第一单元 圆（扇形） （解决问题讲义）数学青岛版五四学制五年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第一单元圆（扇形） 典型例题 1.圆和扇形的认识： 认识平面图形圆和扇形，建立圆和扇形的直观表象，明确圆心、半径、直径、弧、圆心 角等相关概念 2.圆的周长计算： --掌握圆的周长公式(C2Πr或CΠd),理解公式中各字母的含义，能准确计算圆的 周长 3.圆的面积计算： --掌握圆的面积公式(S=π2)，理解公式推导过程，能运用公式解决圆的面积相关实际 问题 4.扇形的周长与面积计算： --掌握扇形周长（孤长+2条半径）和面积（S=nr2×n/360,n为圆心角度数)的计算方 法，能结合题意灵活运用 5.组合图形的相关计算： --学会分析圆与其他平面图形组成的组合图形，掌握分割、拼接等解题技巧，能解决组合 图形的周长、面积实际问题 类型1弧、圆心角、扇形的认识解决问题： 典型例题1：如图，将半圆AEB绕A点逆时针旋转45°，得到半圆ADC,B点移动到C点，阴影 部分的面积是多少平方厘米？ 网学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E 45 A 8cm B 【分析】如图： D C ③ 了E 45。② A 8cm 半圆ADC是半圆AEB逆时针旋转后得到的图形，根据旋转的特点可知半圆ADC的面积=半圆 AEB的面积；因为半圆ADC的面积一①的面积=③的面积，半圆AEB的面积一①的面积=②的 面积，所以③的面积=②的面积，因此，阴影部分的面积就是扇形ACB的面积，扇形ACB圆 45° 心角是45°，半径是8厘米，所以阴影部分的面积=圆周率×半径的平方× 360°’ 据此解答即 可。 变式训练：体育公园有一个U型滑板场地。小明从A点滑行到了B点，形成的这条滑行路线 (如图)，中间的部分长5米，左右两部分长度相等，都是四分之一的圆弧。这条滑行路线 最短长多少米？ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5m 类型2扇形的周长和面积解决问题： 典型例题2：如下图，利用两面墙作边，用栅栏围成一个扇形羊圈。已知羊圈的直径是10米， 则围成的羊圈面积是多少平方米？至少需要多少米长的栅栏？ 墙 羊圈 【分析】由图可知，羊圈的面积占整个圆面积的子， 3 需要栅栏的长度占整个圆周长的二，利 用“S圆形=π2”“C圆形=元d”分别求出羊圈的面积和需要栅栏的长度，据此解答。 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式训练：折扇又名“撒扇”、“纸扇”等，是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能 折叠的扇子。如图是一把绫绢折扇，做这样一把折扇扇面至少需要绫绢面料多少平方分米？ 2dm 3dm 综合练习 A夯实基础 1.弧度制规定：长度等于半径的圆弧，所对的圆心角为1弧度（图示），那么1弧度约等于 ()度。 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1弧度 A.1 B.57.3 C.60 D.62.3 2.羊圈占地是一个长方形，长3米，宽2米，羊圈周围是草地。现在用一根1米长的绳子栓 羊，栓在图中()位置，羊能吃到的草最多。 3米 ①” 羊圈 2米 ②1 草地 ③④ A.①宽的中点处 B.②转角处 C.③长的中点处 D.④长的子处 3.一个扇形面积为9.42平方厘米，它所在圆的面积为28.26平方厘米，扇形的圆心角是() 度。 A.45 B.85 C.90 D.120 4.淘气把一张圆形纸片连续对折2次后得到一个扇形，测得扇形弧长是6.28cm,这张圆形纸 片的周长是( cm,直径是( )cm. 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.把一张圆形纸片对折两次得到右侧如图所示的图像，测得弧AB的长是1.45cm,则该圆形 纸片的周长是( )cm. 6.如图所示，以A、B为圆心的两个半圆的直径都是8厘米，则阴影部分的周长是厘米。 (π取3.14) A B B培优拔高 7.下面是王爷爷利用两面墙用栅栏围成的扇形羊圈，已知羊圈的半径是5米，至少需要多少 米长的栅栏？ 墙 羊圈 6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.草地上有一个小木屋，木屋是边长2米的正方形（如下图），O点是木屋的一角，在O点 有一个木桩，用4米长的绳子拴着一头牛，这头牛能吃到草的范围有多大？ 9.图中三个圆的周长都是25.12厘米，圆心恰在直角梯形的三个顶点处，求阴影部分的面积 是多少平方厘米？ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.如图所示，为美化校园环境，学校计划在一个边长为4的正方形内种植红和黄两种不同 颜色的花朵，如图，扇形区种植红花，阴影处种植黄花（π取3）。 黄 红 -4m (1)求种植红色花朵的面积是多少？ (2)求黄花的种植面积比红花的种植面积少几分之几？ 11.手工课上，王丽在一个长6厘米、宽4厘米的长方形里剪了一个最大的半圆，她将这个半 圆对折，再对折做成了一个漂亮的扇形，这个扇形的面积是多少平方厘米？ C思维拓展 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12.如图，用两个长方形和一个正方形拼成一个大正方形，两个长方形的面积如图所示，正 方形中有一个最大的号圆（涂色部分），则涂色部分的面积是多少？ 8m2 12m2 13.张大爷准备靠墙用栅栏围成一个养鸡舍（如图），半径是5米。 (1)围成这个养鸡舍，至少要用多长的栅栏？ (2)如果要扩建这个养鸡舍，把它的直径增加2米，这个养鸡舍的面积增加了多少？ 墙 9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14.如图，四边形ABCD是周长为80厘米的正方形，在以C为圆心、CD为半径的扇形中，∠ DCE=90°。求阴影部分的面积。（圆周率取3.14） D 15.一个挂钟的时针长5厘米，分针长8厘米，从中午12时到下午3时，分针尖端“走了”多 少厘米？时针“扫过”的面积是多少平方厘米？ 10 2 9 3 8 6 10 第一单元 圆（扇形） 1.圆和扇形的认识： ----认识平面图形圆和扇形，建立圆和扇形的直观表象，明确圆心、半径、直径、弧、圆心角等相关概念 2.圆的周长计算： ----掌握圆的周长公式（C=2πr 或 C=πd），理解公式中各字母的含义，能准确计算圆的周长 3.圆的面积计算： ----掌握圆的面积公式（S=πr²），理解公式推导过程，能运用公式解决圆的面积相关实际问题 4.扇形的周长与面积计算： ----掌握扇形周长（弧长+2条半径）和面积（S=πr²×n/360，n为圆心角度数）的计算方法，能结合题意灵活运用 5.组合图形的相关计算： ----学会分析圆与其他平面图形组成的组合图形，掌握分割、拼接等解题技巧，能解决组合图形的周长、面积实际问题 类型1 弧、圆心角、扇形的认识解决问题： 典型例题1：如图，将半圆AEB绕A点逆时针旋转得到半圆ADC，B点移动到C点，阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】25.12平方厘米 【分析】如图： 半圆ADC是半圆AEB逆时针旋转后得到的图形，根据旋转的特点可知半圆ADC的面积＝半圆AEB的面积；因为半圆ADC的面积－①的面积＝③的面积，半圆AEB的面积－①的面积＝②的面积，所以③的面积＝②的面积，因此，阴影部分的面积就是扇形ACB的面积，扇形ACB圆心角是45°，半径是8厘米，所以阴影部分的面积＝圆周率×半径的平方×，据此解答即可。 【详解】3.14×82× ＝3.14×64× ＝200.96× ＝25.12（平方厘米） 答：阴影部分的面积是25.12平方厘米。 变式训练：体育公园有一个U型滑板场地。小明从A点滑行到了B点，形成的这条滑行路线（如图），中间的部分长5米，左右两部分长度相等，都是四分之一的圆弧。这条滑行路线最短长多少米？ 【答案】14.42米 【分析】左右两部分四分之一的圆弧可以拼成圆周长的一半，最短路线＝中间部分的长＋圆周长的一半，圆周长的一半＝圆周率×半径，据此列式解答。 【详解】5＋3.14×3 ＝5＋9.42 ＝14.42（米） 答：这条滑行路线最短长14.42米。 类型2 扇形的周长和面积解决问题： 典型例题2：如下图，利用两面墙作边，用栅栏围成一个扇形羊圈。已知羊圈的直径是10米，则围成的羊圈面积是多少平方米？至少需要多少米长的栅栏？ 【答案】58.875平方米；23.55米 【分析】由图可知，羊圈的面积占整个圆面积的，需要栅栏的长度占整个圆周长的，利用“”“”分别求出羊圈的面积和需要栅栏的长度，据此解答。 【详解】3.14×（10÷2）2× ＝3.14×25× ＝78.5×0.75 ＝58.875（平方米） 3.14×10× ＝31.4×0.75 ＝23.55（米） 答：围成的羊圈面积是58.875平方米，至少需要23.55米长的栅栏。 【点睛】本题主要考查圆的周长和面积公式的应用，熟记公式是解答题目的关键。 变式训练：折扇又名“撒扇”、“纸扇”等，是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子。如图是一把绫绢折扇，做这样一把折扇扇面至少需要绫绢面料多少平方分米？ 【答案】12.56平方分米 【分析】观察题意可知，折扇扇面的面积＝大圆面积的－小圆面积的，大圆的半径是3分米，小圆的半径是（3－2）分米，根据圆面积公式：S＝πr2，用3.14×32×－3.14×（3－2）2×即可求出折扇扇面的面积。 【详解】3.14×32×－3.14×（3－2）2× ＝3.14×32×－3.14×12× ＝3.14×9×－3.14×1× ＝14.13－1.57 ＝12.56（平方分米） 答：做这样一把折扇扇面至少需要绫绢面料12.56平方分米。 【点睛】本题考查了圆面积公式的灵活应用。 A夯实基础 1．弧度制规定：长度等于半径的圆弧，所对的圆心角为1弧度（图示），那么1弧度约等于（    ）度。 A．1 B．57.3 C．60 D．62.3 【答案】B 【分析】圆的周长＝2×圆周率×半径，将圆的周长看作单位“1”，1弧度是圆周长的，圆心角×1弧度对应分率＝1弧度的度数，π取3.14，计算即可。 【详解】r÷2πr＝＝ 360×＝360×＝360×≈57.3（度） 1弧度约等于57.3度。 故答案为：B 2．羊圈占地是一个长方形，长3米，宽2米，羊圈周围是草地。现在用一根1米长的绳子栓羊，栓在图中（    ）位置，羊能吃到的草最多。 A．①宽的中点处 B．②转角处 C．③长的中点处 D．④长的处 【答案】B 【分析】分情况讨论： 羊在①位置：是以①为圆心，1米为半径的半圆的面积； 羊在②位置：是以②为圆心，1米为半径的扇形的面积； 羊在③位置：是以③为圆心，1米为半径的半圆的面积； 羊在④位置：以④为圆心，1米为半径的扇形的面积和半径是0.25米的扇形的面积的和； 羊在①②③位置，半径相同，只有②占圆的面积最大，②和④位置相比较，②的位置可以看成是1米为半径的半圆的面积和半径是1米的扇形的面积的和，相比较②的位置羊能吃到的草最多。 【详解】对比四个位置的扇形的面积，可以得出羊在②位置的面积最大，吃到草的面积就最大。 故答案为：B 3．一个扇形面积为9.42平方厘米，它所在圆的面积为28.26平方厘米，扇形的圆心角是（    ）度。 A．45 B．85 C．90 D．120 【答案】D 【分析】用扇形面积除以圆的面积即可求出扇形面积占整个圆的几分之几，再乘圆周角的度数即可。 【详解】9.42÷28.26×360° ＝×360° ＝120°； 故答案为：D。 【点睛】先求出扇形面积占整个圆的几分之几是解答本题的关键，再根据分数乘法的意义解答。 4．淘气把一张圆形纸片连续对折2次后得到一个扇形，测得扇形弧长是6.28cm，这张圆形纸片的周长是( )cm，直径是( )cm。 【答案】 25.12 8 【分析】把一张圆形纸片连续对折2次后得到的扇形是整圆的，已知扇形弧长是6.28cm，用6.28乘4即可求出圆形纸片的周长；根据圆的周长公式C＝πd可知：d＝C÷π代入数据计算即可。 【详解】6.28×4＝25.12（cm） 25.12÷3.14＝8（cm） 则这张圆形纸片的周长是25.12cm，直径是8cm。 5．把一张圆形纸片对折两次得到右侧如图所示的图像，测得弧AB的长是1.45cm，则该圆形纸片的周长是( )cm。 【答案】5.8 【分析】这张圆形纸片对折两次，即将这张圆形纸片平均分成4份，已知弧AB的长是1.45cm，用1.45×4即可求出这个圆形纸片的周长。 【详解】1.45×4＝5.8（cm） 则该圆形纸片的周长是5.8cm。 6．如图所示，以A、B为圆心的两个半圆的直径都是8厘米，则阴影部分的周长是 厘米。（π取3.14） 【答案】16.56 【分析】两个半圆的圆弧的交点设为点C，发现弧BC和弧AC是一样长的，图形中阴影部分的周长进行转化发现阴影部分的周长＝半圆所在的圆的半弧＋半径。 【详解】 （厘米） 则阴影部分的周长是16.56厘米。 B培优拔高 7．下面是王爷爷利用两面墙用栅栏围成的扇形羊圈，已知羊圈的半径是5米，至少需要多少米长的栅栏？ 【答案】23.55米 【分析】这道题需明确：知道半径时，圆的周长；求一个数的几分之几是多少，用乘法。题中，两面墙的夹角是90度，说明扇形的圆心角是360度－90度＝270度，栅栏长度就是这个270度扇形的弧长。所以，栅栏长度＝所在圆周长×，需先利用羊圈的半径是5米求出圆的周长，再计算圆心角是270度的扇形的弧长。据此解答。 【详解】根据分析： 求圆的周长： （米） 求栅栏的长度： 360°－90°＝270° （米） 答：至少需要23.55米长的栅栏 8．草地上有一个小木屋，木屋是边长2米的正方形（如下图），点是木屋的一角，在点有一个木桩，用4米长的绳子拴着一头牛，这头牛能吃到草的范围有多大？ 【答案】43.96平方米 【分析】由题可知，这头牛能吃到草的范围是图中的空白部分的面积，即为一个大扇形的面积和两个相同的小扇形的面积。 大扇形的圆心角是270°，半径是4米，根据圆的面积公式S＝πr2，先求出半径为4米的圆的面积，再求大扇形的面积，列式为3.14×42×；一个小扇形的圆心角是90°，半径是4-2=2（米），两个小扇形合起来是半径为2米的半圆的面积，列式为3.14×22×；最后将这两次求得的和加起来，即是这头牛能吃到草的范围。 【详解】3.14×42×＋3.14×22× ＝3.14×16×＋3.14×4× ＝50.24×＋12.56× ＝37.68＋6.28 ＝43.96（平方米） 答：这头牛能吃到草的范围有43.96平方米。 【点睛】牛吃草类扇形的面积问题，先根据绳子长度确定扇形的半径，再根据障碍物的角确定扇形的圆心角。 9．图中三个圆的周长都是25.12厘米，圆心恰在直角梯形的三个顶点处，求阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】37.68平方厘米 【分析】四边形的内角和是360°，观察图形可知一个角是直角，所以其余三个角的和是：360°－90°＝270°，也就是三个扇形的圆心角的度数和是270°。三个圆的周长都是25.12厘米，所以三个圆的半径相等，也就是三个阴影部分小扇形可以组成一个大扇形。根据圆的周长公式：，计算出圆的半径，代入扇形的面积公式，其中n＝270，据此计算即可。 【详解】25.12÷（2×3.14） ＝25.12÷6.28 ＝4（厘米） 360°－90°＝270° 阴影部分面积为： ＝12×3.14 ＝37.68（平方厘米） 答：阴影部分的面积是37.68平方厘米。 【点睛】解题关键是因为圆的周长相等，所以圆的半径相等，即三个小扇形可以拼成一个大扇形。 10．如图所示，为美化校园环境，学校计划在一个边长为4m的正方形内种植红和黄两种不同颜色的花朵，如图，扇形区种植红花，阴影处种植黄花（π取3）。 （1）求种植红色花朵的面积是多少？ （2）求黄花的种植面积比红花的种植面积少几分之几？ 【答案】（1）12平方米； （2） 【分析】（1）根据题意得：种植红色花朵的区域是一个圆心角为90°的扇形，扇形面积＝（圆心角度数÷360）×，扇形半径为4米，据此计算得出答案。 （2）阴影部分面积＝正方形面积－扇形面积，阴影部分是种植黄花的面积，正方形面积＝边长×边长，可计算得到黄花种植面积，运用（红花面积－黄花面积）÷红花面积，根据分数与除法的关系得出答案。 【详解】（1）红色花朵面积为： （平方米） 答：种植红色花朵的面积是12平方米。 （2）黄花种植面积为： （平方米） 答：黄花的种植面积比红花的种植面积少。 11．手工课上，王丽在一个长6厘米、宽4厘米的长方形里剪了一个最大的半圆，她将这个半圆对折，再对折做成了一个漂亮的扇形，这个扇形的面积是多少平方厘米？ 【答案】3.5325平方厘米 【分析】根据题意，结合画图，可知在一个长6厘米、宽4厘米的长方形里剪了一个最大的半圆，半圆的直径是6厘米，将这个半圆对折，再对折做成了一个漂亮的扇形，就是相当于直径6厘米的圆的的面积。根据圆面积，先求得直径为6厘米圆的面积，再乘，就是这个扇形的面积。据此解答。 【详解】6÷2＝3（厘米） 3.14×32× ＝28.26× ＝3.5325（平方厘米） 答：这个扇形的面积是3.5325平方厘米。 【点睛】本题考查了圆面积计算公式的应用。知道长方形内剪下的最大的半圆直径是长方形的长是解答本题的关键。 C思维拓展 12．如图，用两个长方形和一个正方形拼成一个大正方形，两个长方形的面积如图所示，正方形中有一个最大的圆（涂色部分），则涂色部分的面积是多少？ 【答案】12.56平方米 【分析】如图 ①号正方形的面积＝两个长方形面积差，根据正方形面积＝边长×边长，确定①号正方形的边长，即小长方形的宽，根据长方形的长＝面积÷宽，求出小长方形的长，即圆的半径，根据圆的面积＝πr2，求出圆的面积，再乘就是涂色部分的面积。 【详解】12－8＝4＝2×2 8÷2＝4（m） 3.14×42× ＝3.14×16× ＝12.56（） 答：涂色部分的面积是12.56。 【点睛】关键是观察图示，确定圆的半径，掌握并灵活运用扇形面积公式。 13．张大爷准备靠墙用栅栏围成一个养鸡舍（如图），半径是5米。 （1）围成这个养鸡舍，至少要用多长的栅栏？ （2）如果要扩建这个养鸡舍，把它的直径增加2米，这个养鸡舍的面积增加了多少？ 【答案】（1）15.7米；（2）17.27平方米 【分析】（1）观察图形可知，栅栏的长度相当于一个半径是5米的圆周长的一半，根据圆的周长公式，用2×3.14×5÷2即可求出栅栏的长度； （2）直径增加2米，则半径变为（5＋2÷2）米，根据半圆面积S＝πr2÷2，分别求出增加后的面积和增加前的面积，然后求出它们的差即可。 【详解】（1）2×3.14×5÷2 ＝3.14×5 ＝15.7（米） 答：至少需要15.7米长的栅栏。 （2）2÷2＝1（米） 5＋1＝6（米） 3.14×62÷2 ＝3.14×36÷2 ＝56.52（平方米） 3.14×52÷2 ＝3.14×25÷2 ＝39.25（平方米） 56.52－39.25＝17.27（平方米） 答：这个养鸡舍的面积增加了17.27平方米。 【点睛】本题考查了圆周长公式和圆面积公式的灵活应用。 14．如图，四边形ABCD是周长为80厘米的正方形，在以C为圆心、CD为半径的扇形中，∠DCE＝90°。求阴影部分的面积。（圆周率取3.14） 【答案】514平方厘米 【分析】先求出正方形的边长，再根据阴影部分的面积＝三角形的面积＋圆的面积÷4；据此求解即可。 【详解】80÷4＝20（厘米） 20×20×＝200（平方厘米） 3.14×20×20×＝314（平方厘米） 200＋314＝514（平方厘米） 答：阴影部分的面积是514平方厘米。 【点睛】本题主要考查了组合图形的周长与面积，解题的关键是把不规则图形转化为规则图形。 15．一个挂钟的时针长5厘米，分针长8厘米，从中午12时到下午3时，分针尖端“走了”多少厘米？时针“扫过”的面积是多少平方厘米？ 【答案】150.72cm；19.625平方厘米 【分析】中午12时到下午3时，分针尖端“走了”3圈，根据圆的周长＝2πr，求出一圈周长，乘3即可；时针“扫过”圆，根据圆的面积＝πr²，求出圆的面积，乘即可。 【详解】2×3.14×8×3＝150.72（厘米） 3.14×5²×＝19.625（平方厘米） 答：分针尖端“走了”150.72厘米，时针“扫过”的面积是19.625平方厘米。 【点睛】关键是掌握圆的周长和面积公式。 1 学科网（北京）股份有限公司 $