28.1　锐角三角函数 第2课时　余弦和正切 课件 2025-2026学年人教版九年级数学下册

该初中数学课件聚焦锐角余弦和正切的概念及应用，课堂导入通过复习正弦值计算、性质及已知正弦求边长，搭建旧知到新知的学习支架，衔接自然。 其亮点在于以相似三角形推理（数学思维）构建余弦、正切定义，例题从基础计算到结合方程（例3用韦达定理）分层设计，培养运算与应用能力（数学语言），小结清晰，习题多样，助力学生深化理解，教师教学更高效。

第二十八章　锐角三角函数 第2课时　锐角的余弦和正切 1 新课导入 1．sin 30°＝____，sin 45°＝____． 2．在Rt△ABC中，各边的长度都扩大为原来的3倍，那么锐角∠A的正弦值_____． 不变 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sin A＝ ，则AC的长为____． 探究新知 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，当锐角 A 确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定. 1 此时，其他边之间的比是否也确定了呢？ A B C 斜边c 对边a 邻边b 略（利用相似三角形的知识可以证明） 如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′. 2 (2)当∠A确定后，∠A的邻边与斜边的比确定吗？它的对边与邻边的比呢？ (1)求证： ; 解:(1) ∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中, ∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′. ∴△ABC∽△A′B′C′， ∴ , 即 , (2)在 Rt△ABC 中，当锐角 A 的度数一定时，∠A 的邻边与斜边的比、对边与邻边的比都是一个固定值． 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，锐角A的____边与____边的比，叫做∠A的余弦，记作_____，即cos A＝ ____． 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，锐角A的____边与____边的比，叫做∠A的正切，记作_____，即tan A＝ ____． 知识归纳 cosA 对 邻 tanA 邻 斜 3．锐角A的______、______、______都叫做∠A的三角函数值． 正弦 余弦 正切 例题与练习 例1　如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求sinA，cosA，tanA的值. B A C 6 10 解：由勾股定理得 AC= 因此sinA= cosA= tanA= 例2　如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝ ，求sin A和cos A的值． 设BC＝2k，则AC＝3k， 解：∵tanA＝， ∴AB＝ =， ∴sinA＝， cosA= = = . 例3　已知关于x的方程x2－5x·sin α＋1＝0的一个根为2＋ ，且α为锐角，求cos α. 解：设方程的另一个根为x2，则(2＋ )x2＝1， ∴x2＝2－ . 根据根与系数的关系，得5sin α＝(2＋ ) (2－ ) ， 解得sin α＝ . 设锐角α所在的直角三角形的对边长为4k(k>0) ， 则斜边长5k，邻边长为3k，∴cos α＝ ＝ . 课堂小结 锐角三角函数 在直角三角形中，锐角 A 的邻边与斜边的比叫做角 A 的余弦 在直角三角形中，锐角 A 的对边与斜边的比叫做角 A 的正弦 在直角三角形中，锐角 A 的对边与邻边的比叫做角 A 的正切 余弦 正切 正弦 斜边 cosA 12 A 13 邻边 tanA 2 8 14 15 6．(7分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，BC＝3，AC＝4，求tan ∠BCD的值． 16 C 17 24 18 A 19 C 20 二、填空题(每小题6分，共12分) 11．(易错题)在Rt△ABC中，若2AB＝AC，则cos C＝_________． 12．如图，点C在线段AB上，且AC＝2BC，分别以AC，BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE，BCFG，连接EC，EG，则tan ∠CEG＝____． 21 三、解答题(共36分) 13．(10分)(连云港中考改编)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为AD的中点，AC＝4，OE＝2. (1)求OD的长； (2)求tan ∠EDO和cos ∠OAD的值． 22 24 26 eq \f(3,5) 余弦 1．(6分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的邻边与_______的比叫做∠A的余弦，记作_______，即cos A＝ eq \f(∠A的（邻边）,斜边) ＝_______． 【变式同T1图】 (1)若AB＝4，AC＝3，则cos A＝_______； (2)若AB＝5，BC＝3，则cos B＝_______． eq \f(b,c) eq \f(3,4) 2．(3分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cos B＝ eq \f(2,3) ，则BC的长为( ) A．4 B．2 eq \r(5) C． eq \f(18\r(13),13) D． eq \f(12\r(13),13) 3．(3分)在正方形网格中，∠AOB按如图放置，则cos ∠AOB的值为____． eq \f(\r(5),5) 正切 4．(6分)如图，把锐角A的对边与_________的比叫做∠A的正切，记作_____，即tan A＝ eq \f(∠A的（对边）,邻边) ＝____． (变式1同T4图)若BC＝1，AC＝2，则tan A＝____，tan B＝____． (变式2同T4图)若BC＝15，tan A＝ eq \f(15,8) ，则AC＝____． eq \f(a,b) eq \f(1,2) 5．(3分)如图，AB是⊙O的直径，BC＝12，AC＝9，则tan ∠ADC＝______． eq \f(3,4) 解：∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∵CD⊥AB，∴∠BCD＋∠B＝90°，∴∠BCD＝∠A，∴tan ∠BCD＝tan A＝ eq \f(BC,AC) ＝ eq \f(3,4) 锐角三角函数 7．(3分)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，则下列三角函数表示正确的是( ) A.sinA＝ eq \f(5,13) B．cosA＝ eq \f(12,13) C．tanA＝ eq \f(12,5) D．tanB＝ eq \f(12,5) 8．(9分)(教材P65例2变式)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝7，tan A＝ eq \f(7,24) . (1)AC＝____； (2)求sin A，cos B，cos A，tan B的值． 解：(2)由勾股定理可得AB＝ eq \r(BC2＋AC2) ＝ eq \r(72＋242) ＝25， ∴sin A＝ eq \f(BC,AB) ＝ eq \f(7,25) ，cos B＝ eq \f(BC,AB) ＝ eq \f(7,25) ，cos A＝ eq \f(AC,AB) ＝ eq \f(24,25) ，tan B＝ eq \f(AC,BC) ＝ eq \f(24,7) 一、选择题(每小题6分，共12分) 9．如图，直线y＝ eq \f(3,4) x＋3与x，y轴分别交于A，B两点，则cos ∠BAO的值是( )　 A． eq \f(4,5) B． eq \f(3,5) C． eq \f(3,4) D． eq \f(5,4) 10．如图，在△ABC中，AB＝10，cos ∠ABC＝ eq \f(3,5) ，D为BC边上一点，且AD＝AC，若DC＝4，则BD的值为( ) A．2 B．3 C．4 D．5 eq \f(\r(3),2) 或 eq \f(2\r(5),5) eq \f(1,2) 解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝ eq \f(1,2) AC.∵AC＝4，∴OA＝2.∵E是AD中点，∴OE＝ eq \f(1,2) AD.∵OE＝2，∴AD＝4，∴OD＝ eq \r(AD2－OA2) ＝ eq \r(42－22) ＝2 eq \r(3) (2)tan ∠EDO＝ eq \f(AO,OD) ＝ eq \f(2,2\r(3)) ＝ eq \f(\r(3),3) ，cos ∠OAD＝ eq \f(OA,AD) ＝ eq \f(2,4) ＝ eq \f(1,2) 14．(12分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在AC，AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB，AE＝6，cos A＝ eq \f(3,5) .求： (1)DE，CD的长； (2)tan ∠DBC的值． 解：(1)∵∠C＝90°，DE⊥AB，BD平分∠ABC，∴ED＝CD.在Rt△ADE中，cos A＝ eq \f(AE,AD) ＝ eq \f(3,5) ，∴AD＝10，则DE＝ eq \r(AD2－AE2) ＝ eq \r(102－62) ＝8，∴DE＝CD＝8 (2)由(1)知AC＝AD＋CD＝18，cos A＝ eq \f(AC,AB) ＝ eq \f(3,5) ，∴AB＝30，∴BC＝BE＝AB－AE＝24，∴tan ∠DBC＝ eq \f(CD,BC) ＝ eq \f(8,24) ＝ eq \f(1,3) 【素养提升】 15．(14分)(阅读与思考)如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作cot α，即cot α＝ eq \f(角α的邻边,角α的对边) ＝ eq \f(AC,BC) .根据上述角的余切定义，解下列问题： (1)cot 30°＝__________； (2)如图，已知tan A＝ eq \f(3,4) ，其中∠A为锐角，试求cot A的值． eq \r(3) 解：(2)∵tan A＝ eq \f(BC,AC) ＝ eq \f(3,4) ，∴设BC＝3k，AC＝4k，∴cot A＝ eq \f(AC,BC) ＝ eq \f(4k,3k) ＝ eq \f(4,3) $