第一单元 圆（圆的周长） （解决问题讲义）数学青岛版五四学制五年级下册

第一单元 圆（圆的周长） 1.圆的周长概念： ----认识圆的周长的含义，建立圆的周长的实际表象，明确围成圆一周的曲线长度就是圆的周长 2.圆的周长公式推导与理解： ----理解圆周率（π）的意义，掌握圆的周长公式C=πd（d为直径）或C=2πr（r为半径），知晓公式推导的核心逻辑 3.圆的周长相关计算： ----能运用圆的周长公式，解决已知直径、半径求周长，或已知周长求直径、半径的基础计算问题 4.组合图形周长计算： ----结合图形特点，分析组合图形中圆的周长部分，准确计算含圆（或半圆、圆弧）的组合图形的周长 5.实际问题应用： ----联系生活实际，运用圆的周长知识解决滚动距离、环绕长度等实际问题，培养应用意识和解题能力 类型1 圆的周长解决问题： 典型例题1：一辆自行车轮胎的外直径是0.7米。如果每分钟转90周，通过一座1000米长的桥需要几分钟？（只列综合算式或方程，不计算。） 【分析】已知自行车轮胎的外直径是0.7米，根据圆的周长公式C＝πd，求出车轮的周长，也就是车轮转动一周走的距离； 用车轮的周长乘每分钟转的周数，求出自行车行驶的速度，然后根据时间＝路程÷速度，求出通过1000米长的桥所需的时间。 变式训练：中心广场摆了一个直径10米的圆形花坛，为了美观，园艺师给花坛围了一圈栅栏，这圈栅栏的长度是多少米？（取3.14） 类型2 半圆的周长解决问题： 典型例题2：如图所示，两条小虫同时从A地爬向B地。第一条小虫沿大半圆爬行，第二条小虫沿三个小半圆爬行。哪条小虫先到达B地？为什么？（两条小虫爬行的速度相同。） 【分析】假设最大的半圆直径是d，图形下面从左到右的半圆直径分别为d1、d2、d3，根据圆的周长公式，分别求出两条路线的长度，再比较即可。 变式训练：刘老板承包了一个直径24米的半圆形鱼塘，他准备将此鱼塘打造为钓鱼人的乐园。在鱼塘的四周围一圈篱笆，请你帮他算一算，他至少要准备多少米篱笆？ 类型3 含圆的组合图形的周长解决问题： 典型例题3：如图，学校操场的跑道由长方形的两条对边和两个半圆组成。小晨在操场上跑了5圈，一共是多少米？ 【分析】看图可知，操场两边的跑道可以拼成1个圆。操场1圈的长度＝圆的周长＋长方形的长×2，圆的周长＝2×圆周率×半径，据此求出操场1圈的长度，再乘5即可。 变式训练：甲、乙两人分别从A，B处出发，沿半圆走到C，D，他们两人走过的路程一样长吗？相差多少？ A夯实基础 1．在一个周长为16厘米的正方形内剪下一个最大的圆，圆的周长是（    ）厘米。 A．16 B．4 C．12.56 D．6.28 2．如图，把一支铅笔垂直插入一个半径为1cm的圆形硬纸板的圆心，然后绕一个直径为10cm的半圆形硬纸片滚动，铅笔留下痕迹的长度是（    ）cm。 A．31.4 B．18.84 C．9.14 D．6.28 3．如图，体操运动员在单杠上旋转一周。脚尖在空中所经过的路程是（    ）米。（取3） A．4.8 B．5.024 C．9.6 D．7.68 4．一辆汽车后轮胎的直径是6分米，如果后轮平均每分钟转500圈，这辆汽车每分钟前进( )米。 5．公园要给两个直径为的圆形花坛都围上木栅栏，至少需要准备( )长的木栅栏。（结果保留整数） 6．“一寸光阴一寸金”是广为流传的中华传统名言，强调时间的宝贵。现有一个钟表的时针长7cm，经过6小时，时针尖端移动的总长度是( )cm。 B培优拔高 7．池塘垂钓是现在比较流行的休闲活动，希望村修建了一个直径是160米的圆形垂钓园，准备每隔20米设置一个钓位。这个垂钓园大约可以设置多少个钓位？ 8．扎西骑自行车到离家5275.2米的电影院看电影，自行车轮胎直径是70厘米，如果每分钟转动120周，那么扎西从中午12：10分出发，具体几点能到达电影院？ 9．李大爷想给一个直径是100米的圆形牛栏围上铁丝，围上3圈且接头处要多用5米，李大爷至少需要多长的铁丝？ 10．王爷爷要装修房子，工人叔叔要把一个长4.5米、宽1.5米的长方形铁架从圆形拱门抬进院子里来，这个圆形拱门的周长是7.85米，长方形铁架能通过圆形拱门吗？用计算说明理由。 11．王叔叔响应“绿色出行”的号召，选择共享单车出行。如果共享单车的前车轮平均每分钟转100周，王叔叔从家到果园的路程是2千米，骑行大约需要多少分钟？（结果保留整数） C思维拓展 12．王叔叔是一名外卖员，他所骑电动车的车轮直径是0.4米，车轮每分钟转300圈。他想把一份订单送到距离他4千米的同同家，他能在10分钟内送到吗？（电动车车身长度忽略不计） 13．世纪钟高40米，重170多吨，是天津市最具关注度的标志性建筑之一。这座钟的分针长度为4米，请你算一算，经过45分钟后，这根分针的尖端所走过的路程是多少米？ 14．冰壶场地上的营垒是四个同心圆，半径分别是0.15米、0.61米、1.22米和1.83米。其中最大圆与最小圆的周长差是多少米？（π取值3） 15．小红看到一棵树，就想知道树干的半径是多少。于是她用一根长3米的绳子在树干上绕了两周，绳子还剩下1.744米，请问树干的半径是多少米？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一单元 圆（圆的周长） 1.圆的周长概念： ----认识圆的周长的含义，建立圆的周长的实际表象，明确围成圆一周的曲线长度就是圆的周长 2.圆的周长公式推导与理解： ----理解圆周率（π）的意义，掌握圆的周长公式C=πd（d为直径）或C=2πr（r为半径），知晓公式推导的核心逻辑 3.圆的周长相关计算： ----能运用圆的周长公式，解决已知直径、半径求周长，或已知周长求直径、半径的基础计算问题 4.组合图形周长计算： ----结合图形特点，分析组合图形中圆的周长部分，准确计算含圆（或半圆、圆弧）的组合图形的周长 5.实际问题应用： ----联系生活实际，运用圆的周长知识解决滚动距离、环绕长度等实际问题，培养应用意识和解题能力 类型1 圆的周长解决问题： 典型例题1：一辆自行车轮胎的外直径是0.7米。如果每分钟转90周，通过一座1000米长的桥需要几分钟？（只列综合算式或方程，不计算。） 【答案】1000÷（3.14×0.7×90） 【分析】已知自行车轮胎的外直径是0.7米，根据圆的周长公式C＝πd，求出车轮的周长，也就是车轮转动一周走的距离； 用车轮的周长乘每分钟转的周数，求出自行车行驶的速度，然后根据时间＝路程÷速度，求出通过1000米长的桥所需的时间。 【详解】1000÷（3.14×0.7×90） ＝1000÷（2.198×90） ＝1000÷197.82 ≈5（分钟） 答：通过一座1000米的桥大约需要5分钟。 变式训练：中心广场摆了一个直径10米的圆形花坛，为了美观，园艺师给花坛围了一圈栅栏，这圈栅栏的长度是多少米？（取3.14） 【答案】31.4米 【分析】求这圈栅栏的长度就是求圆形花坛的周长，已知圆形花坛的直径利用“”求出圆形花坛的周长，据此解答。 【详解】3.14×10＝31.4（米） 答：这圈栅栏的长度是31.4米。 类型2 半圆的周长解决问题： 典型例题2：如图所示，两条小虫同时从A地爬向B地。第一条小虫沿大半圆爬行，第二条小虫沿三个小半圆爬行。哪条小虫先到达B地？为什么？（两条小虫爬行的速度相同。） 【答案】两条小虫同时到达B地，因为大半圆直径与三个小半圆直径之和相等，经过计算，两条小虫爬行的路程相同 【分析】假设最大的半圆直径是d，图形下面从左到右的半圆直径分别为d1、d2、d3，根据圆的周长公式，分别求出两条路线的长度，再比较即可。 【详解】假设最大的半圆直径是d， 第一条小虫爬行的长度为πd÷2 第二条小虫爬行的长度为πd1÷2＋πd2÷2＋πd3÷2 ＝（πd1＋πd2＋πd3）÷2 ＝π（d1＋d2＋d3）÷2 因为d＝d1＋d2＋d3 所以πd÷2＝（πd1＋πd2＋πd3）÷2 答：两条路线的长度相同，两条小虫同时到达B地。 变式训练：刘老板承包了一个直径24米的半圆形鱼塘，他准备将此鱼塘打造为钓鱼人的乐园。在鱼塘的四周围一圈篱笆，请你帮他算一算，他至少要准备多少米篱笆？ 【答案】61.68米 【分析】求至少准备篱笆的长度，就是求这个半圆形鱼塘的周长；即用圆的周长一半加上直径的长度，根据半圆的周长公式：周长＝π×直径÷2＋直径，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×24÷2＋24 ＝75.36÷2＋24 ＝37.68＋24 ＝61.68（米） 答：他至少要准备61.68米篱笆。 类型3 含圆的组合图形的周长解决问题： 典型例题3：如图，学校操场的跑道由长方形的两条对边和两个半圆组成。小晨在操场上跑了5圈，一共是多少米？ 【答案】2004.8米 【分析】看图可知，操场两边的跑道可以拼成1个圆。操场1圈的长度＝圆的周长＋长方形的长×2，圆的周长＝2×圆周率×半径，据此求出操场1圈的长度，再乘5即可。 【详解】2×3.14×32＋100×2 ＝200.96＋200 ＝400.96（米） 400.96×5＝2004.8（米） 答：一共是2004.8米。 变式训练：甲、乙两人分别从A，B处出发，沿半圆走到C，D，他们两人走过的路程一样长吗？相差多少？ 【答案】不一样长； 4.71米 【详解】不一样长，因为两个人所走的圆的半径不一样大，所以所走的路程不一样长。相差的路程为半径增加的1.5米的圆的周长，则为： 3.141.5＝4.71（米） 答：他们两人走过的路程不一样长，相差4.71米。 A夯实基础 1．在一个周长为16厘米的正方形内剪下一个最大的圆，圆的周长是（    ）厘米。 A．16 B．4 C．12.56 D．6.28 【答案】C 【分析】正方形内剪下一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长，根据正方形周长＝边长×4，边长＝周长÷4，代入数据，求出正方形边长，也就是圆的直径，根据圆的周长＝π×直径，据此求出圆的周长。 【详解】16÷4＝4（厘米） 3.14×4＝12.56（厘米） 圆的周长是12.56厘米。 故答案为：C 2．如图，把一支铅笔垂直插入一个半径为1cm的圆形硬纸板的圆心，然后绕一个直径为10cm的半圆形硬纸片滚动，铅笔留下痕迹的长度是（    ）cm。 A．31.4 B．18.84 C．9.14 D．6.28 【答案】B 【分析】通过观察图形可知，铅笔留下痕迹的长度是半径为cm的圆周长的一半，根据圆的周长公式：，把数据代入公式解答。 【详解】 （cm） （cm） 故答案为：B 3．如图，体操运动员在单杠上旋转一周。脚尖在空中所经过的路程是（    ）米。（取3） A．4.8 B．5.024 C．9.6 D．7.68 【答案】C 【分析】由题意可知，体操运动员在单杠上旋转一周形成一个圆形，圆的半径等于体操运动员脚尖到单杠的距离，脚尖在空中所经过的路程等于这个圆的周长，利用“”求出这个圆的周长即可。 【详解】2×3×1.6 ＝6×1.6 ＝9.6（米） 所以，脚尖在空中所经过的路程是9.6米。 故答案为：C 4．一辆汽车后轮胎的直径是6分米，如果后轮平均每分钟转500圈，这辆汽车每分钟前进( )米。 【答案】942 【分析】先将6分米换算成0.6米；再根据“圆的周长＝πd（d为直径）”计算出直径0.6米的圆的周长；最后用圆的周长乘500即可。 【详解】6分米＝0.6米 3.14×0.6×500 ＝1.884×500 ＝942（米） 一辆汽车后轮胎的直径是6分米，如果后轮平均每分钟转500圈，这辆汽车每分钟前进942米。 5．公园要给两个直径为的圆形花坛都围上木栅栏，至少需要准备( )长的木栅栏。（结果保留整数） 【答案】51 【分析】木栅栏的长度就是两个圆形花坛的周长之和。单个圆形花坛的直径为8m，根据圆的周长公式C＝πd求出单个花坛周长为3.14×8＝25.12m；两个花坛的总周长为 25.12×2＝50.24m。结果保留整数，实际购买木栅栏时要保证足够，所以用“进一法”向上取整，得出最终需要的木栅栏长度。 【详解】3.14×8×2 ＝25.12×2 ＝50.24（m） 50＋1＝51（m） 所以至少需要准备51m长的木栅栏。 6．“一寸光阴一寸金”是广为流传的中华传统名言，强调时间的宝贵。现有一个钟表的时针长7cm，经过6小时，时针尖端移动的总长度是( )cm。 【答案】21.98 【分析】时针经过6小时，时针尖端移动的轨迹是一个半圆，时针的长度就是这个半圆的半径，根据圆的周长公式C＝2πr（其中C表示圆的周长，π通常取3.14，r为圆的半径），先求出整个圆的周长，再除以2得到半圆的弧长，即为时针尖端移动的总长度。 【详解】时针经过6小时，时针尖端移动的轨迹是一个半圆，时针的长度为7cm就是这个半圆的半径。 圆的周长：2×3.14×7 ＝6.28×7 ＝43.96（cm） 半圆的弧长：43.96÷2＝21.98（cm） “一寸光阴一寸金”是广为流传的中华传统名言，强调时间的宝贵。现有一个钟表的时针长7cm，经过6小时，时针尖端移动的总长度是21.98cm。 B培优拔高 7．池塘垂钓是现在比较流行的休闲活动，希望村修建了一个直径是160米的圆形垂钓园，准备每隔20米设置一个钓位。这个垂钓园大约可以设置多少个钓位？ 【答案】25个 【分析】已知直径是160米，根据圆的周长C＝πd，可得圆形垂钓园的周长；又知在圆形上设置钓位，属于封闭路线的植树问题，钓位数量＝周长÷间隔距离，最后根据钓位数量需为整数，“四舍五入”法舍去小数部分解答即可。 【详解】3.14×160÷20 ＝502.4÷20 ≈25（个） 答：这个垂钓园大约可以设置25个钓位。 8．扎西骑自行车到离家5275.2米的电影院看电影，自行车轮胎直径是70厘米，如果每分钟转动120周，那么扎西从中午12：10分出发，具体几点能到达电影院？ 【答案】12：30 【分析】根据圆的周长（取3.14）可算出自行车轮胎一圈的周长，用一圈的周长×120即可算出自行车一分钟的行驶距离；又因为1米＝100厘米，进行单位换算，所以5275.2米＝527520厘米，用家到电影院的距离除以自行车一分钟的行驶距离即可算出骑行时间，用开始的时间加上骑行的时间即可求出几点到电影院。 【详解】5275.2米＝527520厘米 527520÷（70×3.14×120） ＝527520÷（219.8×120） ＝527520÷26376 ＝20（分钟） 12：10＋20分＝12：30 答：12：30能到达电影院。 9．李大爷想给一个直径是100米的圆形牛栏围上铁丝，围上3圈且接头处要多用5米，李大爷至少需要多长的铁丝？ 【答案】947米 【分析】根据圆的周长（取3.14），代入直径＝100米可算出牛栏一圈的长度，用一圈的长度×3再加上接头处的5米，即可解题。 【详解】100×3.14×3＋5 ＝314×3＋5 ＝942＋5 ＝947（米） 答：李大爷至少需要947米长的铁丝。 10．王爷爷要装修房子，工人叔叔要把一个长4.5米、宽1.5米的长方形铁架从圆形拱门抬进院子里来，这个圆形拱门的周长是7.85米，长方形铁架能通过圆形拱门吗？用计算说明理由。 【答案】能；理由见详解 【分析】判断长方形铁架能否通过圆形拱门，取决于长方形的较短边即宽是否小于或等于圆形拱门的直径。 已知这个圆形拱门的周长是7.85米，根据圆的周长公式C＝πd可知，d＝C÷π，由此求出圆形拱门的直径，再与长方形铁架的宽进行比较即可。 【详解】圆的直径：7.85÷3.14＝2.5（米） 2.5米＞1.5米，所以能通过。 答：长方形铁架能通过圆形拱门。 11．王叔叔响应“绿色出行”的号召，选择共享单车出行。如果共享单车的前车轮平均每分钟转100周，王叔叔从家到果园的路程是2千米，骑行大约需要多少分钟？（结果保留整数） 【答案】约10分钟 【分析】先统一题目数据的单位；再根据圆的周长公式（）求出车轮的周长；接着用车轮周长乘每分钟转的周数，计算出每分钟行驶的距离；最后用总路程除以每分钟行驶距离得到骑行时间，按“四舍五入”法将结果保留整数。 【详解】66厘米＝0.66米 2千米＝2000米 3.14×0.66＝2.0724（米） 2.0724×100＝207.24（米） 2000÷207.24≈10（分钟） 答：王叔叔骑行大约需要10分钟。 C思维拓展 12．王叔叔是一名外卖员，他所骑电动车的车轮直径是0.4米，车轮每分钟转300圈。他想把一份订单送到距离他4千米的同同家，他能在10分钟内送到吗？（电动车车身长度忽略不计） 【答案】不能 【分析】先统一单位（4千米＝4000米），利用圆的周长公式C＝πd（π取3.14）算出车轮周长，已知车轮每分钟转300圈，用车轮周长×300计算电动车每分钟行驶距离，进而求出10分钟行驶总路程；比较总路程与4000米，即可判定10分钟内能不能送到。 【详解】4千米＝4000米 3.14×0.4×300×10 ＝1.256×300×10 ＝376.8×10 ＝3768（米） 3768＜4000 答：10分钟内不能送到。 13．世纪钟高40米，重170多吨，是天津市最具关注度的标志性建筑之一。这座钟的分针长度为4米，请你算一算，经过45分钟后，这根分针的尖端所走过的路程是多少米？ 【答案】18.84米 【分析】分针绕钟面中心旋转，其尖端运动轨迹是一个以分针长度为半径的圆。已知分针长4米，即这个圆的半径为4米。根据圆的周长公式C＝2πr（π取3.14，r为半径），整个圆的周长为：2×3.14×4＝25.12（米），1小时＝60分钟，45分钟占60分钟的：45÷60＝，这意味着45分钟内，分针尖端走过的路程是圆周长的。所以用25.12乘计算即可解答。 【详解】分针绕钟面中心旋转的运动轨迹是一个以分针长度为半径的圆。 2×3.14×4＝25.12（米） 1小时＝60分钟 45÷60＝ 25.12×＝18.84（米） 答：分针尖端所走过的路程是18.84米。 14．冰壶场地上的营垒是四个同心圆，半径分别是0.15米、0.61米、1.22米和1.83米。其中最大圆与最小圆的周长差是多少米？（π取值3） 【答案】10.08米 【分析】半径越大，圆的周长越大，比较四个同心圆的半径，找出最小圆和最大圆，再根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，求出最小圆的周长和最大圆的周长，再用最大圆的周长－最小圆的周长，即可解答。 【详解】0.15＜0.61＜1.22＜1.83，最小圆的半径是0.15米，最大圆的半径是1.83米。 3×1.83×2－3×0.15×2 ＝5.49×2－0.45×2 ＝10.98－0.9 ＝10.08（米） 答：最大圆与最小圆的周长差是10.08米。 15．小红看到一棵树，就想知道树干的半径是多少。于是她用一根长3米的绳子在树干上绕了两周，绳子还剩下1.744米，请问树干的半径是多少米？ 【答案】0.1米 【分析】根据题意，先用绳子的全长减去剩下的长度，求出绳子绕树干两周的长度，再除以2，即是绳子绕树干一周的长度，也就是树干的周长； 根据圆的周长公式C＝2πr，可知r＝C÷π÷2，据此求出树干的半径。 【详解】树干的周长： （3－1.744）÷2 ＝1.256÷2 ＝0.628（米） 树干的半径： 0.628÷3.14÷2 ＝0.2÷2 ＝0.1（米） 答：树干的半径是0.1米。 1 学科网（北京）股份有限公司 $