2026年九年级中考数学一轮专题复习九：二次函数中新定义问题综合训练

2026学年九年级中考数学一轮专题复习九：二次函数中新定义问题综合训练 1．定义：已知是关于自变量的函数，当时，称函数为函数的“倍差函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点“关于的倍差点”，点在函数的“倍差函数”的图象上． 例如：函数，当时，则函数是函数的“倍差函数”在平面直角坐标系中，函数的图象上任意一点，点为点“关于的倍差点”，点在函数的“倍差函数”的图象上． (1)求函数“倍差函数”的函数表达式； (2)如图，点在函数（）的图象上，当点“关于的倍差点”的纵坐标为时，求点的坐标； (3)点在函数的图象上，点“关于的倍差点”为点，设点的横坐标为． ①若点与点重合，求的值； ②当时，过点作轴的平行线，与函数的“倍差函数”的图象交于点，连接，设的和为，求关于的函数表达式，并写出自变量取值范围； ③在②的条件下，当直线与函数的图象有3个交点时，从左到右依次记为点，，横坐标分别为，当时，求的值． 2．对于某一函数给出如下定义：对于任意实数，当自变量≥时，函数关于的函数图象为，将沿直线翻折后得到的函数图象为，函数的图象由和两部分共同组成，则函数为原函数的“对折函数”，如函数的对折函数为． (1)求函数的对折函数； (2)若点在函数的对折函数的图象上，求的值； (3)当函数的对折函数与轴有两个不同的交点时，直接写出的取值范围为 ． 3．在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的2倍，我们称这个点为“友好点”，例如就是“友好点”；若二次函数图象的顶点为“友好点”，则称这个二次函数为“友好二次函数”，例如二次函数就是“友好二次函数”． (1)若“友好二次函数”的图象与直线的交点是“友好点”，求这个“友好二次函数”的表达式； (2)若二次函数是“友好二次函数”，点，，抛物线的对称轴与交于点； ①当时，点在线段上，设点的横坐标为，过点作轴的平行线，与函数的图象相交于点，以，为邻边构造矩形，设矩形的周长为，求关于的函数表达式； ②当线段与这个“友好二次函数”的图象有且只有一个公共点时，直接写出的值或取值范围． 4．在学习抛物线的过程中，我们积累了一定的经验，请运用已有经验，对抛物线的“阶梯点”进行研究． 定义：若抛物线上存在一点P，且点P的横、纵坐标之和为n，则称点P为此抛物线的“阶梯n点”． 例如：点在抛物线上，且点P的横、纵坐标之和为1，则，点P就叫做此抛物线的“阶梯1点”． 根据以上定义，解决下列问题： (1)若点P是抛物线的“阶梯6点”，求点P的坐标． 设点P的坐标为，由定义可知，且，所以， 所以，解得，． 所以点P的坐标为　　　　． (2)若点P是抛物线的“阶梯1点”，求点P的坐标． (3)若抛物线上存在“阶梯3点”P，请直接写出c的取值范围． 5．如果抛物线与x轴的其中一个交点到坐标原点的距离等于抛物线与y轴的交点到原点的距离，那么我们称这条抛物线为“等距抛物线”，特别地，如果抛物线与x轴没有交点，则该抛物线不是“等距抛物线”．已知二次函数的图象是“等距抛物线”． (1)求抛物线的函数表达式及其与x轴的交点坐标； (2)设一次函数的图象与等距抛物线的交点的横坐标分别为，且，写出一个符合条件的一次函数表达式，并说明理由； (3)将等距抛物线在x轴下方的图象沿x轴翻折，与剩余图象构成曲线C，已知曲线C与直线所围成的封闭图形（不包含边界）内有10个“整点”（横、纵坐标都是整数的点称为“整点”），请直接写出m的取值范围． 6．阅读以下材料，并解决相应问题： 小明在课外学习时遇到这样一个问题： 定义：如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，，，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数的“旋转函数”，小明是这样思考的，由函数可知，，，，根据，，，求出，，就能确定这个函数的“旋转函数”． 请思考小明的方法解决下面问题： (1)写出函数的“旋转函数”； (2)若函数与互为“旋转函数”，求的值； (3)已知函数的图象与轴交于A，B两点，与轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是，，，试证明：经过点，，的二次函数与互为“旋转函数”． 7．抛物线与轴交于两点．点为抛物线上两点，其横坐标分别为，将两点间的部分记为图象（含两点）． (1)求抛物线表达式； (2)当平行于轴时，求的值； (3)①当两点到直线距离相等时，求的值； ②当图像与直线只有一个公共点时，直接写出的取值范围． 8．二次函数的一般表达式为，如果两个二次函数的常数项相同，二次项系数互为相反数，那么称这两个二次函数为伴生二次函数． (1)直接写出二次函数的一个伴生二次函数的表达式：______． (2)若二次函数的伴生二次函数的图象与x轴只有一个交点，求满足条件的的伴生二次函数的表达式； (3)如图，二次函数的图象交x轴于点A和点B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，二次函数的伴生二次函数的图象经过点B，设B点的横坐标为k．将二次函数的图象上和的部分记为，将二次函数的伴生二次函数的图象上的部分记为，由图象和组成的图象记为G．点和点是图象G上两点．当时，求的值． 9．数学课上，数学老师对二次函数对称性进行了深入的研究．已知二次函数与，，我们把具有这样特点的函数和称为互利函数． 【总结归纳】 (1)填空：的顶点坐标为______，的顶点坐标为______． 【知识应用】 (2)求的互利函数解析式； (3)已知二次函数经过它的互利函数的图象的顶点，设的顶点为．若，．求证：这两个函数的图象的交点为、． 10．已知直线与抛物线相交于点和，反比例函数经过A点，将直线沿（为常数）在平面内翻折后，得到直线，设函数． (1)求m，n的值及抛物线的解析式； (2)若与恰好有2个公共点，求的值； (3)若与恰好有3个公共点，从左至右依次记为，，，且，求的值． 11．我们约定：当，，，满足，且时，称点与点为一对“伴随点”．若某函数的图象上至少存在一对“伴随点”，我们就称该函数为“伴随函数”．根据该约定，解答下列问题： (1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）； ①函数的图象上不存在“伴随点”；（   ） ②若一次函数是“伴随函数”，则必有（   ） ③函数不是“伴随函数”．（   ） (2)若关于x的一次函数与（，，是非零常数）都是“伴随函数”，求这两个函数的图象与两坐标轴围成的平面图形的面积； (3)若关于x的二次函数是“伴随函数”，求的取值范围． 12．在平面直角坐标系中，对于点和二次函数，定义点P关于该二次函数的“伴随点”为点，已知二次函数． (1)求点关于该函数的伴随点的坐标； (2)若点关于该函数的伴随点恰好落在x轴上，求t的值； (3)点M是二次函数图象上的一个动点，点N是点M关于该函数的伴随点．以线段为边向右作正方形，当正方形与抛物线有且只有三个公共点时，求点M的坐标或取值范围．（请直接写出结果） 13．定义：若两个函数图象有交点，则称这两个函数互为“关联函数”．两个函数图象构成的封闭图形（含边界）叫做“关联区域”．例如：函数与，可以通过消去，得到，移项得，因为，所以它们有两个交点，我们认为函数与是互为关联函数，如图1，阴影部分是关联区域．如图2，过关联区域内一点作轴平行线，分别交函数图象于两点，当线段长度最大时，该距离叫作“最优关联距离”，若此时为整数，则称点为“最优关联点”． 根据以上信息，完成下列问题： (1)证明：函数与是“关联函数”； (2)求“关联函数”与的“最优关联距离”； (3)若“关联函数”与（为整数）恰有三个“最优关联点”，求的值． 14．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的2倍，我们称这个点为“友好点”，例如就是“友好点”：若二次函数图象的顶点为“友好点”，则我们称这个二次函数为“友好二次函数”，例如二次函数就是“友好二次函数”． (1)直线上的“友好点”坐标为_____； (2)若“友好二次函数”的图象与轴的交点是“友好点”，求这个“友好二次函数”的表达式； (3)若“友好二次函数”的图象过点，且顶点在第一象限．当时，这个“友好二次函数”的最小值为6，求的值． 15．在平面直角坐标系中，点的纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横差”．某范围内函数图象上所有点的“纵横差”中的最大值称为该范围内函数的“纵横最大差”．例如：点的“纵横差”为；函数图象上所有点的“纵横差”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“纵横最大差”为7．根据定义，解答下列问题： (1)点的“纵横差”为_____； (2)求函数的“纵横最大差”； (3)若函数的“纵横最大差”为4，求的值． 参考答案 1．【解】（1）解：由“倍差函数”定义可得：函数的“倍差函数”的函数表达式为： ，即． （2）解：设， ∵点“关于的倍差点”是点， ∴，即， ∵点B的纵坐标为， ∴，解得：，即． （3）解：①由题意可得：点， ∵点“关于的倍差点”是点， ∴，即， ∵点与点重合， ∴，整理得：，解得：． ②由①可得：，， 由题意可得：函数的“倍差函数”， ∴的对称轴为， 如图：当时，则， ， ∴； 如图：当时，则， ， ∴； 综上，． ③如图可知：点D和点E在，且在，点F在 ∴， ∴，即 ∵， ∴， ∵点E在，点F在， ∴， ∴，解得：， ∵， ∴． 2．【解】（1）解：∵函数， ∴顶点为， ∴函数沿直线翻折后，顶点坐标变为， ∴翻折后的函数表达式为． ∴对折函数为； （2）解：当时，把点代入得 ∵， ∴， ∴或（舍去，因）． 当时，把点代入得 ∵， ∴， ∴（舍去，因）或． 综上，或． （3）解：令， 解得或． ∴原函数与轴交点为、． 如图，由图可得 当时，对折函数与轴有个交点； 当时，有个交点； 当时，对折函数与轴有2个交点； 当时，有个交点； 当时，无交点； ∴当函数的对折函数与轴有两个不同的交点时，的取值范围是． 3．【解】（1）解：∵是“友好二次函数”，且顶点坐标为， ∴，得：， ∵的图象与直线的交点是“友好点”，且交点为， ∴，得：， 联立，解得：或， ∴这个“友好二次函数”的表达式为：或； （2）解：二次函数是“友好二次函数”，且顶点坐标为， ∴，解得：， ∴该二次函数的表达式为：， ①当时，，， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 如图，当时，； 如图，当时，； 综上所述，； ②二次函数的表达式为：， ∴顶点坐标为， 如图，在直线上运动，当时，与抛物线只有一个交点，当运动到点的上方但在点的下方时，与抛物线只有一个交点， ∴当时，，当时，， ∴， ∴当线段与这个“友好二次函数”的图象有且只有一个公共点时，或． 4．【解】（1）解：由题意得，点P的坐标为或， 故答案为：或； （2）解：设点P的坐标为， 由定义可知，且， ∴， ∴， 解得，， ∴点P的坐标为或； （3）解：设点P的坐标为， 由定义可知，且， ∴， ∴ 由题意得，， ∴． 5．【解】（1）解：∵二次函数的图象是“等距抛物线”，且当时，， ∴当时，或， ∴或， 解得（舍去）或， ∴抛物线的函数表达式为，与x轴的交点坐标为； （2）一次函数的表达式可以为（答案不唯一）．理由如下： 由（1）可知． ∵， ∴一次函数的图象过定点． ∵抛物线过点， ∴． ∵， ∴将代入，得， 要使，则需点在一次函数的图象的下方， 即 ， 解得且， 则时符合条件， ∴一次函数的表达式为符合条件； （3）由（1）知，等距抛物线的表达式为， 将等距抛物线的x轴下方的图象沿x轴翻折，得到的曲线C如图所示， 当时，曲线C与直线所围成的封闭图形（不包含边界）内有6个整点； 当时，曲线C与直线所围成的封闭图形（不包含边界）内有10个整点， ∴m的取值范围为．    6．【解】（1）解：根据题意得， 解得 故解析式为：． （2）解：∵函数与互为“旋转函数”， ∴， ∴， ∴． （3）证明：当时，， ∴， 当时，， 解得：， ， 点A、B、C关于原点的对称点分别是， ∴， 设过点的二次函数解析式为， 将代入，得：， 解得：， 过点的二次函数解析式为． ，，， ∵， ，，， ∵， ∴两个函数互为“旋转函数”． 7．【解】（1）解：将 代入得： 化简为： ，解得： ． 所以，抛物线表达式为：． （2）解：∵点为抛物线上两点，其横坐标分别为， ∴，， ∵ 轴， ∴， ∴，解得：或（不合题意舍去）． （3）解：① ∵，，两点到直线距离相等， ∴，整理得：， 当时，解得：或（不合题意舍去）； 当时，解得：或； 综上，m 的值为或或； ②∵抛物线表达式为：， ∴抛物线开口方向向上，对称轴为，顶点坐标为， 当P、Q在对称轴两侧时，图像与直线只有一个公共点是顶点坐标， ∴，解得：； 当时，即时，整理得：，解得：， ∴，解得：， ∵， ∴这种情况不存在； 当时，即时，整理得：，解得：， ∴，解得：或， 当时，, 此时点在直线上， ∴或 综上，m的取值范围为或． 8．【解】（1）解：由题意，根据伴生二次函数的意义：常数项相同，二次项系数互为相反数 ∵二次函数为， ∴其伴生二次函数可能为（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）； （2）解：由题意，设的伴生二次函数的解析式为， ∵二次函数的伴生二次函数的图象与轴只有一个交点， ， ， ∴二次函数的伴生二次函数的解析式为或； （3）解：由题意，二次函数的图象与轴交于和， 解方程得或， 由在左侧，得， 故． 设伴生二次函数为， 因其图象经过点，代入得，解得， 故伴生二次函数为． 于是图象的分段表达式为： 当或时，为； 当时，为． 点和在图象上，需根据的取值范围确定的表达式． 当时：此时和均在上． 由， 得方程： 化简得，解得； 当时：此时在上，在上． 由， 得方程：， 化简得，即，解得， 其中满足不满足， 当时：此时和均在上， 由于的对称轴为，且与关于对称， 因此当和时，，即，与条件矛盾，无解， 综上，满足条件的的值为3或． 9．【解】（1）解：已知二次函数与，， ∴的顶点坐标为，的顶点坐标为． 故答案为：，． （2）， 互利函数解析式为． （3）证明：，， ， ∴它的互利函数为． 它的顶点坐标为． 经过点， ，解得． ，， ，． 联立，解得或， ∴这两个函数的图象的交点为，． ∴这两个函数的图象的交点为、． 10．【解】（1）解：把点代入，得， 解得， ∴， 把，代入，得， 解得， ∴； ∵反比例函数经过A点， ∴； （2）∵， ∴当时，， ∴直线经过点， ∵点关于的对称点为，直线沿（为常数）在平面内翻折后，得到直线， ∴直线过点和， ∴，解得， ∴， 由（1）可知：，， ∴， 当与恰好有2个公共点时，分2种情况： ①当经过点时，如图， 则：； ②当直线与只有一个交点时，满足题意，如图， 令，整理，得， 则，解得； 综上：或； （3）由（2）可知：， 当与恰好有3个公共点时，则与有一个交点，与有两个交点，如图， 令，则，即， 令，整理，得， 由题意，方程的两个根为，故， ∵， ∴，解得． 11．【解】（1）解：由题意知，，，即，， ∴“伴随点”为，，且， ①：对于函数，当时，，，，代入得，即， 解得或， 而不满足，时，， ∴存在“伴随点”，故①错误，应打“×”； ②：设一次函数图象上有“伴随点”，， 则，，， 将代入得， 又∵，两式相减得， ∵， ∴，即，故②正确，应打“×”； ③：设函数图象上有“伴随点”，， 则，，， 即，， 若，，则，不满足条件， ∴函数不是“伴随函数”，故③正确，应打“√”， 故答案为：①×，②√，③√． （2）解：∵一次函数与（，，是非零常数）都是“伴随函数”， ∴， 则与x轴交点为，与y轴交点为，与x轴交点为，与y轴交点为， ∵两直线平行，， 不妨设， ①如图，当或时：      ∴它们与两坐标轴围成的平面图形是梯形， ∴上底为，下底为，高为， ∴； ②如图，当时： ∴它们与两坐标轴围成的平面图形是有公共直角顶点的分别位于二、四象限的两个等腰直角三角形， ∴面积为， 同理可得：当或时：； 当时：， 综上所述，面积为或． （3）解：∵二次函数是“伴随函数”， 设其图象上有“伴随点”，， 则，，， 将代入得：， 又∵， 由，可得，， 将代入得：， 令，则， ∴，， ∴， ∵， ∴，， 将代入得：， 整理得：， ∵关于的一元二次方程有解， ∴， 解得或， 当时，， 当时，， ∴． 12．【解】（1）解：二次函数，则， 点关于该函数的伴随点，即； （2）解：点关于该函数的伴随点， 又点恰好落在x轴上， ， 解得，； （3）解：点M是二次函数图象上，可设， ， 令，，解得或， 二次函数与轴交于两点，则，， 当时，以线段为边向右作正方形，， 则， 又与二次函数有且只有三个公共点， 当在处时，正方形与二次函数有三个公共点, 即，解得或（舍去）； 当时， ， 又与二次函数有且只有三个公共点， 边与二次函数必有一个公共点，设为,边或有一个公共点， 由对称性知， ，即， 令，解得， 则的图像如下： 的解为， 又，则； 当时，重合，不符合题意； 当且时， 如图，正方形与抛物线至多有2个公共点，不符合题意； 综上，，． 13．【解】（1）证明：由题意得，， 则， 整理得， ， ∴该方程有两个不相等的实数根， ∴这两个函数图像有2个交点， ∴函数与是“关联函数”； （2）解：如图，过关联区域内一点作轴平行线，分别交函数图象于两点， 由题意得， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值为， ∴“关联函数”与的“最优关联距离”为； （3）解：如图，过关联区域内一点作轴平行线，分别交函数图象于两点， 由题意得， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值， 当时，； ， ∴ ∵“关联函数”与恰有三个“最优关联点”， ∴有三个整数值，即为， ∴， 解得， ∴若“关联函数”与（为整数）恰有三个“最优关联点”，则． 14．【解】（1）解：设直线上的“友好点”的坐标为， ∴， 解得：， ∴， ∴直线上的“友好点”坐标为， 故答案为：； （2）解：∵函数是“友好二次函数”，设它的顶点为， ∴， ∵“友好二次函数”的图象与轴的交点是“友好点”， ∴与轴交点为， 将代入中，得：， 解得：，， 当时，； 当时，， ∴这个“友好二次函数”的表达式为或； （3）设“友好二次函数”的解析式为，且图象过点， ∴， 解得，， ∵这个“友好二次函数”的图象顶点在第一象限， ∴， ∴， ∴， ∵“友好二次函数”，，图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，在对称轴左侧，随的增大而减小， ∴当时，函数有最小值， ∴， 解得：，， ∵， ∴， 当，即时，函数的最小值为， ∴不存在最小值为； 当，即时，在对称轴右侧，随的增大而增大， ∴当时，函数有最小值， ∴， 解得：，， ∵， ∴， 综上所述，的值为或． 15．【解】（1）解：点的“纵横差”为：； 故答案为：． （2）解：函数图象上所有点的“纵横差”可以表示为：， 在范围内， 当 时，取最大值，最大值为9， 故函数的“纵横最大差”为9； （3）解：函数图象上所有点的“纵横差”可以表示为：， 当时， 在范围内，当时，取最大值4，即 ， 解得或（不满足故舍去）； 当时， 在范围内， 当时，取最大值4，即， 解得 ，不满足，舍去； 当时， 在范围内， 当时，取最大值4，即，解得； 综上可知，或． 学科网（北京）股份有限公司 $