第02讲 反比例函数的图象与性质（复习讲义）（四川成都专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学讲义聚焦反比例函数图象与性质及与一次函数综合两大中考核心考点，依据课标要求构建“命题点分类-题型突破-重难进阶”知识体系，通过考情剖析明确趋势，考点解析梳理性质与k的几何意义，真题训练强化交点、面积等综合应用，培养学生抽象能力与推理意识。 亮点在于“重难突破”模块设计，如通过k的几何意义综合问题训练割补法，结合成都中考真题分层设计“基础-能力-新趋势”练习，渗透模型意识与应用意识，助力学生高效突破难点，教师可依此精准把控复习节奏，提升应考能力。

第三章 函数 第02讲 反比例函数的图象与性质 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 11 命题点一 反比例函数的图象与性质 题型01 反比例函数与一次函数图象辨析 题型02 根据反比例函数解析式判断其性质 题型03 反比例函数的图象与性质（开放性问题） 题型04 比较反比例函数自变量或函数值的大小 题型05 待定系数法求反比例函数解析式 题型06 已知反比例系数求图形面积 题型07 已知图形面积求反比例系数 题型08 反比例函数的实际应用问题 命题点二 反比例函数与一次函数综合 题型01 一次函数与反比例函数交点问题 题型02 根据一次函数与反比例函数值的大小求范围 题型03 一次函数与反比例函数综合-面积问题 题型04 一次函数与反比例函数综合-特殊几何图形 题型05一次函数与反比例函数综合-角度问题 题型06 一次函数与反比例函数综合-相似 05·重难突破·思维进阶难 53 突破一 反比例函数K的几何意义综合问题 突破二 一次函数与反比例函数综合-新定义问题 突破三 一次函数与反比例函数综合-最值问题 06·优题精选·练能提分 68 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 反比例函数 的图象与性质 成都卷 T12 （增减性的实际应用） 成都卷 T10 （运用增减性比函数值大小） 理解反比例函数的图像特征，掌握其增减性（分象限讨论）、掌握反比例函数k的几何意义、能从实际问题中抽象出反比例函数模型，求解实际问题。 反比例函数与一次函数综合运用 成都卷 T18 （解析式、交点、角度、面积等） 成都卷 T18 （解析式、交点、相似（位似）、面积等） 成都卷 T18 （解析式、交点、平行四边形、相似等） 能联立反比例函数与一次函数的解析式，求交点坐标；能结合图像分析两函数的位置关系、函数值的大小关系、能结合特殊几何图形解决相关综合压轴问题。 命题预测 本讲内容近几年成都中考主要考查反比例函数图象与性质，反比例函数与一次函数综合运用，题型一般以填空题和解答题为主，分值在14分左右。图象与性质主要考查反比例函数的增减性（重点关注比大小）、过象限等；反比例函数与一次函数综合运用则重点考查待定系数法求解析式、一次函数与反比例函数交点、面积问题（重点关注）、与特殊平行四边形、特殊三角形综合、与三角形全等、相似（位似）（重点关注）综合等。 考点一 反比例函数的图象与性质 1.反比例函数的概念：一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数． 自变量x和函数值y的取值范围都是不等于0的任意实数． 2.反比例函数的图象和性质 表达式 （k是常数，k≠0） k k>0 k<0 大致图象 所在象限 第一、三象限 第二、四象限 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 轴对称图形（对称轴为直线y=x和y=-x），中心对称图形（对称中心为原点） 3.待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤 （1）设反比例函数解析式（k≠0）；（2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；（3）解这个方程求出待定系数k；（4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式． 4.反比例函数中|k|的几何意义 图1 图2 图3 图4 图5 图1-图2 阴影部分的面积：|k|/2；图3-图4阴影部分的面积：|k|；图5 阴影部分的面积：2|k|。 图6 图7 图8 图9 5.反比例函数的实际应用：解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围． 1．（2025·四川成都·二模）关于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．图象分布在第一、二象限 B．在各自的象限内，随的增大而增大 C．函数图象关于轴对称 D．函数图象与直线有两个交点 【答案】D 【详解】解：A、反比例函数的图象分布在第一、三象限，故原说法错误，不符合题意； B、反比例函数的图象分布在第一、三象限，在各自的象限内，随的增大而减小，故原说法错误，不符合题意； C、反比例函数的图象关于原点成中心对称，故原说法错误，不符合题意； D、反比例函数的图象与直线有两个交点，故原说法正确，符合题意；故选：D． 2．（2025·四川成都·中考真题）某蓄电池的电压为定值．使用此电源时，用电器的电流I（A）．与电阻R（Ω）之间的函数关系为，则电流Ⅰ的值随电阻R值的增大而 （填“增大”或“减小”）． 【答案】减小 【详解】解：∵，，∴电流与电阻成反比， ∴电流Ⅰ的值随电阻R值的增大而减小；故答案为：减小 3．（2023·四川成都·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则 （填“”或“”）． 【答案】 【详解】解：∵点都在反比例函数的图象上，∴，， ∵，∴，故答案为：． 4．（2025·四川成都·模拟预测）如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，C是点B关于原点O的对称点，连接，则的面积为 ． 【答案】10 【详解】解：设，则，， ∴，，∴， ∵点A在反比例函数的图象上，∴，∴，故答案为：10． 考点二 反比例函数与一次函数综合 1.反比例函数与一次函数的综合 1）涉及自变量取值范围型 当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标。若求时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围；反之亦然。 2）求一次函数与反比例函数的交点坐标 （1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定：①k值同号，两个函数必有两个交点；②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点； （2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况． 3）涉及三角形的面积型 当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解。 图1 图2 图3 图4 （1）如图1，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=； （2）如图2，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=–= （3）如图3，S△AOB=S直角梯形ABCD； 如图4，S矩形ABCD=S矩形PDMQ； 1．（2025·四川成都·三模）如图，点，是一次函数与反比例函数的两个交点，则时自变量x的取值范围是 ． 【答案】或 【详解】解：观察图象，时自变量的取值范围或．故答案为：或． 2．（2025·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象的一个交点为，与x轴的交点为．(1)求k的值；(2)直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点D在反比例函数的图象上，若，求直线的函数表达式；(3)P为x轴上一点，直线交反比例函数的图象于点E（异于A），连接，若的面积为2，求点E的坐标． 【答案】(1)(2)(3)或 【详解】（1）解：∵直线与x轴的交点为， ∴，解得：，∴一次函数的解析式为， 把代入得：，解得：，∴点， 把点代入得：； （2）解：如图，连接，由（1）得：反比例函数的解析式为， ∵直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点，∴点C的坐标为， ∴，设点D的坐标为， ∴， ∵，∴，∴， 解得：或（舍去），∴点D的坐标为，设直线的函数表达式为， 把点，代入得：，解得：，∴直线的函数表达式为； （3）解：设点E的坐标为，设直线的解析式为，把点，代入得： ，解得：，∴直线的解析式为， 当时，，解得：，∴点P的坐标为， ∴，∴， ∵的面积为2，∴，解得：或，∴点E的坐标为或． 3．（2025·四川成都·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象交于，B两点(点B位于点A右侧)，连接．(1)求直线的表达式．(2)当的面积为时，求点B的坐标； (3)在（2）的条件下，作点B关于的对称点C，连接，是否存在点D，使得四边形为矩形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图象交于，B两点， ∴，∴，设直线的表达式为， ∴，∴，∴直线的表达式为； （2）解：如图所示，过点A作轴于T，连接， ∵，∴，∴， ∵的面积为，∴， ∴；设，∴， 解得（已检验符合题意）或（舍去），∴，∴； （3）解：如图所示，连接交于H， ∵，，∴，， ，∴， ∴，∴；∵点B和点C关于对称， ∴，且点H为的中点，∴， ∴，设，则， 解得，∴，∴，∵，∴的中点坐标为， ∵四边形是矩形，∴的中点坐标为，∴点D的坐标为． 命题点一 反比例函数的图象与性质 ►题型01 反比例函数与一次函数图象辨析 标系数，定范围‌：在选项图像旁标出函数表达式，根据图像位置推断系数正负。 找矛盾，排选项‌：对比系数范围，存在矛盾则排除。 抓交点，定答案‌：结合交点坐标验证，确定最终答案。 核心是‌看系数定走向，结合排除法。 【典例】1．（2025·成都·校考一模）在同一坐标系中，函数和的图象大致是（　　） A．  B．  C．  D．   【答案】C 【详解】解：∵两个函数的比例系数均为k，∴两个函数图象必有交点， 交y轴的正半轴，符合这两个条件的选项只有选项C，故C正确．故选：C． 【变式】1．（25-26九年级上·四川成都·月考）若，则一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象大致是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，∴k和b的符号相反， 当，时，一次函数的图象经过一、二、四象限，反比例函数的图象在二、四象限，选项C符合； 当，时，一次函数的图象经过一、三、四象限，反比例函数的图象在一、三象限，没有符合的选项．故选：C． 【变式】2．（2025·成都·三模）已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵点，，∴B与C关于原点对称， 即这个函数图象上有点关于原点对称，故选项A不符合题意； ∵，， ∴当时，y随x的增大而减小，故选项B符合题意，选项C、D不符合题意．故选：B． ►题型02 根据反比例函数解析式判断其性质 快速判断图像‌：看到解析式先看‌k的符号‌，立刻确定图像在哪些象限。 比较函数值‌：若点在同一象限，直接根据增减性比较；若在不同象限，需结合象限符号分析。 求参数值‌：将已知点坐标代入解析式，解方程求k。 增减性有前提‌：单调性只在‌每个象限内‌成立，不能说“在整个定义域内”。 区分k的作用‌：k决定图像位置和增减性，与一次函数的b（截距）意义不同。 注意定义域‌：x ≠ 0，图像与坐标轴无交点。 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）关于反比例函数的图象性质，下列说法不正确的是（    ） A．图象经过点 B．图象分别位于第一、三象限 C．图象关于原点对称 D．y随x的增大而增大 【答案】D 【详解】解：A、当时，，所以图象经过点，说法正确，不合题意； B、，则图象位于第一、三象限，故说法正确，不合题意； C、反比例函数的图象关于原点成中心对称，故说法正确，不合题意； D、，则图象在每个象限内，随的增大而减小，所以当时，随的增大而减小，故说法错误，符合题意；故选：D． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）关于函数有如下结论：①函数图象一定经过点；②函数图象在第一、三象限；③函数值y随x的增大而减小；④当时，y的取值范围为．其中正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：∵，∴， ∵，∴函数图象一定经过点，故①符合题意； ∵此函数中，∴函数图象在第一、三象限，故②符合题意； ∵∴在每个象限内或在双曲线的每一支上，函数值y随x的增大而减小，故③不符合题意； ∵，∴当时，则∴当时，y的取值范围为， ∴故④不符合题意；故选：B． 【变式】2．（2025·成都·校考一模）已知反比例函数，则下列描述正确的是（　　） A．图象位于第一、三象限 B．y随x的增大而增大C．图象不可能与坐标轴相交 D．图象必经过点 【答案】C 【详解】解：A、∵，∴，∴函数的图象在第二、四象限，故选项A不符合题意； B、∵，∴，在每个象限内，y随x的增大而增大，故选项B不符合题意； C、反比例函数的图象不可能与坐标轴相交，选项C符合题意； D、当时，则，∴函数图象经过点，故选项D不符合题意；故选：C． ►题型03 反比例函数的图象与性质（开放性问题） 【典例】1．（2025·成都·校考三模）若双曲线在第一、三象限，则k可以是 ．（写出一个k的值即可） 【答案】2 【详解】解∶∵反比例函数的图象在第一、 三象限内． ∴．故答案为∶ 2 (答案不唯一，大于0即可) ． 【典例】2．（2025·成都·模拟预测）如图，矩形的顶点，分别在轴、轴上，点，，是矩形对角线的交点，双曲线在如图所示的位置上．请写出一个符合要求的双曲线的表达式： ． 【答案】 （答案不唯一） 【详解】解：点，，，， 点是矩形对角线的交点，点的坐标是，点的坐标是， 如果双曲线经过点，则有，解得：， 如果双曲线经过点，则有，解得：， 如图所示的双曲线的的取值范围是， 当时，双曲线析表达式是．故答案为： (答案不唯一)． 【变式】1．（2025·成都·一模）已知反比例函数的图象在第二、四象限，则它在各自的象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值逐渐 ． 【答案】增大 【详解】解：由于反比例函数的图象在第二、四象限，因此比例系数， 在第二象限内，，，当x增大（即从负无穷向0移动）时，减小，而中k为负，故y的值逐渐增大，在第四象限内，，，当x增大（即从0向正无穷移动）时，增大，而中k为负，故y的值逐渐增大（即从负值向0接近）， 因此，在各自的象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值逐渐增大．故答案为：增大． 【变式】2．（2025·上海·中考真题）已知一个反比例函数在各个象限内，随的增大而减小，那么这个反比例函数的解析式可以是 ．（只需写出一个） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵一个反比例函数在各个象限内，随的增大而减小， ∴该反比例函数的比例系数大于0，∴符合题意的反比例函数解析式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． ►题型04 比较反比例函数自变量或函数值的大小 步骤 1：定位点，分象限‌ 将各点代入解析式，或根据 x 值符号判断所在象限。 步骤 2：同象限比较，用增减性‌ 若 k > 0（一、三象限），x 大的点 y 值小。若 k < 0（二、四象限），x 大的点 y 值大。 步骤 3：不同象限比较，定正负‌ 一、二象限值 > 0 > 三、四象限值。 【典例】1．（2025·四川成都·二模）已知点，在反比例函数的图象上，且，则 ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【详解】解：因为点，在反比例函数的图象上，所以，． 由于，且反比例函数在时，y随x的增大反而减小，因此．故答案为：． 【典例】2．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，若点，都在反比例函数的图象上，当时，有，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：∵点，都在反比例函数的图象上， ∴当时，两点只能在第一、三象限或二、四象限， 又∵当时，有， ∴函数图象在第一、三象限，∴，∴，故答案为：． 【变式】1．（2025·四川成都·模拟预测）已知点，在反比例函数的图象上，则 （填“”或“”）． 【答案】 【详解】解：由题知，因为反比例函数的解析式为， 所以反比例函数的图象位于第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小． 又因为，所以；故答案为： 【变式】2．（2025·四川成都·一模）若点都在反比例函数的图象上，且，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：∵点都在反比例函数的图象上，且，， ∴时，y随x的增大而减小，∴．故答案为：． 【变式】3．（2025·成都·校考一模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：反比例函数中，， ∴反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大， ∵点，，都在反比例函数的图象上，，∴，故选：D． ►题型05 待定系数法求反比例函数解析式 设关系式‌：根据题意，设反比例函数为。 代点求系数‌：将已知点的坐标(x, y)代入函数关系式，得到方程。 解方程求k‌：解方程求出k的值。 写出解析式‌：将求得的k值代回所设解析式，得到最终的解析式。 【典例】1．2025·成都·模拟预测）如图，点，点是线段的两个端点，其中．双曲线经过点，并交线段于点 P．（1） ；（2）若，则m的值为 ． 【答案】 12 4 【详解】解：（1）把点代入可得，解得；故答案为：； （2），，即，，故答案为：． 【变式】1．（2025·成都·一模）如图，矩形的边在轴的正半轴上，函数的图象经过点和边的中点．若，，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：由题意，∵由是的中点，，∴，设，又，∴， 又∵在函数，∴，∴．故答案为：． 【变式】2．（2025·成都·校考一模）已知点A(−2，m)在一个反比例函数的图象上，点A′与点A关于y轴对称．若点A′在正比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式为_______． 【答案】y= 【详解】解：∵点A与点A′关于y轴对称，且A(−2，m)，∴A′(2，m)， ∵点A′在正比例函数的图象上，∴m=×2，解得：m=1，∴A(−2，1)， 设这个反比例函数的表达式为y=，∵A(−2，1) 在这个反比例函数的图象上，∴k=-2×1=-2， ∴这个反比例函数的表达式为y=，故答案为：y=． ►题型06 已知反比例系数求图形面积 1、核心面积公式 对于反比例函数上任意一点P(x, y)，向x轴、y轴作垂线形成的矩形面积恒为‌|k|‌。 三角形面积‌：由点P、原点O及垂足构成的三角形面积为。 2、几何转化法：将不规则图形转化为规则图形（如矩形、三角形）计算： 分割法‌：将复杂图形分割为多个三角形或矩形，分别计算面积后求和。 补形法‌：将图形补全为规则图形，计算总面积后减去多余部分。 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）如图，已知反比例函数的图象与菱形相交于，D两点，点C在x轴上．连接，，则的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【详解】解：如图，作轴于点，连接，代入到得，，∴， ∵轴，∴，∴，，∴， ∵菱形，∴，，∴．故选：C． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴，垂足为点，线段交反比例函数的图象于点，则的面积为 ． 【答案】 【详解】解：∵轴，点A是反比例函数的图象上一点， 点B是反比例函数的图象上一点，∴， ∴，故答案为：2． 【变式】2．（25-26九年级上·成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，过点作平行轴交轴于点，在轴负半轴上取一点，使，连接，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】解：连接，如图；∵点在函数的图象上， 过点作平行轴交轴于点，在轴负半轴上取一点，∴， ∵，∴，∴．故选C． 【变式】3．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A 是直线上的一动点，点 B在双曲线 上，点B 的纵坐标为，点 P 是x轴正半轴上的一动点，连接．当四边形是矩形时，k的值为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【详解】解：如图，过作于点，过作于点， ∵点B 的纵坐标为，四边形是矩形，∴，， 将代入，则，解得，∴，∴， 在中，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴，∴， ∴，将代入，则．故选：B． ►题型07 已知图形面积求反比例系数 【典例】1．（2025·四川成都·校考一模）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，连接．若的面积为3，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵轴，的面积为3， ∴，由题意，∴．故答案为：． 【典例】2．（2025·四川成都·二模）如图，点，分别在函数图象的两支上（在第一象限），连接交轴于点，点、在函数图象上，轴，轴，连接，．若，的面积为，则的值为 ． 【答案】/ 【详解】解：设，轴，，解得：，， ∵，，，作轴于点M，则， ∴，，解得：， ，解得：，， 轴，，， 的面积为，，， 解得：．故答案为：． 【变式】1．（25-26九年级上·成都·期中）如图，点是反比例函数图象上一点，轴于点，与反比例函数图象交于点，，连接，若的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点是反比例函数图象上一点，轴于点，与反比例函数图象交于点，∴，，∴， ∵，∴，∴，∵的面积为，∴，整理得， ∴，，∴，故选：． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）如图，直线与双曲线交于A，B两点，过点A作轴，垂足为点M，连接，若，则k的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：∵直线与双曲线交于A，B两点， 两点关于原点对称，，，， ∵双曲线在一、三象限，，故选：B． 【变式】3．（24-25九年级下·四川成都·月考）如图，已知曲线G是由函数在第二象限内的图象绕坐标原点O顺时针旋转得到的与曲线G交于点M，N，连接，，第二象限的角平分线交直线l于点A，且，若，则k的值为 ． 【答案】 【详解】解：过作交于，过作轴于， 第二象限的角平分线交直线于点，且，，， ，，， 曲线是由函数在第二象限内的图象绕坐标原点顺时针旋转得到的， 建立新的坐标系：为轴，为轴，则旋转后的函数解析式为：， 在新的坐标系中，，，，设直线的解析式为：， 则，解得，直线的解析式为：， 设，，由得：， ，， ， 整理得，，，， ，，．故答案为：． ►题型08 反比例函数的实际应用问题 解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围． 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）如图1是一款在某跨境电商平台销量排名第一的可调节亮度的台灯，图2是它的电路示意图，它是根据调节总电阻的大小来实现灯光亮度的变化，电流与总电阻之间的关系图象如图3所示，下列说法正确的是（    ） A．当时， B．与之间的函数表达式是 C．当时， D．当电压不变时，与成正比 【答案】C 【详解】解：设电流与总电阻之间的函数关系为， 由题意可得：，∴， A．当时，，故此选项不符合题意； B．与之间的函数表达式是，故此选项不符合题意； C．当时，；∴当时，，故此选项符合题意； D．∵，∴，∴当电压不变时，与成反比，故此选项不符合题意．故选：C． 【典例】2．（2025·成都·模拟预测）在一定温度下，对一个弹性良好的气球不断充入气体，气球内气体的压强与气球的半径成反比例关系，p关于r的函数图象经过点．若压强从增加到，则气球半径缩小了 ． 【答案】 【详解】解：设，∵p关于r的函数图象经过点，∴，∴，∴， 当时，，当时，， ∴压强从增加到，则气球半径缩小了，故答案为：． 【变式】1．（2025.湖北校考模拟预测）如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来，在中点O的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．弹簧秤与中点O的距离L（单位：）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足．以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立直角坐标系．则F关于L的函数图象大致是（　　）    A．  B．C．  D．   【答案】B 【详解】解：∵，，，∴，∴，函数为反比例函数， 当时，，即函数图象经过点．故选：B． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）某公园有一种叫“喊泉”的娱乐项目，其原理是通过声音的响度刺激声敏电阻，声敏电阻的变化影响电路中电流的变化，当电流达到一定数值时，小马达开始转动从而喷出水柱，当时水柱立马消失，当最大时喷出的水柱最高．图1为某人声音的响度随时间变化的关系图，图2为声敏电阻的阻值随声音的响度变化的关系图（反比例函数图象的一部分），已知小马达两端的电压为，下列说法错误的是（   ） A．第时，声敏电阻的阻值为 B．第时开始产生水柱 C．在第至时喷出的水柱最高 D．喷出水柱的时长超过 【答案】D 【详解】解：如图1，在时，设函数的解析式为，过点， ∴，解得：，在时，函数的解析式为； 在时，设函数的解析式为；在时，设函数的解析式为，过点，， ∴，解得：，∴在时，设函数的解析式为； 如图2，设该图象的函数解析式为，过点， ∴，解得：，∴设该图象的函数解析式为， A．∵第时，，∴将代入，解得：，故此选项正确； B．将代入，解得，∴， ∴，开始产生水柱，故此选项正确； C．由图1可知，在时，最大，∴由函数关系可知，此时最小， 由函数关系可知，此时最大，∴喷出的水柱最高．故此选项正确； D．当时，，此时， 将代入，得：，解得：， 将代入，得：，解得：， ∴喷出水柱的时长为，故此选项错误．故选：D． 命题点二 反比例函数与一次函数综合 ►题型01 一次函数与反比例函数交点问题 当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标。核心思路是‌联立方程求交点坐标，再结合图像和性质分析‌。 【典例】1．（2025·四川成都·三模）在，，，，，，这个数中，随机选取一个数，记为，使得直线与双曲线没有交点的概率为 ． 【答案】 【详解】解：联立方程，得到，整理得：， ∵直线与双曲线没有交点，∴无实数根， ∴，∴， ∵在，，，，，，这个数中满足的有个，即，，，，， ∴概率为，故答案为：． 【变式】1．（2025·四川成都·二模）若点是直线与双曲线的交点，则代数式的值为 ． 【答案】 【详解】解：，根据题意可得，∴， ∴故答案为：． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）已知点、点、点分别是不同象限内的三个点，若其中的两个点是正比例函数与反比例函数的交点，则的值为 ． 【答案】1 【详解】解：已知点在第一象限，点、点的y坐标相同． 正比例函数与反比例函数的交点需满足坐标互为相反数，且三点分布在不同象限． ∴点不能在第一象限，∴只能， ∴点在第二象限，∴点不能在第一象限和第二象限， 又∵，∴点在第三象限，∴， ∵正比例函数与反比例函数的交点需满足坐标互为相反数， ∴只有点和点在第一象限和第三象限满足， ∴和坐标互为相反数，∴， 解得：，∴，故答案为：1． 【变式】3．（2025·成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，且．若一反比例函数的图象交边于点，过点作轴，垂足为．当时，这一反比例函数的图象交边于点，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵为直角三角形，且，∴，∴为等腰直角三角形， ∵，∴，设反比例函数解析式为， ∵点C在反比例函数图象上，∴，∴反比例函数解析式为， ∵为直角三角形，且∴，由条件可知直线的解析式为， 联立方程组，解得（负值已舍去），∴．故答案为：． ►题型02 根据一次函数与反比例函数值的大小求范围 当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标。若求时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围；反之亦然。 【典例】1．（25-26九年级上·四川成都·月考）已知如图，一次函数图象与反比例函数图象交于，两点，则时x的取值范围是 ． 【答案】或. 【详解】解：若要满足，则需一次函数的图象高于反比例函数的图象． 由图象可知，当或时，．故答案为：或． 【变式】1．（25-26九年级上·成都·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于M，N两点，则关于x的不等式 的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【详解】解：由两个函数的交点坐标以及不等式的解集与一次函数、反比例函数的交点坐标之间的关系可知，不等式 的解集为或，故选：A． 【变式】2．（25-26九年级上·成都·月考）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点，两点，当时，则自变量x的取值范围是 ．    【答案】或 【详解】解：∵一次函数与反比例函数的图象相交于点，两点， 由图象知，当时，即一次函数在反比例函数上方，此时或，故答案为：或． ►题型03 一次函数与反比例函数综合-面积问题 坐标系中面积表示方法： （1）割补法（补）：如图1，S△ABC＝S四形边AMNC－(S△AMB＋S△BNC)． 图1 图2 图3 图4 （2）割补法（割）：如图2，S△ABC＝S△ABD＋S△ADC． （3）和差法：如图3，S△PBA＝S△OAP＋S△OBP－S△OBA． （4）铅垂法：如图4，S△ABC=ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半． 【典例】1．（2025·成都·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点．(1)求一次函数与反比例函数的表达式；(2)已知点C是位于反比例函数的图象在第四象限部分上的一点，直线交y轴于点D，若．①求线段的长；②求的面积． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； (2)①的长为；② 的面积为． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，∴，解得． ∴反比例函数的表达式为．把点代入，得，解得．∴点． 把点，分别代入，得 ，解得．∴一次函数的表达式为； （2）①如图，过点作轴于点，过点作轴于点． ∴．∴．∴． ∵，点，∴，，．∴，解得． ∵点在反比例函数的图象上，∴当时，．∴点．∴． 在中，由勾股定理，得．∴的长为； ②∵点，，∴，．由①知， ∴，即，解得．∴． ∴． ∴的面积为． 【变式】1．（25-26九年级上·成都·校考期末）如图，一次函数与反比例函数交于点和点，并与轴交于点，与轴交于点． (1)分别写出这两个函数的表达式；(2)连接，，求的面积；(3)若为反比例函数在第一象限的图象上一点，且的面积为3，点在点的左侧，求点的坐标． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为(2)(3) 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数交于点和点， ∴，，解得：，， ∴一次函数解析式为，反比例函数解析式为． （2）解：∵一次函数解析式为，∴当时，，当时，， ∴，，， 联立一次函数与反比例函数解析式得：，解得：，，∴， ∴． （3）解：如图，过点作轴，交于，设直线解析式为，， ∵∴，解得：，∴直线解析式为，∴， ∵点在第一象限，且在点的左侧，∴， ∵的面积为3，∴，解得：，（舍去），∴，∴． 【变式】2．（25-26九年级上·成都·月考）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与坐标轴分别交于两点．(1)求一次函数的表达式；(2)结合图象，直接写出时的取值范围；(3)求的面积． 【答案】(1)(2)或(3) 【详解】（1）解：把代入反比例函数中，得，解得，∴， 把代入反比例函数中，得，∴， 把和代入一次函数得， ，解得，∴一次函数的表达式为； （2）解：由函数图象可知，当或时，一次函数的图象位于反比例函数的图象下方， ∴时的取值范围为或； （3）解：把代入，得， ∴，∴，∴，∴． ►题型04 一次函数与反比例函数综合-特殊几何图形 【典例】1．（2025·成都·一模）如图，一次函数（b为常数）的图像与y轴交于点，与反比例函数（k为常数，且）的图像交于点B、，连接． (1)求一次函数与反比例函数的表达式；(2)点是轴上一点，是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，且为等腰三角形的腰，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 (2)存在，点的坐标为，， 【详解】（1）将代入中，得，一次函数的表达式为， 在一次函数图像上，， 将代入中，得：，反比例函数的表达式为； （2）存在，理由如下：由（1）知：点的坐标为， 如图，过点作轴于点，由勾股定理得：， ①如图，当时，点的坐标为，； ②如图，当时，过点作轴于点， 易证四边形为矩形，则，，点的坐标为， 综上所述，存在满足要求的点，点的坐标为，，． 【典例】2．（2025·四川成都·模拟预测）如图，直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为，点D是x轴上一点，直线交双曲线于点C． (1)求k的值；(2)连接，当时，求点D的坐标；(3)在（2）的条件下，点P是直线上一个动点，点G是坐标平面上一点，是否存在点P，使得四边形为菱形？  若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)存在，四边形为菱形时，或 【详解】（1）解：由题意得将代入，则，解得，∴点A的坐标为， 再将代入，则； （2）解：∵反比例函数与正比例函数都是中心对称图形，， ∴设直线，则，∴， ∴直线，则当时，；∴，∴， 联立整理得：， ，解得：，∴， 过点分别作轴的垂线，垂足为，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， 即，∴∴，∴； （3）解：设，则，，，∵四边形为菱形，∴为等腰三角形， ∴当时，则解得：（舍）； 当时，解得：或∴或； 当时，，该方程无解， 综上：存在，四边形为菱形时，或． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，的面积为1．   (1)求反比例函数的解析式；(2)点P为第三象限内反比例函数图象上一点，且位于直线下方，过点P作轴交直线于点D，作轴交y轴于点E，若，求点P的坐标； (3)若M是x轴负半轴上一点，N是反比例函数图象上一点，当以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点N的坐标． 【答案】(1)(2)(3)或 【详解】（1）解：过点作轴于，    对于一次函数，当时，，， 的面积为1．，， 当时，，，将点代入反比例函数得：， 反比例函数解析式为； （2）解：设，则，，， ，，解得， 点在直线下方的双曲线上，， 当时，，； （3）解：所有符合条件的点的坐标为或；理由如下： 当时，解得或，经检验，或都是方程的根，， 设，，其中， 以，，，为顶点的四边形是平行四边形，，， 当、为对角线时， 由中点坐标公式得：，解得，； 当为对角线时，由中点坐标公式得：，解得，； 当为对角线时，由中点坐标公式得：，解得：（舍去）； 综上所述，点的坐标为或． 【变式】2．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在矩形中，点O为坐标原点，点A的坐标为，点C的坐标为，点P在边上，直线l的解析式为，直线l交于点D，交于点E． (1)如图1，连接，求D，E的坐标；(2)如图2，若以和为邻边作矩形，求过点Q的反比例函数的表达式；(3)如图3，在第一象限内，直线l上是否存在点M，使是等腰直角三角形？若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，(2)(3)点坐标为或或 【详解】（1）解：为矩形，点的坐标为，点的坐标为，，， 直线的解析式为，当，，，， ，，，解得：，； （2）设的坐标为，四边形为矩形，为直角三角形， 当时，， ，， ，，解得：，，设点， ，，，， 设过点的反比例函数为，，解得：，过点的反比例函数为； （3）使是等腰直角三角形，设，， ①当时，如下图，在上方，过点作交轴于，交与延长线于， 是等腰直角三角形， ，， ，， 又，，，， ，解得：，； 在下方，如下图，过点作交轴于，延长线交于， 是等腰直角三角形， 同理可证，，， ，解得：，， 当时，的坐标为或； ②当时，如下图，在上方，过点作轴于， 是等腰直角三角形， 同理可证，，， ，解得：，此时不在边上，不符合题意； ③当时，且在第一象限，如下图，过点作交轴于，与交于点， 是等腰直角三角形， 同理可证，，， ，解得：，， 综上所述点坐标为或或． ►题型05一次函数与反比例函数综合-角度问题  1）特殊角问题： （1）利用特殊角的三角函数值找到线段之间的数量关系；（2） 遇到特殊角可以构造特殊三角形，如遇到45°构造等腰直角三角形，遇到30°、60°构造等边三角形，遇到90°构造直角三角形。 2）角的数量关系问题 （1）等角问题：基于动点构造某个角使其与特定已知角相等，主要借助特殊图形的性质、全等和相似的性质或构造圆，利用圆周角的性质来解决； （2）倍角问题：基于动点构造某个角使其等于特定已知角的倍角，主要利用角平分线的性质、等腰三角形的性质、对称、辅助圆等知识来解答； （3）角的和差问题：角度和为90度等。 3）角的最值（范围）问题：比如最大最小角问题、锐角或钝角产生的取值问题等，常用利用辅助圆等知识来解答。 【典例】1．（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴交于点，与反比例函数交于点．(1)求点和点的坐标；(2)点是轴正半轴上一点，连接交反比例函数于点，连接，若，求的面积；(3)在（2）的条件下，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．点是反比例函数的图象上一点，连接，若，求点的坐标． 【答案】(1)(2)1(3)或 【详解】（1）解：在中，当时，，， 联立方程组，解得：，（舍去），； （2）解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，设交轴于点， ，，，，， 当时，，解得：，，， ，，，，， 设直线的解析式为，则，解得：， 直线的解析式为，当时，，， ，； （3）过点作轴，作于，于，连接，如图， 由旋转得：，， ，，， ，，，，，轴， ，，， ，设直线交轴于，， 直线的解析式为，，解得：，，点的坐标为或． 【变式】1．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，与轴和轴分别交于点和点，其中点坐标为，点在反比例函数图象上．(1)求点的坐标及反比例函数的表达式；(2)若点在点的右侧，过点作轴，垂足为，若，求的长；(3)是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，(2)(3)存在满足条件的点，其坐标为或 【详解】（1）解： 在直线上，，解得， 点的坐标为，直线的表达式为． 将点代入反比例函数中，得，反比例函数的表达式为． 联立，解得或，点的坐标为； （2）如解图①，过点作轴，垂足为． 在一次函数中，令，得，． 轴，． 点在反比例函数的图象上，轴，轴，． ，． 设，则，解得或，经检验，或是所列方程的解， 点在点的右侧，，，； （3）如解图②，若点在直线AB下方，过点作轴于点，延长CE至点，使得． ，．由（1）（2）得， ，，联立，解得或，； 若点在直线上方，过点作交的延长线于点，延长至点，使得，连接并延长交反比例函数的图象于点，即为所求的点．， 联立，解得，． 此时，是GH的中点， ，，联立，解得或，． 综上所述，存在满足条件的点，其坐标为或． 【变式】2．（2025·四川成都·二模）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于，两点，与反比例函数图象交于，两点（点在第一象限），，．(1)求点的坐标及的值；(2)如图2，点为反比例函数图象第三象限上一点，连接并延长交反比例函数图象于点，连接，，若，求直线的表达式；(3)在（2）的条件下，点为反比例函数图象上，两点之间一点，点关于轴的对称点为，连接，，若，求点的坐标． 【答案】(1)，(2)(3) 【详解】（1）解：∵直线分别与轴，轴交于，两点，∴，∴， ∵，∴，∵点A在轴的负半轴，∴，把代入， 得，∵，∴，故，∴ ∵，∴，，即，，∴，∴ ∵点在反比例函数图象，∴，∴． （2）解：∵，∴ ∵，∴，由（1）得反比例函数解析式为， ∵点为反比例函数图象第三象限上一点，连接并延长交反比例函数图象于点， ∴设点，∵，，∴，， ∴，∴，即， ∵点在反比例函数上，∴∴，∴ 设的解析式为．把代入， ∴解得，∴的解析式为． （3）解：由（2）得的解析式为． 把代入，得，依题意，∴ 整理得，解得， ∵∴把代入，得，∴， 则，， 过点作，过点作直线轴，过点作直线轴，过点 作轴，且分别交直线于点，过点 作轴，且交直线于点，如图所示： ∵∴ ；则 则，在中，∴ ∵，∴，连接，， ∵点为反比例函数图象上，两点之间一点，∴设点的坐标为，且， ∵点关于轴的对称点为，∴，即轴，且， 过点作且使，过点M作，再过分别作， 则， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴点的纵坐标为，∴点的横坐标为，即， ∵，∴是共线的， 设的解析式分别为， 把分别代入，得，∴， 把，分别代入， 得，∴， ∵是共线的， ∴，即， 整理得∴， ∵∴，∵点的坐标为，∴点的坐标为． ►题型06 一次函数与反比例函数综合-相似 相似三角形存在性问题：（1）若两个相似三角形对应关系已知，则根据对应边或对应角关系；①设点坐标；②表示线段长（或点坐标）；③列比例关系式求解；④将点坐标代入到满足的函数关系中求解；（2）若两个相似三角形对应关系末知，则需根据已知三角形分类讨论三角形的对应边关系，再由（1）中的步骤求解即可。 【典例】1．（2023·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作AB的垂线l．    (1)求点A的坐标及反比例函数的表达式；(2)若点C在直线l上，且的面积为5，求点C的坐标； (3)P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值． 【答案】(1)点A的坐标为，反比例函数的表达式为； (2)点C的坐标为或(3)点P的坐标为；m的值为3 【详解】（1）解：令，则∴点A的坐标为， 将点代入得：解得：∴ 将点代入得：解得：∴反比例函数的表达式为； （2）解：设直线l于y轴交于点M，直线与x轴得交点为N， 令解得：∴，∴， 又∵，∴∵，∴ 又∵直线l是的垂线即，， ∴，∴；设直线l的解析式是：，    将点，点代入得：解得： ∴直线l的解析式是：，设点C的坐标是 ∵，(分别代表点B与点C的横坐标)；解得： 或6， 当时，；当时，，∴点C的坐标为或 （3）∵位似图形的对应点与位似中心三点共线， ∴点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D， ∴点E是直线l与双曲线的另一个交点， 将直线l与双曲线的解析式联立得：解得：或∴ 画出图形如下：又∵∴∴   ∴直线与直线的解析式中的一次项系数相等，设直线的解析式是： 将点代入得：解得：∴直线的解析式是： ∵点D也在双曲线上，∴点D是直线与双曲线的另一个交点， 将直线与双曲线的解析式联立得：解得：或∴ 设直线的解析式是： 将点，代入得：解得： ∴直线的解析式是：， 又将直线的解析式与直线l的解析式联立得：解得： ∴点P的坐标为；∴ ；∴ 【变式】1．（2025·四川成都·三模）如图，在平面直角坐标系中， 直线分别与y轴、x轴相交于点 A，，过点A的直线与双曲线交于C，D两点（点C在点D的右侧）． (1)求a的值及线段的长；(2)过点C作轴于点E，过点D作轴于点F，若，求k的值及的面积；(3)将直线沿y轴翻折得到新直线，新直线与x轴相交于点G，再将的图象沿着直线翻折，翻折后的图象交直线于点M，N（点M在点N左侧），当与相似时，求k的值． 【答案】(1)，(2)，(3) 【详解】（1）解：将代入直线中，得，故， ∴直线的表达式为．令，则，即，所以，故． （2）解：如图1所示，由题意可得，故的横坐标为的纵坐标为， 又因为两点在双曲线上，故设． 设直线的表达式为，则，解得：， 由待定系数法可得直线的表达式为， 又因为在直线上，故，解得：，所以双曲线的表达式为， 的面积． （3）解：∵，，关于轴对称的点坐标为，， 设直线沿轴翻折得到的新直线解析式为，代入，得：，解得：， ∴直线沿轴翻折得到新直线，新直线与轴相交于点，则， 的图象沿着直线翻折后如图所示，是公共角， 根据图象，当△AOM与相似时，只有一种情况， 当时，有，，， 点M在直线上，∴设，则，解得：，， 点关于直线的对称点为，即，根据折叠可知：在原反比例函数上的对应点为，将代入可得：． 【变式】2.（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴交于点，点在反比例函数图象上．(1)求，，的值；(2)若，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标和的值；(3)过，两点的直线与轴负半轴交于点，点与点关于轴对称．若有且只有一点，使得与相似，求的值． 【答案】(1)，，(2)点的坐标为或，(3) 【详解】（1）解：由题意，将代入中，得，则， 将代入中，得，则，∴， 将代入中，得，则； （2）解：设，由（1）知， 若，，，为顶点的四边形为平行四边形，分以下情况： 当为对角线时，则，解得，∴，则； 当为对角线时，则，解得，∴，则； 当为对角线时，依题意，这种情况不存在， 综上所述，满足条件的点的坐标为或，； （3）解：如图，设点，则，， 若，则，即， ∴，即，解得， ∵，∴，则，设直线的表达式为， 则，解得，∴直线的表达式为，联立方程组，得， ∵有且只有一点，∴方程有且只有一个实数根， ∴，解得；由题意，不存在，故满足条件的k值为． 突破一 反比例函数K的几何意义综合问题 【典例】（2025·成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，反比例函数与边、分别交于M、N，若，，则k值为    【答案】 【详解】解：∵点、都在反比例函数的图象上， ，即， ∵四边形为正方形，，， 在和中， ，，， 作于点，如图， ，∴为等腰直角三角形，， 设，则，，， 在 中，，，即， ，， ，，∴为等腰直角三角形，， 设正方形的边长为，则， ∵在中，，，解得（舍去）， ，，，∴N点坐标为， 将点代入反比例函数，得：，故答案为：． 【变式】1．（2025·成都·校考三模）如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数的图象上，轴于点，交线段于点．若点为线段的中点，的面积为3，则的值为 【答案】8 【详解】解：如图，过点作轴于点，连接， 由题意，设点的坐标为，点的坐标为， ∴，，∴，， ∵点为线段的中点，∴，∵轴，轴，∴，∴， ∴，，∴，， ∴，∴与的边上的高相等，∴， 又∵，∴，解得，故答案为：8． 【变式】2．（2025·四川成都·一模）如图，边经过原点，顶点在双曲线（）的图像上，顶点在双曲线（）图像上，顶点在轴上，且，若的面积为6，则的值为 ． 【答案】4 【详解】解：过点A作轴，过点B作轴，如图所示：，， ∵点A在双曲线上，点B在， ，，，，，， ，轴，，，，， ， ，故答案为：4． 突破二 一次函数与反比例函数综合-新定义问题 【典例】（2025·四川成都·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点C为第一象限反比例函数图象上一点，连接，BO． (1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)若时，求点C的坐标； (3)定义：我们把对角线与一边垂直的平行四边形叫做“铅垂平行四边形”，若点D在x轴上方，当以A，B，C，D为顶点的四边形是“铅垂平行四边形”时，求点D的坐标． 【答案】(1)，(2)或 (3)或或 【详解】（1）解：反比例函数经过点， ，，反比例函数的表达式为， 点在反比例函数的图象上，，解得：，， 把，代入，得：，解得：，一次函数的表达式为； （2）解：设，过点C作y轴的平行线交直线于E，如图1，设直线交y轴于点F，则，，，， ，， 即，整理得：或， 或或， 点C在第一象限，或，或； （3）解：分三类讨论：①当为对角线，时，如图2， 直线的表达式为，设与x轴、y轴的交点为M、L， 当时，，当时，，∴点，且， 所以，，， 设直线与与x轴交于点N，∵， ∴，∴，即，得，∴，即， 设直线的解析式为，将点B与点N坐标代入得：，解得：， 直线的表达式为， 联立方程组得：，解得：舍去，，， 四边形是平行四边形，，，，， 由平移规律得：，，； ②当为对角线，时，如图3，设，过点C作轴，过点A、B分别作y轴的平行线交于E、F， 则，，，，， ，，∽， ，即，解得：（舍去）或舍去或，， 四边形是平行四边形，，， 由平移规律得：，，； ③当为对角线，时，如图4，同理可得：， 四边形是平行四边形，，， 由平移规律得：，，； 综上所述，点D的坐标为或或 【变式】1．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．(1)求反比例函数的表达式及点的坐标；(2)过点作直线，交反比例函数图象于另一点，连接，当线段被轴分成长度比为的两部分时，求的长；(3)我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”．设是第三象限内的反比例函数图象上一点，是平面内一点，当四边形是完美筝形时，求，两点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，点的坐标为(2)或(3)， 【详解】（1）解：把点A的坐标代入，得，解得a=1， 故点A的坐标为(1,4)，把点A的坐标代入，得k=4，故反比例函数的表达式为， ， 得，解得，，故点A的坐标为(1,4)，点的坐标为； （2）解：设直线AC的解析式为y=kx+b，点C的坐标为，直线AC与y轴的交点为点D， 把点A、C的坐标分别代入y=kx+b，得， 解得， 故点D的坐标为， ，， 如图：当AD:CD=1:2时，连接BC， 得，得，得，解得或(舍去)， 故或(舍去)，故此时点C的坐标为(-2,-2)，， 如图：当CD:AD=1:2时，连接BC，得，得， 得，解得或(舍去)，故或(舍去)， 故此时点C的坐标为 ，，综上，BC的长为或； （3）解：如图，过点作，交的另一支于点，过点作轴的平行线，过点作轴的垂线，交于点，作交于点，设交于点，如图 ∵设，，则 又即解得或（舍去） 则点；设直线的解析式为，将点， 解得直线的解析式为 设，根据题意，的中点在直线上，则 ∵则 解得或（在直线上，舍去）．综上所述，． 【变式】2．（2025·成都·一模）在平面直角坐标系中，若点P的坐标为，点Q的坐标为，那么称点Q是点P的“相关点”．例如，点的“相关点”点Q的坐标为． (1)当时，反比例函数的图象经过点P，则点P的“相关点”点Q的坐标是　 　 ； (2)点P的“相关点”点Q的坐标为，一次函数的图象经过点Q，与x轴交于点M，求证； (3)抛物线经过点A（4，0）和点O（0，0）．点Q是点P的“相关点”，若，直线AQ与抛物线交于点C，，求n的值． 【答案】(1)(2)见解析(3)或 【详解】（1）解：当，即当时，代入得，， ∴点的坐标为，根据“相关点”的定义，点的坐标是．故答案为：． （2）证明：根据题意，得点的坐标为， ∵一次函数的图象经过点，∴，∴， ∵一次函数的图象与轴交于点，∴点的坐标为， 过点作轴于点，过点作轴于点， ∴，，，，， ∴，，∴，∴． （3）解：抛物线经过点和点 ∴，解得．∴抛物线解析式为． 当时，点的坐标为，点的坐标为． 当时，过点P作轴于点E，过点Q作轴于点F，如图2， ∴． ∴．∴．∴． ∵，∴．过点C作轴于点D，则． 当点Q在线段AC上时，∵，∴， ∴，即，∴， ， ∴，∴ ∵点C在抛物线上，∴；解得（舍去），； 当点C在线段上时，如图3，过点C作轴于点D，过点P作轴于点E，过点Q作轴于点F，则． ∵，即，∴．∵，∴∴． ∴．∴．∴点C的横坐标为．∴点C的坐标为． ∵点C在抛物线上，∴．解得：，∵，∴． 当时，且点C在延长线上时，如图4， 同理可得：∴解得：或（舍去）； 当时，如图5，∵，∴不符合． 综上，或． 突破三 一次函数与反比例函数综合-最值问题 【典例】（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，双曲线（为常数，且）与直线都经过点． (1)求与的值；(2)过点作平行于轴的直线，与双曲线相交于点，与直线相交于点，在中，当时，求边的长度． (3)【阅读理解】例如：对于任意正实数、，，． （只有当时，）． 【探索应用】在（2）的条件下，点是点关于原点的对称点，过作轴于点，作轴于点．点为双曲线上任意一点，连接，求四边形的面积的最小值． 【答案】(1)，(2)(3) 【详解】（1）解：∵直线都经过点，∴，∴， ∵双曲线经过点，∴，解得：； （2）∵，，∴反比例函数的解析式为，， ∵过点作平行于轴的直线，与双曲线相交于点，与直线相交于点， ∴，， 当时，，解得：，（舍去），， 当时，，，不符合； 当时，∴，，此时． （3）∵点是点关于原点的对称点，，∴， ∵过作轴于点，作轴于点，∴，， ∵点为双曲线上任意一点，∴设， 过点作于点，于点， 则，，∵， ∴=， 当时，，解得：（负值舍去），的最小值为， 【变式】1．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，直线与反比例函数图象交于，两点，与轴交于点，点关于原点的对称点为点． (1)求反比例函数表达式及点的坐标；(2)如图1，连接交轴于点．点在轴上，若以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标；(3)如图2，点是线段上一点．连接，交反比例函数在第一象限的图象于点，连接，，．记的面积为，的面积为．当的值最小时，求的值． 【答案】(1)，(2)点N的坐标为或(3) 【详解】（1）解：由题可知点A在上，∴，∴， 把代入，∴，即反比例函数表达式为； 依题意，得，则，整理得解得或， 经检验：或是原分式方程的解， ∵，∴把代入，得 ； （2）解：∵点B和点D关于点O对称，且，∴， 依题意，设直线表达式为， 将，代入得， ，解得，∴直线表达式为， 令得，解得，∵连接交轴于点∴， ∵直线与轴交于点，∴令，则，解得，∴， ∵，则， ，∴； ∵以点，，为顶点的三角形与相似， ∴①若时，则，设 ∵，则，解得或（舍去）；∴， ②时，此时，设，则， ∴，解得，∴，综上，点N的坐标为或 （3）解：如图，过D作轴，交延长线于点M，过Q作轴交于点N， ∵过D作轴，交延长线于点M，且∴，则，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，则，∴， ∴要使的值最小，则求最大值即可， 设则，∴， ∵∴∴则， 当且仅当时取等，∴当（负值舍去）时，最大， ∵，此时 ，∴∴， ∵O是的中点，∴，∴，∴． 【变式】2．（2025·四川成都·二模）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4．(1)分别求出和的值；(2)结合图象直接写出中的取值范围；(3)在轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标． 【答案】(1)，(2)或(3)点P的坐标为 【详解】（1）解：∵的面积为4，∴，解得，或（不符合题意舍去）， ∴反比例函数的关系式为，把点和点代入得， ，．答：，； （2）解：根据一次函数与反比例函数的图象可知，不等式的解集为：或； （3）解：∵点关于轴的对称点， 又，则直线与轴的交点即为所求的点， 设直线的关系式为，代入和得， ，解得，，∴直线的关系式为， 令，，∴直线与轴的交点坐标为，即点P的坐标为． 1．（2025·成都·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：当时，反比例函数过一三象限，一次函数与y轴正半轴有交点，过一二三象限，故A正确，排除B； 当时，反比例函数过二四象限，一次函数与y轴负半轴有交点，过二三四象限， 排除C、D；故选：A． 2．（2025·成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，过点作轴，分别交反比例函数，的图像于点，．则下列说法错误的是（    ） A．若点A的横坐标为2，则点C的纵坐标为 B．若，则 C．若，则的图像关于轴对称 D．当时， 【答案】B 【详解】解：A．将代入得，∴点C的坐标为，故A正确； B．由题意可知，，， ，，故B错误； C．若，则，∴的图象关于x轴对称，故C正确； D．当时，，∵反比例函数的函数值随的增大而增大， ∴当时，，故D正确．故选：B． 3．（2025·成都·模拟预测）随着科学技术的发展，汽车抬头显示系统被广泛应用，该系统利用平面镜成像原理，将显示器上的行驶数据通过挡风玻璃投射在正前方，驾驶员不用低头就可以看到车辆行驶信息．这种“智能玻璃”还能根据车外光照度自动调节玻璃的透明度，实现车内的光照度为一个适宜的定值．研究发现：玻璃的透明度与车外光照度成反比例关系，其图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．玻璃的透明度与车外光照度满足关系式： B．当车外光照度为时，玻璃透明度为 C．车外光照度越大，玻璃透明度越高 D．当玻璃透明度为时，车外光照度为 【答案】D 【详解】解：根据图象获取信息，设玻璃的透明度与车外光照度满足关系式为常数，且， 将坐标代入，得，解得， 玻璃的透明度与车外光照度满足关系式，不正确，不符合题意； 当车外光照度为时，玻璃透明度不为，不正确，不符合题意； 车外光照度越大，玻璃透明度越低，不正确，不符合题意； 当时，得，解得，当玻璃透明度为时，车外光照度为， D正确，符合题意．故选：． 4．（2025·成都·模拟预测）已知点A在反比例函数的图象上，点A关于y轴对称的点在反比例函数的图象上，且，则的值为（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】B 【详解】解：设点A坐标为，则， 点A关于y轴对称后的坐标为，代入第二个反比例函数得， 由，得：，则，， 因此，，对应选项B．故选：B． 5．（25-26九年级上·成都·期中）关于反比例函数，下列说法不正确的是（   ） A．点在它的图象上 B．它的图象在第二、四象限 C．当时，随的增大而增大 D．当时， 【答案】D 【详解】解：当时， ，即点 在反比例函数图象上，A正确； ，故反比例函数图象在第二、四象限，B正确； 当时， 随的增大而增大，C正确； 当时， ，即 ，D不正确；故选：D． 6．（2025·成都·校考一模）若点，，都在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵反比例函数，，∴当时，；当时，， ∵，∴，故最小， 又∵在时，函数随着的增大而增大，且，∴，∴．故选 ：D． 7．（25-26九年级上·成都·校考期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则代数式的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵点经过，∴，∵经过，∴， ∵，故答案为． 8．（2025·成都·二模）如图，已知的顶点A在反比例函数的图象上，点B，C，D在坐标轴上，连接交于点E．若，，则k的值为 ． 【答案】10 【详解】解：∵，∴，，∴， 设，∵若，，∴，解得， ∵顶点A在反比例函数的图象上，，，故答案为：10． 9．（2024·广东汕头·一模）在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象有唯一公共点，若直线与反比例函数的图象有个公共点，则的取值范围是 ． 【答案】或 【详解】解：将代入，可得，整理得． 在方程中，，，，则． 当直线与反比例函数有两个公共点时，方程有两个不同的实数根，即， 所以，解得或．故答案为：或． 10．（25-26九年级上·成都·期末）如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于点，，与反比例函数的图象交于点，，连接，． (1)求和的值；(2)求一次函数的函数表达式；(3)求的面积． 【答案】(1)，(2)(3) 【详解】（1）解：∵点在的图象上，∴，∴； 把代入，得，解得； （2）解：由（1）得，把，代入，得：， 解得，∴一次函数解析式为； （3）解：对于，当时，，解得，∴，∴， 又，，∴． ∴的面积为． 1.（2025·成都·校考一模）猜想函数的性质，下面说法不正确的是（ ） A．该函数的函数值不可能为1 B．该函数图象不经过第三象限 C．该函数的图象关于点对称 D．函数值y随x的增大而增大 【答案】D 【详解】解：，该函数可以看作向上平移1个单位得到的，函数图象如图， 由图象可知其关于对称，故C选项正确；函数与直线无交点，因此该函数的函数值不可能为1，故A选项正确；该函数图象不经过第三象限，故B选项正确； 当或时，y随x增大而增大，所以D选项错在没有强调自变量x的范围；故选D． 2．（2025·成都·二模）如图，在矩形中，点，分别位于轴，轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点，连接．将沿折叠，点的对称点为，与交于点，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形是矩形，，∴，，， ∵的图象经过点，∴当时，，∴点，∴， 由折叠可得：，，∴， 又∵，，∴，∴， 设，则，在中，，∴， 解得：，∴，∴点，故选：C． 3．（2025·成都·三模）如图，分别以，为边作矩形，，点是边的中点，反比例函数的图像分别交边和与两点，此时点满足，作轴，轴，已知阴影部分面积为2，则的值是 ． 【答案】12 【详解】如图：，，四边形，是矩形，轴，轴， 则四边形是矩形，，， 又是边的中点， ∵反比例函数的图像分别交边与P，四边形得面积， 解得：故答案为：12． 4．（2025·成都一模）如图，点在反比例函数图象上，且，是第三象限内反比例函数的图象上一个动点．过点作轴于点，过点作轴于点，连接．若四边形的面积为6，则点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：连接，延长交于点E，设B点坐标为， 点在反比例函数图象上，且，代入得，，A点坐标为， ∵轴，轴，∴，，， ∵四边形的面积为6，∴，，解得，， 经检验，是原方程的解，代入得，，B点坐标为．故答案为： 5．（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，与双曲线()的交点为，在的左边)，且，恰好是线段的三等分点.(1)求，的值：(2)在x轴上找一点，使的值最小，求满足条件的点的坐标； (3)在平面直角坐标系中，对于线段和点，若在直线上存在点，使得四边形为平行四边形，则称点为线段的“笛卡尔伴生点”.已知正方形边长为，且以点为中心，各边与坐标轴垂直或平行，若对于正方形上的任意一点，都存在线段上的两点，，使得该点为线段的“笛卡尔伴生点”，请求出的取值范围。 【答案】(1)，(2)(3)或． 【详解】（1）解：如图1，作于，，， ，恰好是线段的三等分点，当时，，，；， ，，，； （2）如图2，过点作于，作点关于轴对称点，连接，交轴于，此时最小，同理（1）可得， 在反比例函数上，，， 设直线的解析式为：，∴解得：， 由得， （3）从到可以看作向右平移4个单位，向下平移4个单位， 依题意，当正方形上的点通过平移个单位，，能到达，即满足定义， 如图3，将，向上或向下平移个单位，得到， 正方形边长为，且以点为中心，，， 当点在上时，，，当点在上时，，， 当点在上时，，，当点在上时，，，或． 1．（2025·西藏·中考真题）一个三角形花坛的面积是，它的一边a（单位：m）是这边上的高h（单位：m）的函数，此函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得，∴a与h的函数关系式为， ∴此函数是一个以为自变量的反比例函数，边上的高为，∴，故选：B． 2.（2025·湖南·中考真题）对于反比例函数，下列结论正确的是（   ） A．点在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第二、第四象限 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【详解】、当时，，所以点在它的图象上，故选项不符合题意； 、由可知，它的图象在第一、三象限，故选项不符合题意； 、当时，随的增大而减小，故选项不符合题意； 、当时，随的增大而减小，故符合题意；故选：D． 3.（2025·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，∴反比例函数的图象过二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大， ∵点都在反比例函数的图象上，且， ∴；故选D． 4.（2025·河北·中考真题）在反比例函数中，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，当时，随的增大而减小， 当时，，当时，；∴当时，，故选：B． 5.（2025·江苏镇江·中考真题）已知点、在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵点、在反比例函数的图像上，∴，， ∵，∴∴当时，解得，∴； 当时，解得；综上所述，则的取值范围是或．故选：A． 6．（2025·山东淄博·中考真题）如图，为矩形（边，分别在，轴的正半轴上）对角线上的点，且，经过点的反比例函数的图象分别与，相交于点，，连接，，，若的面积是24，则的面积为（   ） A．25 B．26 C． D． 【答案】D 【详解】解：设A点坐标为，点C的坐标为，则点B的坐标为，点D的坐标为， 又∵点D在反比例函数的图象上，∴， 又∵点E，F在反比例函数的图象上，∴点F的坐标为，点E的坐标为， ∴，，∴，解得， ∴，故选：D． 7．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）某玩具汽车的功率（单位：）为定值，行驶速度（单位：）与所受阻力（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则该玩具汽车的功率 ． 【答案】20 【详解】解：设功率为，由题可知，即， 将，代入解得，故答案为：． 8.（2025·湖北武汉·中考真题）在平面直角坐标系中，某反比例函数的图象分别位于第一、第三象限．写出一个满足条件的的值是 ． 【答案】1（答案不唯一） 【详解】解：∵反比例函数的图象分别位于第一、第三象限， ∴即可，∴，故答案为：1（答案不唯一）． 9．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，点关于原点对称．该函数图象上另有两点，它们的横坐标分别为，其中．依次作直线与轴分别交于点，直线与轴分别交于点．记，．(1)若，求的长；(2)求代数式的值；(3)当，时，求点关于直线对称的点的坐标． 【答案】(1)；(2)10；(3)． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， ∵在函数图象上，∴，∴，∴． 设直线的解析式为， ∵，∴，解得， ∴，∴点的坐标为，∴； （2）解：设直线的解析式为， ∵，∴的解析式为，设直线的解析式为， ∵，∴的解析式为， ∴，∴．同理，．∴； （3）解：∵，∴由（2）得，∴ ∵，∴．∴，，∴， ∵，∴的解析式为，的解析式为．∴， 又∵，∴，， ∴，∴是等腰直角三角形， 又∵点关于直线对称的点，∴线段的中点为， ∴点关于直线对称的点的坐标为即． 10．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5．(1)求点A，B的坐标及反比例函数的解析式；(2)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，反比例函数解析式为 (2)点坐标为或或或 【详解】（1）解：将代入得，，解得：， ∴正比例函数表达式为，，∴反比例函数解析式为， ∵点关于原点对称，，综上，，反比例函数解析式为； （2）解：过作轴，交于点， 设，则，，， 解得：或（舍去），，则， 当为菱形的边时，有如下三种情况： ①如图，点在点左侧，此时轴，且，； ②如图，此点在点右侧，此时轴，且，； ③如图，为对角线，此时点与点关于轴对称，则； 当为菱形的对角线时，如下有一种情况：过作轴于点， 设，则，在中，，解得，，， 综上，点坐标为或或或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 第02讲 反比例函数的图象与性质 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 11 命题点一 反比例函数的图象与性质 题型01 反比例函数与一次函数图象辨析 题型02 根据反比例函数解析式判断其性质 题型03 反比例函数的图象与性质（开放性问题） 题型04 比较反比例函数自变量或函数值的大小 题型05 待定系数法求反比例函数解析式 题型06 已知反比例系数求图形面积 题型07 已知图形面积求反比例系数 题型08 反比例函数的实际应用问题 命题点二 反比例函数与一次函数综合 题型01 一次函数与反比例函数交点问题 题型02 根据一次函数与反比例函数值的大小求范围 题型03 一次函数与反比例函数综合-面积问题 题型04 一次函数与反比例函数综合-特殊几何图形 题型05一次函数与反比例函数综合-角度问题 题型06 一次函数与反比例函数综合-相似 05·重难突破·思维进阶难 53 突破一 反比例函数K的几何意义综合问题 突破二 一次函数与反比例函数综合-新定义问题 突破三 一次函数与反比例函数综合-最值问题 06·优题精选·练能提分 68 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 反比例函数 的图象与性质 成都卷 T12 （增减性的实际应用） 成都卷 T10 （运用增减性比函数值大小） 理解反比例函数的图像特征，掌握其增减性（分象限讨论）、掌握反比例函数k的几何意义、能从实际问题中抽象出反比例函数模型，求解实际问题。 反比例函数与一次函数综合运用 成都卷 T18 （解析式、交点、角度、面积等） 成都卷 T18 （解析式、交点、相似（位似）、面积等） 成都卷 T18 （解析式、交点、平行四边形、相似等） 能联立反比例函数与一次函数的解析式，求交点坐标；能结合图像分析两函数的位置关系、函数值的大小关系、能结合特殊几何图形解决相关综合压轴问题。 命题预测 本讲内容近几年成都中考主要考查反比例函数图象与性质，反比例函数与一次函数综合运用，题型一般以填空题和解答题为主，分值在14分左右。图象与性质主要考查反比例函数的增减性（重点关注比大小）、过象限等；反比例函数与一次函数综合运用则重点考查待定系数法求解析式、一次函数与反比例函数交点、面积问题（重点关注）、与特殊平行四边形、特殊三角形综合、与三角形全等、相似（位似）（重点关注）综合等。 考点一 反比例函数的图象与性质 1.反比例函数的概念：一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数． 自变量x和函数值y的取值范围都是不等于0的任意实数． 2.反比例函数的图象和性质 表达式 （k是常数，k≠0） k k>0 k<0 大致图象 所在象限 第一、三象限 第二、四象限 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 轴对称图形（对称轴为直线y=x和y=-x），中心对称图形（对称中心为原点） 3.待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤 （1）设反比例函数解析式（k≠0）；（2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；（3）解这个方程求出待定系数k；（4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式． 4.反比例函数中|k|的几何意义 图1 图2 图3 图4 图5 图1-图2 阴影部分的面积：|k|/2；图3-图4阴影部分的面积：|k|；图5 阴影部分的面积：2|k|。 图6 图7 图8 图9 5.反比例函数的实际应用：解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围． 1．（2025·四川成都·二模）关于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．图象分布在第一、二象限 B．在各自的象限内，随的增大而增大 C．函数图象关于轴对称 D．函数图象与直线有两个交点 2．（2025·四川成都·中考真题）某蓄电池的电压为定值．使用此电源时，用电器的电流I（A）．与电阻R（Ω）之间的函数关系为，则电流Ⅰ的值随电阻R值的增大而 （填“增大”或“减小”）． 3．（2023·四川成都·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则 （填“”或“”）． 4．（2025·四川成都·模拟预测）如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，C是点B关于原点O的对称点，连接，则的面积为 ． 考点二 反比例函数与一次函数综合 1.反比例函数与一次函数的综合 1）涉及自变量取值范围型 当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标。若求时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围；反之亦然。 2）求一次函数与反比例函数的交点坐标 （1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定：①k值同号，两个函数必有两个交点；②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点； （2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况． 3）涉及三角形的面积型 当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解。 图1 图2 图3 图4 （1）如图1，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=； （2）如图2，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=–= （3）如图3，S△AOB=S直角梯形ABCD； 如图4，S矩形ABCD=S矩形PDMQ； 1．（2025·四川成都·三模）如图，点，是一次函数与反比例函数的两个交点，则时自变量x的取值范围是 ． 2．（2025·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象的一个交点为，与x轴的交点为．(1)求k的值；(2)直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点D在反比例函数的图象上，若，求直线的函数表达式；(3)P为x轴上一点，直线交反比例函数的图象于点E（异于A），连接，若的面积为2，求点E的坐标． 3．（2025·四川成都·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象交于，B两点(点B位于点A右侧)，连接．(1)求直线的表达式．(2)当的面积为时，求点B的坐标； (3)在（2）的条件下，作点B关于的对称点C，连接，是否存在点D，使得四边形为矩形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 命题点一 反比例函数的图象与性质 ►题型01 反比例函数与一次函数图象辨析 标系数，定范围‌：在选项图像旁标出函数表达式，根据图像位置推断系数正负。 找矛盾，排选项‌：对比系数范围，存在矛盾则排除。 抓交点，定答案‌：结合交点坐标验证，确定最终答案。 核心是‌看系数定走向，结合排除法。 【典例】1．（2025·成都·校考一模）在同一坐标系中，函数和的图象大致是（　　） A．  B．  C．  D．   【变式】1．（25-26九年级上·四川成都·月考）若，则一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象大致是（   ）． A． B． C． D． 【变式】2．（2025·成都·三模）已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（    ） A． B． C． D． ►题型02 根据反比例函数解析式判断其性质 快速判断图像‌：看到解析式先看‌k的符号‌，立刻确定图像在哪些象限。 比较函数值‌：若点在同一象限，直接根据增减性比较；若在不同象限，需结合象限符号分析。 求参数值‌：将已知点坐标代入解析式，解方程求k。 增减性有前提‌：单调性只在‌每个象限内‌成立，不能说“在整个定义域内”。 区分k的作用‌：k决定图像位置和增减性，与一次函数的b（截距）意义不同。 注意定义域‌：x ≠ 0，图像与坐标轴无交点。 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）关于反比例函数的图象性质，下列说法不正确的是（    ） A．图象经过点 B．图象分别位于第一、三象限 C．图象关于原点对称 D．y随x的增大而增大 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）关于函数有如下结论：①函数图象一定经过点；②函数图象在第一、三象限；③函数值y随x的增大而减小；④当时，y的取值范围为．其中正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式】2．（2025·成都·校考一模）已知反比例函数，则下列描述正确的是（　　） A．图象位于第一、三象限 B．y随x的增大而增大C．图象不可能与坐标轴相交 D．图象必经过点 ►题型03 反比例函数的图象与性质（开放性问题） 【典例】1．（2025·成都·校考三模）若双曲线在第一、三象限，则k可以是 ．（写出一个k的值即可） 【典例】2．（2025·成都·模拟预测）如图，矩形的顶点，分别在轴、轴上，点，，是矩形对角线的交点，双曲线在如图所示的位置上．请写出一个符合要求的双曲线的表达式： ． 【变式】1．（2025·成都·一模）已知反比例函数的图象在第二、四象限，则它在各自的象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值逐渐 ． 【变式】2．（2025·上海·中考真题）已知一个反比例函数在各个象限内，随的增大而减小，那么这个反比例函数的解析式可以是 ．（只需写出一个） ►题型04 比较反比例函数自变量或函数值的大小 步骤 1：定位点，分象限‌ 将各点代入解析式，或根据 x 值符号判断所在象限。 步骤 2：同象限比较，用增减性‌ 若 k > 0（一、三象限），x 大的点 y 值小。若 k < 0（二、四象限），x 大的点 y 值大。 步骤 3：不同象限比较，定正负‌ 一、二象限值 > 0 > 三、四象限值。 【典例】1．（2025·四川成都·二模）已知点，在反比例函数的图象上，且，则 ．（填“”、“”或“”） 【典例】2．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，若点，都在反比例函数的图象上，当时，有，则的取值范围是 ． 【变式】1．（2025·四川成都·模拟预测）已知点，在反比例函数的图象上，则 （填“”或“”）． 【变式】2．（2025·四川成都·一模）若点都在反比例函数的图象上，且，则实数的取值范围是 ． 【变式】3．（2025·成都·校考一模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，与的大小关系是（    ） A． B． C． D． ►题型05 待定系数法求反比例函数解析式 设关系式‌：根据题意，设反比例函数为。 代点求系数‌：将已知点的坐标(x, y)代入函数关系式，得到方程。 解方程求k‌：解方程求出k的值。 写出解析式‌：将求得的k值代回所设解析式，得到最终的解析式。 【典例】1．2025·成都·模拟预测）如图，点，点是线段的两个端点，其中．双曲线经过点，并交线段于点 P．（1） ；（2）若，则m的值为 ． 【变式】1．（2025·成都·一模）如图，矩形的边在轴的正半轴上，函数的图象经过点和边的中点．若，，则的值是 ． 【变式】2．（2025·成都·校考一模）已知点A(−2，m)在一个反比例函数的图象上，点A′与点A关于y轴对称．若点A′在正比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式为_______． ►题型06 已知反比例系数求图形面积 1、核心面积公式 对于反比例函数上任意一点P(x, y)，向x轴、y轴作垂线形成的矩形面积恒为‌|k|‌。 三角形面积‌：由点P、原点O及垂足构成的三角形面积为。 2、几何转化法：将不规则图形转化为规则图形（如矩形、三角形）计算： 分割法‌：将复杂图形分割为多个三角形或矩形，分别计算面积后求和。 补形法‌：将图形补全为规则图形，计算总面积后减去多余部分。 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）如图，已知反比例函数的图象与菱形相交于，D两点，点C在x轴上．连接，，则的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴，垂足为点，线段交反比例函数的图象于点，则的面积为 ． 【变式】2．（25-26九年级上·成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，过点作平行轴交轴于点，在轴负半轴上取一点，使，连接，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【变式】3．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A 是直线上的一动点，点 B在双曲线 上，点B 的纵坐标为，点 P 是x轴正半轴上的一动点，连接．当四边形是矩形时，k的值为（   ） A． B．2 C． D．3 ►题型07 已知图形面积求反比例系数 【典例】1．（2025·四川成都·校考一模）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，连接．若的面积为3，则的值为 ． 【典例】2．（2025·四川成都·二模）如图，点，分别在函数图象的两支上（在第一象限），连接交轴于点，点、在函数图象上，轴，轴，连接，．若，的面积为，则的值为 ． 【变式】1．（25-26九年级上·成都·期中）如图，点是反比例函数图象上一点，轴于点，与反比例函数图象交于点，，连接，若的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）如图，直线与双曲线交于A，B两点，过点A作轴，垂足为点M，连接，若，则k的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式】3．（24-25九年级下·四川成都·月考）如图，已知曲线G是由函数在第二象限内的图象绕坐标原点O顺时针旋转得到的与曲线G交于点M，N，连接，，第二象限的角平分线交直线l于点A，且，若，则k的值为 ． ►题型08 反比例函数的实际应用问题 解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围． 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）如图1是一款在某跨境电商平台销量排名第一的可调节亮度的台灯，图2是它的电路示意图，它是根据调节总电阻的大小来实现灯光亮度的变化，电流与总电阻之间的关系图象如图3所示，下列说法正确的是（    ） A．当时， B．与之间的函数表达式是 C．当时， D．当电压不变时，与成正比 【典例】2．（2025·成都·模拟预测）在一定温度下，对一个弹性良好的气球不断充入气体，气球内气体的压强与气球的半径成反比例关系，p关于r的函数图象经过点．若压强从增加到，则气球半径缩小了 ． 【变式】1．（2025.湖北校考模拟预测）如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来，在中点O的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．弹簧秤与中点O的距离L（单位：）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足．以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立直角坐标系．则F关于L的函数图象大致是（　　）    A．  B．C．  D．   【变式】2．（2025·成都·模拟预测）某公园有一种叫“喊泉”的娱乐项目，其原理是通过声音的响度刺激声敏电阻，声敏电阻的变化影响电路中电流的变化，当电流达到一定数值时，小马达开始转动从而喷出水柱，当时水柱立马消失，当最大时喷出的水柱最高．图1为某人声音的响度随时间变化的关系图，图2为声敏电阻的阻值随声音的响度变化的关系图（反比例函数图象的一部分），已知小马达两端的电压为，下列说法错误的是（   ） A．第时，声敏电阻的阻值为 B．第时开始产生水柱 C．在第至时喷出的水柱最高 D．喷出水柱的时长超过 命题点二 反比例函数与一次函数综合 ►题型01 一次函数与反比例函数交点问题 当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标。核心思路是‌联立方程求交点坐标，再结合图像和性质分析‌。 【典例】1．（2025·四川成都·三模）在，，，，，，这个数中，随机选取一个数，记为，使得直线与双曲线没有交点的概率为 ． 【变式】1．（2025·四川成都·二模）若点是直线与双曲线的交点，则代数式的值为 ． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）已知点、点、点分别是不同象限内的三个点，若其中的两个点是正比例函数与反比例函数的交点，则的值为 ． 【变式】3．（2025·成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，且．若一反比例函数的图象交边于点，过点作轴，垂足为．当时，这一反比例函数的图象交边于点，则的长为 ． ►题型02 根据一次函数与反比例函数值的大小求范围 当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标。若求时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围；反之亦然。 【典例】1．（25-26九年级上·四川成都·月考）已知如图，一次函数图象与反比例函数图象交于，两点，则时x的取值范围是 ． 【变式】1．（25-26九年级上·成都·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于M，N两点，则关于x的不等式 的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式】2．（25-26九年级上·成都·月考）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点，两点，当时，则自变量x的取值范围是 ．    ►题型03 一次函数与反比例函数综合-面积问题 坐标系中面积表示方法： （1）割补法（补）：如图1，S△ABC＝S四形边AMNC－(S△AMB＋S△BNC)． 图1 图2 图3 图4 （2）割补法（割）：如图2，S△ABC＝S△ABD＋S△ADC． （3）和差法：如图3，S△PBA＝S△OAP＋S△OBP－S△OBA． （4）铅垂法：如图4，S△ABC=ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半． 【典例】1．（2025·成都·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点．(1)求一次函数与反比例函数的表达式；(2)已知点C是位于反比例函数的图象在第四象限部分上的一点，直线交y轴于点D，若．①求线段的长；②求的面积． 【变式】1．（25-26九年级上·成都·校考期末）如图，一次函数与反比例函数交于点和点，并与轴交于点，与轴交于点． (1)分别写出这两个函数的表达式；(2)连接，，求的面积；(3)若为反比例函数在第一象限的图象上一点，且的面积为3，点在点的左侧，求点的坐标． 【变式】2．（25-26九年级上·成都·月考）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与坐标轴分别交于两点．(1)求一次函数的表达式；(2)结合图象，直接写出时的取值范围；(3)求的面积． ►题型04 一次函数与反比例函数综合-特殊几何图形 【典例】1．（2025·成都·一模）如图，一次函数（b为常数）的图像与y轴交于点，与反比例函数（k为常数，且）的图像交于点B、，连接． (1)求一次函数与反比例函数的表达式；(2)点是轴上一点，是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，且为等腰三角形的腰，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【典例】2．（2025·四川成都·模拟预测）如图，直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为，点D是x轴上一点，直线交双曲线于点C． (1)求k的值；(2)连接，当时，求点D的坐标；(3)在（2）的条件下，点P是直线上一个动点，点G是坐标平面上一点，是否存在点P，使得四边形为菱形？  若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，的面积为1．   (1)求反比例函数的解析式；(2)点P为第三象限内反比例函数图象上一点，且位于直线下方，过点P作轴交直线于点D，作轴交y轴于点E，若，求点P的坐标； (3)若M是x轴负半轴上一点，N是反比例函数图象上一点，当以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点N的坐标． 【变式】2．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在矩形中，点O为坐标原点，点A的坐标为，点C的坐标为，点P在边上，直线l的解析式为，直线l交于点D，交于点E． (1)如图1，连接，求D，E的坐标；(2)如图2，若以和为邻边作矩形，求过点Q的反比例函数的表达式；(3)如图3，在第一象限内，直线l上是否存在点M，使是等腰直角三角形？若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由． ►题型05一次函数与反比例函数综合-角度问题  1）特殊角问题： （1）利用特殊角的三角函数值找到线段之间的数量关系；（2） 遇到特殊角可以构造特殊三角形，如遇到45°构造等腰直角三角形，遇到30°、60°构造等边三角形，遇到90°构造直角三角形。 2）角的数量关系问题 （1）等角问题：基于动点构造某个角使其与特定已知角相等，主要借助特殊图形的性质、全等和相似的性质或构造圆，利用圆周角的性质来解决； （2）倍角问题：基于动点构造某个角使其等于特定已知角的倍角，主要利用角平分线的性质、等腰三角形的性质、对称、辅助圆等知识来解答； （3）角的和差问题：角度和为90度等。 3）角的最值（范围）问题：比如最大最小角问题、锐角或钝角产生的取值问题等，常用利用辅助圆等知识来解答。 【典例】1．（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴交于点，与反比例函数交于点．(1)求点和点的坐标；(2)点是轴正半轴上一点，连接交反比例函数于点，连接，若，求的面积；(3)在（2）的条件下，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．点是反比例函数的图象上一点，连接，若，求点的坐标． 【变式】1．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，与轴和轴分别交于点和点，其中点坐标为，点在反比例函数图象上．(1)求点的坐标及反比例函数的表达式；(2)若点在点的右侧，过点作轴，垂足为，若，求的长；(3)是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式】2．（2025·四川成都·二模）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于，两点，与反比例函数图象交于，两点（点在第一象限），，．(1)求点的坐标及的值；(2)如图2，点为反比例函数图象第三象限上一点，连接并延长交反比例函数图象于点，连接，，若，求直线的表达式；(3)在（2）的条件下，点为反比例函数图象上，两点之间一点，点关于轴的对称点为，连接，，若，求点的坐标． ►题型06 一次函数与反比例函数综合-相似 相似三角形存在性问题：（1）若两个相似三角形对应关系已知，则根据对应边或对应角关系；①设点坐标；②表示线段长（或点坐标）；③列比例关系式求解；④将点坐标代入到满足的函数关系中求解；（2）若两个相似三角形对应关系末知，则需根据已知三角形分类讨论三角形的对应边关系，再由（1）中的步骤求解即可。 【典例】1．（2023·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作AB的垂线l．    (1)求点A的坐标及反比例函数的表达式；(2)若点C在直线l上，且的面积为5，求点C的坐标； (3)P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值． 【变式】1．（2025·四川成都·三模）如图，在平面直角坐标系中， 直线分别与y轴、x轴相交于点 A，，过点A的直线与双曲线交于C，D两点（点C在点D的右侧）． (1)求a的值及线段的长；(2)过点C作轴于点E，过点D作轴于点F，若，求k的值及的面积；(3)将直线沿y轴翻折得到新直线，新直线与x轴相交于点G，再将的图象沿着直线翻折，翻折后的图象交直线于点M，N（点M在点N左侧），当与相似时，求k的值． 【变式】2.（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴交于点，点在反比例函数图象上．(1)求，，的值；(2)若，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标和的值；(3)过，两点的直线与轴负半轴交于点，点与点关于轴对称．若有且只有一点，使得与相似，求的值． 突破一 反比例函数K的几何意义综合问题 【典例】（2025·成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，反比例函数与边、分别交于M、N，若，，则k值为    【变式】1．（2025·成都·校考三模）如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数的图象上，轴于点，交线段于点．若点为线段的中点，的面积为3，则的值为 【变式】2．（2025·四川成都·一模）如图，边经过原点，顶点在双曲线（）的图像上，顶点在双曲线（）图像上，顶点在轴上，且，若的面积为6，则的值为 ． 突破二 一次函数与反比例函数综合-新定义问题 【典例】（2025·四川成都·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点C为第一象限反比例函数图象上一点，连接，BO． (1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)若时，求点C的坐标； (3)定义：我们把对角线与一边垂直的平行四边形叫做“铅垂平行四边形”，若点D在x轴上方，当以A，B，C，D为顶点的四边形是“铅垂平行四边形”时，求点D的坐标． 【变式】1．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．(1)求反比例函数的表达式及点的坐标；(2)过点作直线，交反比例函数图象于另一点，连接，当线段被轴分成长度比为的两部分时，求的长；(3)我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”．设是第三象限内的反比例函数图象上一点，是平面内一点，当四边形是完美筝形时，求，两点的坐标． 【变式】2．（2025·成都·一模）在平面直角坐标系中，若点P的坐标为，点Q的坐标为，那么称点Q是点P的“相关点”．例如，点的“相关点”点Q的坐标为． (1)当时，反比例函数的图象经过点P，则点P的“相关点”点Q的坐标是　 　 ； (2)点P的“相关点”点Q的坐标为，一次函数的图象经过点Q，与x轴交于点M，求证； (3)抛物线经过点A（4，0）和点O（0，0）．点Q是点P的“相关点”，若，直线AQ与抛物线交于点C，，求n的值． 突破三 一次函数与反比例函数综合-最值问题 【典例】（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，双曲线（为常数，且）与直线都经过点． (1)求与的值；(2)过点作平行于轴的直线，与双曲线相交于点，与直线相交于点，在中，当时，求边的长度． (3)【阅读理解】例如：对于任意正实数、，，． （只有当时，）． 【探索应用】在（2）的条件下，点是点关于原点的对称点，过作轴于点，作轴于点．点为双曲线上任意一点，连接，求四边形的面积的最小值． 【变式】1．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，直线与反比例函数图象交于，两点，与轴交于点，点关于原点的对称点为点． (1)求反比例函数表达式及点的坐标；(2)如图1，连接交轴于点．点在轴上，若以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标；(3)如图2，点是线段上一点．连接，交反比例函数在第一象限的图象于点，连接，，．记的面积为，的面积为．当的值最小时，求的值． 【变式】2．（2025·四川成都·二模）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4．(1)分别求出和的值；(2)结合图象直接写出中的取值范围；(3)在轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标． 1．（2025·成都·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，过点作轴，分别交反比例函数，的图像于点，．则下列说法错误的是（    ） A．若点A的横坐标为2，则点C的纵坐标为 B．若，则 C．若，则的图像关于轴对称 D．当时， 3．（2025·成都·模拟预测）随着科学技术的发展，汽车抬头显示系统被广泛应用，该系统利用平面镜成像原理，将显示器上的行驶数据通过挡风玻璃投射在正前方，驾驶员不用低头就可以看到车辆行驶信息．这种“智能玻璃”还能根据车外光照度自动调节玻璃的透明度，实现车内的光照度为一个适宜的定值．研究发现：玻璃的透明度与车外光照度成反比例关系，其图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．玻璃的透明度与车外光照度满足关系式： B．当车外光照度为时，玻璃透明度为 C．车外光照度越大，玻璃透明度越高 D．当玻璃透明度为时，车外光照度为 4．（2025·成都·模拟预测）已知点A在反比例函数的图象上，点A关于y轴对称的点在反比例函数的图象上，且，则的值为（    ） A． B．3 C． D．6 5．（25-26九年级上·成都·期中）关于反比例函数，下列说法不正确的是（   ） A．点在它的图象上 B．它的图象在第二、四象限 C．当时，随的增大而增大 D．当时， 6．（2025·成都·校考一模）若点，，都在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·成都·校考期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则代数式的值为 ． 8．（2025·成都·二模）如图，已知的顶点A在反比例函数的图象上，点B，C，D在坐标轴上，连接交于点E．若，，则k的值为 ． 9．（2024·广东汕头·一模）在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象有唯一公共点，若直线与反比例函数的图象有个公共点，则的取值范围是 ． 10．（25-26九年级上·成都·期末）如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于点，，与反比例函数的图象交于点，，连接，． (1)求和的值；(2)求一次函数的函数表达式；(3)求的面积． 1.（2025·成都·校考一模）猜想函数的性质，下面说法不正确的是（ ） A．该函数的函数值不可能为1 B．该函数图象不经过第三象限 C．该函数的图象关于点对称 D．函数值y随x的增大而增大 2．（2025·成都·二模）如图，在矩形中，点，分别位于轴，轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点，连接．将沿折叠，点的对称点为，与交于点，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·成都·三模）如图，分别以，为边作矩形，，点是边的中点，反比例函数的图像分别交边和与两点，此时点满足，作轴，轴，已知阴影部分面积为2，则的值是 ． 4．（2025·成都一模）如图，点在反比例函数图象上，且，是第三象限内反比例函数的图象上一个动点．过点作轴于点，过点作轴于点，连接．若四边形的面积为6，则点的坐标为 ． 5．（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，与双曲线()的交点为，在的左边)，且，恰好是线段的三等分点.(1)求，的值：(2)在x轴上找一点，使的值最小，求满足条件的点的坐标； (3)在平面直角坐标系中，对于线段和点，若在直线上存在点，使得四边形为平行四边形，则称点为线段的“笛卡尔伴生点”.已知正方形边长为，且以点为中心，各边与坐标轴垂直或平行，若对于正方形上的任意一点，都存在线段上的两点，，使得该点为线段的“笛卡尔伴生点”，请求出的取值范围。 1．（2025·西藏·中考真题）一个三角形花坛的面积是，它的一边a（单位：m）是这边上的高h（单位：m）的函数，此函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 2.（2025·湖南·中考真题）对于反比例函数，下列结论正确的是（   ） A．点在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第二、第四象限 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 3.（2025·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4.（2025·河北·中考真题）在反比例函数中，若，则（   ） A． B． C． D． 5.（2025·江苏镇江·中考真题）已知点、在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 6．（2025·山东淄博·中考真题）如图，为矩形（边，分别在，轴的正半轴上）对角线上的点，且，经过点的反比例函数的图象分别与，相交于点，，连接，，，若的面积是24，则的面积为（   ） A．25 B．26 C． D． 7．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）某玩具汽车的功率（单位：）为定值，行驶速度（单位：）与所受阻力（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则该玩具汽车的功率 ． 8.（2025·湖北武汉·中考真题）在平面直角坐标系中，某反比例函数的图象分别位于第一、第三象限．写出一个满足条件的的值是 ． 9．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，点关于原点对称．该函数图象上另有两点，它们的横坐标分别为，其中．依次作直线与轴分别交于点，直线与轴分别交于点．记，．(1)若，求的长；(2)求代数式的值；(3)当，时，求点关于直线对称的点的坐标． 10．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5．(1)求点A，B的坐标及反比例函数的解析式；(2)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $