2026年九年级中考数学一轮 专题复习十：二次函数中直角三角形存在性问题 综合训练

2026学年九年级中考数学一轮专题复习十：二次函数中直角三角形存在性问题综合训练 L.如图，在平面直角坐标系x0中，已知抛物线y=r+c经过 P2,3),与'轴交于点 A0,-,B为抛物线上的一动点（不与点1重合）· (1)求抛物线的函数表达式： (2)当△ABP是直角三角形时（∠PBA≠90°），求点B的坐标. 2.如图：已知二次面数y+?+3的图象与x箱交于有”g两点（点在点左 侧)，与y轴交于点C. (1)求线段BC的长： (2)若点P是直线BC上方一点，当△PCB的面积最大时求点P坐标，且面积的最大值是多 少？ △QCB (3)若点是抛物线对称轴上一点，在点运动过程中使得 是直角三角形，求点的 坐标 3.如图，在平面直角坐标系中，二次函数'=+r+C的图像经过点16,0)，B(-2,0 C0,4 ()求二次函数y=ar'+bx+c 的表达式： (2)点P在第一象限的抛物线上，当△ACP的面积最大时，求点P的坐 (3)在(2)的条件和结论下，在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使 △APO是以4P为斜 边的直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标：若不存在，说明理由 (备用图) 39) 4.如图，在直角坐标系x0中，抛物线的顶点为24， 经过原点，且与x轴交于另一 点A. ()求这个二次函数的解析式，并把它化成一般式： (2)若在第一象限内的抛物线上有一点B,使△AOB的面积等于6，求点B的坐标： (3)在(2)的条件下，在此抛物线上是否存在点P,使△POB为以OB为直角边的直角三角 形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. B 5.如图：已知抛物线'=-x+2r+C与直线相交于点A和点C,A点坐标为-l,0,C点 横坐标为2. (1)求抛物线的函数解析式和C点坐标： (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴： (3)求直线AC函数解析式： (4)若点P是轴上方抛物线上的一个动点， 交C于点,者△PC PQ⊥x 是等腰直角 三角形，直接写出P点坐标. 图1 图2 6。如图，已知抛物线'=-r+4r+5 x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴 交于点C. (I)写出点A,B,C的坐标： (2)点P为第一象限内抛物线上一动点，求△BCP面积的最大值； (3)若M为抛物线的对称轴上的一个动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的 坐标. 7.如图，抛物线y=-×+br+c与x轴交于点A-,0和点B,与y轴交于点C0,3) (1)求抛物线的解析式及顶点坐标： (2)当-3<x<4时，直接写出y的取值范围： (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PAC的周长最小？如果存在，请求出点P的坐 标；如果不存在，请说明理由； (4)设点M在抛物线的对称轴上，当△MAC是直角三角形时，直接写出点M的坐标. B B 备用图 8.如图，抛物线r=号+x+c与x轴交于点1和点850，与y轴胶于点C10,-引， 连接BC,点E是对称轴上的一个动点.点P在抛物线上. (1)求抛物线的解析式： (2)当点P在第一象限内，连接PB,PC,当△PBC的面积最大时，求点P的坐标及最大面 积. (3)在抛物线上是否存在点P,使△BPE是以BE为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求出 点P的坐标；若不存在，请说明理由. 备用图 9.在平面直角坐标系中，抛物线'=ar+bx-3(a≠0) 与x轴交于A、B两点，点B的坐标 为0，点C25)在抛物线上. (1)求抛物线的解析式： (2)求点A的坐标： (3)连接AC交y轴于点D,在y轴上是否存在点P,使△ACP是以AC为直角边的直角三角 形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由. D 10.如图，已知抛物线y=a+bx+5与x轴交于1-，0)，B5,0两点（点A在点B的左 侧)，与y轴交于点C (1)求抛物线的解析式： (2)点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C,B不重合），过点D作DF⊥x轴于点 F,交直线BC于点E,连接BD,直线BC能否把△BDF分成面积之比为l:2的两部分？若 能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由. (3)若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标. 1,如图，已知抛物线=-r+br+c与一条直线相交于-10，C2,3引两点，与'轴交 于点N,其顶点为D (I)求抛物线及直线AC的函数表达式： (2)点P为对称轴上一动点，求当PA+PN最小时点P坐标，并求出最小值. (3)在抛物线对称轴上是否存在一点M,使以A,N,M为顶点的三角形是直角三角形？若 存在，请直接写出M点的坐标.若不存在，请说明理由. 12.如图，抛物线'=r+c+3到a≠0)与x轴交于A,8两点，与'轴交于点C.已知点 A的坐标是-.0) 抛物线的对称轴是直线x=1 (1)求抛物线的解析式 (2)第一象限内的抛物线上有一动点P,使△BCP的面积最大，求点P的坐标和△BCP面积 的最大值. (3)对称轴与x轴交于点N,在对称轴上找一点M,使△MNC为直角三角形，求点M的坐 标. B B 备用图 13.已知，如图所示，抛物线'=ar++3与轴交于点1(-1,0)和B3,0),与'轴交于 点C (1)抛物线的对称轴是 (2)在抛物线的对称轴上，是否存在点P,使PA+PC的值最小？如果存在，请求出点P的 坐标，如果不存在，请说明理由. (3)设点M在抛物线的对称轴上，当△MAC是直角三角形时，求点M的坐标. 备用图 14.如图，抛物线'=r+r+C与轴交于1，B两点，点B的坐标为8,0)，与'轴交于 点C0,3) (1)求抛物线的函数表达式. (2)D为抛物线对称轴上一点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐 标 备用图 15.如图，已知抛物线与x轴交于1-1,0，B(3,0两点（点A在点B的左边），与'轴交 于点C(0,3引，连接B8C】 (1)求抛物线的解析式： 2若点P为线段8C上一点（不与B,C重合）， PM Iy '轴，且PM交抛物线于点M,交 x轴于点N,当△BCM的面积最大时，求点P的坐标： (3)在(2)的条件下，当△BCM的面积最大时，在抛物线的对称轴上存在一点Q,使得 △CNQ 为直角三角形，求点Q的坐标 WB WB衣 备用图 参考答案 一、选择题 1.【解】D解：把P2),40-)代入y=ar+c得： [4a+c=3 c=-1, a=1 解得c=-1, 六抛物线的函数表达式为”=r-1 m,m2-1) (2)解：设 P(2,3)A(0,-1) BP2=m-22+(m2-42,AB2=m2+m,P4=(2-0)2+(3+1)2=20 ①当AP为斜边时，如图，∠PBA=90°，不合题意，舍去： ②当BP为斜边时，如图： ∴.(0m-2)2+(m2-4)2=m2+m+20 化简变形得：-4m(2m+)=0, 1 解得m=0（舍去)或m= 2 分引 ③当AB为斜边时，如图： .(0m-2)2+(0m2-4)2+20=m2+1m4 变形得：2m2+m-10=0, 解得m=2(舍去)或m= 2’ 9为 综上所述， (13)521 的坐标为24或24 2.【10解：在=+子-3中，当x0时y=则G .0C=3: 当-0.5+}+3=0，解行1成4则140 ∴.OB=4 .∠BOC=90°， :8C=08+0C=5: