第一单元 圆（圆的认识） （解决问题讲义）数学青岛版五四学制五年级下册

西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第一单元圆（圆的认识） 典型例题 1.圆的基本特征认识： -一-认识圆的圆心、半径、直径，明确圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，掌握同圆或 等圆中半径与直径的关系 2.圆的相关概念辨析： -一一一区分圆的半径、直径、圆周等概念，能准确识别圆的各部分名称及特征 3.圆的性质应用： --一运用同圆或等圆中“直径=2义半径”的性质，解决简单的长度计算问题 4.圆的画法实操： -一一一掌握用圆规画圆的步骤和方法，能根据给定半径或直径画出指定大小的圆 5.生活中的圆的问题解决： 一-一结合生活实际场景，运用圆的特征和性质，分析并解决与圆相关的实际问题，培养应用 意识 类型1圆的概念及特点解快问题： 典型例题1：嘟嘟在一张长方形卡纸上画了2个不同大小的圆，请你根据下面图中的数据求 出长方形卡纸的面积。 1 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4cm。 2cm 【分析】在同圆或等圆中，圆的直径等于半径的2倍。观察图形可知，长方形的长等于两个 圆的直径的和，宽等于大圆的直径，根据长方形的面积等于长乘宽，代入数据，即可求出长 方形的面积。据此解答。 变式训练：小明要在一张长20厘米，宽12厘米的长方形纸上剪出半径是1.5厘米的圆，他最 多可以剪出多少个？ 类型2画圆： 典型例题2：在下面正方形内画一个最大的圆。（先找出圆心） 2 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】要在正方形内画一个最大的圆，那么圆的直径等于正方形的边长。先连接正方形的 两条对角线，以交点作为圆的圆心，以正方形边长的一半作为圆的半径，据此画出正方形纳 最大的圆。 变式训练：在下面的方格纸上画一个半径为2cm的圆。 1cm 1 cm 类型3与圆相关的轴对称图形解决问题： 典型例题3：在下面每个图形中画出它的一条对称轴。 3 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1) (2) 【分析】对称轴是一条直线，将图形分成两个完全相同的部分，即图形沿这条直线对折后能 够完全重合。画对称轴的步骤：(1)找出轴对称图形的任意一组对称点。(2)连接对称 点。(3)画出对称点所连线段的垂直平分线，就可以得到该图形的对称轴。 变式训练：画出下列图形的对称轴。（有几条就画几条） 4 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综合练习 A夯实基础 1.用一张边长为13cm的正方形白纸剪半径为2cm的圆，最多能剪（)个。 A.9 B.10 C.13 D.16 2,下列图中对称轴数量最多的是（)。 8 3.在一个长6厘米，宽4厘米的长方形内画一个最大的圆，圆的半径应是（)厘米。 A.6 B.4 C.2 D.3 4.在一个周长为88厘米的正方形纸片内，要剪一个半径最大的圆，这个圆的半径是( )厘 米。 5.如图，长方形的周长是40cm,图中每个圆的直径是()cm。 6.如图，圆的半径为厘米，则圆外最小正方形的面积是( )平方厘米，圆内最大正方形 的面积是（平方厘米。（答案用含有字母的式子表示） 5 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B培优拔高 7.如图，一件圆形首饰，外圈的圆环是玉石，宽度1厘米，中间的小圆是黄金。这件首饰黄 金部分的半径是多少厘米？ 黄金 -4cm 8.聪聪用三个圆形拼成了下面的图案，其中大圆、中圆和小圆的直径分别是12厘米、8厘 米和6厘米。求A、B两点间的距离是多少厘米？(O、A、B点均为圆心) A B 0 6 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.有一块长16分米、宽4分米的长方形铁板，工人师傅要从这块铁板上剪下最大的圆做水 桶的底面。你认为这个水桶的底面半径是多少分米？请你算一算这块铁板最多能剪几个这样 的水桶底面。 4 dm 16 dm 10.刘强在一张长28厘米、宽21厘米的长方形纸片上剪一些半径为3.5厘米的圆形纸片，他 最多可以剪多少个？（不可拼接） 7 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11.下图是用杯子盖在纸上画出来的一个圆，如果剪下这个圆，你能找出它的圆心吗？请把 你找圆心的过程或步骤写下来，也可以用示意图画画并说明思路。 C思维拓展 12.你能画一条直线把下面每个图形分成面积相等的两部分吗？每个图形你能找出多少种画 法？你能发现什么？ 13.下面哪些图形是轴对称图形？画出它们的对称轴。 8 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14.在一张正方形纸上画一个最大的圆，圆的半径为2.5dm。这张正方形纸的面积是多少？ 15.正方形有多少条对称轴？长方形有多少条对称轴？等腰三角形有多少条对称轴？等边三 角形有多少条对称轴？半圆有多少条对称轴？等腰梯形有多少条对称轴？圆有多少条对称 轴？ 9 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 o 第一单元 圆（圆的认识） 1.圆的基本特征认识： ----认识圆的圆心、半径、直径，明确圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，掌握同圆或等圆中半径与直径的关系 2.圆的相关概念辨析： ----区分圆的半径、直径、圆周等概念，能准确识别圆的各部分名称及特征 3.圆的性质应用： ----运用同圆或等圆中“直径=2×半径”的性质，解决简单的长度计算问题 4.圆的画法实操： ----掌握用圆规画圆的步骤和方法，能根据给定半径或直径画出指定大小的圆 5.生活中的圆的问题解决： ----结合生活实际场景，运用圆的特征和性质，分析并解决与圆相关的实际问题，培养应用意识 类型1 圆的概念及特点解决问题： 典型例题1：嘟嘟在一张长方形卡纸上画了2个不同大小的圆，请你根据下面图中的数据求出长方形卡纸的面积。 【答案】96平方厘米 【分析】在同圆或等圆中，圆的直径等于半径的2倍。观察图形可知，长方形的长等于两个圆的直径的和，宽等于大圆的直径，根据长方形的面积等于长乘宽，代入数据，即可求出长方形的面积。据此解答。 【详解】 （平方厘米） 答：长方形卡纸的面积为96平方厘米。 变式训练：小明要在一张长20厘米，宽12厘米的长方形纸上剪出半径是1.5厘米的圆，他最多可以剪出多少个？ 【答案】 24个 【分析】圆的直径是（厘米），用长方形的长、宽分别除以圆的直径，得出长宽分别可以剪几个圆，由于要剪下完整的圆，所以结果用去尾法求近似数，再把结果相乘即可。据此解答。 【详解】 （个） （个） （个） 答：最多可以剪出24个圆。 类型2 画圆： 典型例题2：在下面正方形内画一个最大的圆。（先找出圆心） 【答案】见详解 【分析】要在正方形内画一个最大的圆，那么圆的直径等于正方形的边长。先连接正方形的两条对角线，以交点作为圆的圆心，以正方形边长的一半作为圆的半径，据此画出正方形内最大的圆。 【详解】如图： 变式训练：在下面的方格纸上画一个半径为2cm的圆。 【答案】见详解 【分析】在方格纸上任选一个点作为圆心（例如方格的交点）。因为方格的边长是1cm，所以半径2cm对应2÷1＝2个方格的边长。以圆心为中心，用圆规量取2格的长度，然后绕圆心旋转一周，画出完整的圆。 【详解】2÷1＝2（格） 用圆规量取2格的长度，然后绕圆心旋转一周，画出完整的圆。 如图： 类型3 与圆相关的轴对称图形解决问题： 典型例题3：在下面每个图形中画出它的一条对称轴。 【答案】见详解 【分析】对称轴是一条直线，将图形分成两个完全相同的部分，即图形沿这条直线对折后能够完全重合。画对称轴的步骤：（1）找出轴对称图形的任意一组对称点。（2）连接对称点。（3）画出对称点所连线段的垂直平分线，就可以得到该图形的对称轴。 【详解】 （1）（答案不唯一） （2） （3）（答案不唯一） （4）（答案不唯一） 变式训练：画出下列图形的对称轴。（有几条就画几条） 【答案】见详解 【分析】如果将一个图形沿着一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。画对称轴时要用虚线。 第一个图形是由左、右2个大小相同的圆相切组成的，可以横着画1条对称轴，也可以竖着画一条对称轴，因此它有2条对称轴。 第二个图形是由左、右2个大小相同的圆相交组成的，可以横着画1条对称轴，也可以竖着画一条对称轴，因此它有2条对称轴。 第三个图形是由3个大小相同的圆组成的，把其中任意1个圆的圆心和另外2个圆的相交处相连并延长，都可以画出对称轴，因此它有3条对称轴。 【详解】如图。 【点睛】找组合图形的对称轴时，要把这些图形看作一个整体，仔细观察，发现对称轴的位置。 A夯实基础 1．用一张边长为13cm的正方形白纸剪半径为2cm的圆，最多能剪（    ）个。 A．9 B．10 C．13 D．16 【答案】A 【分析】先根据“直径＝半径×2”用2乘2计算出所剪的圆的直径。要在正方形白纸上剪圆，需要计算正方形的边长包含多少个圆的直径，根据“求一个数里包含几个另一个数，用除法计算”用正方形的边长除以圆的直径，当商是小数时，结果用“去尾法”保留整数，正方形相邻两条边包含的直径数量相同，所以将两个数相乘即可计算剪出的圆的个数。 【详解】13÷（2×2） ＝13÷4 ≈3（个） 3×3＝9（个） 用一张边长为13cm的正方形白纸剪半径为2cm的圆，最多能剪9个。 故答案为：A 2．下列图中对称轴数量最多的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后，两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此解答。 【详解】 A．，有1条对称轴。 B．，有3条对称轴。 C．，有4条对称轴。 D．，有2条对称轴。 对称轴数量最多的是。 故答案为：C 3．在一个长6厘米，宽4厘米的长方形内画一个最大的圆，圆的半径应是（    ）厘米。 A．6 B．4 C．2 D．3 【答案】C 【分析】因为长方形的长为6厘米，宽为4厘米，若要画一个最大的圆，则圆的直径等于宽的长度4厘米。由于半径是直径的一半，故将直径除以2即可。 【详解】4÷2＝2（厘米） 则圆的半径应是2厘米。 故答案为：C 4．在一个周长为88厘米的正方形纸片内，要剪一个半径最大的圆，这个圆的半径是( )厘米。 【答案】11 【分析】分析题目，在正方形纸片内剪一个半径最大的圆，则圆的直径等于正方形的边长，先根据正方形的边长＝周长÷4求出正方形的边长，即圆的直径，再根据圆的半径＝d÷2列式计算即可。 【详解】88÷4＝22（厘米） 22÷2＝11（厘米） 在一个周长为88厘米的正方形纸片内，要剪一个半径最大的圆，这个圆的半径是11厘米。 5．如图，长方形的周长是40cm，图中每个圆的直径是( )cm。 【答案】5 【分析】看图可知，长方形的长＝圆的直径×3，长方形的宽＝圆的直径，长方形的周长＝（长＋宽）×2，因此长方形的周长包含（3＋1）×2条直径，长方形的周长÷直径的数量＝圆的直径。 【详解】40÷[（3＋1）×2] ＝40÷[4×2] ＝40÷8 ＝5（cm） 每个圆的直径是5cm。 6．如图，圆的半径为r厘米，则圆外最小正方形的面积是( )平方厘米，圆内最大正方形的面积是( )平方厘米。（答案用含有字母的式子表示） 【答案】 4r2 2r2 【分析】观察图形可得：圆外最小正方形的面积＝边长为（r＋r）厘米的正方形的面积，圆内最大正方形的面积＝底为（r＋r）厘米、高为r厘米的三角形的面积×2，然后再根据正方形的面积公式S＝a2，三角形的面积公式S＝ah÷2进行解答。 【详解】（r＋r）2 ＝2r×2r ＝4r2（平方厘米） （r＋r）×r÷2×2 ＝2r×r ＝2r2（平方厘米） 圆外最小正方形的面积是4r2平方厘米，圆内最大正方形的面积是2r2平方厘米。 B培优拔高 7．如图，一件圆形首饰，外圈的圆环是玉石，宽度1厘米，中间的小圆是黄金。这件首饰黄金部分的半径是多少厘米？ 【答案】1厘米 【分析】由图可知，圆环外圆的直径是4厘米，则根据“半径＝直径÷2”先计算出外圆的半径，再用外圆的半径减去圆环的宽度，即可计算内圆半径，据此解答。 【详解】4÷2－1 ＝2－1 ＝1（厘米） 答：这件首饰黄金部分的半径是1厘米。 8．聪聪用三个圆形拼成了下面的图案，其中大圆、中圆和小圆的直径分别是12厘米、8厘米和6厘米。求A、B两点间的距离是多少厘米？（O、A、B点均为圆心） 【答案】19厘米 【分析】由图可知，AB的距离是中圆的半径加大圆的直径再加小圆的半径，即AB距离＝中圆半径＋大圆直径＋小圆半径；已知中圆的直径8厘米，则半径为8÷2＝4厘米，小圆直径是6厘米，则半径为6÷2＝3厘米，大圆的直径是12厘米，然后把数据代入计算即可。 【详解】8÷2＋12＋6÷2 ＝4＋12＋3 ＝16＋3 ＝19（厘米） 答：A、B两点间的距离是19厘米。 9．有一块长16分米、宽4分米的长方形铁板，工人师傅要从这块铁板上剪下最大的圆做水桶的底面。你认为这个水桶的底面半径是多少分米？请你算一算这块铁板最多能剪几个这样的水桶底面。 【答案】2；4 【分析】在长方形中剪最大的圆，这个圆的直径最大只能等于长方形的宽。已知长方形铁板宽4分米，所以圆的直径d＝4分米。根据半径与直径的关系r＝d÷2，可得圆的半径r＝4÷2＝2分米。 要计算长方形铁板能剪几个圆，需要看长方形的长包含几个圆的直径。已知圆的直径d＝4分米，长方形铁板长16分米。那么长方形长包含圆直径的个数为16÷4＝4（个），即这块铁板最多能剪4个这样的水桶底面。 【详解】r＝4÷2＝2（分米） 16÷4＝4（个） 答：这个水桶的底面半径是2分米，这块铁板最多能剪4个这样的水桶底面。 10．刘强在一张长28厘米、宽21厘米的长方形纸片上剪一些半径为3.5厘米的圆形纸片，他最多可以剪多少个？（不可拼接） 【答案】12个 【分析】根据题意，先求出圆的直径，再计算长方形的长和宽分别包含多少个圆的直径，最后将两者相乘得到可剪圆的数量。 【详解】圆的直径：3.5×2＝7（厘米） 长方形长包含的直径数：28÷7＝4（个） 长方形宽包含的直径数：21÷7＝3（个） 可剪圆的数量：4×3＝12（个） 答：他最多可以剪12个。 11．下图是用杯子盖在纸上画出来的一个圆，如果剪下这个圆，你能找出它的圆心吗？请把你找圆心的过程或步骤写下来，也可以用示意图画画并说明思路。 【答案】见详解 【分析】考虑到圆是一个轴对称图形，圆沿任意一条直径所在的直线对折，对折后的两部分都能完全重合，所以至少对折两次，就能找到这个圆的圆心。 【详解】先把所画的圆剪下来，将圆进行一次对折，使两个半圆完全重叠，这时圆中会出现一条折痕；然后再对折一次，得到另一条折痕；展开圆，两条折痕的交点就是圆的圆心。 如图： （答案不唯一） C思维拓展 12．你能画一条直线把下面每个图形分成面积相等的两部分吗？每个图形你能找出多少种画法？你能发现什么？ 【答案】见详解 【分析】分别找到平行四边形、长方形、正方形、圆的中心，过图形中心的直线将每个图形分成面积相等的两部分，进而找出画法以及发现，进而解答。 【详解】如图： （画法不唯一） 每个图形能找出无数种画法。 我发现：过图形中心的直线将每个图形分成面积相等的两部分。 13．下面哪些图形是轴对称图形？画出它们的对称轴。 【答案】见详解 【分析】一个图形沿一条直线对折，直线两旁的图形完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，折痕所在的直线就是对称轴。 【详解】第一幅图、第二幅图不是轴对称图形，第三幅图、第四幅图是轴对称图形，对称轴如下图所示： 14．在一张正方形纸上画一个最大的圆，圆的半径为2.5dm。这张正方形纸的面积是多少？ 【答案】25dm2 【分析】由题意可知：圆的半径是该正方形边长的一半，则用2.5×2＝5求出正方形的边长，然后根据正方形的面积＝边长×边长，据此解答即可。 【详解】（2.5×2）×（2.5×2） ＝5×5 ＝25（平方分米） 答：这张正方形纸的面积是25平方分米。 【点睛】本题考查正方形的面积，明确圆的直径即是正方形的边长是解题的关键。 15．正方形有多少条对称轴？长方形有多少条对称轴？等腰三角形有多少条对称轴？等边三角形有多少条对称轴？半圆有多少条对称轴？等腰梯形有多少条对称轴？圆有多少条对称轴？ 【答案】见详解 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此解答即可。 【详解】由分析可知： 正方形有4条对称轴，长方形有2条对称轴，等腰三角形有1条对称轴，等边三角形有3条对称轴，半圆有1条对称轴，等腰梯形有1条对称轴，圆有无数条对称轴。 【点睛】此题主要考查轴对称图形定义及对称轴的条数。 1 学科网（北京）股份有限公司 $