28.1　锐角三角函数 第3课时　特殊角的三角函数值 课件 2025-2026学年人教版九年级数学下册

该初中数学课件聚焦“特殊角的三角函数值”，通过回顾已学的sin30°、sin45°，引导学生推导30°、45°、60°角的余弦、正切值，搭建新旧知识衔接的学习支架，系统呈现核心知识点。 其亮点在于以三角尺观察为起点，结合几何直观推导函数值，培养抽象能力与推理意识，用表格归纳知识并通过实例应用，体现模型意识，助力学生深化理解与运算能力提升，教师可高效开展教学。

28.1　锐角三角函数 第3课时　特殊角的三角函数值 1 新课导入 在前面我们已经得到sin 30°＝ ，sin 45°＝ ，你能得到30°，45°角的其他三角函数值吗？ tan 45°＝1. cos 30°＝ ， tan 30°＝ ， cos 45°＝ ， 探究新知 (1)老师手中的两块三角尺(如图)有几个不同的锐角？这几个锐角分别是多少度？ 1 观察与探究 3个不同的锐角;30°、60°和45°锐角. (2)还记得我们推导正弦关系的时候所得到的结论吗？你能推导出sin 60°的值以及30°，45°，60°角的其他三角函数值吗？ sin30°= 解:如图①，在RT△ABC中，∠B=30°， 假设AC=1，AB=2， 由勾股定理得，AC2+BC2=AB2. ∴1+BC2=4. ∴BC= ∴sin60°= . A B C 30° 60° 1 2 ① A B C 30° 60° 1 2 ① cos60°= . tan60°= . cos30°=. tan30°=. ∵sin45° . sin45°= A B C 45° 45° 2 ② 如图②，在RT△ABC中，∠A=∠B=45°， 假设AC=BC=，AB=2， ∴cos45° . ∴tan45° =1. (3)如图，分别在含30°和45°角的直角三角形中，设较短边长为1，利用勾股定理和三角函数定义填空： ①sin30°=， sin45°=，sin60°=; 2 1 2 2 ②cos30°=，cos45°=，cos60°=; ③tan30°=，tan45°=，tan60°=; 2 2 2 3 1 知识归纳 30°，45°，60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表： 例题与练习 例1　求下列各式的值： （1）cos260°＋sin260°；（2）tan45°； 解:(1) cos260°＋sin260° =()2+()2 =1 (2) tan45° = -1 =1 例2　（1）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB= ，BC= ，求∠A的度数. B A C 解:(1)∵sinA=, ∴∠A=45°. （2）如图，AO是圆锥的高，OB是底面半径，AO= OB，求α的度数. A B a O (2)∵tana =, ∴a = 60°. 例3　如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是边AB上一点，∠BDC＝45°，AD＝4，求BC的长． 解：∵∠B＝90°，∠BDC＝45°， ∴△BCD为等腰直角三角形， ∴BD＝BC. 在Rt△ABC中，tan A＝tan 30°＝ ， 即 ，解得BC＝2( ＋1) ． = 课堂小结 特殊角的锐角三角函数值及其运用 30°、45°、60°角的三角函数值 通过三角函数值求角度 特殊角的锐角三角函数值 1．(6分)填写下表： 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 15 16 17 A 18 C 19 等腰直角 75° 20 D 用计算器求锐角三角函数值或角度 21 9．(4分)用计算器求下列锐角三角函数值或角度(结果精确到0.000 1)： (1)tan63°≈__________； (2)cos18°59′≈__________； (3)sin67°38′24″≈___________． (4)若tan α＝0.324 9，则α≈__________．(精确到1°) 1.9626 0.9456 0.9248 18° 22 B 23 60° 24 25 26 【素养提升】 15．(18分)(归纳推理)如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题： sin2A1＋sin2B1＝____；sin2A2＋sin2B2＝____；sin2A3＋sin2B3＝____； (1)观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则都有sin2A＋sin2B＝____； (2)如图④，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想； (3)已知∠A＋∠B＝90°，且sinA＝，则sin B＝____． 1 1 1 1 27 28 1．如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则sin∠ABC的值为____． 29 利用圆的背景 2．如图，在边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠BED的正切值为____． 30 利用三边关系 3．如图，在边长为1的小正方形构成的网格中，△ABC的顶点都在格点上，则sin ∠BAC＝____． 31 4．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos ∠ACB等于____． 32 5．如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cos A的值为____． 33 eq \f(\r(2),2) eq \f(1,2) eq \f(\r(3),3) eq \r(3) eq \f(1,2) eq \f(\r(2),2) eq \f(\r(3),2) eq \f(\r(3),2) 2.(6分)计算：(1) eq \f(1,2) cos 60°＝_______； (2)2cos 30°＋tan 60°＝_________； (3) eq \r(18) －4sin245°＝_________． eq \f(1,4) 2 eq \r(3) 3 eq \r(2) －2 3．(9分)计算： (1)sin 30°＋cos 45°； (2)cos 30°·tan 30°－tan 45°； (3) eq \f(\r(2),2) sin 45°＋sin 60°·cos 45°. 解：原式＝ eq \f(1,2) ＋ eq \f(\r(2),2) ＝ eq \f(1＋\r(2),2) 解：原式＝ eq \f(\r(3),2) × eq \f(\r(3),3) －1＝ eq \f(1,2) －1＝－ eq \f(1,2) 解：原式＝ eq \f(\r(2),2) × eq \f(\r(2),2) ＋ eq \f(\r(3),2) × eq \f(\r(2),2) ＝ eq \f(2＋\r(6),4) 由锐角三角函数值求特殊角 4．(3分)若∠α为锐角，且sin α＝ eq \f(1,2) ，则∠α＝( ) A．30° B．45° C．60° D．90° 5．(3分)若cos (α＋10°)＝ eq \f(1,2) ，则锐角α＝( ) A．30° B．45° C．50° D．60° 6．(3分)如果△ABC中，sin A＝cos B＝ eq \f(\r(2),2) ，那么△ABC是___________三角形． 7．(3分)在△ABC中，(tan A－ eq \r(3) )2＋| eq \f(\r(2),2) －cos B|＝0，则∠C的度数为______． 8．(3分)若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin 36°18′，按键顺序正确的是( ) A． eq \x(sin ) 　 eq \x(3) 　 eq \x(6) 　 eq \x(·) 　 eq \x(1) 　 eq \x(8) 　 eq \x(＝) B． eq \x(sin ) 　 eq \x(3) 　 eq \x(6) 　 eq \x(DMS) 　 eq \x(1) 　 eq \x(8) 　 eq \x(＝) C． eq \x(2ndf) 　 eq \x(sin ) 　 eq \x(3) 　 eq \x(6) 　 eq \x(DMS) 　 eq \x(1) 　 eq \x(8) 　 eq \x(＝) D． eq \x(sin ) 　 eq \x(3) 　 eq \x(6) 　 eq \x(DMS) 　 eq \x(1) 　 eq \x(8) 　 eq \x(DMS) 　 eq \x(＝) 10．(4分)式子2cos 30°－tan 45°－ eq \r(（1－tan 60°）2) 的值是( ) A．2 eq \r(3) －2 　B．0 C．2 eq \r(3) D．2 11．(4分)如图，A，B，C是⊙O上的三点，若△OBC是等边三角形，则cos A＝_____________． eq \f(\r(3),2) 12．(5分)已知锐角α，关于x的一元二次方程x2－2x sin α＋ eq \r(3) sin α－ eq \f(3,4) ＝0有两个相等的实数根，则α＝_________． 13．(5分)菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图，点A在x轴上，点B，C均在第一象限，若∠AOC＝45°，OC＝ eq \r(2) ，则点B的横坐标为___________． eq \r(2) ＋1 14．(14分)四边形ABCD是正方形，E为CD上一点，连接AE，过B作BF⊥AE于点F，∠ABF＝30°且BF＝3 eq \r(3) ，求正方形ABCD的周长． 解：∵BF⊥AE，∴∠BFA＝90°.∵∠ABF＝30°，BF＝3 eq \r(3) ，∴cos ∠ABF＝ eq \f(BF,AB) ，即 eq \f(\r(3),2) ＝ eq \f(3\r(3),AB) ，∴AB＝6.∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∴正方形ABCD的周长为4×6＝24 eq \f(12,13) 解：(2)证明：在Rt△ABC中，∵sin A＝ eq \f(a,c) ，sin B＝ eq \f(b,c) ，a2＋b2＝c2，∴sin2A＋sin2B＝( eq \f(a,c) )2＋( eq \f(b,c) )2＝ eq \f(a2＋b2,c2) ＝1 eq \f(3,5) eq \f(1,2) eq \f(\r(5),5) eq \f(\r(10),10) eq \f(2\r(5),5) $