2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册综合测试卷

湘教版高中数学选择性必修第一册综合测试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.直线y=-√3x+1的倾斜角为() A.30° B.60° C.120° D.150° 2.已知等差数列{a}的前n项和为Sn,若a,+a4,=26,S=35,则4o=() A.27 B.28 C.29 D.30 B列Q的前项和为8，若令子可(D A月 B.67 D. 4 18 4.已知点A(1,1),B(5,3),则以线段AB为直径的圆的方程为() A.(x-2)+(y-3)=5 B.(x-22+(y-3)2=1 C.(x-3)2+(y-2)=5 D.(x-3)2+(y-2)2=1 5.己知抛物线y=2Px(p>0)的焦点为F(1,0),点A在抛物线上，O是坐标原点，若△OFA 的面积为3，则AF长度为() 7 A.2 B.3 C. D.4 2 6.已知因五：产+若-1a>b>0)与矩形BCD的四条边都相切，若该矩形头于坐标销 对称，且tan∠ACB=2,则E的离心率为() A.3 B.② 2 C. D. 2 3 7.某班从5名同学中选3名同学分别参加数学、物理和化学知识竞答，已知甲同学不能参 加物理和化学知识竞答，其他同学都能参加这三科知识竞答，则不同的安排有() A.42种 B.36种 C.6种 D.12种 8.某学校拟派5名教师去甲、乙、丙这3所不同的学校参观学习，每名教师只去一所学校， 每个学校至少要派遣1名教师，若去甲校的人数不得少于丙校，则不同的派遣方案有() A.110种 B.100种 C.90种 D.80种 二、多项选释题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。金部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.数列{a}满足a=1,a+1=2a.+n-1,n∈N,则下列说法正确的有() A.数列{a.+n}是等比数列 B.a =2"-n C.数列{a}的前n项和S=21_心+n-4 2 D.数列{a}是递增数列 10.以下四个命题表述正确的有() A.直线1过点P(2,4),且在x,y轴上截距相等，则直线1的方程为x+y-6=0 B.直线(0m-1)x+(-2-1)y=3,(m∈R)恒过定点(-2，-1) C.a∈R,“a=0”是“直线ax+2y-1=0与直线(a+1)x-2y+1=0垂直”的充分不必要 条件 D.已知直线3x+4y+9=0与直线6x+w+24=0平行，则平行线间的距离是3 山.在平面直角标系x0中，双曲线r等芳-1b0)的左、右焦点分别为片，风， 左、右顶点分别为A,A,,已知点A(4,0),B(2,b),直线1T于P、Q两点（异于A,A), 当直线1过点A且与x轴垂直时，△BPQ的重心G在以F,为直径的圆O上.下列结论正 确的是() A.点到T的渐近线的距离为2 B.直线PA,PA的斜率之积为2 C.若直线1过点F,当PQ=6时，这样的直线1只有2条 D.若直线1过点A,且∠P0Q=90°，则1Pg=8√5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若4+a,=4,a,a,=20,则S,=」 13.若x2 的展开式的二项式系数和为32，则展开式中x的系数为 14.已知直线4：2x-y+a=0与直线1，：4x-2y-1=0的距离为75，则a= 10 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)已知数列{am}满足an+1=3a.+2”，且4=1 (1)证明：数列{4，+2}为等比数列，并求出{a}的通项公式： (2)设b= a+2,求数列物}的前n项和7. 16.(15分)已知圆C的圆心为(3,1)，且该圆被直线1：x-y-1=0截得的弦长为√2 (1)求该圆的方程： (2)求过点A(4,-3)的该圆的切线方程 17.(15分)已知抛物线E:y2=2Px(p>0)的焦点为F,点F到抛物线准线距离为2. B (1)求抛物线E的标准方程： (2)已知△BCD的三个顶点都在抛物线E上，B(1,-2),△BCD重心恰好是抛物线E的焦点F, 求CD所在的直线方程. 18.（17分)某校高二年级开设了《数学建模》《电影赏析》《经典阅读》《英语写作》四门 校本选修课程，甲、乙、丙三位同学打算在上述四门课程中随机选择一门进行学习，已知三人 选择课程时互不影响，且每人选择每一门课程都是等可能的 (1)求三位同学选择的课程互不相同的概率： (2)若至少有两位同学选择《数学建模》，则三人共有多少种不同的选课种数？ 1玛17分)设椭圆M:号+1@>6>0)的离心率为，点4(a,0),9(0,五 原点O到直线AB的距离为2V5 3 (I)求椭圆M的方程； (Ⅱ)设点C为(-a,0),点P在椭圆M上（与A、C均不重合），点E在直线PC上，若 直线PA的方程为y=-4,且CP.BE=0,试求直线BE的方程， 湘教版高中数学选择性必修第一册综合测试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出直线的斜率，进而可得倾斜角. 【详解】因为直线的斜率，所以直线的倾斜角为.故选：C. 2．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．27 B．28 C．29 D．30 【答案】B 【分析】根据，求出，则 【详解】设等差数列的公差为，因为， 所以 则；故选B 3．记等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等比数列前项和的性质计算即可. 【详解】因为为等比数列的前项和，所以成等比数列， 由，得，则，所以，所以， 所以.故选：B 4．已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直径求出圆心、半径即可得解. 【详解】因为为直径，所以圆心为，半径， 所以圆的方程为.故选：C. 5．已知抛物线的焦点为，点A在抛物线上，O是坐标原点，若的面积为，则长度为（   ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】D 【分析】根据焦点可得抛物线方程，进而由面积公式可得点的坐标，即可根据焦半径公式求解. 【详解】由，得，即，故抛物线的方程为. 设，则的面积为，得， 将代入，得，由焦半径公式.故选：D. 6．已知椭圆E：与矩形的四条边都相切，若该矩形关于坐标轴对称，且，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由条件即可得到，再由椭圆离心率公式代入计算，即可得到结果. 【详解】根据题意，不妨设， 则，且， 即，则. 故选：A 7．某班从5名同学中选3名同学分别参加数学、物理和化学知识竞答，已知甲同学不能参加物理和化学知识竞答，其他同学都能参加这三科知识竞答，则不同的安排有（   ） A．42种 B．36种 C．6种 D．12种 【答案】B 【分析】利用分类加法原理来求解即可. 【详解】第一类：三名同学中有甲同学，则不同的安排有：种； 第二类：三名同学中没有甲同学，则不同的安排有：种； 根据分类加法原理可得，共有种，故选：B. 8．某学校拟派5名教师去甲、乙、丙这3所不同的学校参观学习，每名教师只去一所学校，每个学校至少要派遣1名教师，若去甲校的人数不得少于丙校，则不同的派遣方案有（    ） A．110种 B．100种 C．90种 D．80种 【答案】B 【分析】根据丙校派遣的人数进行讨论，结合计数原理即可求解． 【详解】若丙校派遣1人，则甲校可以派遣1或2或3人，派遣方案有种； 若丙校派遣2人，则甲校必须派遣2人，派遣方案有种； 所以满足条件的不同的派遣方案有种．故选：B． 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．数列满足，，，则下列说法正确的有（   ） A．数列是等比数列 B． C．数列的前n项和 D．数列是递增数列 【答案】ABD 【分析】借助等比数列定义及其性质可得A、B；借助等比数列与等差数列求和公式计算可得C；借助作差法可得，即可得D. 【详解】因为，所以， 因为，所以，所以数列是首项和公比都为2的等比数列，故A正确； 则，所以，故B正确； 因为，所以 ，故C错误； 因为，所以， 因为，所以，所以，即数列是递增数列，故D正确． 故选：ABD． 10．以下四个命题表述正确的有（    ） A．直线l过点，且在轴上截距相等，则直线l的方程为 B．直线恒过定点 C．，“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件 D．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是3 【答案】BC 【分析】对于A，注意到过原点直线满足在轴上截距相等，据此可判断选项正误； 对于B，将直线化为：，据此可得直线所过定点； 对于C，由直线垂直与直线一般式关系可判断选项正误； 对于D，由平行直线距离公式结合题意可得答案. 【详解】对于A，注意到当直线过原点且过点时，方程为： ，满足在轴上截距相等，则A选项错误； 对于B，将直线化为：，令，则直线过定点，故B正确； 对于C，直线与垂直需满足：，得或. 由可得两直线垂直，由或得不到，则是直线与直线垂直的充分不必要条件，故C正确； 对于D，因与平行，则， 则与距离，即为与的距离，为，故D错误.故选：BC 11．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，已知点，直线l交Γ于P、Q两点（异于），当直线l过点A且与x轴垂直时，的重心G在以为直径的圆O上．下列结论正确的是（   ） A．点到Γ的渐近线的距离为2 B．直线，的斜率之积为2 C．若直线l过点，当时，这样的直线l只有2条 D．若直线l过点A，且，则 【答案】BCD 【分析】根据题意，求得，得到，由渐近线方程为，利用点到直线的距离公式，可判定A错误；设，得到，利用双曲线的方程，可得判定B正确；由直线垂直轴时，得到，再由，结合双曲线的性质，可得判定C正确；设直线的方程为，联立方程组，利用，求得，结合弦长公式，可得判定D正确. 【详解】由，可得，焦点坐标为， 因为直线过点且与轴垂直，则直线的方程为， 将代入双曲线的方程，可得，即， 所以重心的坐标为，即， 又由以为直径的圆的方程为，代入可得， 解得，即，所以，此时 对于A中，由，可得其渐近线方程为， 则焦点到的距离为，所以A错误； 对于B中，设且，则，所以B正确； 对于C中，由，设直线与双曲线交于零点， 当直线垂直轴时，此时直线的方程为，则，此时， 此时，当交点在同一支上时，不存在直线，使得； 又由，可得，此时， 当交点在两支上时，存在2条直线，使得， 综上可得，使得的直线共有2条，所以C正确； 对于D中，设直线的方程为，且， 联立方程组，整理得， 其中，， 且， 因为，可得， 则 代入可得，整理得，即， 当时，此时，且， 由弦长公式，可得， 根据双曲线的对称性得：当时，可得，所以D正确.故选：BCD.    三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．记为等差数列的前项和.若，则 . 【答案】 【分析】根据条件，利用等差数列的性质，得到，，进而求出公差，再由等差数列的前项和公式，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，因为，得到， 又，所以，则， 所以，故答案为：. 13．若的展开式的二项式系数和为32，则展开式中的系数为 ． 【答案】 【分析】根据二项式系数和得到的值，再根据二项式展开式的通项公式可得到结果. 【详解】因为的展开式的二项式系数和为32，所以，即， 二项式展开式的通项公式为， 令，则，所以的系数为， 故答案为：. 14．已知直线与直线的距离为，则 . 【答案】或 【分析】利用平行线间的距离公式得到关于的方程，从而得解. 【详解】直线可化为，直线， 所以，解得或， 所以或. 故答案为：或 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知数列满足，且. (1)证明：数列为等比数列，并求出的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）根据题意求出，代入计算为常数，所以数列为等比数列，根据等比数列通项公式求出通项公式，减去便可得到的通项公式. （2）将的通项公式代入，求出数列的通项公式，利用错位相减法求出. 【详解】（1）因为， 所以， 又，所以， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以， 则. （2）由（1）知， 所以， 所以， 则， 两式相减得 ， 所以. 16．（15分）已知圆C的圆心为，且该圆被直线截得的弦长为 (1)求该圆的方程； (2)求过点A的该圆的切线方程 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用弦长公式求得半径即可； （2）分直线的斜率存在和不存在，由圆心到直线的距离等于半径求解. 【详解】（1）解：圆C的圆心到直线的距离为：， 则弦长为，解得，所以圆的方程为：； （2）当直线的斜率不存在时，直线方程为：， 则圆心到直线的距离为，复合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，即， 则圆心到直线的距离，解得， 所以直线的方程为：， 综上：该圆的切线方程为：或 17．（15分）已知抛物线的焦点为，点到抛物线准线距离为2．    (1)求抛物线的标准方程； (2)已知的三个顶点都在抛物线上，，重心恰好是抛物线的焦点，求所在的直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用抛物线标准方程中的几何意义进行求解即可； （2）根据三角形重心公式，结合待定系数法、方程联立法、一元二次方程根与系数的关系进行求解即可. 【详解】（1）因为焦点到抛物线准线距离为2． 所以，因此抛物线的标准方程为； （2）当直线的斜率为零时，直线与抛物线只有一个交点，不符合题意； 设直线的方程为，将直线的方程和抛物线方程联立，得 ，由题意可知， 设，于是有，焦点的坐标为， 因为重心恰好是抛物线的焦点，所以有 ，此时， 所以所在的直线方程为. 18．（17分）某校高二年级开设了《数学建模》《电影赏析》《经典阅读》《英语写作》四门校本选修课程，甲､乙､丙三位同学打算在上述四门课程中随机选择一门进行学习，已知三人选择课程时互不影响，且每人选择每一门课程都是等可能的. (1)求三位同学选择的课程互不相同的概率； (2)若至少有两位同学选择《数学建模》，则三人共有多少种不同的选课种数？ 【答案】(1)； (2)10. 【分析】（1）先计算出三位同学选择课程的选法种数以及三位同学选择的课程互不相同的选法种数，利用古典概型的概率公式可求得结果. （2）分两种情况讨论：①有两位同学选择《数学建模》；②三位同学都选择《数学建模》，分别计算出两种情况下不同的选课种数，利用分类加法计数原理可得结果. 【详解】（1）三位同学选择课程共有种情况，三位同学选择的课程互不相同共有种情况，所以三位同学选择的课程互不相同的概率为. （2）分两种情况讨论：①有两位同学选择《数学建模》，共有种不同的情况； ②有三位同学选择《数学建模》共有种情况， 由分类加法计数原理得总共有种不同的选课种数， 所以三人共有不同的选课种数是10. 19．（17分）设椭圆： 的离心率为，点（，0），（0，）,原点到直线的距离为 （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设点为（，0），点在椭圆上（与、均不重合），点在直线上，若直线的方程为，且，试求直线的方程． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【详解】（Ⅰ）由得， 由点（，0），（0，）知直线的方程为， 于是可得直线的方程为， 因此，得，，， 所以椭圆的方程为； （Ⅱ）由（Ⅰ）知、的坐标依次为（2，0）、， 因为直线经过点，所以，得，即得直线的方程为 因为，所以，即， 设的坐标为，(法一)由得P()，则， 所以又点的坐标为，因此直线的方程为 ; (法二)由椭圆的性质 ，因为 又，得，即直线的斜率为4， 又点的坐标为，因此直线的方程为. 学科网（北京）股份有限公司 $湘教版高中数学选择性必修第一册综合测试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.直线y=-√3x+1的倾斜角为() A.30° B.60° C.120° D.150° 【答案】C 【分析】先求出直线的斜率，进而可得倾斜角 【详解】因为直线y=-√5x+1的斜率k=5,所以直线y=-√3x+1的倾斜角为120°.故选：C 2.已知等差数列{a}的前n项和为S4,若a,+a。=26,S=35,则4。=() A.27 B.28 C.29 D.30 【答案】B 【分析】根据a4+a,=26,S=35,求出a=1,d=3,则4o=4+9d=28 【详解】设等差数列{a,}的公差为d,因为a+a。=26,S,=35, [a+3d+a+5d=26、「a+4d=13,[a=1 所以 5a+10d=35 a+2d=7d=3 则ao=a+9d=1+9×3=28；故选B 3.记等比数列a,}的前u项和为8，若g=2, S9则=( S A司 67 4 B. 18 D. 9 【答案】B 【分析】根据等比数列前n项和的性质计算即可 【详解】因为Sn为等比数列{an}的前n项和，所以S,S。-S,S,-S。成等比数列， 8号利-用2-3：85 由鸟2 4 7 所以S=4 61 18 故选：B 2 4.已知点A(1,1),B(5,3),则以线段AB为直径的圆的方程为() A.(x-2)+(y-3)=5 B.（x-22+(y-3)}2=1 C.(x-3)2+(y-2)2=5 D.(x-3)2+(y-2)2=1 【答案】C 【分析】根据直径求出圆心、半径即可得解， 【详解】因为4B为直径，所以圆心为03,2)，半径，=5-+3-1 2 51 所以圆的方程为(x-3)+(y-2)=5.故选：C. 5.已知抛物线y=2Px(p>0)的焦点为F(1,0),点A在抛物线上，O是坐标原点，若△OFA 的面积为√，则AF长度为() 7 A.2 B.3 C. 2 D.4 【答案】D 【分析】根据焦点可得抛物线方程y2=4x,进而由面积公式可得点的坐标，即可根据焦半 径公式求解 【详解】由F1,0),得号-1，即p=2,故抛物线的方程为y=4x。 设4，则0M的面积为×0FX%%5B,每y=25, 将y。=±25代入y2=4x,得x=3,由焦半径公式AF=x。+1=4.故选：D 6.已知候圆五，需。-a>办~0)与矩形CD的四条边都相切，若该矩形关于坐标精 对称，且tan∠ACB=2,则E的离心率为() A.3 B. D. 2 2 C.2 3 【答案】A 【分析】根据题意，由条件即可得到α=2b,再由椭圆离心率公式代入计算，即可得到结果 【详解】根据题意，不妨设A(-a,b),B(a,b),C(a,-b),D(a,-b), 则AB=2a,BC=2b,且tan∠ACB=2= AB 2a BC 2b 即a=2b, 故选：A 7.某班从5名同学中选3名同学分别参加数学、物理和化学知识竞答，已知甲同学不能参 加物理和化学知识竞答，其他同学都能参加这三科知识竞答，则不同的安排有() A.42种 B.36种 C.6种 D.12种 【答案】B 【分析】利用分类加法原理来求解即可 【详解】第一类：三名同学中有甲同学，则不同的安排有：CA1A2=12种： 第二类：三名同学中没有甲同学，则不同的安排有：A?=24种： 根据分类加法原理可得，共有12+24=36种，故选：B. 8.某学校拟派5名教师去甲、乙、丙这3所不同的学校参观学习，每名教师只去一所学校， 每个学校至少要派遣1名教师，若去甲校的人数不得少于丙校，则不同的派遣方案有() A.110种 B.100种 C.90种 D.80种 【答案】B 【分析】根据丙校派遣的人数进行讨论，结合计数原理即可求解。 【详解】若丙校派遣1人，则甲校可以派遣1或2或3人，派遣方案有C(C4+C+C)=70 种： 若丙校派遣2人，则甲校必须派遣2人，派遣方案有CC?=30种： 所以满足条件的不同的派遣方案有70+30=100种.故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分」 9.数列{a}满足a=1,a+1=2a。+n-1,n∈N,则下列说法正确的有() A.数列{a,+n}是等比数列 B.d =2"-n C.数列{a}的前n项和8=21_心+n-4 2 D.数列{an}是递增数列 【答案】ABD 【分析】借助等比数列定义及其性质可得A、B;借助等比数列与等差数列求和公式计算可 得C;借助作差法可得an+1-a>0,即可得D. 【详解】因为a+1=2a.+n-1,所以a4+1+(n+l)=2an+2n=2(an+n), 因为4=1，所以4+1=2，所以数列{a,+心是首项和公比都为2的等比数列，故A正确： 则a,+n=2”,所以an=2”-n,故B正确： 因为4n=2”-n,所以Sn=4+42+…+4,=2-1+22-2+…+2-1 =2+2+…+2°-0+2++月=2+-2-0+1n2+-+n+4,故C错误； 2 2 因为a+1=2a+n-1,所以a+1-a,=a。+n-1=2”-1, 因为n∈N,所以2”-1>0，所以a1>a,即数列{a}是递增数列，故D正确. 故选：ABD 10.以下四个命题表述正确的有() A.直线1过点P(2,4),且在x,y轴上截距相等，则直线1的方程为x+y-6=0 B.直线(m-1)x+（-2m-1)y=3,(∈R)恒过定点(-2，-1) C.a∈R,“a=0”是“直线ax+2y-1=0与直线(a+1)x-2y+1=0垂直的充分不必要 条件 D.已知直线3x+4y+9=0与直线6x+y+24=0平行，则平行线间的距离是3 【答案】BC 【分析】对于A,注意到过原点直线满足在：，y轴上截距相等，据此可判断选项正误： 对于B,将直线化为：（x-2y)-x-y-3=0,据此可得直线所过定点： 对于C,由直线垂直与直线一般式关系可判断选项正误： 对于D,由平行直线距离公式结合题意可得答案， 【详解】对于A,注意到当直线过原点且过点P(2,4)时，方程为：y=2x,满足在xy轴 上截距相等，则A选项错误； 对于B,将直线化为：(x-2y)m-x-y-3=0,令 「x-2y=0「x=-2 t-y-3=0y=-1:则直线过定点 (-2,-1),故B正确： 对于C,直线x+2y-1=0与(a+1)x-2y+1=0垂直需满足：a(a+1)-4a=0→a(a-3)=0, 得a=0或a=3. 由a=0可得两直线垂直，由a=0或a=3得不到a=0,则a=0是直线ar+2y-1=0与直线 (a+1)x-2y+1=0垂直的充分不必要条件，故C正确： 对于D,因3x+4y叶9=0与6x+m+24=0平行，则24→m=8, 6 则3x+4y+9=0与6.x+8y+24=0距离，即为6x+8y+18=0与6x+8y+24=0的距离，为 合1g,故D错误故选：BC 山.在平面直角坐标系0中，双由线r若岁16>0)的左、有焦点分别为，只 左、右顶点分别为A,A,,已知点A(4,0),B(2,b),直线1T于P、Q两点（异于A,A,), 当直线I过点A且与x轴垂直时，△BPQ的重心G在以FF,为直径的圆O上.下列结论正 确的是() A.点到T的渐近线的距离为2 B.直线PA,PA的斜率之积为2 C.若直线1过点F2,当PO=6时，这样的直线1只有2条 D.若直线1过点A,且∠P0Q=90°，则Pg=85 【答案】BCD 【分析】根据题意，求得b=22,得到T:千51，由渐近线方程为y=V2x,利用盟 到直线的距离公式，可判定A错误；设P(3,),得到飞4k%,= )2 利用双曲线的方 x-4 程，可得判定B正确；由直线l垂直x轴时，得到MW=8>6,再由AA,=4<6,结合双 曲线的性质，可得判定C正确：设直线1的方程为y=k(x-4),联立方程组，利用OP.O②=0， 求得k=1,结合弦长公式，可得判定D正确 【伴解)由T发1，可得a2,焦点坐标为Ac0以化.0 因为直线1过点A且与x轴垂直，则直线I的方程为x=4, 将x=4代入双曲线T的方程，可得y=±3b,即P(4,V3b),P(4,-√3b), 所以重心G的坐标为(2+4+4，b+v56+(-50,即G9.多 3 3 33, 又由以R那为直径的圆的方程为x+少-e,代入可得受+令=c=4+6 解得6=8，即6=N5,所以r:二-1，此时(-25，.R(25,0) 48 对于A中，由r:二-1，可得其渐近线方程为y=x, 48 则焦点F(-2W3,0),0)到2x-y=0的距离为d=1 √2x23 =2√2，所以A错误： √2+1 对FB中，设P心D且A0,A0,则k4k4十2X+22,所以B 正确： 对于C中，由E,(2W3,0),设直线I与双曲线T交于M,N零点， 当直线1垂直x轴时，此时直线l的方程为x=23,则y=±4，此时MW=8, 此时W>6,当交点M,N在同一支上时，不存在直线，使得PQ=6; 又由4(-2,0)，A(2,0)，可得44|=4，此时44，<6， 当交点M,N在两支上时，存在2条直线，使得PQ=6, 综上可得，使得PQ=6的直线共有2条，所以C正确： 对于D中，设直线l的方程为y=k(x-4),且P(3,y),Q(x2,y,), [y=k(-4) 联立方程组x2y2,,整理得(2-k)x2+8k2x-16k2-8=0, (481 其中2-k2≠0，△=(8k2)2+4(2-k2)16k2+8)>0, -8k2 -16k2+8) 且x+名2=2-k 因为∠P00=90°，可得OP⊥O0, 则OP.O2=x5,+y2=52+s-4)k(化，-4)=k2xX,-4h2(x+x)+16k2=0 人可得k2Q6+842810,整理得2=1，即kD 2-k2 当k=1时，此时y=x-4,且x+x2=-8,xx2=-24, 由弦长公式，可得P9=1+1x-x=2×V任+x-4x,=85, 根据双曲线的对称性得：当k=-1时，可得Pg=8W5,所以D正确故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若4，+a,=4,a4,=20,则S,= 【答案】0 【分析】根据条件，利用等差数列的性质，得到α，=2，a=10,进而求出公差，再由等差 数列的前n项和公式，即可求解 【详解】设等差数列{a}的公差为d,因为a+a,=2a,=4,得到a,=2, 又a4=20,所以4=10，则d=4-4=10-2=2, 9-54 所以8，=76+a）7色，-4d+a+2d)74,2×2)0,放答案为：0。 2 2 13.若x2 的展开式的二项式系数和为32，则展开式中x的系数为 【答案】-10 【分析】根据二项式系数和得到的值，再根据二项式展开式的通项公式可得到结果 【详解】因为(到 的展开式的二项式系数和为32，所以2”=32，即n=5, 展开式的通项公式为C:·x- =（-2Cgx-2r, 令5-2r=3,则r=1,所以x的系数为(-2).C=-10, 故答案为：-10. 14.已知直线：2x-y+a=0与直线：4-2y-1=0的距离为75 则a= 10 【答案】3或-4 【分析】利用平行线间的距离公式得到关于a的方程，从而得解 【详解】直线l:2x-y+a=0可化为4x-2y+2a=0,直线2：4x-2y-1=0, 所以2a+1_75 解得a=3或a=-4, v16+410 所以a=3或a=4。 故答案为：3或-4 四、解答题：本题共5小题。共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)己知数列{a}满足a1=3a.+2”,且4=1. (1)证明：数列{4+2}为等比数列，并求出{a}的通项公式： (2)设6，=” a,+2,求数列物}的前u项和7 【答案】(1)证明见解析，a,=3”-2” @x-20 【分析】)根据题意求出a1+2=3a,+2）,代入+ 0n+2 一计算为常数，所以数列 {a,+2}为等比数列，根据等比数列通项公式求出{a,+2}通项公式，减去2"便可得到{a} 的通项公式。 2》将和的适项公式代入。2中2：求出数列和，}的逼项公式6= ，利用错位相减 法求出T. 【详解】(1)因为an+1=3a,+2”, 所以a1+2+1=3(a,+2）, 又g+2=1+2=3≠0，所以0+2 -=3, 4m+2 所以数列{4+2”}是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以a+2”=3.31=3”, 则a=3”-2”. (2)由(1)知a,+2”=3”, 所以b=3· 1,23 所以=3十+十+ 3, 时 341, 1.11 两式相减得73京+家++ 3”3+1 业动 n11n121+3 3+12233H26.3” 3 所以双年 16.(15分)己知圆C的圆心为(3,1)，且该圆被直线1：x-y-1=0截得的弦长为√2 (1)求该圆的方程； (2)求过点A(4,-3)的该圆的切线方程 【答案】(1)(x-3)2+(y-1)=1 (2)x=4或15x+8y-36=0 【分析】(1)利用弦长公式求得半径即可： (2)分直线的斜率存在和不存在，由圆心到直线的距离等于半径求解 【详解】1)解：圆C的圆心(3,1)到直线4x-y-1=0的距离为：d-B-1-_互 √22 则弦长为2√r2-d 5,解得2=1，所以圆的方程为：(x-3)2+(y-1)2=1; (2)当直线的斜率不存在时，直线方程为：x=4, 则圆心到直线的距离为d=4-3=1=r,复合题意： 当直线的斜率存在时，设直线方程为y+3=k(x-4),即x-y-3-4k=0, 则圆心到直线的距离4B头-1341，解得太=-5 V√1+k2 1 所以直线的方程为：15x+8y-36=0, 综上：该圆的切线方程为：x=4或15x+8y-36=0 17.(15分)已知抛物线E:y2=2匹(p>0)的焦点为F,点F到抛物线准线距离为2. B (1)求抛物线E的标准方程； (2)已知△BCD的三个顶点都在抛物线E上，B(L,-2),△BCD重心恰好是抛物线E的焦点F, 求CD所在的直线方程. 【答案】(1)y=4x (2)2x-y-1=0 【分析】(1)利用抛物线标准方程中卫的几何意义进行求解即可： (2)根据三角形重心公式，结合待定系数法、方程联立法、一元二次方程根与系数的关系 进行求解即可」 【详解】(1)因为焦点F到抛物线准线距离为2. 所以p=2,因此抛物线E的标准方程为y2=4x: (2)当直线CD的斜率为零时，直线CD与抛物线只有一个交点，不符合题意： 设直线CD的方程为x=my+n,将直线CD的方程和抛物线方程联立，得 x=nv+n y2=4 →y2-4y-4=0,由题意可知△=16m2+16n>0, 设C(x,),D(x2,),于是有月+y2=4my=-4n,焦点F的坐标为(1,0) 因为△BCD重心恰好是抛物线E的焦点F,所以有 x+3,+1-1 3 x+=2m+n+mm,+n=2m(g+%)+21=2 当+y-2=04+y=24+%=2 (出+y=2 3 1 2m+2n=2 2m+2n=2 n= y+y2=2 4=2 12,此时4=16×+16×3 ×1=12>0, n= 2 11 所以CD所在的直线方程为x=一y+ →2x-y-1=0」 22 湘教版高中数学选择性必修第一册综合测试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．27 B．28 C．29 D．30 3．记等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 4．已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知抛物线的焦点为，点A在抛物线上，O是坐标原点，若的面积为，则长度为（   ） A．2 B．3 C． D．4 6．已知椭圆E：与矩形的四条边都相切，若该矩形关于坐标轴对称，且，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．某班从5名同学中选3名同学分别参加数学、物理和化学知识竞答，已知甲同学不能参加物理和化学知识竞答，其他同学都能参加这三科知识竞答，则不同的安排有（   ） A．42种 B．36种 C．6种 D．12种 8．某学校拟派5名教师去甲、乙、丙这3所不同的学校参观学习，每名教师只去一所学校，每个学校至少要派遣1名教师，若去甲校的人数不得少于丙校，则不同的派遣方案有（    ） A．110种 B．100种 C．90种 D．80种 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．数列满足，，，则下列说法正确的有（   ） A．数列是等比数列 B． C．数列的前n项和 D．数列是递增数列 10．以下四个命题表述正确的有（    ） A．直线l过点，且在轴上截距相等，则直线l的方程为 B．直线恒过定点 C．，“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件 D．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是3 11．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，已知点，直线l交Γ于P、Q两点（异于），当直线l过点A且与x轴垂直时，的重心G在以为直径的圆O上．下列结论正确的是（   ） A．点到Γ的渐近线的距离为2 B．直线，的斜率之积为2 C．若直线l过点，当时，这样的直线l只有2条 D．若直线l过点A，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．记为等差数列的前项和.若，则 . 13．若的展开式的二项式系数和为32，则展开式中的系数为 ． 14．已知直线与直线的距离为，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知数列满足，且. (1)证明：数列为等比数列，并求出的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 16．（15分）已知圆C的圆心为，且该圆被直线截得的弦长为 (1)求该圆的方程； (2)求过点A的该圆的切线方程 17．（15分）已知抛物线的焦点为，点到抛物线准线距离为2．    (1)求抛物线的标准方程； (2)已知的三个顶点都在抛物线上，，重心恰好是抛物线的焦点，求所在的直线方程. 18．（17分）某校高二年级开设了《数学建模》《电影赏析》《经典阅读》《英语写作》四门校本选修课程，甲､乙､丙三位同学打算在上述四门课程中随机选择一门进行学习，已知三人选择课程时互不影响，且每人选择每一门课程都是等可能的. (1)求三位同学选择的课程互不相同的概率； (2)若至少有两位同学选择《数学建模》，则三人共有多少种不同的选课种数？ 19．（17分）设椭圆： 的离心率为，点（，0），（0，）,原点到直线的距离为 （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设点为（，0），点在椭圆上（与、均不重合），点在直线上，若直线的方程为，且，试求直线的方程． 学科网（北京）股份有限公司 $