2026年中考数学复习填空题专项集训-因式分解

2026年中考数学复习填空题专项集训之因式分解 一．填空题（共20小题） 1．（2025•沙坪坝区校级一模）我们规定：一个四位正整数M可以分解成x2﹣y2﹣3，其中x，y均是正整数且x＞y，则称M是“方差3数”，将M分解成x2﹣y2﹣3的过程称为“方差3分解”．例如：因为1622＝452﹣202﹣3，所以1622是“方差3数”，1622分解成1622＝452﹣202﹣3的过程是“方差3分解”．在所有分解中，当x﹣y取得最小时，称x2﹣y2﹣3是M的“最佳分解”，此时规定：．按照这个规定，对“方差3数”M＝2022进行“最佳分解”时，x+y＝　 　 ；若一个“方差3数”N＝1010a+101b﹣321（2≤a≤9，3≤b≤9，a，b均为整数），N各数位的数字之和记为G（N），，满足H（N）是5的倍数，当N是满足以上条件的最大数时，则F（N）＝　 　 ． 2．（2025•山亭区一模）整式的学习中我们常常使用拼图的方法得出相应的等式，利用如图所示的拼图分解因式：a2+3ab+2b2＝　 　 ． 3．（2025•祁阳市校级一模）在将x2+mx+n因式分解时，小刚看错了m的值，分解得（x﹣1）（x+6）；小芳看错了n的值，分解得（x﹣2）（x+1），那么原式x2+mx+n正确分解为 　 　 ． 4．（2025•武江区校级一模）分解因式：4a3﹣8a2+4a＝　 　 ． 5．（2025•惠城区三模）分解因式a2﹣10a+25的结果是 　 　 ． 6．（2025•丽江模拟）因式分解（3x﹣2y）a2+（2y﹣3x）b2＝ 　 　 ． 7．（2025•威海模拟）若x+2是x2﹣2x+m的一个因式，则常数m的值为 　 　 ． 8．（2025•河南校级三模）写出一个含有因式a+b的二次多项式 　 　 ． 9．（2025•隆回县校级模拟）小俊利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，请结合图形，帮助小俊补全因式分解：a2+3ab+2b2＝　 　 ． 10．（2025•茂南区模拟）1.992+1.99×0.01＝　 　 ． 11．（2025•阳谷县二模）我们规定：若一个正整数A能写成m2﹣n其中m与n都是两位数，且m与n的十位数字相同，个位数字之和为9，则称A为“方减数”，并把A分解成m2﹣n的过程，称为“方减分解”．例如：因为551＝242﹣25，24与25的十位数字相同，个位数字5与4的和为9，所以551是“方减数”，551分解成551＝242﹣25的过程就是“方减分解”，按照这个规定，最小的“方减数”是　 　 ． 12．（2025•南山区校级模拟）若x2﹣x+2＝0，则x3+2x2﹣x+3＝　 　 ． 13．（2025•深圳校级三模）已知x﹣y＝2，xy＝3，则代数式x2y﹣xy2的值为 　 　 ． 14．（2025•凉州区三模）已知代数式x﹣2y的值为3，则代数式x2﹣4y2﹣12y的值为　 　 ． 15．（2025•潍坊二模）日常生活中，如取款、上网都需要密码．有一种因式分解产生的密码，方便记忆．其原理是：对于多项式x4﹣y4，其因式分解的结果是（x2+y2）（x+y）（x﹣y），若x用8代入，y用8代入，则各个因式的值分别是128，16，0，于是就把“128160”作为一个六位数的密码．对于多项式x3﹣xy2，若x用23代入，y用5代入，用上述方法产生的密码是　 　 ． 16．（2025•东莞市二模）若mn＝﹣4，m+n＝5，则代数式m2n+mn2的值为　 　 ． 17．（2025•杭州校级模拟）把多项式﹣ax2+2a2x﹣a3分解因式的结果是　 　 ． 18．（2025•哈尔滨校级模拟）把多项式x3+12x2+36x分解因式的结果是　 　 ． 19．（2025•朝阳区二模）某学校安排15名老师和一些学生参加团体操表演，所有师生恰好排列成矩形方阵，要求每一行都有且只有6名男学生，每一列都有且只有8名女学生，则此次团体操表演最多可以安排　 　 名男学生，此次团体操表演最少需要　 　 名学生． 20．（2025•蒙阴县二模）定义：若一个正整数M能表示成两个相邻偶数a，b（a＞b≥0）的平方差，即M＝a2﹣b2，且M的算术平方根是一个正整数，则称正整数M是“双方数”．例如：36＝102﹣82，，36就是一个“双方数”．若将“双方数”从小到大排列，第100个“双方数”为　 　 ． 2026年中考数学复习填空题专项集训之因式分解 参考答案与试题解析 一．填空题（共20小题） 1．（2025•沙坪坝区校级一模）我们规定：一个四位正整数M可以分解成x2﹣y2﹣3，其中x，y均是正整数且x＞y，则称M是“方差3数”，将M分解成x2﹣y2﹣3的过程称为“方差3分解”．例如：因为1622＝452﹣202﹣3，所以1622是“方差3数”，1622分解成1622＝452﹣202﹣3的过程是“方差3分解”．在所有分解中，当x﹣y取得最小时，称x2﹣y2﹣3是M的“最佳分解”，此时规定：．按照这个规定，对“方差3数”M＝2022进行“最佳分解”时，x+y＝　2025　 ；若一个“方差3数”N＝1010a+101b﹣321（2≤a≤9，3≤b≤9，a，b均为整数），N各数位的数字之和记为G（N），，满足H（N）是5的倍数，当N是满足以上条件的最大数时，则F（N）＝　　 ． 【考点】因式分解的应用；方差．版权所有 【专题】计算题；数感；运算能力． 【答案】2025；． 【分析】解答新定义问题时，需要理解新定义的内容，将已知文字语言转换为数学符号，尤其需要注意题干中的等式和方程． 第1步，结合已知条件得G（N），从而可得H（N），求得a的值，论b的值，从而可得最大的N． 第2步，检验N为“方差3数”，从而可得F（N）． 【解答】∵M＝x2﹣y2﹣3＝2022， ∴x2﹣y2＝2025， 由平方差公式得x2﹣y2＝（x﹣y）（x+y）＝2025， 其中x＞y，且x﹣y，x+y均为正整数， 由“最佳分解”的定义知，x﹣y取最小值， ∴x＝y＝1，则 x+y＝2025， 此时x＝1013，y＝1012，符合题意， ∵N＝1010a+101b﹣321（2≤a≤9，3≤b≤9）， N各数位的数字和为G（N），且需要满足是5的倍数， 则G（N）＝2a+2b﹣6， ∴， ∴a+2＝9，即a＝7时，H（N）为整数，此时H（N）＝b+1， ∵H（N）是5的倍数， ∴设b+1＝5k， 结合3≤b≤9， 得 b＝4或b＝9， ∴当a＝7，b＝9时，最大的正整数N＝7658， ∵N+3＝7661＝47×163， 此时x＝105，y＝58，符合题意， ∴N为“方差3数”， ∴当x﹣y取最小值时，x﹣y＝1，x+y＝7661， 此时x＝3831，y＝3830， 即F（N）． 【点评】本题考查新定义问题+平方差公式，属于难题． 2．（2025•山亭区一模）整式的学习中我们常常使用拼图的方法得出相应的等式，利用如图所示的拼图分解因式：a2+3ab+2b2＝　（a+2b）（a+b）　 ． 【考点】因式分解﹣十字相乘法等．版权所有 【专题】计算题；整式；运算能力． 【答案】（a+2b）（a+b）． 【分析】根据图形面积的两种表示方法求解即可． 【解答】解：∵矩形的长为a+2b，宽为a+b， ∴a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）． 故答案为：（a+2b）（a+b）． 【点评】本题考查了因式分解的知识，熟练掌握图形的面积的求法和利用拼图分解因式是解题关键． 3．（2025•祁阳市校级一模）在将x2+mx+n因式分解时，小刚看错了m的值，分解得（x﹣1）（x+6）；小芳看错了n的值，分解得（x﹣2）（x+1），那么原式x2+mx+n正确分解为 　（x﹣3）（x+2）　 ． 【考点】因式分解﹣十字相乘法等．版权所有 【专题】计算题；整式；运算能力． 【答案】（x﹣3）（x+2）． 【分析】利用多项式乘多项式法则先算乘法，根据因式分解与乘法的关系及小刚、小明没有看错的值确定m、n，再利用十字相乘法分解整式即可． 【解答】解：（x﹣1）（x+6）＝x2+5x﹣6， ∵小刚看错了m的值， ∴n＝﹣6； （x﹣2）（x+1）＝x2﹣x﹣2， ∵小芳看错了n的值， ∴m＝﹣1． ∴x2+mx+n ＝x2﹣x﹣6 ＝（x﹣3）（x+2）． 故答案为：（x﹣3）（x+2）． 【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握十字相乘法、能根据乘法与因式分解的关系确定m、n的值是解决本题的关键． 4．（2025•武江区校级一模）分解因式：4a3﹣8a2+4a＝　4a（a﹣1）2　 ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用．版权所有 【专题】整式；运算能力． 【答案】4a（a﹣1）2． 【分析】先提取公因式4a，再利用完全平方公式分解因式即可． 【解答】解：原式＝4a（a2﹣2a+1） ＝4a（a﹣1）2， 故答案为：4a（a﹣1）2． 【点评】本题考查了提取公因式和公式法，先提取公因式4a，再利用完全平方公式分解因式是解题的关键． 5．（2025•惠城区三模）分解因式a2﹣10a+25的结果是 　（a﹣5）2　 ． 【考点】因式分解﹣运用公式法．版权所有 【专题】整式；运算能力． 【答案】（a﹣5）2． 【分析】利用完全平方公式进行分解即可解答． 【解答】解：a2﹣10a+25＝（a﹣5）2， 故答案为：（a﹣5）2． 【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． 6．（2025•丽江模拟）因式分解（3x﹣2y）a2+（2y﹣3x）b2＝ 　（3x﹣2y）（a+b）（a﹣b）　 ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用．版权所有 【专题】因式分解；运算能力． 【答案】（3x﹣2y）（a+b）（a﹣b）． 【分析】先变形，再提公因式，然后利用平方差公式分解因式即可． 【解答】解：（3x﹣2y）a2+（2y﹣3x）b2 ＝（3x﹣2y）a2﹣（3x﹣2y）b2 ＝（3x﹣2y）（a2﹣b2） ＝（3x﹣2y）（a+b）（a﹣b）， 故答案为：（3x﹣2y）（a+b）（a﹣b）． 【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键． 7．（2025•威海模拟）若x+2是x2﹣2x+m的一个因式，则常数m的值为 　﹣8　 ． 【考点】因式分解的意义．版权所有 【专题】整式；运算能力． 【答案】﹣8． 【分析】运用多项式乘多项式的计算方法进行求解． 【解答】解：设该多项式的另一个因式是x+n． 得（x+2）（x+n）＝x2+（n+2）x+2n， ∴n+2＝﹣2， 解得n＝﹣4， ∴m＝2n＝2×（﹣4）＝﹣8， 故答案为：﹣8． 【点评】此题考查了多项式乘多项式的运算能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地求解． 8．（2025•河南校级三模）写出一个含有因式a+b的二次多项式 　a2﹣b2　 ． 【考点】因式分解的应用．版权所有 【专题】整式；应用意识． 【答案】a2﹣b2（答案不唯一）． 【分析】根据多项式的定义及题中的条件写出一个多项式即可． 【解答】解：如：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， a2+ab＝a（a+b）， 所以含有因式a+b的二次多项式可以是a2﹣b2、a2+ab． 故答案为：a2﹣b2（答案不唯一）． 【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是知道多项式的定义． 9．（2025•隆回县校级模拟）小俊利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，请结合图形，帮助小俊补全因式分解：a2+3ab+2b2＝　（a+2b）（a+b）　 ． 【考点】因式分解的应用；完全平方公式的几何背景；因式分解的意义．版权所有 【专题】整式；应用意识． 【答案】（a+2b）（a+b）． 【分析】长方形的面积＝长×宽，所以a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）． 【解答】解：a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）； 故答案为：（a+2b）（a+b）． 【点评】本题考查了题因式分解的应用、完全平方公式的几何背景、因式分解的意义，解决本题的关键是根据图形表示长方形的面积． 10．（2025•茂南区模拟）1.992+1.99×0.01＝　3.98　 ． 【考点】因式分解的应用．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】两项里都有公因式1.99，应先提取1.99，再进行计算比较简便． 【解答】解：1.992+1.99×0.01＝1.99×（1.99+0.01）＝1.99×2＝3.98． 【点评】考查因式分解的运用，提取公因式后，计算比较简便． 11．（2025•阳谷县二模）我们规定：若一个正整数A能写成m2﹣n其中m与n都是两位数，且m与n的十位数字相同，个位数字之和为9，则称A为“方减数”，并把A分解成m2﹣n的过程，称为“方减分解”．例如：因为551＝242﹣25，24与25的十位数字相同，个位数字5与4的和为9，所以551是“方减数”，551分解成551＝242﹣25的过程就是“方减分解”，按照这个规定，最小的“方减数”是　81　 ． 【考点】因式分解的应用；列代数式．版权所有 【专题】因式分解． 【答案】本题考查整式的混合运算的应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，用含字母的式子表示相关的数． 【分析】设m＝10a+b，则n＝10a+9﹣b（1≤a≤9，0≤b≤9），根据最小的“方减数”可得m＝10，n＝18，即可求解． 【解答】解：设m＝10a+b，则n＝10a+9﹣b（1≤a≤9，0≤b≤9）， 由题意得：m2﹣n＝（10a+b）2﹣（10a+9﹣b）， ∵1≤a≤9， ∴要使“方减数”最小，需a＝1， ∴m＝10+b，n＝19﹣b， ∴m2﹣n＝（10+b）2﹣（19﹣b）＝100+20b+b2﹣19+b＝81+b2+21b， 当b＝0时，m2﹣n最小为81， 故答案为：81． 【点评】81． 12．（2025•南山区校级模拟）若x2﹣x+2＝0，则x3+2x2﹣x+3＝　﹣3　 ． 【考点】因式分解的应用．版权所有 【专题】整式；应用意识． 【答案】﹣3 【分析】先降次，x3+2x2﹣x+3＝3x2﹣3x+3，再利用因式分解，根据已知x2﹣x+2＝0，可得代数式的值． 【解答】解：∵x2﹣x+2＝0， ∴x2＝x﹣2，x2﹣x＝﹣2． x3+2x2﹣x+3 ＝x（x﹣2）+2x2﹣x+3 ＝x2﹣2x+2x2﹣x+3 ＝3x2﹣3x+3 ＝3（x2﹣x）+3 ＝3×（﹣2）+3 ＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查了整体代入求多项式的值，关键是把多项式降次，因式分解． 13．（2025•深圳校级三模）已知x﹣y＝2，xy＝3，则代数式x2y﹣xy2的值为 　6　 ． 【考点】因式分解的应用．版权所有 【专题】整式；应用意识． 【答案】6． 【分析】因为x2y﹣xy2＝xy（x﹣y），将x﹣y＝2，xy＝3代入式子计算即可． 【解答】解：因为x﹣y＝2，xy＝3， x2y﹣xy2 ＝xy（x﹣y） ＝3×2 ＝6． 故答案为：6． 【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是用提公因式法将式子进行因式分解． 14．（2025•凉州区三模）已知代数式x﹣2y的值为3，则代数式x2﹣4y2﹣12y的值为　9　 ． 【考点】因式分解的应用．版权所有 【专题】整式；应用意识． 【答案】见试题解答内容 【分析】因为x﹣2y＝3，x2﹣4y2﹣12y＝（x﹣2y）（x+2y）﹣12y，代入化简原式，求出结果即可． 【解答】解：因为x﹣2y＝3， x2﹣4y2﹣12y ＝（x﹣2y）（x+2y）﹣12y ＝3（x+2y）﹣12y ＝3x+6y﹣12y ＝3x﹣6y ＝3（x﹣2y） ＝3×3 ＝9． 故答案为：9． 【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是运用平方差公式解决问题． 15．（2025•潍坊二模）日常生活中，如取款、上网都需要密码．有一种因式分解产生的密码，方便记忆．其原理是：对于多项式x4﹣y4，其因式分解的结果是（x2+y2）（x+y）（x﹣y），若x用8代入，y用8代入，则各个因式的值分别是128，16，0，于是就把“128160”作为一个六位数的密码．对于多项式x3﹣xy2，若x用23代入，y用5代入，用上述方法产生的密码是　232818或231828或282318或182328或281823或182823　 ． 【考点】因式分解的应用．版权所有 【专题】整式；运算能力． 【答案】232818 或 231828 或 282318 或 182328 或 281823 或 182823． 【分析】所求的代数式分解因式后整理成条件中所给出的代数式的形式，然后整体代入即可． 【解答】解：先分解因式得：x3﹣xy2＝x（x+y）（x﹣y）， ∴取x＝23，y＝5时，x+y＝23+5＝28，x﹣y＝23﹣5＝18， ∴密码为：232818，231828，282318，182328，281823，182823共6个， 故答案为：232818 或 231828 或 282318 或 182328 或 281823 或 182823． 【点评】本题考查了因式分解的实际应用，将x3﹣xy2正确分解是解题关键． 16．（2025•东莞市二模）若mn＝﹣4，m+n＝5，则代数式m2n+mn2的值为　﹣20　 ． 【考点】因式分解的应用．版权所有 【专题】整式；运算能力． 【答案】﹣20． 【分析】先将代数式进行因式分解，然后将条件代入即可求值． 【解答】解：原式＝mn（m+n）＝﹣4×5＝﹣20， 故答案为：﹣20． 【点评】本题考查了因式分解的应用，代数式求值，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 17．（2025•杭州校级模拟）把多项式﹣ax2+2a2x﹣a3分解因式的结果是　﹣a（x﹣a）2　 ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用．版权所有 【专题】整式；运算能力． 【答案】﹣a（x﹣a）2． 【分析】先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【解答】解：原式＝﹣a（x2﹣2ax+a2）＝﹣a（x﹣a）2． 故答案为：﹣a（x﹣a）2． 【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握因式分解的方法是关键． 18．（2025•哈尔滨校级模拟）把多项式x3+12x2+36x分解因式的结果是　x（x+6）2　 ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用．版权所有 【专题】整式；运算能力． 【答案】x（x+6）2． 【分析】先提公因式，然后利用完全平方公式继续分解即可解答． 【解答】解：原式＝x（x2+12x+36）＝x（x+6）2． 故答案为：x（x+6）2． 【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握因式分解的方法是关键． 19．（2025•朝阳区二模）某学校安排15名老师和一些学生参加团体操表演，所有师生恰好排列成矩形方阵，要求每一行都有且只有6名男学生，每一列都有且只有8名女学生，则此次团体操表演最多可以安排　426　 名男学生，此次团体操表演最少需要　206　 名学生． 【考点】因式分解的应用．版权所有 【专题】整式；应用意识． 【答案】426；206． 【分析】设矩形方阵为m行n列，则师生总数满足mn＝15+6m+8n，即（m﹣8）（n﹣6）＝63，而63＝1×63＝3×21＝7×9，据此计算即可求解． 【解答】解：设矩形方阵为m行n列， ∵每一行都有且只有6名男学生，每一列都有且只有8名女学生，且有15名老师， ∴师生总数满足mn＝15+6m+8n， 整理得（m﹣8）（n﹣6）＝63， m、n都是正整数，63＝1×63＝3×21＝7×9， ∵男生总数为6m，当男生人数最多时，需要m最大， 此时m﹣8＝63，n﹣6＝1， 解得：m＝71，n＝7， 则6m＝6×71＝426， ∴此次团体操表演最多可以安排426名男学生， 当m﹣8＝9，n﹣6＝7， 解得：m＝17，n＝13． 则6m+8n＝6×17+8×13＝206， ∴此次团体操表演最少需要206名学生， 故答案为：426；206． 【点评】本题考查了因式分解的应用，正确进行多项式的因式分解是解题的关键． 20．（2025•蒙阴县二模）定义：若一个正整数M能表示成两个相邻偶数a，b（a＞b≥0）的平方差，即M＝a2﹣b2，且M的算术平方根是一个正整数，则称正整数M是“双方数”．例如：36＝102﹣82，，36就是一个“双方数”．若将“双方数”从小到大排列，第100个“双方数”为　158404　 ． 【考点】因式分解的应用；实数的运算．版权所有 【专题】整式；运算能力． 【答案】158404． 【分析】根据新定义表示出“双方数”，然后进行因式分解，找出“双方数”的规律进行计算即可． 【解答】解：根据题意得，a＝b+2， ∴M＝a2﹣b2＝（b+2）2﹣b2＝4（b+1）， ∵由题意可得：b+1是一个完全平方数，b+1是奇数， ∴b+1只能是奇数的平方，从小到大依次是12、32、52、⋯、（2n﹣1）2， 那么“双方数”依次为4×12、4×32、4×52、⋯、4×（2n﹣1）2， 第100个“双方数”为158404， 故答案为：158404． 【点评】本题主要考查了新定义下的实数运算，因式分解的应用等内容，解题的关键是找出规律． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $