甘肃省甘南藏族自治州临潭县第一中学2025-2026学年高一上学期数学湘教版必修第一册综合测试卷

湘教版高中数学必修第一册综合测试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用集合的运算法则可得答案. 【详解】因为，，所以.，又因为， 所以.故答案为：A 2．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意，将绝对值不等式化简，即可得到结果. 【详解】因为，所以或，所以或， 所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A 3．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】由不等式的基本性质，赋值法逐项判断即可. 【详解】对于A，可以取，，，此时，所以A错误. 对于B：∵，∴，因为，所以，故B正确； 对于C：取，时，则，，，则，故C错误； 对于D：当，时，，，则，故D错误； 故选：B. 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由抽象函数定义域及具体函数定义域的概念构造不等式求解即可； 【详解】由题意：要使有意义，则 解得，所以的定义域为．故选：C 5．函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数的奇偶性，排除B项，再通过赋值法，结合图象的位置和单调性即可排除C,D两项，即得A项正确. 【详解】由可知函数的定义域为，因， 则函数是奇函数，故排除B项；又由可排除C项； 又，即，故可排除D项.故选：A. 6．已知，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意求出与，再利用即可得到答案. 【详解】由题意可得，.故选：A. 7．某学校高一年级有1200人，高二年级有1000人，高三年级有800人，现采用分层随机抽样的方法从中抽取90名学生参加禁毒知识竞赛，则在高二年级中抽取的人数为（   ） A．36 B．24 C．30 D．32 【答案】C 【分析】由分层抽样的等比例性质求在高二年级中抽取的人数. 【详解】高一、高二、高三总人数之比为，故高二年级抽取人数为人.故选：C 8．函数，满足对任意，都有成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到函数在上是减函数，结合分段函数单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数，满足对任意，都有成立， 可得函数在上是减函数， 则满足，解得，即实数的取值范围为.故选：B. 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，且，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为6 D． 【答案】BD 【分析】根据结合基本不等式即可判断A；利用消元法结合二次函数的性质即可判断B；根据基本不等式中“1”的整体代换即可判断C；根据不等式的性质即可判断D. 【详解】对于A，，，且，所以， 当且仅当时取等号，故A错误；对于B，由，，且，得， 所以，则，当时，取得最小值，为，故B正确；对于C，， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故C错误； 对于D，， 因为，所以，所以， 所以，即，故D正确.故选：BD. 10．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ）    A．函数的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称 C．函数在单调递减 D．该图象向右平移个单位可得的图象 【答案】BD 【分析】根据给定的三角函数的图象，得到函数的解析式为，结合三角函数的性质，以及三角函数的图象变换，逐项判定，即可求解. 【详解】解：根据函数的部分图象， 可得，可得， 由，解得，所以， 对于A中，当，可得， 所以不是函数的对称中心，所以A错误； 对于B中，当时，可得，即函数的最小值， 所以函数的图象关于直线对称，所以B正确； 对于C中，当，可得， 根据余弦函数的性质，可得在函数在先减后增，所以C不正确； 对于D中，将函数该图象向右平移个单位， 可得的图象，所以D正确. 故选：BD. 11．已知函数是定义在上的偶函数，且满足．若，则下列说法中正确的是（    ） A． B．的周期为2 C． D．的图象关于中心对称 【答案】ABD 【分析】利用抽象函数的奇偶性，对称性，周期性求解即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且满足． 所以， 令得，所以．故A正确． 因为…①，所以…② ①－②得：，所以的最小正周期为2．故B正确． ．故C不正确． 由得， 所以图象关于中心对称．故D正确．故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若，且，则 ． 【答案】 【分析】利用指数对数的互化结合对数的运算求解即可. 【详解】若，则，，由， 可得：，解得：;故答案为： 13．已知，其中，则 ． 【答案】 【分析】由已知得出，再根据诱导公式求得结果. 【详解】因为，所以. 已知.故答案为：. 14．已知一组数据，则这组数据的第百分位数是 . 【答案】 【分析】根据百分位数的定义可解. 【详解】数据小到大排列为：12，25，30，42，50，68共6个数字，， 所以这组数据的第百分位数是第五个数50. 故答案为：50. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知集合，． (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分条件，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据并集概念求出答案； （2）根据题意得到，得到不等式组，求出答案. 【详解】（1）当时，，则． （2）因为“”时“”的充分条件，所以． 由，解得．综上，的取值范围是． 16．（15分）已知关于的不等式的解集为. (1)求，的值； (2)若，，且，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合二次不等式与二次方程的关系可求； （2）利用乘1法，结合基本不等式可求． 【详解】（1）不等式的解集为， 和是方程的两个实数根，且， ，解得； （2）（2）由（1）知，于是有，，， 所以 当且仅当且，即时等号成立， 故的最小值为 17．（15分）已知，且为第二象限角. (1)求的值； (2)求的值 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据题意先求出，进而根据同角三角函数的基本关系求得答案； （2）先用诱导公式将式子化简，进而进行弦化切，然后结合（1）求出答案. 【详解】（1）由.得.因为为第二象限角，所以，故. （2）. 18．（17分）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求的值； (2)判断在上的单调性．（直接写出答案，不用证明）； (3)若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)在上单调递减 (3) 【分析】（1）为上的奇函数，由即可求得的值； （2）分离出常数，即可判断在上的单调性； （3）利用奇函数在上单调递减的性质，可将恒成立转化为恒成立，利用可求得结果. 【详解】（1）因为为上的奇函数， ，即， ；经检验成立 （2）在上单调递减. 在上单调递减； （3）， ， 由（2）知在上单调递减； 对恒成立，即对恒成立， . 19．（17分）某公司餐厅为了完善餐厅管理，提高餐厅服务质量，随机调查了50名就餐的公司职员，根据这50名职员对餐厅服务质量的评分，绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为[40，50)，[50，60)，．．．．，[90，100．) （1）求频率分布直方图中的值； （2）若采用分层抽样的方式从评分在[40，60)，[60，80)，[80，100]的公司职员中抽取10人，则评分在[60，80)内的职员应抽取多少人？ （3）该公司规定：如果职员对公司餐厅服务质量的评分低于75分，将对公司餐厅进行内部整顿、用每组数据的中点值代替该组数据，试估计该公司职员对餐厅服务质量评分的平均分，并据此回答餐厅是否需要进行内部整顿． 【答案】（1）；（2）5人；（3），不需要. 【分析】（1）根据频率分布直方图中小矩形的面积之和等于即可求解. （2）由频率分布直方图求出在这三个区间内的人数之比，再根据分层抽样比即可求解. （3）平均数等于小矩形的面积乘以底边中点的横坐标之和即可求解. 【详解】解：（1）由，解得． （2）由频率分布直方图可知， 评分在，，内的师生人数之比为， 所以评分在内的师生应抽取（人）． （3）由题中数据可得师生对食堂服务质量评分的平均分的估计值为：． 因为，所以食堂不需要内部整顿． 学科网（北京）股份有限公司 $湘教版高中数学必修第一册综合测试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的， 1.设全集U=1,2,3,4,5,6},集合M=1,4},N={2,5},则N∩(aM=() A.{2,5} B.{2,3,5,6} C.{1,2,4,5} D.{2,3,4,5} 2.设x∈R,则“4<x<5”是x-2>1的（) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.下列命题为真命题的是() A.若a>b,则b+cb B.若a>b,c>d,则a-d>b-c a+c a C.若a<b<0,则<ab<b2 D.若a>b,则11 a-b a 4.已知函数f)的定义域为1,2)，则函数5)=-)的完义歧为() x-1 A.(-1,1) B. C.(1,3) D.(-1,3) 5.函数国22图象大致为() A B 1 7 6.已知sima+cosa=5sina-cosa= 则tana=() C.1 D.-1 7.某学校高一年级有1200人，高二年级有1000人，高三年级有800人，现采用分层随机抽样的方法 从中抽取90名学生参加禁毒知识竞赛，则在高二年级中抽取的人数为() A.36 B.24 C.30 D.32 8.函数f)= x2-2m+4a,x<1 (a-3)x+4a,x≥1' 满足对任意x≠x2,都有 3)-f)<0成立，则a的取值范围 X1-X2 是() (别 C.(0,1) 0 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，失18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知1>0，b>0,且21+b=1,则下列说法正确的是() A。b的最大值为 B心+公的最小值为写 C.+的最小值为6 D.0<b-<2 a b a-1 10.已知函数f()=4c0s(ar+p4000<号)的部分图象如图所示，下列i说法正确的是(） 123 -2 A.函数)=f)的图象关于点（牙0对称 B.函数y=f(9)的图象关于直线x=-5π对称 12 c.函数y=f(在-3,6 2ππ 单调递减 D.该图象向右平移亚个单位可得y=2sin2.x的图象 6 1.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f()+fc+1)=1.若f(-1)=-分，则下列说 法中正确的是() A.(0) B.f(x)的周期为2 c.f202-月 D.f(x)的图象关于 11 22 中心对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若3=4=m,且2+-1，则m= a b π 、13己知sin&-,=3,其中E2元，则cos-二 6 14.已知一组数据25,12,30,42,68,50，则这组数据的第75百分位数是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)已知集合A={x5≤x≤9}，B={x-1≤x≤2m+}. (1)当m=3时，求AUB; (2)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求m的取值范围. 16.(15分)已知关于x的不等式x2-2x-8<0的解集为{x2<x<b} (1)求a,b的值： ②)若x>0,y>2,自十，中24，求x+2y的最小值 17.（15分)已知sm(π+，)=-25 且&为第二象限角， (1)求tana的值： 2sin(a+2020mt)+sin π (2)求 2的值 sino+3cos(a-π) ⑧.(17分)已知定义域为R的函数f)-,2是奇函数 (1)求a的值： (2)判断∫(x)在(-o,+∞)上的单调性.（直接写出答案，不用证明）： (3)若对于任意t∈R,不等式ft2-2t)+f(2t-k)<0恒成立，求k的取值范围 19.(17分)某公司餐厅为了完善餐厅管理，提高餐厅服务质量，随机调查了50名就餐的公司职员， 根据这50名职员对餐厅服务质量的评分，绘出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为 [40,50),[50,60),..,[90,100.) 个频率 组距 0.028F- 0.022 0.018… a 0.004T 0405060708090100分数 (1)求频率分布直方图中a的值： (2)若采用分层抽样的方式从评分在[40,60)，[60,80)，[80,100]的公司职员中抽取10人，则评分 在[60,80)内的职员应抽取多少人？ (3)该公司规定：如果职员对公司餐厅服务质量的评分低于75分，将对公司餐厅进行内部整顿、用 每组数据的中点值代替该组数据，试估计该公司职员对餐厅服务质量评分的平均分，并据此回答餐厅 是否需要进行内部整顿。 湘教版高中数学必修第一册综合测试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 5．函数图象大致为（    ） A．B．C． D． 6．已知，，则=（    ） A． B． C． D． 7．某学校高一年级有1200人，高二年级有1000人，高三年级有800人，现采用分层随机抽样的方法从中抽取90名学生参加禁毒知识竞赛，则在高二年级中抽取的人数为（   ） A．36 B．24 C．30 D．32 8．函数，满足对任意，都有成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，且，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为6 D． 10．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ）    A．函数的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称 C．函数在单调递减 D．该图象向右平移个单位可得的图象 11．已知函数是定义在上的偶函数，且满足．若，则下列说法中正确的是（    ） A． B．的周期为2 C． D．的图象关于中心对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若，且，则 ． 13．已知，其中，则 ． 14．已知一组数据，则这组数据的第百分位数是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知集合，． (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分条件，求的取值范围． 16．（15分）已知关于的不等式的解集为. (1)求，的值； (2)若，，且，求的最小值. 17．（15分）已知，且为第二象限角. (1)求的值； (2)求的值 18．（17分）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求的值； (2)判断在上的单调性．（直接写出答案，不用证明）； (3)若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围. 19．（17分）某公司餐厅为了完善餐厅管理，提高餐厅服务质量，随机调查了50名就餐的公司职员，根据这50名职员对餐厅服务质量的评分，绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为[40，50)，[50，60)，．．．．，[90，100．) （1）求频率分布直方图中的值； （2）若采用分层抽样的方式从评分在[40，60)，[60，80)，[80，100]的公司职员中抽取10人，则评分在[60，80)内的职员应抽取多少人？ （3）该公司规定：如果职员对公司餐厅服务质量的评分低于75分，将对公司餐厅进行内部整顿、用每组数据的中点值代替该组数据，试估计该公司职员对餐厅服务质量评分的平均分，并据此回答餐厅是否需要进行内部整顿． 学科网（北京）股份有限公司 $湘教版高中数学必修第一册综合测试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.设全集U={1,2,3,4,5,6,集合M=1,4,N={2,5},则N∩(aM)=() A.{2,5} B.{2,3,5,6} C.{1,2,4,5} D.{2,3,4,5} 【答案】A 【分析】利用集合的运算法则可得答案 【详解】因为U={1,2,3,4,5,6},M={1,4,所以dM={2,3,5,6}.,又因为N={2,5}, 所以N∩(aM）={2,5}.故答案为：A 2.设x∈R,则4<x<5"是“x-2>1的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意，将绝对值不等式化简，即可得到结果 【详解】因为x-2>1,所以x-2<-1或x-2>1,所以x<1或x>3, 所以“4<x<5”是x-2>1”的充分不必要条件.故选：A 3.下列命题为真命题的是() A.若a>b,则b+c、b B.若a>b,c>d,则a-d>b-c a+c a C.若a<b<0,则a2<ab<b2 D.若a>b,则1>1 a-b a 【答案】B 【分析】由不等式的基本性质，赋值法逐项判断即可. 【详解】对于A,可以取a=2,b=1,c=-1,此时tC<名，所以A错误 a+c a 对于B:c>d,.-d>-c,因为a>b,所以a-d>b-c,故B正确： 对于C:取a=-2,b=-1时，则d=4,ab=2,b2=1,则a2>ab>b2,故C错误： 对打D当=16-时。号日1则，。日数D误 a-b a 故选：B 4.已知函数f(的定义域为(1,2)，则函数g)=-的定义域为《) Vx-1 A.（-1,1) B. C.(1,3) D.(-1,3) 【答案】C 【分析】由抽象函数定义域及具体函数定义域的概念构造不等式求解即可： 【详解】由题意：要使g(x)=- -1<x-1<2, 2有意义，则 √x-1 x>1, 解得1<x<3,所以8(x)的定义域为(1,3).故选：C 5.函数)22图象大致为《） C 【答案】A 【分折】先判断函数了)22的奇偶性，排除B项，再通过赋值法，结合图象的位置 和单调性即可排除C,D两项，即得A项正确 2+2-f, 【详解】由了)-22可知西数的定义域为R,因-)22 则函数/)是奇函数，故排除书项：又由f心=十2=子0可排除C项： 441 又f④=2+2<24即④<f0,故可排除D项故选：A 1 6.已知sia+cosa=5,sima-cosa=行'则tama=（） 号 3 B.- C.1 D.-1 4 【答案】A 【分析】由题意求出sina与cosa,再利用tana=sina即可得到答案 cosa 4 sin a = 5 【详解】由题意可得 3 故选：A 4 coSa= 5 7.某学校高一年级有1200人，高二年级有1000人，高三年级有800人，现采用分层随机 抽样的方法从中抽取90名学生参加禁毒知识竞赛，则在高二年级中抽取的人数为() A.36 B.24 C.30 D.32 【答案】C 【分析】由分层抽样的等比例性质求在高二年级中抽取的人数： 【详解】高一、高二、高三总人数之比为1200：1000：800=6：5：4，故高二年级抽取人数为 =30人.故选：C x2-2ax+4a,x<1 8.函数f(x)= (a-3)r+4a,x≥1' 满足对任意≠5，祁有)-f<0成立，则a X1-X2 的取值范围是() A. 0, B. 4 C.(0,1) D 3 【答案】B 【分析】根据题意，得到函数∫(x)在R上是减函数，结合分段函数单调性的判定方法，列 出不等式组，即可求解 a+位满足对任意，都有))<0成立 x2-2+4a,x<1 【详解】由函数f(x)= X1-X2 可得函数f(x)在R上是减函数， [a≥1 则满足}a-3<0 解得1≤a≤专即实数a的取值范围为 故选：B 3 a-3+4a≤2a+1 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知a>0,b>0,且2a+b=1,则下列说法正确的是() A.ab的最大值为。 B.4+b的最小值为 1 c.1+的最小值为6 D.0<b-1<2 a-1 【答案】BD 】根据b=,×2ab结合基本不等式即可判断A:利用消元法结合二次函数的性 可判断B:根据基本不等式中“1的整体代换即可判断C:根据不等式的性质即可判断D 【i详解】对于A,a>0,b>0,且2a+b=1,所以ab=5×2b≤x2a+b_1, 24 8 当且仅当2a=b=2时取等号，故A错误；对于B,由a>0,b>0,且2a+b=1,得b=1-2a>0, 所以0<a号则a+b=心+0-2=5G-4a1当a=号时.心+b6取得最小值，为 故B:对于c日若层动2外名兴32要325 a b a b 阻农当-0，即b=2a=21时取等号，所以。+方的最小值为3+2V2,故C错误 a b 对于D, 6-11-2a-1-2n-2(a-0-2-2 2 a-1a-1a-1a-1 a-1 因为0<a<号，所以-1<a-1<-5:所以2<-2<4， a-1 所以0<-2-2<2，即0<<2，枚D正确故选：BD a-1 a-1 10.已知函数fe)=Acos(os+0j40o>0外到 的部分图象如图所示，下列说法正确 的是() Oπ 123 A.函数y=f(x)的图象关于点 （0对称 B.函数y=f(x)的图象关于直线x= 5亚对称 12 C. 函数y=f(x)在 -3’6 单调递减 D.该图象向右平移个单位可得y=2sin2x的图象 6 【答案】BD 【分析】根据给定的三角函数的图象，得到函数的解析式为f(x)=2cos(2x- 乃)，结合三角 6 函数的性质，以及三角函数的图象变换，逐项判定，即可求解 【详解】解：根据函数f(x)=Acos(am+p)A>0,o>0,pk 的部分图象， 可得42号铝-号合可得四=2， 由2×8=2流e2号解得0=石所以1网-2a如2x寻】 12 6 对中，当=号可得到 =-5≠0， 所以（子0不是函数y=f)的对称中心，所以A错误： 对于B中，当x=- 时，可得 5π =2cos(←)=-2，即函数的最小值， 所以函数y=f田的图象关于直线x=泛对称，所以B正确 对于C中，当x∈ 2兀元 元「3ππ] -3’6 ,可得2x- 622 根据余弦函数的性质，可得在函数∫y)在-2亚， -36 先减后增，所以C不正确； 对于D中，将函数f(x)=2cos(2x-该图象向右平移正个单位， 6 可得v=2co时26x-7-急孕-2co2x孕-2n2x的图象，所以D正确 故选：BD 山.已知运数-f)是定义在R上的偶函数，且满足f)+fx+)-1,若-)- 则下列说法中正确的是() A.fo月 B.f(x)的周期为2 c.22)-号 11 D.(x)的图象关于 2’2 中心对称 【答案】ABD 【分析】利用抽象函数的奇偶性，对称性，周期性求解即可 【详解】因为函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，且满足∫(x)+∫(x+1)=1. 所以f0-(-)-分： 令-1得，f-)+f(0)=1,所以f0)=:故A正确 因为f(x)+f(x+1)=1..①，所以f(x+1)+f(x+2)=1..② ①-②得：f(x+2)=f(x),所以∫(x)的最小正周期为2.故B正确. f(202)=fe*101+1)f4)-号故c不正确， 由f(x)+f(x+1)=1得f(-x)+f(x+1)=1, 所以∫(x)图象关于 11 22 中心对称.故D正确.故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若3=4=，且上+1，则m= a b 【答案】12 【分析】利用指数对数的互化结合对数的运算求解即可. 【详解】若3-4=m,则a=1o9,m,b=log,m,由+-1， a b 可得： -=logm3+1ogm4=l1ogm12=1,解得：m=12;故答案为：12 log,m log,m 2π 13.已知sino- 3, 3 其中u∈ 、,兀 则cosa- 6 【答案】 3 【分析】由已知 〔口-9)口-君引-得出(a-君)口-)受再根据诱导公式求得 结果 【详解1因为。-口-君子所以a-引a 己知Cos 14.己知一组数据25,12,30,42,68,50，则这组数据的第75百分位数是 【答案】50 【分析】根据百分位数的定义可解。 【详解】数据小到大排列为：12,25,30,42,50,68共6个数字，6×75%=4.5， 所以这组数据的第75百分位数是第五个数50. 故答案为：50. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)已知集合A={x5≤x≤9}，B={xm-1≤x≤2m+1}. (1)当m=3时，求AUB: (2)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求m的取值范围. 【答案】1){x2≤x≤9} (2)[4,6] 【分析】(1)根据并集概念求出答案： (2)根据题意得到A三B,得到不等式组，求出答案 【详解】(1)当m=3时，B={x2≤x≤7}，则AUB={x2≤x≤9} (2)因为“x∈A”时“x∈B”的充分条件，所以A≤B 由5≥m-1 2m+19,解得4≤m≤6.综上，m的取值范围是[4,6. 16.(15分)已知关于x的不等式x2-2x-8<0的解集为{x2<x<b} (1)求a,b的值： 伦诺s0,-之2，且好中2=4，求r+2y的最小值 b 【答案】(1)a=1,b=4 a5-7 【分析】(1)结合二次不等式与二次方程的关系可求： (2)利用乘1法，结合基本不等式可求. 【详解】(1)不等式ax2-2x-8<0的解集为{x-2<x<b}, .-2和b是方程ax2-2x-8=0的两个实数根，且a>0, -2+b=2 2x68'解得 a=1 =4 a a=1 (2)(2)由(1)知 4是有时24,02 m以+2=2=习4x20+2,包49.204 29车-4 xy+21 当且仅当y+2=√2x且二+ 4=4,即=+2，y x v+2 4+2y=-1+Y2时等号成立， 4 故x+2y的最小值为V5了 4 17.(15分)已知m(π+a)=25 且&为第二象限角. (1)求taax的值： 2sin(a+2020π)+sin - (2)求 2 的值 sinc+3cos(a-π) 【答案】(1)-2： 5 【分析】(1)根据题意先求出sia,进而根据同角三角函数的基本关系求得答案： (2)先用诱导公式将式子化简，进而进行弦化切，然后结合(1)求出答案 【详解】(1)由sin(π+)=-sina=- 得6ma-2y5因为a为第二象限角，所以 2W5 5 cosa=-v1-sin2a = /1- 45 故tana= sina =-2 5 5 coSa 2sin(ca+2020π)+sin (2) 2c 2sina+cosa 2tana+12×(-2)+13 tana-3 -2-3 sin+3cos(o-π) sina-3cosa 18(17分)已知定义域为R的函数fm)-a2是奇函数 2+1 (1)求a的值； (2)判断f(x)在（←”，+0）上的单调性.（直接写出答案，不用证明）： (3)若对于任意t∈R,不等式ft-2)+f(2t-k)<0恒成立，求k的取值范围. 【答案】(1)a=1 @间-名在0o）上单调送波 ③)k<-1 3 【分析】(1)f(x)为R上的奇函数，由f(O)=0即可求得a的值： (2)分离出常数，即可判断f(x)在（仁0，+∞）上的单调性： (3)利用奇函数f(x)在R上单调递减的性质，可将ft2-2)+f(22-k)<0恒成立转化为 3t2-2t-k>0恒成立，利用△=4+12k<0可求得结果。 【详解】(1)因为f(x)为R上的奇函数， f0=0,即a1=0, 2 .a=1;经检验成立 (2)了)之-1+，2在(，+四)上单调递减 2*+1 2+1 )-在（网网上华时减， (3)f(t-2t)+f(2t2-k)<0, f(t2-2t)<-f(2t-k),f(t-2t)<f(-2+k) 由2知f在（网上单调速减： ∴t2-2t>-2t2+k对teR恒成立，即3t2-2t-k>0对t∈R恒成立， .△=4+12k<0 号 19.(17分)某公司餐厅为了完善餐厅管理，提高餐厅服务质量，随机调查了50名就餐的 公司职员，根据这50名职员对餐厅服务质量的评分，绘制出了如图所示的频率分布直方图， 其中样本数据分组为[40,50)，[50,60)，..·，[90,100.) 忄频率 组距 0.028… 0.022 0.018 0.004- 0405060708090100分数 (1)求频率分布直方图中a的值： （2)若采用分层抽样的方式从评分在[40,60)，[60,80)，[80,100]的公司职员中抽取10 人，则评分在[60,80)内的职员应抽取多少人？ (3)该公司规定：如果职员对公司餐厅服务质量的评分低于75分，将对公司餐厅进行内部 整顿、用每组数据的中点值代替该组数据，试估计该公司职员对餐厅服务质量评分的平均分， 并据此回答餐厅是否需要进行内部整顿， 【答案】(1)a=0.006:(2)5人：(3)76.2，不需要 【分析】(1)根据频率分布直方图中小矩形的面积之和等于1即可求解 (2)由频率分布直方图求出在这三个区间内的人数之比，再根据分层抽样比即可求解 (3)平均数等于小矩形的面积乘以底边中点的横坐标之和即可求解， 【详解】解：(1)由(0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018)×10=1,解得a=0.006 (2)由频率分布直方图可知， 评分在[40,60)，[60,80)，[80,100]内的师生人数之比为 (0.004+0.006):(0.022+0.028):(0.022+0.018)=1:5:4, 所以评分在[60,80)内的师生应抽取10×，5 =5(人). 1+5+4 (3)由题中数据可得师生对食堂服务质量评分的平均分的估计值为： x=45×0.004×10+55×0.006×10+65 ×0.022×10+75×0.028×10+85×0.022×10+95×0.018×10=76.2. 因为76.2>75，所以食堂不需要内部整顿。