为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先得到抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），然后确定平移后的顶点坐标，再根据顶点式写出最后抛物线的解析式． 【详解】解：抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=2x2先向上平移3个单位， ​再向右平移4个单位后顶点坐标为（4，3），此时解析式为y=2（x-4）2+3． 故选C． 【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换，解题关键在于求抛物线与坐标轴的交点坐标. 【变式6-2】在平面直角坐标系中，如果抛物线不动，而把轴、轴分别向下、向右平移2个单位长度，那么在新坐标系下抛物线的解析式为　　 A． B． C． D． 【分析】根据平移确定出抛物线的顶点在新坐标系中的坐标，然后利用顶点式解析式写出即可． 【答案】解：抛物线y＝2x2的顶点坐标为（0，0）， ∵把x轴、y轴分别向下、向右平移2个单位， ∴在新坐标系中抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣2）， ∴抛物线的解析式为y＝2（x+2）2﹣2． 故选：D． 【解答】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简便易懂． 题型7 一元二次方程的应用 例7. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，根据月均下降率是x表示出5月份的售价是解答此题的关键．首先根据3月份售价为23万元，月均下降率是x可得出4月份的售价为万元，5月份的售价为万元，据此根据5月份售价为16万元可列出方程，进而可得出答案． 【详解】解：∵3月份售价为23万元，月均下降率是x，5月份售价为16万元， ∴． 故选：B． 【变式7-1】某种品牌的电动车经过四、五月份连续两次降价，每辆售价由3600元降到了3000元，设平均每月降低的百分率为x，根据题意可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据原售价（降低率）两次降价后的售价，然后即可列出方程． 【详解】解：设平均每月降低的百分率为x， 根据题意，可得：． 故选：D 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解本题关键在于理解题意列出方程． 【变式7-2】疫情期间居民为了减少外出时间，更愿意使用APP在线上购物，某购物APP今年二月份用户比一月份增加了44%，三月份用户比二月份增加了21%，则二、三两个月用户的平均每月增长率是（　　） A．28% B．30% C．32% D．32.5% 【分析】要求二、三两个月用户的平均每月增长率如何，就要先设出一个未知数，表示出二月份和三月份的用户数，然后比较计算． 【答案】解：设一月份用户数为1，则二月份用户数＝1×（1+44%）＝1.44，三月份就是1.44×（1+21%）＝1.7424． 设二、三两月用户的平均每月的平均增长率是x，则 （1+x）2＝1.7424， 解得：x1＝32%或x2＝﹣2.32（不合题意，舍去）． 故二、三两个月用户的平均每月增长率是32%． 故选：C． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，关键是注意利用单位1来进行计算，设一月份用户数为1可以使计算简便． 题型8 二次函数的图象与a,b,c关系 例8.二次函数的图像如图，给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，由图可知，二次函数开口向下，，与轴两个交点，对称轴，进而逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：由图可知，二次函数开口向下，，对称轴， ∴，则，则①错误； 与轴两个交点，，即，②正确； 函数对称轴，当或时，，即，③错误； 当时，， ，④正确； 故选B． 【变式8-1】如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③（为任意实数）；④若，则，其中正确结论为（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用二次函数的性质判断符合特征等，①由图象得，由对称轴可判断的符号，即可判断；②由对称轴得图象与x轴交于另一点，，可得，将化为，即可判断；③由二次函数的最值得，可得，即可判断；④由②可求，，代入，即可判断．能熟练利用二次函数的性质进行运算判断是解题的关键． 【详解】解：①由图象得：， ∴， ∴，故①正确； ②∵对称轴为直线， 图象与轴交于点， ∴图象与轴交于另一点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故②错误； ③∵，对称轴为直线， ∴当时，， ∴，即（为任意实数）， ∴，故③正确； ④由②得，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确结论有：①③④， 故选：D． 【变式8-2】二次函数的图象如图所示，顶点为，给出四个结论： ①； ②若有三个点都在这个抛物线上，则； ③； ④关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是． 其中正确的有（　　） A. ①②③ B. ①②③④ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意和函数图像，由函数图像的开口确定，对称轴和确定，与轴交点的纵坐标确定，根据函数增减性和对称性判断函数值的大小比较，由对称轴和取特殊的自变量值判断一些含的代数式，根据函数的图像与直线的图像有两个不同的交点，即可确定的取值范围． 【详解】解：函数图像开口向下， ， 二次函数的顶点为， ， ， ， 函数图像与轴交于正半轴， ， ，①正确； 函数图像关于对称，在中， ， ，②正确； 当时，，即：， ，即：， ，③正确； 方程有两个不相等的实数根，即：函数的图像与直线的图像有两个不同的交点， 如图：作 当时，函数的图像与直线的图像只有一个交点， 当，函数的图像与直线的图像有两个不同的一个交点， 即：，④正确； 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图像，结合函数图像与二次函数的性质是解决本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $