第01讲 平面直角坐标系一次函数的图象与性质（复习讲义）（四川成都专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“平面直角坐标系与一次函数”核心模块，覆盖中考必考的象限特征、坐标变换、函数图象分析、一次函数性质及综合应用等考点，通过“考情剖析-知识网络构建-分题型考点解析”架构梳理知识内在联系。教学流程设计包含考点梳理（如点的对称与平移规律）、方法指导（如函数增减性判断技巧）、真题训练（近三年成都中考题及模拟题），帮助学生系统突破难点。 亮点在于融合新课标核心素养，如通过“坐标变换规律探究”培养几何直观，借助“一次函数实际应用建模”强化模型意识。特设“重难突破”环节，如“坐标系中规律探究题的递推归纳法”“一次函数与几何图形综合题的坐标转化策略”，配合分层练习（基础巩固到全国新趋势题）和即时反馈设计，确保高效复习。教师可依托考情分析精准把握命题方向，助力学生提升应考能力。

第三章 函数 第01讲 平面直角坐标系一次函数的图象与性质 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 14 命题点一 平面直角坐标系 题型01  象限与坐标轴上点的特征判断 题型02 坐标的确定与表示 题型03 坐标的平移、对称问题（轴对称、中心对称） 题型04 几何图形中的坐标问题 题型05 图形变换中的坐标问题 命题点二 函数基础知识 题型01 自变量与函数值的取值（范围） 题型02 实际问题中的函数图象分析 题型03 从函数图像中提取信息 命题点三 一次函数的图象与性质 题型01 一次（正比例）函数的图象辨析 题型02 一次函数经过的象限与系数之间的关系 题型03 一次函数的增减性与系数之间的关系 题型04 根据增减性比较函数值 题型05 一次函数最值（范围）问题 题型06 一次函数与方程、不等式的关系 题型07 一次函数与图形变换 题型08 一次函数与实际应用 05·重难突破·思维进阶难 54 突破一 坐标系与一次函数中的规律探究 突破二 一次函数与新定义、跨学科问题 突破三 一次函数与几何图形、几何最值综合问题 06·优题精选·练能提分 64 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 平面直角 坐标系 成都卷 T4 （关于y轴对称） 成都卷 T4 （关于原点对称） 成都卷 T12 （象限问题） 认识平面直角坐标系，掌握点的坐标特征（象限、坐标轴上点的坐标）；理解点的平移、对称的坐标变化规律。 函数 基础知识 成都卷 T8 （通过函数图象获取信息） / / 理解函数的定义，能识别函数关系；掌握函数的三种表示方法（解析式、图像、列表）。 一次函数 图象与性质 成都卷 T18 （一次函数解析式、交点） 成都卷T26 （一次与二次函数交点） 成都卷 T18 （一次函数解析式、交点） 成都卷T26 （一次函数解析式含参） 成都卷 T18 （一次函数解析式、交点） 成都卷T26 （一次函数解析式含参） 掌握一次函数的图像（直线）、斜率k（增减性）、截距b（与y轴交点）的性质；能从实际问题中抽象出变量，建立一次函数关系式y=kx+b，明确参数的实际意义；能利用增减性分析实际问题。 命题预测 本讲内容近几年成都中考主要考查平面直角坐标系及相关概念、函数的基础知识、一次函数解析式、与其他函数交点等问题，题型一般以选填题和解答题为主，分值在10分左右。平面直角坐标系主要考查象限、平移、与对称性结合等；函数基础知识主要考查运用函数图象获取信息等；一次函数在解答题中很少单独命题，一般在24题与方程组、不等式（组）结合考查最值或其他综合运用，或在18和24题中和反比例函数或二次函数结合考查待定系数法求解析式、函数交点等问题。 考点一 平面直角坐标系 1.平面直角坐标系 平面直角坐标系 定义 在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系。 两轴 水平的数轴叫做x轴或横轴，通常取向右方向为正方向； 竖直的数轴叫做y轴或纵轴，通常取向上方向为正方向。（见图1） 原点 两坐标轴交点为平面直角坐标系原点。 坐标平面 坐标系所在的平面叫做坐标平面。 象限 x轴和y轴把平面直角坐标系分成四部分，每个部分称为象限。 按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。（见图1） 点的坐标 对于坐标平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线， 垂足在x轴、y轴上的对应的数a、b分别叫做点P的横坐标和纵坐标， 有序数对P(a，b)叫做点A的坐标，记作P(a，b). （见图2）。 图1 图2 2.点的坐标特征与变换 （1）点的坐标特征：已知点P（a，b） 第一象限：a>0，b>0； 第二象限：a<0，b>0； 第三象限：a<0，b<0； 第四象限：a>0，b<0； 原点：a=0，b=0； x轴上：b=0； y轴上：a=0； （2）轴对称与中心对称：已知点P（x，y） （1）点P关于x轴对称的点的坐标（x，-y）；（2）点P关于y轴对称的点的坐标（-x，y）． （3）点P关于原点的对称点为（-x，-y）． （3）图形（点）在坐标系中的平移：已知点P（x，y） 1）点P向右平移a个单位，坐标变为（x+a，y）；2）点P向左平移a个单位，坐标变为（x-a，y）； 3）点P向上平移b个单位，坐标变为（x，y+b）；4）点P向下平移b个单位，坐标变为（x，y-b）． （4）两个重要公式 （1）中点公式：若、，则AB中点C坐标为： ； （2）两点距离公式：已知两点：、，则 ． （5）确定一个物体的位置的方法：1）有序实数对确定点的位置--行列定位法；2）方位角+距离确定点的位置--极坐标定位法；3）用“经纬度”确定点的位置--经纬定位法；4）区域定位法。 1．（2025·成都·校考二模）如图是某中学部分建筑的手绘地图，若分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，表示操场的点的坐标为，表示勤学楼的点的坐标为，则下列表示建筑的点的坐标正确的是（   ） A．信毅楼 B．体育馆 C．知味堂 D．勤政楼 【答案】A 【详解】解：根据题意可建立如下坐标系： 由坐标系可知，信毅楼，体育馆，知味堂，勤政楼， 则正确的是选项A．故选：A． 2．（2025·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】解：∵，，，∴点在第二象限；故选B． 3．（2024·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为；故选：B． 4．（2025·四川成都·模拟预测）已知第二象限的点，那么点P到y轴的距离为（    ） A．5 B．4 C．-5 D．-4 【答案】A 【详解】解：∵ 点的坐标为，∴ 点到轴的距离为，故选：． 考点二 函数的基础知识 1.函数的相关概念： 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量. 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量. 函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数. 函数的取值范围：使函数有意义的自变量的全体取值，叫做自变量的取值范围. 确定函数取值范围的方法： 1）函数解析式为整式时，字母取值范围为全体实数； 2）函数解析式含有分式时，分式的分母不能为零；3）函数解析式含有二次根式时，被开方数大于等于零；4）函数解析式中含有指数为零的式子时，底数不能为零；5）实际问题中函数取值范围要和实际情况相符合，使之有意义. 函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值. 函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式. 函数图像上点的坐标与解析式之间的关系：1）将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在。2）两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解。 2.函数的三种表示法的优缺点 优点 缺点 解析法 准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系 求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实 际问题中有的函数值不一定能用解析式表示 列表法 自变量和与它对应的函数值数据一目了然 所列对应数值个数有限，不容易看出自变量 与函数值的对应关系，有局限性 图象法 形象的把自变量和函数值的关系表示出来 图像中只能得到近似的数量关系 1．（2025·广东校考一模）数学是严谨的逻辑与优美的艺术相结合的学科．下列四个漂亮的数学图象中，表示是的函数的是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【详解】解：A．中图象，对于x的每一个确定的值，y不一定有唯一的值与其对应，那么就说y不是x的函数，不符合题意； B．中图象，对于x的每一个确定的值，y不一定有唯一的值与其对应，那么就说y不是x的函数，不符合题意； C．中图象，对于x的每一个确定的值，y不一定有唯一的值与其对应，那么就说y不是x的函数，不符合题意； D．中图象，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，符合题意． 故选：D． 2．（2025·四川成都·中考真题）小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系．下列说法正确的是（   ） A．小明家到体育馆的距离为 B．小明在体育馆锻炼的时间为 C．小明家到书店的距离为 D．小明从书店到家步行的时间为 【答案】C 【详解】解：由图象可知：小明家到体育馆的距离为；故选项A错误； 小明在体育馆锻炼的时间为；故选项B错误； 小明家到书店的距离为；故选项C正确； 小明从书店到家步行的时间为；故选项D错误；故选C． 3．（2025·黑龙江大庆·二模）已知，则函数可以表示为，例如当时所对应的函数值记作；函数的图象如图所示，关于该函数说法正确的是（    ）   A． B． C． D．当时，x的值为1或 【答案】B 【详解】解：A、由图象可知：，故，该选项错误，不符合题意； B、由图象可知：，故，该选项正确，符合题意； C、由图象可知：，故，该选项错误，不符合题意； D、由图象可知，与轴的交点为，故当时，x的值为1或或0，，该选项错误，不符合题意；故选B． 4．（2025·广东广州·二模）受台风“摩羯”外围环流影响，珠江口某大型水库水位持续上升，防汛部门监测到近小时内水位将保持上涨趋势．下表记录了台风影响初期3小时内5个时间点的水位数据，其中表示时间（单位：小时），表示水位高度（单位：米）请根据表中数据，写出关于的函数解析式 ，用于合理预估台风影响下的水位变化规律（不写自变量取值范围）． （小时） 0 1 3 （米） 【答案】 【详解】解：由表格可知，x每增加，y就增加，，故答案为：． 考点三 一次函数的图象与性质 1.一次函数的相关概念 1）正比例函数的概念：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫正比例函数，其中k叫正比例系数。 2）一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数。 特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。 2：一次函数的图象与性质 1）一次函数的图象特征与性质 函数 字母取值 图象 经过的象限 函数性质 y=kx+b (k≠0) k>0，b>0 一、二、三 y随x的增大而增大 k>0，b<0 一、三、四 k>0，b=0 一、三 y=kx+b (k≠0) k<0，b>0 一、二、四 y随x的增大而减小 k<0，b<0 二、三、四 k<0，b=0 二、四 2）k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系 在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=-，即直线y=kx+b与x轴交于（– ，0）。 ①当–>0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴。 ②当–=0，即b=0时，直线经过原点．③当–<0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴。 3）两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系： ①当k1=k2，b1≠b2，两直线平行； ②当k1=k2，b1=b2，两直线重合； ③当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点；④当k1·k2=–1时，两直线垂直。 4）一次函数的平移法则：左加右减，上加下减。 3：一次函数与方程（组）、不等式 1）一次函数与一元一次方程 任何一个一元一次方程都可以转化为kx+b=0(k，b为常数，且k≠0)的形式． 从函数的角度来看，解这个方程就是寻求自变量为何值时函数值为0； 从函数图象的角度考虑，解这个方程就是确定直线y=kx+b与x轴的交点的横坐标． 2）一次函数与一元一次不等式 任何一个一元一次不等式都能写成ax+b>0（或ax+b<0）（a，b为常数，且a≠0）的形式。 从函数的角度看，解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件。 3）一次函数与二元一次方程组 一般地，二元一次方程mx+ny=p（m，n，p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a，b为常数，且a≠0）的形式。因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线。 从函数的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值； 从函数图象的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标。 1．（2025·四川成都·二模）若点，在一次函数的图象上，则 .(填“”，“”或“”) 【答案】 【详解】解：一次函数的，一次函数随的增大而减小， ，．故答案为：． 2．（2025·四川成都·二模）关于的一次函数，若随的增大而减小，且图象与轴的交点在原点上方，则实数的取值范围是 ． 【答案】/ 【详解】解：∵y随x的增大而减小，∴．∴． 当时，，∵图象与y轴的交点在原点上方， ∴．∴．∴．故答案为：． 3．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线的图象交于点，点的横坐标为，则 ． 【答案】2 【详解】解：直线与直线的图象交于点，点的横坐标为， ∴，∴，故答案为： ． 4．（2025·四川成都·一模）为迎接全市文旅产业发展大会，某景区研发一款纪念品，每件成本30元，投放景区内进行销售，销售一段时间发现，每天的销售量y(件)与销售单价x(元/件)满足一次函数关系，部分图象如图．(1)直接写出y与x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)；(2)当销售单价为多少元时，每天的获利最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)(2)当销售单价55元/件时，每天获利最大，最大利润为1250元 【详解】（1）解：设解析式为 根据图像可知，点在上 ∴，解得，∴y与x的函数关系式为； （2）解：设每天获利w元，根据题意得 ∵，∴当时，w取最大值为1250， 答：当销售单价55元/件时，每天获利最大，最大利润为1250元． 5．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A，B，直线过点A交y轴于点C． (1)求直线的表达式；(2)点P是y轴上一动点，且与相似，求点P的坐标； (3)直线与x轴交于点M，分别与直线，交于点D，E，当时，求k的值． 【答案】(1)(2)、、 、；(3)或 【详解】（1）解：直线交x轴于点A，解得：，即， 将代入中可得：，解得：，直线的表达式：． （2）解：∵直线分别交x轴、y轴于点A，B∴令，则，即， 直线过点A交y轴于点C 令，则，即∴， 设点P的坐标为，则 ①当，，即，即， ∴，； ②当；，即，，即，∴，． 综上，P的坐标为、、、． （3）解：直线与x轴交于点M，分别与直线，交于点D，E， ，解得： ，∴ 同理 ，解得：，即； ①如图1，过D作轴，交x轴于点F，过E作轴，交x轴于点G， ，∴，即，解得：； ②如图2，过D作轴，交x轴于点P，过E作轴，交x轴于点Q ， ，解得：． 综上所述：或． 命题点一 平面直角坐标系 ►题型01  象限与坐标轴上点的特征判断 先看零‌：有0就先判断坐标轴，没0再看符号定象限，反之依然。 画图辅助‌：在坐标系里标一下点，位置一目了然。 口诀记忆‌：比如“正正一象限，负正二象限，负负三象限，正负四象限”。 【典例】1．（2025·成都·校考一模）在平面直角坐标系中，点不可能在第 象限． 【答案】四 【详解】解：点P的坐标为．平面直角坐标系中各象限点的坐标符号特征为：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 分情况讨论：当时，，点P在第一象限； 当时，且，点P在第二象限； 当时，且，点P在第三象限； 不存在m使得且，因此点P不可能在第四象限．故答案为：四． 【典例】2．（2025·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，点为，点为，直线轴，则 ． 【答案】 【详解】∵直线轴，∴点和点的纵坐标相等，即， 解得，，故答案为． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）平面直角坐标系中，若点在轴上，则点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：点在轴上，，解得：， ，点的坐标为．故答案为：． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）冰壶是在冰上进行的一种投掷性竞赛项目，被喻为冰上的“国际象棋”．如图，这是红、黄两队某局比赛投壶结束后冰壶的分布图，以冰壶大本营内的中心点为原点建立平面直角坐标系，按照规则，更靠近原点的壶为本局胜方，则胜方最靠近原点的壶位于第 象限． 【答案】四 【详解】解：根据图可知：最靠近原点的壶是图中红队下方的壶，此壶位于第四象限． 故答案为：四 ． 【变式】3．（2025·成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，点到轴的距离是5，则的值为（    ） A． B．2或 C．2 D．8 【答案】B 【详解】解：点到轴的距离是5，则， 或，或故选：B． ►题型02 坐标的确定与表示 先根据已知坐标点确定原点所在位置，再根据原点位置表示其他点的坐标即可。 【典例】1．（2025成都·一模）经纬网是一种利用三维空间的球面来定义地球上的空间的球面坐标系统，能够标示地球上的任何一个位置．在如图所示的经纬网中，已知甲的坐标为，表示的经纬度为西经，北纬，若乙的经纬度为东经，南纬，则乙的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：建立平面直角坐标系如图， 因为乙表示的经纬度为东经，南纬，所以乙的坐标为，故答案为：． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）如图，某小区有3处健身休闲广场，为加强对健身休闲广场的管理，小区物业将其中的2处位置用坐标表示为，则第3处健身休闲广场的位置用坐标表示为 ． 【答案】 【详解】解：如图，由已知点的坐标建立直角坐标系，根据图示．故答案为：． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）如图，在正方形网格中，均为格点，若以其中一点为坐标原点，以互相垂直的网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则坐标原点应选（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【详解】解：由图可知，A和C中间隔了一个点，故以B作为原点建立坐标系即可使得它们关于一条坐标轴对称，如图所示：故选：B． 【变式】3．（2025·成都·模拟预测）如图所示是小明和小红在教室所在座位的相对位置，若用表示小明的位置，则小红的位置可表示为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示， 根据小明的位置和坐标，可以确定平面直角坐标系，∴小红的位置可表示为，故答案为：． ►题型03 坐标的平移、对称问题（轴对称、中心对称） 1.图形（点）在坐标系中的平移：已知点P（x，y） 1）点P向右平移a个单位，坐标变为（x+a，y）；2）点P向左平移a个单位，坐标变为（x-a，y）； 3）点P向上平移b个单位，坐标变为（x，y+b）；4）点P向下平移b个单位，坐标变为（x，y-b）． 2.轴对称与中心对称：已知点P（x，y） （1）点P关于x轴对称的点的坐标（x，-y）；（2）点P关于y轴对称的点的坐标（-x，y）． （3）点P关于原点的对称点为（-x，-y）． 【典例】1．（2025·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：点关于轴的对称点的坐标为，故选：． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点位于哪个象限？（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】解：点关于原点的对称点为，在第二象限，故选：B． 【变式】2．（2025·成都·校考一模）在平面直角坐标系中，已知点在第二象限，下列结论错误的是（   ） A． B．点关于轴的对称点的坐标为 C．点到两坐标轴的距离之和等于 D．点向上平移个单位，再向左平移个单位后所得点 的坐标为 【答案】D 【详解】解：、∵点在第二象限， ∴，解得：，原选项正确，不符合题意； 、∵点，∴点关于轴的对称点的坐标为，原选项正确，不符合题意； 、∵点在第二象限，∴点到轴的距离等于，点到轴的距离等于， ∴点到两坐标轴的距离之和等于，原选项正确，不符合题意； 、∵点，∴点向上平移个单位，再向左平移个单位后所得点的坐标为，即，原选项错误，符合题意；故选：． 【变式】3.（2025·安徽芜湖·三模）如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，为格点（网格线的交点）三角形． (1)将先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得，画出平移后的； (2)画出关于轴对称的；(3)用无刻度直尺在边上作一点，使（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析． 【详解】（1）如图，即为所求 （2）如图，即为所求 （3）如图，在的右侧作，且，连接交于点，此时为等腰直角三角形， ，即，则点即为所求． ►题型04 几何图形中的坐标问题 先“翻译”后计算‌：看到几何条件（如“高线”、“中线”），立刻转化为坐标语言（方程），把几何问题变成代数问题。 善用对称性‌：如果图形关于x轴、y轴或原点对称，点的坐标有固定关系（如符号相反），能减少未知数。 分类讨论‌：有些题点的位置不确定（如在坐标轴上），要‌分情况讨论‌，别漏解。 验证不可少‌：算出坐标后，‌代回原方程或检查几何关系‌，确保答案正确。 ‌利用几何性质构造方程是核心技巧。把几何条件（如垂直、中点、长度）变成代数方程。 ‌中点‌：坐标取平均数；‌长度相等‌：用距离公式。 【典例】1（25-26九年级上·四川成都·校考期末）如图，中，点的坐标为，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，，是边上的中线，若，则点的坐标是 【答案】 【详解】解：如图，过作于，∴， ∵点的坐标为，，∴，， ∵，∴，∴， ∵，，是边上的中线，∴，点是的中点即， ∴，∴，即点是的中点，∴是的中位线，∴， ∵，，∴，∴， ∴点的坐标是．故答案为：． 【变式】1．（2025·成都·三模）如图，在平面直角坐标系中，菱形中的边落在轴的负半轴上，若轴，对角线、交于点，若点的坐标为．则点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：如图，延长交轴于点，四边形是菱形，，， 轴，点的坐标为，，点的坐标为，，， 设，则，在中，由勾股定理得：， 即，解得：，，点的坐标为，故答案为：． 【变式】2．（25-26九年级上·成都·期中）平面直角坐标系第一象限中，已知的顶点坐标分别为，，，则此三角形的重心G的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，设，的中点分别为，，连接、、相交于G，连接， ∴，，∴，∴，∴，∴， ∵，，，∴，∴即， 故答案为：． 【变式】3．（2025·四川成都·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，正六边形的中心为坐标原点O，点B，点E均在x轴上，若点A的坐标为，则点D的坐标为 ． 【答案】 【详解】∵正六边形是中心对称图形，且对称中心为坐标原点O，∴点A与点D关于原点对称， ∵点A的坐标为，∴点D的坐标为，故答案为：． ►题型05 图形变换中的坐标问题 分步处理‌：复杂变换（如“先平移后旋转”）拆解成单步变换，一步步来。 抓住不变量‌：平移和旋转‌不改变图形的形状和大小‌，对称变换‌保持图形全等‌，这是验证答案的依据。 优先选特殊点‌：解题时先关注图形的‌顶点、端点‌等关键点，算出它们变换后的坐标，图形位置就确定了。 分类讨论‌：变换后有些题点的位置不确定，可能需要‌分情况讨论‌，别漏解。 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，为边上一点，，沿折叠正方形，折叠后，点落在平面内的点处，则点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：过点作，如图所示： 四边形是正方形，点的坐标是，，， ，，由折叠的性质可得：，，，在中，根据勾股定理得， ，即点的坐标为，故答案为：． 【典例】2．（2025·成都·校考二模）如图在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，．把绕点逆时针旋转使与轴重合得到，则点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：如下图所示，过点作，过点作，， 点的坐标是，，，由旋转可知，， ，，在和中，， ，，，点的坐标为．故答案为：． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点，C 是x轴正半轴上一点，连接，将绕点A逆时针旋转得到，连接．当时，点C的坐标为 。 【答案】 【详解】解：如图，连接，点， ， ， 在中，， ， ，， 将绕点A逆时针旋转得到，，， ∴点D在上，且D是 的中点，， ，是的垂直平分线，， ，，延长交x轴于点， 则是的垂直平分线， ，点C与点重合， ， ，，当时，点C的坐标为．故答案为：． 【变式】2．（2025·河南·模拟预测）如图，菱形的边在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，，两点的坐标分别为，，作射线，将菱形沿射线平移，当点落在轴上时，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，两点的坐标分别为，， ∴，∴，∴， ∵菱形，∴，平分，∴， ∴，，∴， ∴，在中，， ∴，∴，∵，两点的坐标分别为，， ∴点向右平移3个单位，向下平移到点， ∴点向右平移3个单位，向下平移得到，故选：C． 【变式】3．（2025·成都·三模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形为矩形，，，将矩形绕点O逆时针旋转得到矩形，延长交、的延长线于点N、M，若，则点N的坐标为 【答案】或 【详解】①当M在右侧时，过点N作，垂足为R， ∵四边形、为矩形，∴， 在和中∴∴， 设，则，，， 在中，，则，解得（负解舍去），则． ∴，而点N在第二象限，则横坐标为， ∴点N的坐标为； ②当M在的左侧时，过点M作，垂足为R，同理可得：，， ∴，∴， 在和中∴∴， 设，，在中，根据勾股定理，， 即，得（负解舍去）∴，且N在第二象限， ∴点N的坐标为综上所述，点N的坐标为或． 命题点二 函数的基础知识 ►题型01 自变量与函数值的取值（范围） 确定函数自变量取值范围的方法： 1）函数解析式为整式时，字母取值范围为全体实数； 2）函数解析式含有分式时，分式的分母不能为零； 3）函数解析式含有二次根式时，被开方数大于等于零； 4）函数解析式中含有指数为零的式子时，底数不能为零； 5）实际问题中函数取值范围要和实际情况相符合，使之有意义. 函数值：若在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，则b叫做当自变量为a时的函数值. 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）已知函数，当时，；当时，．那么，当时，的值为（   ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】C 【详解】解：∵ ，设 ，则 ， 当 时，，，∴ ①； 当 时，，，∴ ②． ② － ① 得：， ∵ ，∴ ，∴ ． 代入①：， ∴ ． 当 时，，∴ ． ∵ ，∴ ． 计算： ．∴ ，故选：C． 【典例】2．（2025·成都·校考三模）函数中，自变量x的取值范围是   ． 【答案】 【详解】解：根据题意得到：，解得．故答案为：． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）函数 中自变量x的取值范围是 ． 【答案】且 【详解】解：由题可得，解得且，故答案为：且． 【变式】2．（2025·成都·二模）已知，那么 ． 【答案】 【详解】解：将代入得：．故答案为：． 【变式】3．（2025·浙江杭州·模拟预测）设函数，若，则的取值范围为 ． 【答案】或 【详解】画出函数的图像如图： 由图像可以看出当时，，当时，，∴当时， 则的取值范围为或．故答案为：或． ►题型02 实际问题中的函数图象分析 根据实际情况或实物图，分析关键的图象变化点，通过对比函数图象得出选项即可。 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）家用热水器在使用过程中通常会经历加热、保温、断电的过程，如图是某家用热水器1小时内水的温度随时间的变化图象，设表示从第0分钟到第分钟热水器内水的平均温度，则随的变化图象大致是（　　） A．B．C．D． 【答案】D 【详解】解：加热过程，随的增大而增大，平均温度应低于，保温过程、随的增大而逐渐降低，降低速度较慢，断电过程随的增大而逐渐降低，降低速度较快，据此，只有D符合题意．故选：D． 【变式】1．（2025·四川成都·模拟预测）把一个长方体铁块放在如图所示的圆柱形容器内，现按一定的速度向容器内均匀注水，后将容器内注满．那么容器内水面的高度h(单位：)与注水时间t(单位：s)之间的函数关系图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因为长方体铁块放置在圆柱形水槽容器内，向容器内按一定的速度均匀注水，60秒后将容器内注满，且长方体是均匀的，所以初期的图像应是直线，当水越过长方体后，注水需填充的体积变大，且此时水面上升的高度也是随时间均匀升高，因此此时的图像也是直线，但水面上升的速度比开始时要慢，因此四个选项中只有D选项符合题意．故选：D． 【变式】2．（2025·成都·二模）如图，烧杯中装有适量溶液，向烧杯中不断滴入稀盐酸后，烧杯中的溶液的值变化情况用图象可近似表示为（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【详解】解：选项A：从小于7开始上升，不符合初始碱性的情况，排除． 选项B：始终不变，不符合中和反应的变化，排除． 选项C：从大于7开始，逐渐减小至小于7，符合上述变化规律． 选项D：最终稳定在7，不符合盐酸过量后呈酸性的情况，排除．故选C． 【变式】3．（2025·成都·二模）如图所示的是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，则容器中水面的高度随时间变化的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：该三视图表示的容器上面是圆台，上面细，下面粗，圆台下面是圆柱，随着时间的增加，水面高度逐渐增加，开始时是匀速增加。上面细，高度增加得越来越快，即B选项符合题意．故选B． ►题型03 从函数图像中提取信息 1.看坐标轴，明确变量意义‌： 先看横轴（x）和纵轴（y）分别代表什么（比如时间、距离），这是理解图像的基础。 2.抓关键点，提取数值信息‌： 与坐标轴交点‌：x轴交点表示y=0时的解，y轴交点表示x=0时的函数值。 顶点、转折点‌：最高点或最低点对应函数的最大值或最小值，转折点表示变化趋势改变。 与其他图像交点‌：交点的坐标是两个函数共同的解。 3.读趋势，理解变化规律‌： 上升/下降‌：图像上升表示函数值随自变量增加而增大，下降则减小。 水平线段‌：表示函数值不随自变量变化而变化。 曲线形状‌：抛物线开口向上（a>0）或向下（a<0）。 【典例】1．（2025·成都·三模）为提高学生身体素质，某校在假期期间布置给学生每日进行跑步训练的作业，甲乙两名同学相约某日一起去体育场训练，两人同时同地起跑，同一终点汇合，他们离开起点的路程（米）与甲跑步时间（分钟）对应关系如图所示，已知乙同学全程速度不变，甲同学3分钟以后的速度为260米/分钟．下列说法：①起跑后1分钟内甲同学的速度为360米/分钟；②前2分钟两名同学都跑了520米；③两人跑步训练的路程为1000米；④乙比甲提前30秒到达终点．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】①米/分钟，故①错误； ②由图象可得，甲，乙交于点；∴前2分钟两名同学都跑了520米，故②正确； ③米，故③错误；④起跑后1分钟时甲同学的路程为米 ∴1分钟到3分钟时，甲同学的速度为米/分钟 ∴3分钟时，甲同学的路程为米 ∴3分钟到甲到达终点的时间为分钟 ∴分钟秒，故④正确．综上所述，其中正确的个数有2个．故选：B． 【典例】2．（2025·四川成都·模拟预测）“双十一”期间，某网店开展了促销活动，购买原价超过300元的商品，超过300元的部分可享受打折优惠．如果购买的商品实际付款（元）与原价（元）之间的函数关系如图所示，则超过300元的部分可享受的打折优惠是（   ） A．打八折 B．打七折 C．打六折 D．打五折 【答案】A 【详解】解：设超过300元的部分可享受的打折优惠打折，那么 代入，得解得，即打八折，故选：A． 【变式】1．（2025·河南·中考真题）汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（   ） A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 B．当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C．要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不低于 D．若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小 【答案】C 【详解】解：A、由图象可知，当时，，即汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为，原说法正确，不符合题意； B、由图象可知，当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小，原说法正确，不符合题意； C、要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不高于，原说法错误，符合题意； D、由图象可知，当时，；当时，，即车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小，原说法正确，不符合题意；故选：C 【变式】2．（2025·成都·二模）某太阳能充电站在晴天和多云天气下的充电功率不同，如图是该充电站某日为电动汽车充电时，电池储能率（储能率）随充电时间（小时）变化的函数图象（前2小时为晴天，充电速率快，后1小时转为多云，充电速率降低），则下列说法错误的是（ ） A．本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量 B．本次充电持续时间是2小时，充电结束时汽车电池储能率达到了 C．本次充电持续时间是3小时，充电结束时汽车电池储能率提高了 D．若电池总容量为100千瓦时，本次共为电动汽车充电能75千瓦时 【答案】B 【详解】解：A、由函数图象可知，充电时间为0时，电池储能率的值为，即此时汽车电池内仅剩的电量，原说法正确，不符合题意； B、本次充电持续时间是3小时，充电结束时汽车电池储能率提高了，原说法错误，符合题意； C、本次充电持续时间是3小时，充电结束时汽车电池储能率提高了，原说法正确，不符合题意； D、充电结束时汽车电池储能率提高了，若电池总容量为100千瓦时，本次共为电动汽车充电能千瓦时，原说法正确，不符合题意；故选：B． 【变式】3．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在长方形中，是边上一点，且，，点从点出发，沿折线匀速运动，运动到点停止．点的运动速度为，运动时间为，的面积为，与之间的关系图象如图，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．当时， 【答案】A 【详解】解：由题图可得出当点 运动到点 且在 上运动时，面积最大，结合题图可知，此时，面积最大为，从点到点用了， .此时，，即， ， 当点 从点 运动到点时，所用时间为，，故A正确； 点 运动完整个过程需要的时间，，故B错误； ，故C错误； 当 时，点 运动的路程为，此时， 此时的面积，故D错误．故选：A． 命题点三 一次函数的图象与性质 ►题型01 一次（正比例）函数的图象辨析 一次函数‌：形式为 y = kx + b（k ≠ 0）的函数，其图像是‌一条直线‌。 正比例函数‌：是特殊的一次函数，形式为 y = kx（k ≠ 0，b = 0），其图像也是一条直线，但‌一定经过坐标原点 (0, 0)‌。 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，函数和（为常数，且）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：当时，正比例函数的图象上y的值随x值的增大而增大， 一次函数的图象过第一、二、三象限，故A，B，C选项不符合题意； 当时，正比例函数的图象上y的值随x值的增大而减小， 一次函数的图象过第一、二、四象限，故D选项符合题意．故选：D． 【变式】1．（2025·四川甘孜州·中考真题）函数的图象为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：函数为一次函数，其图象是一条直线，可通过求与坐标轴的交点判断选项．   令，则，解得，即函数与x轴的交点为；   令，则，即函数与y轴的交点为； 观察图像，只有A选项与计算结果匹配．故选：A． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）如图，若直线经过第一、三、四象限，则直线的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：直线经过第一、三、四象限，，，， 直线的图象经过一、二、三象限．故选：A． ►题型02 一次函数经过的象限与系数之间的关系 看斜率 k‌： k > 0 时，直线从左下向右上倾斜，必过‌第一、三象限‌； k < 0 时，直线从左上向右下倾斜，必过‌第二、四象限‌。 看截距 b‌： b 的符号决定了直线与 y 轴的交点在正半轴还是负半轴，从而影响经过的象限。 b > 0‌：交 y 轴正半轴，图像‌向上平移‌，可能经过第一、二象限。 b = 0‌：过原点，图像经过原点。 b < 0‌：交 y 轴负半轴，图像‌向下平移‌，可能经过第三、四象限。 【典例】1．（2025·四川成都·校考三模）如果函数的图象经过第二、三、四象限，那么应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：函数的图象经过第二，三，四象限，．故选：B． 【典例】2．（2025·成都·模拟预测）正比例函数的图象经过点，则一次函数的图象不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】解：把代入正比例函数，解得：， 把代入一次函数，∴一次函数解析式为， ∴一次函数经过第一、二、三象限，不经过第四象限故选：D 【变式】1．（2025·四川成都·模拟预测）若一次函数的图象不经过第一象限，则m的取值范围为 ． 【答案】 【详解】∵一次函数的图象不经过第一象限﹐，．故答案为． 【变式】2．（2025·四川成都·模拟预测）已知点在一次函数的图象上，则一次函数的图象经过第 象限． 【答案】一、二、三 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴．解得．∴一次函数的表达式为． ∵，，∴一次函数的图象经过第一、二、三象限．故答案为：一、二、三． 【变式】3．（2025·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，若一次函数经过一、三、四象限，则k的取值范围是 ． 【答案】/ 【详解】解：∵一次函数经过一、三、四象限， ∴，∴，即k的取值范围是，故答案为：． ►题型03 一次函数的增减性与系数之间的关系 一次函数 y = kx + b 的增减性由‌斜率 k‌ 决定： k > 0‌：函数值随 x 增大而‌增大‌，图像从左向右‌上升‌。 k < 0‌：函数值随 x 增大而‌减小‌，图像从左向右‌下降‌。 记忆技巧‌：想象“k”是“快”的拼音首字母，k>0时“向上快跑”，k<0时“向下快跑”。 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）若函数（m为常数，且）是正比例函数，且y随x的增大而减小，则一次函数与y轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵函数（m为常数，且）是正比例函数，且y随x的增大而减小， ∴，∴，∴一次函数的解析式为， 在中，当时，，∴一次函数与y轴的交点坐标为，故选：C． 【典例】2．（2025·成都·模拟预测）下列函数中，当时，y值随x值的增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、二次函数的图象，开口向上，并向上无限延伸，在y轴右侧（时），y随x的增大而增大；故本选项错误； B、一次函数的图象，y随x的增大而增大；故本选项错误； C、正比例函数的图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；故本选项错误； D、反比例函数中的，所以y随x的增大而减小；故本选项正确；故选：D． 【变式】1．（2025·四川成都·模拟预测）已知一次函数的图象经过点，且y随x的增大而减小，请写出一个符合条件的一次函数解析式 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：一次函数的图象经过点，， y随x的增大而减小，，令，则，解得， 一次函数的解析式为．故答案为：． 【变式】2．（2025·四川广安·中考真题）已知一次函数，当时，y的值可以是 ．（写出一个合理的值即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：当时，，∴的值可以是，故答案为：（答案不唯一）． ►题型04根据增减性比较函数值 如果函数在某区域内y随x的增大而增大‌，自变量大的函数值就‌大‌。 如果函数在某区域内y随x的增大而减小‌，自变量大的函数值就‌小‌。 【典例】1．（2025·四川成都·二模）若点，都在函数的图象上，则 （填“”或“”）． 【答案】 【详解】解：函数中，，随的增大而增大， ，．故答案为：． 【典例】2．（2025·四川成都·模拟预测）已知点在一次函数的图象上，当时，，则实数的值可以是 ．（只需写出一个符合条件的实数即可） 【答案】 【详解】解：∵点在一次函数的图象上，当时，， ∴y随x的增大而减小，∴，∴的值可以是．故答案为：（答案不唯一） 【变式】1．（2025·四川成都·一模）点和点在直线上，则m与n的大小关系是 ． 【答案】/ 【详解】解：直线中，，此函数随着的增大而增大， ，．故答案为：． 【变式】2．（2025·安徽·模拟预测）若点，在函数的图象上，且，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，y随x的增大而减小， ∵，∴，，，故A选项错误，C选项正确； 不能判断，故B、D选项错误；故选C． 【变式】3．（2025·四川成都·一模）如图，直线不经过第三象限，若点在该直线上，且的大小关系为 ，则的大小关系为 ． 【答案】 【详解】解：直线不经过第三象限，，随x的增大而减小， ，，故答案为：． ►题型05 一次函数最值（范围）问题 1、确定函数与区间‌：明确一次函数表达式 y = kx + b 和自变量 x 的取值范围 [m, n]。 2、判断单调性‌：观察 k 的符号（若无法辨别，则需要分类讨论）。 3、计算端点值‌：代入 x = m 和 x = n 计算 y。 4、比较得最值‌：根据单调性直接判断最大值和最小值。 【典例】1．（2025·成都·三模）已知一次函数，当时，的最大值是，则的最小值是 ． 【答案】1或 【详解】解：当时，一次函数中，y随x的增大而增大， 当时，的最大值是，，此时，即 当时，一次函数有最小值，最小值为； 当时，一次函数中，y随x的增大而减小， 当时，的最大值是，，此时，即 当时，一次函数有最小值，最小值为；综上所述，的最小值是1或；故答案为：1或． 【变式】1．（2025·成都·三模）对于实数，，我们定义符号的意义为：当时，．当时，；如：，，若关于的函数为．则该函数的最小值为 ． 【答案】2 【详解】解：当，即：时，， ∵，∴随着的增大而增大，∴当时，有最小值为：； 当，即：时，，∴随着的增大而减小， ∵当时，，∴当时，，故该函数的最小值为2；故答案为：2． 【变式】2．（2025·成都·校考一模）已知一次函数，当时，函数有最小值，则k的值为 【答案】5或 【详解】解：当时，函数y随x的增大而增大， ∴当时，，∴，解得：； 当时，函数y随x的增大而减小， ∴当时，，∴，解得：；∴k的值为5或．故答案为：5或． 【变式】3．（2025·成都·一模）已知一次函数，当时，对应的y值为，则b的值为 【答案】或 【详解】解：当时，由一次函数的性质知，y随x的增大而增大， 所以得，解得，即； 当时，y随x的增大而减小， 所以得，解得，即．故答案为：或． ►题型06 一次函数与方程、不等式的关系 1）一次函数与一元一次方程 从函数图象的角度考虑，解这个方程就是确定直线y=kx+b与x轴的交点的横坐标． 2）一次函数与一元一次不等式 从函数的角度看，解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件。 3）一次函数与二元一次方程组 从函数图象的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标。 【典例】1．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，一次函数经过点，与轴交于点，与正比例函数交于点，则下列结论正确的是（    ）（多选题） A． B．为的中点 C．方程的解是 D．当时， 【答案】BD 【详解】解：、根据图象可知，，，∴，原选项不符合题意； 、∵一次函数经过点，点，∴，解得：， ∴一次函数解析式为， 当时，，∴，∴，， ∴，∴为的中点，原选项符合题意； 、方程的解是，原选项不符合题意； 、当时，，原选项符合题意；故选：． 【典例】2．（2025·成都·校考二模）如图，直线与相交于点，则不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵直线与相交于点，点A的纵坐标为3， ∴将代入中，得，则，∴， 由图象得，不等式的解集是，故选：B． 【变式】1．（2025·成都·校考一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（   ） A．随的增大而减小 B． C．当时， D．关于x,y的方程组的解为 【答案】C 【详解】解：A、随的增大而减小，故选项A正确，不符合题意； B、由图象可知，一次函数的图象与轴的交点在的图象与轴的交点的上方，即，故选项B正确，不符合题意； C、由图象可知：当时，，故选项C错误，符合题意； D、由图象可知，两条直线的交点为， ∴关于，的方程组的解为，故选项D正确，不符合题意．故选：C． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）如图，直线和与x轴分别相交于点，点，则解集为（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】解：∵直线和与x轴分别相交于点，点， ∴观察图像可知解集为，故选：B． 【变式】3．（2025·山东临沂·二模）在同一直角坐标系中，一次函数，的图象如图所示，则以下结论：①随x的增大而减小；②；③当时，；④方程组的解为．其中正确的为 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【详解】解：由图可知，随的增大而减小，故①符合题意； 由图象可知，一次函数与y轴的交点在的上方，即，故②符合题意； 把代入，得，解得， 故与的交点为，令，则解得， 即与轴的交点为， 由图象可知：当时，则，故③不符合题意； 由图象可知，两条直线的交点为， ∴关于，的方程组的解为，故④符合题意．故答案为：①②④ ►题型07 一次函数与图形变换 【典例】1．（25-26九年级上·成都·校考期末）如图，直线与轴、轴分别交于，两点，把绕点按逆时针旋转后得到，则点的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：直线与轴、轴分别交于，两点， 令，得，解得，令，得， 点的坐标为，点的坐标为，，． 根据旋转的性质，可知：，， 点的坐标为，点的坐标为．故答案为： 【典例】2．（2025·成都·三模）如图，将置于第一象限内，一次函数的图象经过中点，将沿射线平移，当点的对应点与点M重合时，则点A的对应点坐标为 ． 【答案】 【详解】解：∵一次函数的图象经过中点， ∴把代入，得，∴， ∵，且是的中点，∴，∴，∴点A的坐标为 ∵将沿射线平移，点的对应点与点重合， ∴平移规律是向左平移个单位，向下平移个单位， ∵点A的坐标为，故，即点A的对应点坐标为，故答案为：． 【变式】1．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，沿x轴向右平移后得到，点A的对应点在直线上一点，则点A与其对应点之间的距离为 ．    【答案】4 【详解】解：连接，如图所示，根据平移可知：，且轴．    当时，，解得：，∴点的坐标为， 又∵点A的坐标为，∴．故答案为：4． 【变式】2．（2026·成都·模拟预测）如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，把绕着直线AB翻折后得到，则点的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：直线与轴交点，，令，得， 解得，故，令，得，故， 由翻折，得，且是的垂直平分线 设，由，得;由，得; 联立方程：，展开并化简得：，代入其中一个方程，解得．故答案：． 【变式】3．（2025·四川成都·一模）如图，已知，直线l：经过点，点O关于直线l的对称点落在三角形内（不含边界），则b的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：如图，设直线l：经过的点为点M，则 ∵点与点关于直线l对称，∴；∴点在以点M为圆心，的长为半径的上． 当点在上时，设过点，的直线的解析式为， ∴，解得，∴直线的解析式为， ∵点在线段上，∴设点的坐标为， ∵， ∴，∴，（舍去）∴， 连接，交直线l于点N，则点N是的中点，∴， ∵直线l：过点，，∴，解得． 当点在上时，可得过点，的直线的解析式为， ∵点在线段上，∴设点的坐标为，∵， ∴， ∴，（舍去）∴，∴的中点N的坐标为， ∵直线l：过点，，∴，解得． 综上，点落在三角形内（不含边界），b的取值范围是．故答案为：． ►题型08 一次函数与实际应用 审题与变量定义‌：先圈出变化量和不变量，明确自变量（x）和因变量（y）。注意单位统一和隐含条件（比如起步价）。 确定函数关系‌：抓住"变化率恒定"这个关键。k是单位变化率（比如速度、单价），b是初始值（比如固定成本、起点距离）。 建立与求解模型‌：用待定系数法，代入两组已知数据解方程组求k和b。分段问题要分区间讨论。 最值问题需要结合函数的增减性和自变量的取值范围给出最优解。 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为120万立方，原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工．由于特殊情况，公司抽调甲队外援施工，先由乙队先单独施工20天后甲队返回，两队又共同施工了60天，甲、乙两队共完成土方量108万立方，这时乙队因故暂时停止施工，由甲队单独完成剩余部分，甲、乙两队共同完成的土方量y万立方与工作的时间x天的函数关系如图所示．(1)乙队每天完成土方量多少万立方；(2)若该公司预计工期100天，甲队能否按期完成剩余部分？(3)当时，求甲、乙两队共同完成的土方量y万立方与工作的时间x天的函数关系式； (4)当甲、乙两个工程队共同完成土方量100万立方时，甲、乙两个工程队哪个队完成的土方量多，多多少？ 【答案】(1)0.6万立方(2)能按期完成，见解析(3)(4)甲多，多10（万立方） 【详解】（1）解：由图象知：乙队20天完成了12万立方，则乙队每天完成：（万方）； 答：乙队每天完成土方量万立方； （2）解：能按期完成；理由如下： 甲队单独完成剩余部分为（万立方）；两队60天完成了（万立方）， 则甲队每天完成的土方量为：（万立方）， 甲完成剩余土方的时间为（天），而（天）（天）； 所以能按期完成剩余部分； （3）解：当时，函数图象为线段，设函数解析式为； ∵函数过点，∴，解得：，∴函数解析式为； （4）解：对于，当时，解得； 甲完成土方量为：（万立方），乙完成土方量为：（万立方），（万立方）；答：甲比乙完成的土方量多，多10万立方． 【典例】2．（2025成都·模拟预测）某种植物生长的高度可以分为三个主要阶段：幼苗期、营养生长期和成熟期（即开花结果期）．已知每个阶段这种植物的平均高度（）与生长时间（天）之间的函数图象如图所示．(1)前天，这种植物平均每天长高___________；(2)当时，求与之间的函数表达式；(3)当该植物的高度为时，求该植物生长的天数． 【答案】(1)(2)(3)当该植物的高度为时，该植物生长的天数是天 【详解】（1）解：前天，图象为过原点的线段，可设为， ∵当时，，∴，解得：，∴， ∴前天，这种植物平均每天长高 ； （2）设与之间的函数表达式为，将和代入， 得，解得，∴与之间的函数表达式为． （3）当时，，解得， ∴当该植物的高度为时，该植物生长的天数是天． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）甲，乙两家商店出售品质相同的樱桃，甲商店的樱桃价格为元千克，无优惠；乙商店的樱桃价格为元千克，若一次购买千克以上，超过千克部分的樱桃价格打折． (1)设购买樱桃千克，(单位：元)分别表示顾客到甲，乙两家商店购买樱桃的付款金额，求关于的函数关系式；(2)甲、乙两家水果店均按以上销售方式推出售价为元的樱桃礼盒，若只考虑重量因素，选择在哪家水果店购买樱桃礼盒更合算？ 【答案】(1)，(2)选择在乙水果店购买樱桃礼盒更合算 【详解】（1）解：当时，，， 当时，关于的函数关系式为，关于的函数关系式为． （2）当时，得，解得， 当时，得时，解得， ，选择在乙水果店购买樱桃礼盒更合算． 【变式】2．（2025·四川成都·模拟预测）“五一”前夕，某超市销售一款商品，进价每件75元，售价每件140元，每天销售40件，每销售一件需支付给超市管理费5元．从5月1日开始，该超市对这款商品开展为期一个月的“每天降价1元”的促销活动，即从第一天（5月1日）开始每天的售价均比前一天降低1元．通过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与第x天（，且x为整数）之间存在一次函数关系，x，y之间的部分数值对应关系如下表： 第x天 5 10 15 20 日销售量y（件） 50 60 70 80 (1)直接写出y与x之间的函数关系式______________； (2)设第x天的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)(2)5月20日利润最大，最大利润为3200元 【详解】（1）解：观察表格可知，y是x的一次函数；设，把，代入， 得；解得；∴y与x之间的函数关系式为． （2）根据题意可得， ， ∵，，∴当时，W有最大值为3 200， ∴5月20日利润最大，最大利润为3 200元． 【变式】3（2025·四川成都·模拟预测）每年春运的腊月二十至正月初七这18天（包含腊月二十和正月初七这两天，默认农历腊月为三十天）都会对航空公司的某条热门航线造成航运压力．今年航空公司对该航线下午起飞的机票进行价格调整：票价（元/张）与腊月二十始第x天的函数关系如图所示，据历年的平均数据搭乘该航班的人数与x满足函数关系． (1)求票价与x之间的函数表达式；(2)试估算该航班这18天期间哪一天的收入最高？最高收入是多少？ 【答案】(1)取整数；(2)第10天的收入最高，最高收入是576000元 【详解】（1）解：当时，设，把代入 由图象得，解得 ∴与x之间的函数表达式是（取整数）， 当时，设，由图象得，解得 ∴与x之间的函数关系是（取整数）， 综上所述，与x之间的函数表达式是取整数； （2）解：设该航班的收入W， 当0≤x≤10时，W与x之间的函数表达式为 ∵，函数图象的对称轴为直线， ∴时，W随x的增大而增大， ∴当时，W取得最大值，最大值为元； 当时，W与x之间的函数表达式为 ∴W随x的增大而增大，∴当时，W取得最大值，最大值为280000元． ∵，∴估算该航班这18天期间第10天的收入最高，最高收入是576000元． 突破一 坐标系与一次函数中的规律探究 【典例】（2025·成都·模拟预测）如图，已知直线，直线和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点按此作法进行下去，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，点在直线上，，轴，点的纵坐标为1， 点在直线上，，解得，，即点的横坐标为， 同理，点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为， 点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为， ，点的横坐标为，点的纵坐标为， 轴，点的纵坐标为， 点在直线上，点的横坐标为．故选：D． 【变式】1．（2025·成都·二模）已知，直线与x轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作x轴的平行线与直线l交于点，与y轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方），以同样的方式依次作等边三角形，等边三角形…，则点的横坐标为 ． 【答案】 【详解】解：∵直线与轴交于点， 令，，则，∴点坐标为，， 过，作轴交轴于点轴交于点，交轴于点， ∵为等边三角形，∴，∴， ∴，∴， 当时，，解得：，∴， ，，， ∴当时，，解得：，∴；而， 同理可得：的横坐标为，∴点的横坐标为，故答案为：． 【变式】2．（2025成都·校考二模）正方形按照如图的方式摆放，点在直线上，点在轴上，则点的坐标为 ． 【答案】/ 【详解】解：∵点在直线上，点在轴上，且为正方形， 当时，，∴，，； 当时，，∴，，； 当时，，∴，，；； ∴，∴，故答案为：． 突破二 一次函数与新定义、跨学科问题 【典例】（2025四川成都·三模）对于平面直角坐标系中的点P和线段，其中、两点，有如下定义：若在线段上存在一点Q，使得P，Q两点间的距离小于或等于1，则称P为线段AB的“附庸点”．在点，，中，线段的“附庸点”是 ；在直线上存在线段的“附庸点”M，N，且，则b的取值范围是 ． 【答案】 ， 【详解】解：∵、，∴到线段最短距离为， 到线段最短距离为，到线段最短距离为， ∴线段的“附庸点”是，；设，，不妨设， ∵，∴，∴， ∴，，∴M，N的纵坐标之差为2，横坐标之差为1， ∵直线上存在线段的“附庸点”M，N，∴M的纵坐标最小值为，N的纵坐标最大值为1， ∴当直线经过时，b取最大值，此时，∴； 当直线经过时，b取最小值，此时，∴； ∴b的取值范围为．故答案为：，；． 【变式】1．（2025·上海·模拟预测）化学反应“氢氧化钙和二氧化碳反应”（化学方程式：）中，参与反应的的质量x和生成的得质量y的函数关系式为，那么下列说法中错误的是（   ） A．该反应消耗了二氧化碳，有助于缓解温室效应 B．参与反应的的质量和生成的成正比例关系 C．每消耗74克的，就会生成100克的 D．每消耗50克的，就会生成37克的 【答案】D 【详解】解：A． 该反应消耗了二氧化碳，有助于缓解温室效应，说法正确，不符合题意； B．由，则y与x成正比例，即参与反应的的质量和生成的成正比例关系，正确，不符合题意； C和D．由可得，则每消耗74克的，就会生成100克的，即C正确，不符合题意；D错误，符合题意．故选D． 【变式】2．（2025·四川成都·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，若点满足，则称点为“积和点”．例如：，就是“积和点”．若直线上所有的点中只有唯一一个“积和点”，则 ． 【答案】0或4 【详解】解：设直线上所有的点中唯一一个“积和点”为点，依题意得：， 代入得：，整理得：， 由点是唯一一个“积和点”可知：，解得：，．故答案为：0或4． 【变式】3．（2025·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，对于点，我们称直线为点的相关直线．例如，点的相关直线为．已知点，点．点为直线上的动点．以为圆心，6为半径作圆．在点运动过程中，当点的相关直线与圆交于，两点时，的最小值为8，则的值为 ． 【答案】或 【详解】解：设直线的解析式为：，把点，点代入得： ，解得：，∴直线的解析式为：， 设点M的坐标为，∴点M的关联直线为， ∴点M的关联直线经过定点； 如图所示，过点C作于H，连接，则， ∴，∴要想最小，则要使最大， ∵的最小值为8，即的最小值为4，∴， 当点H与点重合时，最大，∴， ∴，∴，∴， 解得或．故答案为：或 突破三 一次函数与几何图形、几何最值综合问题 【典例】（2025·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线经过点B交x轴于点C，且． (1)求的表达式；(2)点D是直线上的一个动点，连接，当时，求点D的坐标； (3)点E是线段上的一个动点，点F为x轴上一点，且，当最小时，求的值． 【答案】(1)(2)或．(3) 【详解】（1）解：∵直线交x轴于点A，交y轴于点B， ，，，，， ，，，设的表达式为过点B、C ，解得：的表达式为． （2）解：如图，在x轴上取点、，使，，过点、作，交直线于点D． 设直线为，直线为， 代入，代入，得：， 为，为 联立和可得：，解得：，坐标为， 联立和可得：，解得：，坐标为 D的坐标为或． （3）解：如图：过点C作于点G，取点G使得， 此时，，， 由勾股定理得：，， ，，，即， 当B、F、G三点共线时，有最小值． 如图：过点G作轴于点H，轴于点K，， ，，即， ∴，，，， 由待定系数法可得：直线的解析式为：，， ，． 【变式】1．（2025·成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线上，且点A的横坐标是1，过点A作轴于点D，以为边作正方形，连接，若直线与围成的阴影三角形的面积为，则下列结论正确的是（    ） A．m的值为 B．正方形的边长是 C．的面积是 D．直线的解析式是 【答案】D 【详解】解：依题意得：，，当时，，∴， ∴在正方形中，，∴， 设直线的解析是，将点B的坐标代入得：，解得：， ∴直线的解析是当时，，即：，∴， ∴直线与围成的阴影三角形的面积为：， 解得：(舍去)，∴m的值为2，正方形的边长是2，直线的解析式是，， ∴，∴的面积是，∴选项A、B、C错误，选项D正确，故选：D． 【变式】2．（2025·广东广州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则d的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：依题意，将直线向上平移d个单位长度后得 ∵点，点，且直线向上平移d个单位长度后与线段有交点， ∴把代入得，解得；把代入得，解得；则，故选：D． 【变式】2．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点是直线上第一象限的点，点的坐标是， O是坐标原点，的面积为S，则S关于x的函数关系式是 ．    【答案】 【详解】解：把代入，，解得：， 即点在第一象限，且在直线的横坐标的取值范围是：， 点到的距离为：，线段的长度为：4，， 即关于的函数关系式是．故答案为：． 【变式】3．（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数分别交轴，轴于点，，点是直线上一动点，连接，则线段的最小值为 ．    【答案】 【详解】解：∵一次函数分别交轴，轴于点，， 当时，，解得：，则 当时，，则，∴∴ ∵点是直线上一动点，连接，当时，最小， 此时∴故答案为：． 【变式】4．（2025·成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，点、，点C在x轴上运动，点D在直线上运动，则四边形周长的最小值是 ．    【答案】/ 【详解】解：作关于的对称点，作关于x轴的对称点，连接，交于点，交 x轴于点，两点之间线段最短，即最短，由轴对称的性质得到，，    四边形周长的最小值为，即为， 点、，，， ， 四边形周长的最小值是，故答案为：． 1．（2025·成都·模拟预测）已知M点关于x轴的对称点是第三象限内的整点（横、纵坐标都为整数的点，称为整点），则M点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵点是第三象限内的整点， ∴，解得：，∴，∴， ∵点M与点N关于x轴对称，∴；故选B． 2．（2025·成都·模拟预测）已知一次函数（，是常数，且），若，则该一次函数的图象必经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，∴， A、点，代入函数得，与条件完全一致，故必经过该点，符合题意； B、点，代入得，若满足，需解方程组，解得，，但若取，（满足），此时，故不必然经过该点，不符合题意； C、点，代入得，若满足，需解方程组，解得，，但若取，，此时，故不必然经过该点，不符合题意； D、点代入得，显然矛盾，故不可能经过该点，故选：A． 3．（2025·成都·模拟预测）一次函数的图象如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B．随的增大而减小 C．图象经过一、二、三象限 D．关于的方程的解是 【答案】D 【详解】解：由图象知，，且y随x的增大而增大，故A、B选项不符合题意； 图象经过一、三、四象限，故C选项不符合题意；由图象知，图象与x轴的交点是， 则关于的方程的解是，故D选项符合题意，故选：D． 4．（2025·成都·模拟预测）已知点，在一次函数的图象上，且则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：点，在一次函数的图象上，，， ，，，异号，，故选：D． 5．（2025·成都·校考一模）如图为冰壶比赛场地示意图，由以为圆心、半径分别为，，，的同心圆组成．三只冰壶的位置如图所示，，的延长线平分，冰壶分别表示为，，则冰壶可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示，延长到点，∴，∴， ∴点所在的角度为，∴，故选：C ． 6．（2025·成都·模拟预测）一次函数，函数y的值随x值的增大而减小，且其图象不经过第一象限，则m的值可以是（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】解：由题意得，， 解得：，m的值可以是．故选：C． 7．（2025·成都·一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，根据图象得到如下结论，其中结论错误的是（   ） A．在一次函数的图象中，y的值随着x值的增大而减小 B．方程组的解为 C．方程的解为 D．当时， 【答案】D 【详解】A．由函数图象可知，直线从左至右呈下降趋势，所以y的值随着x值的增大而减小，故A结论正确，不合题意； B．由函数图象可知，一次函数与的图象交点坐标为，所以方程组的解为，故B结论正确，不合题意； C．由函数图象可知，直线与x轴的交点坐标为，所以方程的解为，故C结论正确，不合题意； D．由函数图象可知， 当时，，故D结论错误，符合题意；故选：D． 8．（2023·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是，故答案为：. 9．（2025·四川成都·模拟预测）已知点在一次函数的图像上，那么的值是 . 【答案】3 【详解】解：点在一次函数的图像上， ．解得：，故答案为：3． 10．（2025·成都·模拟预测）为传承云南本土非遗文化，某学校开展“非遗文化进校园”主题活动，计划采购A、B两种非遗文创用品（A为傣族织锦书签，蕴含对称、比例等数学元素；B为永子围棋迷你摆件，承载传统工艺中的数学配比智慧）．经调查，购进A种文创用品的费用y元与购进数量x件之间的函数关系如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式；(2)现学校准备购进A、B两种非遗文创用品共200件，其中购进A种非遗文创用品不少于60件，且不超过B种非遗文创用品件数的3倍，若B种非遗文创用品每件60元，设购进两种非遗文创用品的总费用为W元，那么应该如何设计购买方案，才能使总费用最少？最少费用是多少元？ 【答案】(1) (2)购买种非遗文创用品150件，种非遗文创用品50件，费用最少，最少费用为5500元 【详解】（1）解：当时，设与之间的函数关系式是， 把代入得，，解得， 当时，与之间的函数关系式是； 当时，设与之间的函数关系式是， 则，解得，当时，与之间的函数关系式是． ； （2）解：购进A种非遗文创用品不少于60件，且不超过B种非遗文创用品件数的3倍， ，解得，， ，随的增大而减小．当时，W最小，最小值为（元）， 种非遗文创用品：（件）． 答：购买种非遗文创用品150件，种非遗文创用品50件，费用最少，最少费用为5500元 11．（2026·成都·模拟预测）文体书店老板到批发市场选购A、B两类书籍共240本，B类书籍的进货单价比A类书籍进货单价多20元，当购进A类书籍80本时，购进A、B两类书籍共需9200元． (1)求A、B这两种书籍的进货单价．(2)若该文体书店每销售1本A类书籍可获利6元，每销售1本B类书籍可获利13元，根据学生需求，书店老板决定仍购进A、B两类书籍共240本，准备用不超过8600元购进A、B两类书籍，且这两种书籍全部售出后获利不低于2336元，问该文体书店有哪几种进货方案． (3)哪种方案能使获利最大，最大获利为多少元？ 【答案】(1)A类书籍进货单价为25元，B为45元 (2)有三种方案：A进110本，B进130本；A进111本，B进129本；A进112本, B进128本 (3)A进110本，B进130本能使获利最大，最大获利为2350元 【详解】（1）解：设A 类书籍进货单价为x元，B类书籍进货单价为y元，根据题意，得 ，解得， 答：A类书籍进货单价为25元，B类书籍进货单价为45元； （2）解：设购进A类书籍m本，B类书箱为本， ，解：①得，，解：②得，， ∴，∴有三种方案： 1）A进110本，B进130本．2）A进111本，B进129本．3）A进112本, B进128本； （3）解：设获利为w元，根据题意，得， ∵，∴获利w随着m的增大而减小， 当时，获利w最大，当时，即， 选第一种方案：获利（元），所以最大获利为2350元． 12．（2025·四川成都·校考模拟预测）随着“公园城市”建设的不断推进，成都绕城绿道化身成为这座城市的一个超大型“体育场”，绿道骑行成为市民的一种低碳生活新风尚．甲、乙两人相约同时从绿道某地出发同向骑行，甲骑行的速度是，乙骑行的路程与骑行的时间之间的关系如图所示． (1)直接写出当和时，与之间的函数表达式；(2)何时乙骑行在甲的前面？ 【答案】(1)当时，；当时，(2)0.5小时后 【详解】（1）由函数图像可知，设时，，将代入，得，则， 当时，设，将，代入得 解得 （2）由（1）可知时，乙骑行的速度为，而甲的速度为，则甲在乙前面， 当时，乙骑行的速度为，甲的速度为， 设小时后，乙骑行在甲的前面；则 解得 答：0.5小时后乙骑行在甲的前面 1．（2024成都·模拟预测）如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A，B，与正比例函数的图象相交于点C，点C的纵坐标为2．若点D在y轴上，且满足，则点D的坐标为（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【详解】解：根据题意，将代入，得，解得，∴点C的坐标是； 将点代入，得，解得，∴一次函数关系式为． ∵当时，；当时，，∴，； 如图，当点D在直线上方时，设点， 则，解得，∴； 如图，当点D在直线下方时，设点，则， 解得，∴，综上，点D的坐标是或．故选：D． 2．（2025·成都·模拟预测）、是直线图象上相异的两点，若，则m的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵、是直线图象上相异的两点，， ∴y随x的增大而增大，∴，∴，故选：A． 3．（2025·成都·模拟预测）如图1，在矩形中分别为边上的动点，点沿折线以每秒2个单位长度的速度运动，同时点以每秒1个单位长度的速度从点沿着运动，当点到达点时，点随之停止运动．连接，若的面积与运动时间之间的函数图象如图2所示．下列结论中：①边的长度为4；②四边形的面积为20；③当时，点与点的距离为4；④当时，．正确的序号为（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【详解】由函数图象可知，当时，点与点重合， ∵点的运动速度为每秒1个单位长度， 四边形为矩形，， 当时，，解得，，故结论①正确； 点的运动速度为每秒2个单位长度，当时，， ，，故结论②错误； 当时，点的运动路径长为6，点在边上， ，，故结论③正确； 当时，点的运动路径长为，点在边上， 四边形为平行四边形，，故结论④正确．故选C． 4．（2025·四川成都·校考二模）利用数学公式处理原始数据是数据加密的一种有效方式．在平面直角坐标系中，定义一种坐标加密方式：将点变换得到点，则称点Q是点P的“加密点”．例如，点的“加密点”是点．已知点A在x轴的上方，且，若点A的“加密点”B在直线上，则m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：设，则 ∵B在直线上，∴，即， ∵点A在x轴的上方，且，∴， ∴是直线与半圆的交点， 当直线与半圆相切时， ∴中，，即， 当直线过点时，，∴故答案为： 5．（2025·成都·二模）如图，直线与坐标轴交于A，P两点，过点A作交y轴于点B，以为边在AB右侧作正方形，复制正方形并沿着直线向上平移，使得一边重合，得到正方形，继续复制正方形（，并沿着直线向上平移，使得一边重合，得到正方形，依此类推，复制平移2025次后，顶点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：在中，当时，，当时，， ∴，∴，∴， ∵，即，∴，∴是等腰直角三角形， ∴，，由正方形的性质可得， ∴，如图所示，过点C作轴于D，则是等腰直角三角形， ∴，∴，∴， 同理可得，，……，以此类推可得，，故答案为：． 6．（2025·成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，其中对应点A和坐标分别是，，则位似中心C的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：∵A与是对应点，与为对应点，∴与的交点C为位似中心， ∵与都在x轴上，∴点C在x轴上， 设直线的解析式为：，把代入得： ，解得：，∴直线的解析式为：， 把代入得：，解得：∴位似中心坐标是，故答案为：． 1．（2025·海南·中考真题）在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少”“年”的坐标分别为、，则“强”的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵“少”“年”的坐标分别为、，∴建立直角坐标系如下： ， ∴“强”的坐标为，故选：B 2．（2025·山西·中考真题）氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量与分解的水的质量满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（    ） 水的质量 氢气的质量 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴与成正比例，即是的正比例函数，∴，故选：． 3．（2025·江苏常州·中考真题）小华家、小丽家与图书馆位于一条笔直的街道上，小丽家位于小华家和图书馆之间，小华家到小丽家、图书馆的距离分别为300米、1800米．若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达．现两人各自从自己家同时出发，小丽仍然以米/分钟的速度匀速前往图书馆，小华先以米/分钟的速度追赶小丽，与小丽相遇后，再以米/分钟的速度与小丽一同前往图书馆，则小华到图书馆的距离y（米）与行进时间x（分钟）之间的函数图像可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得小丽家到图书馆的距离为（米）， ∵若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达，∴，∴，∴现在小华开始的速度为（米/分钟）, 设小华分钟后与小丽相遇，由题意得，得， 则相遇时小华到图书馆的距离为（米），剩余路程为（米）， 再结合小华开始的速度为米/分钟，大于后面的速度米/分钟， 则开始的900米所用时间小于后面的900米所用时间，可知只有选项A符合题意，故选：A． 4．（2025·青海·中考真题）如图，甲、乙两车从地出发前往地，在整个行程中，汽车离开地的路程与时刻之间的对应关系如图所示，下列结论错误的是（    ） A．乙车先到达地 B．、两地相距 C．甲车的平均速度为 D．在时，乙车追上甲车 【答案】C 【详解】解：由图象可知，A，B两城相距，甲车先出发，乙车先到达B城， 故选项A、B不符合题意； 甲的速度为：，乙的速度为：， 故选项C错误，符合题意； 由交点的横坐标可知，乙车在追上甲车．故D不符合题意．故选：C． 5.（2025·广东·中考真题）在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量与骑行里程之间的关系如图．当电池剩余能量小于时，摩托车将自动报警．根据图象，下列结论正确的是（   ） A．电池能量最多可充 B．摩托车每行驶消耗能量 C．一次性充满电后，摩托车最多行驶 D．摩托车充满电后，行驶将自动报警 【答案】C 【详解】由图象可得，当时，，∴电池能量最多可充，故A错误； ，；∴摩托车每行驶消耗能量，故B错误； 由图象可得，当时，，∴一次性充满电后，摩托车最多行驶，故C正确； ∴摩托车充满电后，行驶将自动报警，故D错误；故选：C． 6．（2025·山东威海·中考真题）某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，下列说法正确的是（　　） A．位置是B种瓷砖 B．位置是B种瓷砖 C．位置是A种瓷砖 D．位置是B种瓷砖 【答案】B 【详解】解：A种瓷砖的位置：，， B种瓷砖的位置：，， 由此可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数)，(双数，单数)；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数)，(双数，双数）；∴位置是A种瓷砖，故A选项不符合题意； 位置是B种瓷砖，故B选项符合题意； 位置是B种瓷砖，故C选项不符合题意； 位置是A种瓷砖，故D选项不符合题意；故选：B. 7．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象， ∴向右平移3个单位得，∴函数与轴的交点坐标为， ∵，∴结合图象可得：，故选：C． 8．（2025·江苏宿迁·中考真题）点在第一象限，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：点在第一象限， ，解得，故答案为： 9．（2025·西藏·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，以原点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点C，交y轴于点D，分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限内交于点E，作射线交于点F，则点F的坐标是 ． 【答案】 【详解】解法一：解：如图，过点作轴于点G， 根据题意得平分，，∴， ∵，即，∴，∴是等腰直角三角形，∴， ∵，∴，∴， ∴，即，∴， ∵，，∴，∴，∴， ∴，∴点F的坐标为．故答案为：． 解法二：解：∵，，设直线的解析式为：, ∴，解得：，直线的解析式为：, 是的角平分线，，所在直线的解析式为． 联立方程组：将代入中，得到：，解得． ，． 所以，直线与的交点F的坐标为．故答案为：． 10．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在长方形电子屏中，m，m．一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点从点出发沿边，以的速度向点运动，随着的移动，画面逐渐展开． (1)写出展开的画面面积（单位：）关于点的运动时间（单位：s）的函数表达式；(2)当展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续，求播放结束时展开的画面面积． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：如图1，当时，， 如图2，当时，； 综上，（单位：关于点的运动时间（单位：的函数表达式为：； （2）解：， 当时，，，当时，（不符合题意）， 答：播放结束时展开的画面面积是． 11．（2025·北京·中考真题）工厂对新员工进行某种工艺品制作的培训．在完成理论学习后，新员工接下来先使用智能辅助训练系统进行一次为期T日（T可取0，1，2或3）的模拟练习，然后开始试制．记一名新员工在试制阶段的第x日单日制成的合格品的个数为y，根据以往的培训经验，对于给定的T，可以认为y是x的函数．当和时，部分数据如下： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 时y的值 0 7 8 10 12 16 20 23 25 26 时y的值 0 26 37 43 m 48 50 51 52 53 时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变． 对于给定的T，在平面直角坐标系中描出该T值下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线．当和时，曲线，如图所示． (1)观察曲线，当整数x的值为_______时，y的值首次超过35； (2)写出表中m的值，并在给出的平面直角坐标系中画出时的曲线； (3)新员工小云和小腾刚刚完成理论学习，接下来进行模拟练习和试制． ①若新员工单日制成不少于45个合格品即可获得“优秀学员”证书，根据上述函数关系，小云最早在完成理论学习后的第_______日可获得“优秀学员”证书； ②若工厂希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这4日中应安排小腾先进行_______日的模拟练习． 【答案】(1)6(2)；画图见解析(3)①7；②1 【详解】（1）解：由曲线看出，当整数x的值为6时，y的值首次超过35；故答案为：6 （2）解：∵日的模拟练习时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变，在试制阶段的第3日单日制成的合格品43个，第5日单日制成的合格品48个 ∴相差（个），把5分成两个接近的数，， ∴第4日增加3个，第5日增加2个，∴，画出时的曲线： （3）解：①单日制成不少于45个合格品的只有与， ：日的模拟练习，然后试制阶段第日制成的合格品达到个， ∴； ：日的模拟练习，然后试制阶段第日制成的合格品达到个， ∴， ∵，故小云最早在完成理论学习后的第7日可获得“优秀学员”证书；故答案为：7； ②当模拟练习日时，4日内的试制时间日，4日的合格产品分别是7，8，10，12， ∴合格产品共有； 当模拟练习日时，4日内的试制时间日，3日的合格产品分别是12，19，26， ∴合格产品共有； 当模拟练习日时，4日内的试制时间日，2日的合格产品分别是20，30， ∴合格产品共有； 当模拟练习日时，4日内的试制时间日，1日的合格产品是26； ∵，∴希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这4日中应安排小腾先进行1日的模拟练习．故答案为：1． 12．（2025·山东德州·中考真题）如图，，点M在线段上，将沿直线折叠，点B恰好落在点处．(1)求a的值；(2)求直线的解析式；(3)若直线与直线的交点在直线的左侧，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：∵，∴， ∵，∴， ∵将沿直线折叠，点B恰好落在点处，∴，∴， ∴，∴； （2）设，根据折叠的性质，得，，由（1）得， ∵，∴，解得，故， 设直线的解析式为，∴，解得，故直线的解析式为． （3）由（1）得：，∴直线与直线的交点在直线的左侧，如图所示： 当时，，∴， ∵直线与直线的交点在直线的左侧， ∴直线经过点N时恰好是临界点，∴，解得：，∴t的取值范围为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 第01讲 平面直角坐标系一次函数的图象与性质 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 14 命题点一 平面直角坐标系 题型01  象限与坐标轴上点的特征判断 题型02 坐标的确定与表示 题型03 坐标的平移、对称问题（轴对称、中心对称） 题型04 几何图形中的坐标问题 题型05 图形变换中的坐标问题 命题点二 函数基础知识 题型01 自变量与函数值的取值（范围） 题型02 实际问题中的函数图象分析 题型03 从函数图像中提取信息 命题点三 一次函数的图象与性质 题型01 一次（正比例）函数的图象辨析 题型02 一次函数经过的象限与系数之间的关系 题型03 一次函数的增减性与系数之间的关系 题型04 根据增减性比较函数值 题型05 一次函数最值（范围）问题 题型06 一次函数与方程、不等式的关系 题型07 一次函数与图形变换 题型08 一次函数与实际应用 05·重难突破·思维进阶难 54 突破一 坐标系与一次函数中的规律探究 突破二 一次函数与新定义、跨学科问题 突破三 一次函数与几何图形、几何最值综合问题 06·优题精选·练能提分 64 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 平面直角 坐标系 成都卷 T4 （关于y轴对称） 成都卷 T4 （关于原点对称） 成都卷 T12 （象限问题） 认识平面直角坐标系，掌握点的坐标特征（象限、坐标轴上点的坐标）；理解点的平移、对称的坐标变化规律。 函数 基础知识 成都卷 T8 （通过函数图象获取信息） / / 理解函数的定义，能识别函数关系；掌握函数的三种表示方法（解析式、图像、列表）。 一次函数 图象与性质 成都卷 T18 （一次函数解析式、交点） 成都卷T26 （一次与二次函数交点） 成都卷 T18 （一次函数解析式、交点） 成都卷T26 （一次函数解析式含参） 成都卷 T18 （一次函数解析式、交点） 成都卷T26 （一次函数解析式含参） 掌握一次函数的图像（直线）、斜率k（增减性）、截距b（与y轴交点）的性质；能从实际问题中抽象出变量，建立一次函数关系式y=kx+b，明确参数的实际意义；能利用增减性分析实际问题。 命题预测 本讲内容近几年成都中考主要考查平面直角坐标系及相关概念、函数的基础知识、一次函数解析式、与其他函数交点等问题，题型一般以选填题和解答题为主，分值在10分左右。平面直角坐标系主要考查象限、平移、与对称性结合等；函数基础知识主要考查运用函数图象获取信息等；一次函数在解答题中很少单独命题，一般在24题与方程组、不等式（组）结合考查最值或其他综合运用，或在18和24题中和反比例函数或二次函数结合考查待定系数法求解析式、函数交点等问题。 考点一 平面直角坐标系 1.平面直角坐标系 平面直角坐标系 定义 在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系。 两轴 水平的数轴叫做x轴或横轴，通常取向右方向为正方向； 竖直的数轴叫做y轴或纵轴，通常取向上方向为正方向。（见图1） 原点 两坐标轴交点为平面直角坐标系原点。 坐标平面 坐标系所在的平面叫做坐标平面。 象限 x轴和y轴把平面直角坐标系分成四部分，每个部分称为象限。 按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。（见图1） 点的坐标 对于坐标平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线， 垂足在x轴、y轴上的对应的数a、b分别叫做点P的横坐标和纵坐标， 有序数对P(a，b)叫做点A的坐标，记作P(a，b). （见图2）。 图1 图2 2.点的坐标特征与变换 （1）点的坐标特征：已知点P（a，b） 第一象限：a>0，b>0； 第二象限：a<0，b>0； 第三象限：a<0，b<0； 第四象限：a>0，b<0； 原点：a=0，b=0； x轴上：b=0； y轴上：a=0； （2）轴对称与中心对称：已知点P（x，y） （1）点P关于x轴对称的点的坐标（x，-y）；（2）点P关于y轴对称的点的坐标（-x，y）． （3）点P关于原点的对称点为（-x，-y）． （3）图形（点）在坐标系中的平移：已知点P（x，y） 1）点P向右平移a个单位，坐标变为（x+a，y）；2）点P向左平移a个单位，坐标变为（x-a，y）； 3）点P向上平移b个单位，坐标变为（x，y+b）；4）点P向下平移b个单位，坐标变为（x，y-b）． （4）两个重要公式 （1）中点公式：若、，则AB中点C坐标为： ； （2）两点距离公式：已知两点：、，则 ． （5）确定一个物体的位置的方法：1）有序实数对确定点的位置--行列定位法；2）方位角+距离确定点的位置--极坐标定位法；3）用“经纬度”确定点的位置--经纬定位法；4）区域定位法。 1．（2025·成都·校考二模）如图是某中学部分建筑的手绘地图，若分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，表示操场的点的坐标为，表示勤学楼的点的坐标为，则下列表示建筑的点的坐标正确的是（   ） A．信毅楼 B．体育馆 C．知味堂 D．勤政楼 2．（2025·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2024·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·四川成都·模拟预测）已知第二象限的点，那么点P到y轴的距离为（    ） A．5 B．4 C．-5 D．-4 考点二 函数的基础知识 1.函数的相关概念： 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量. 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量. 函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数. 函数的取值范围：使函数有意义的自变量的全体取值，叫做自变量的取值范围. 确定函数取值范围的方法： 1）函数解析式为整式时，字母取值范围为全体实数； 2）函数解析式含有分式时，分式的分母不能为零；3）函数解析式含有二次根式时，被开方数大于等于零；4）函数解析式中含有指数为零的式子时，底数不能为零；5）实际问题中函数取值范围要和实际情况相符合，使之有意义. 函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值. 函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式. 函数图像上点的坐标与解析式之间的关系：1）将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在。2）两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解。 2.函数的三种表示法的优缺点 优点 缺点 解析法 准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系 求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实 际问题中有的函数值不一定能用解析式表示 列表法 自变量和与它对应的函数值数据一目了然 所列对应数值个数有限，不容易看出自变量 与函数值的对应关系，有局限性 图象法 形象的把自变量和函数值的关系表示出来 图像中只能得到近似的数量关系 1．（2025·广东校考一模）数学是严谨的逻辑与优美的艺术相结合的学科．下列四个漂亮的数学图象中，表示是的函数的是（   ） A．B．C． D． 2．（2025·四川成都·中考真题）小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系．下列说法正确的是（   ） A．小明家到体育馆的距离为 B．小明在体育馆锻炼的时间为 C．小明家到书店的距离为 D．小明从书店到家步行的时间为 3．（2025·黑龙江大庆·二模）已知，则函数可以表示为，例如当时所对应的函数值记作；函数的图象如图所示，关于该函数说法正确的是（    ）   A． B． C． D．当时，x的值为1或 4．（2025·广东广州·二模）受台风“摩羯”外围环流影响，珠江口某大型水库水位持续上升，防汛部门监测到近小时内水位将保持上涨趋势．下表记录了台风影响初期3小时内5个时间点的水位数据，其中表示时间（单位：小时），表示水位高度（单位：米）请根据表中数据，写出关于的函数解析式 ，用于合理预估台风影响下的水位变化规律（不写自变量取值范围）． （小时） 0 1 3 （米） 考点三 一次函数的图象与性质 1.一次函数的相关概念 1）正比例函数的概念：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫正比例函数，其中k叫正比例系数。 2）一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数。 特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。 2：一次函数的图象与性质 1）一次函数的图象特征与性质 函数 字母取值 图象 经过的象限 函数性质 y=kx+b (k≠0) k>0，b>0 一、二、三 y随x的增大而增大 k>0，b<0 一、三、四 k>0，b=0 一、三 y=kx+b (k≠0) k<0，b>0 一、二、四 y随x的增大而减小 k<0，b<0 二、三、四 k<0，b=0 二、四 2）k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系 在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=-，即直线y=kx+b与x轴交于（– ，0）。 ①当–>0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴。 ②当–=0，即b=0时，直线经过原点．③当–<0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴。 3）两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系： ①当k1=k2，b1≠b2，两直线平行； ②当k1=k2，b1=b2，两直线重合； ③当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点；④当k1·k2=–1时，两直线垂直。 4）一次函数的平移法则：左加右减，上加下减。 3：一次函数与方程（组）、不等式 1）一次函数与一元一次方程 任何一个一元一次方程都可以转化为kx+b=0(k，b为常数，且k≠0)的形式． 从函数的角度来看，解这个方程就是寻求自变量为何值时函数值为0； 从函数图象的角度考虑，解这个方程就是确定直线y=kx+b与x轴的交点的横坐标． 2）一次函数与一元一次不等式 任何一个一元一次不等式都能写成ax+b>0（或ax+b<0）（a，b为常数，且a≠0）的形式。 从函数的角度看，解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件。 3）一次函数与二元一次方程组 一般地，二元一次方程mx+ny=p（m，n，p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a，b为常数，且a≠0）的形式。因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线。 从函数的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值； 从函数图象的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标。 1．（2025·四川成都·二模）若点，在一次函数的图象上，则 .(填“”，“”或“”) 2．（2025·四川成都·二模）关于的一次函数，若随的增大而减小，且图象与轴的交点在原点上方，则实数的取值范围是 ． 3．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线的图象交于点，点的横坐标为，则 ． 4．（2025·四川成都·一模）为迎接全市文旅产业发展大会，某景区研发一款纪念品，每件成本30元，投放景区内进行销售，销售一段时间发现，每天的销售量y(件)与销售单价x(元/件)满足一次函数关系，部分图象如图．(1)直接写出y与x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)；(2)当销售单价为多少元时，每天的获利最大？最大利润是多少？ 5．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A，B，直线过点A交y轴于点C． (1)求直线的表达式；(2)点P是y轴上一动点，且与相似，求点P的坐标； (3)直线与x轴交于点M，分别与直线，交于点D，E，当时，求k的值． 命题点一 平面直角坐标系 ►题型01  象限与坐标轴上点的特征判断 先看零‌：有0就先判断坐标轴，没0再看符号定象限，反之依然。 画图辅助‌：在坐标系里标一下点，位置一目了然。 口诀记忆‌：比如“正正一象限，负正二象限，负负三象限，正负四象限”。 【典例】1．（2025·成都·校考一模）在平面直角坐标系中，点不可能在第 象限． 【典例】2．（2025·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，点为，点为，直线轴，则 ． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）平面直角坐标系中，若点在轴上，则点的坐标为 ． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）冰壶是在冰上进行的一种投掷性竞赛项目，被喻为冰上的“国际象棋”．如图，这是红、黄两队某局比赛投壶结束后冰壶的分布图，以冰壶大本营内的中心点为原点建立平面直角坐标系，按照规则，更靠近原点的壶为本局胜方，则胜方最靠近原点的壶位于第 象限． 【变式】3．（2025·成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，点到轴的距离是5，则的值为（    ） A． B．2或 C．2 D．8 ►题型02 坐标的确定与表示 先根据已知坐标点确定原点所在位置，再根据原点位置表示其他点的坐标即可。 【典例】1．（2025成都·一模）经纬网是一种利用三维空间的球面来定义地球上的空间的球面坐标系统，能够标示地球上的任何一个位置．在如图所示的经纬网中，已知甲的坐标为，表示的经纬度为西经，北纬，若乙的经纬度为东经，南纬，则乙的坐标为 ． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）如图，某小区有3处健身休闲广场，为加强对健身休闲广场的管理，小区物业将其中的2处位置用坐标表示为，则第3处健身休闲广场的位置用坐标表示为 ． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）如图，在正方形网格中，均为格点，若以其中一点为坐标原点，以互相垂直的网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则坐标原点应选（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【变式】3．（2025·成都·模拟预测）如图所示是小明和小红在教室所在座位的相对位置，若用表示小明的位置，则小红的位置可表示为 ． ►题型03 坐标的平移、对称问题（轴对称、中心对称） 1.图形（点）在坐标系中的平移：已知点P（x，y） 1）点P向右平移a个单位，坐标变为（x+a，y）；2）点P向左平移a个单位，坐标变为（x-a，y）； 3）点P向上平移b个单位，坐标变为（x，y+b）；4）点P向下平移b个单位，坐标变为（x，y-b）． 2.轴对称与中心对称：已知点P（x，y） （1）点P关于x轴对称的点的坐标（x，-y）；（2）点P关于y轴对称的点的坐标（-x，y）． （3）点P关于原点的对称点为（-x，-y）． 【典例】1．（2025·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点位于哪个象限？（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式】2．（2025·成都·校考一模）在平面直角坐标系中，已知点在第二象限，下列结论错误的是（   ） A． B．点关于轴的对称点的坐标为 C．点到两坐标轴的距离之和等于 D．点向上平移个单位，再向左平移个单位后所得点 的坐标为 【变式】3.（2025·安徽芜湖·三模）如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，为格点（网格线的交点）三角形．(1)将先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得，画出平移后的；(2)画出关于轴对称的；(3)用无刻度直尺在边上作一点，使（保留作图痕迹）． ►题型04 几何图形中的坐标问题 先“翻译”后计算‌：看到几何条件（如“高线”、“中线”），立刻转化为坐标语言（方程），把几何问题变成代数问题。 善用对称性‌：如果图形关于x轴、y轴或原点对称，点的坐标有固定关系（如符号相反），能减少未知数。 分类讨论‌：有些题点的位置不确定（如在坐标轴上），要‌分情况讨论‌，别漏解。 验证不可少‌：算出坐标后，‌代回原方程或检查几何关系‌，确保答案正确。 ‌利用几何性质构造方程是核心技巧。把几何条件（如垂直、中点、长度）变成代数方程。 ‌中点‌：坐标取平均数；‌长度相等‌：用距离公式。 【典例】1（25-26九年级上·四川成都·校考期末）如图，中，点的坐标为，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，，是边上的中线，若，则点的坐标是 【变式】1．（2025·成都·三模）如图，在平面直角坐标系中，菱形中的边落在轴的负半轴上，若轴，对角线、交于点，若点的坐标为．则点的坐标为 ． 【变式】2．（25-26九年级上·成都·期中）平面直角坐标系第一象限中，已知的顶点坐标分别为，，，则此三角形的重心G的坐标为 ． 【变式】3．（2025·四川成都·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，正六边形的中心为坐标原点O，点B，点E均在x轴上，若点A的坐标为，则点D的坐标为 ． ►题型05 图形变换中的坐标问题 分步处理‌：复杂变换（如“先平移后旋转”）拆解成单步变换，一步步来。 抓住不变量‌：平移和旋转‌不改变图形的形状和大小‌，对称变换‌保持图形全等‌，这是验证答案的依据。 优先选特殊点‌：解题时先关注图形的‌顶点、端点‌等关键点，算出它们变换后的坐标，图形位置就确定了。 分类讨论‌：变换后有些题点的位置不确定，可能需要‌分情况讨论‌，别漏解。 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，为边上一点，，沿折叠正方形，折叠后，点落在平面内的点处，则点的坐标为 ． 【典例】2．（2025·成都·校考二模）如图在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，．把绕点逆时针旋转使与轴重合得到，则点的坐标为 ． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点，C 是x轴正半轴上一点，连接，将绕点A逆时针旋转得到，连接．当时，点C的坐标为 。 【变式】2．（2025·河南·模拟预测）如图，菱形的边在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，，两点的坐标分别为，，作射线，将菱形沿射线平移，当点落在轴上时，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式】3．（2025·成都·三模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形为矩形，，，将矩形绕点O逆时针旋转得到矩形，延长交、的延长线于点N、M，若，则点N的坐标为 命题点二 函数的基础知识 ►题型01 自变量与函数值的取值（范围） 确定函数自变量取值范围的方法： 1）函数解析式为整式时，字母取值范围为全体实数； 2）函数解析式含有分式时，分式的分母不能为零； 3）函数解析式含有二次根式时，被开方数大于等于零； 4）函数解析式中含有指数为零的式子时，底数不能为零； 5）实际问题中函数取值范围要和实际情况相符合，使之有意义. 函数值：若在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，则b叫做当自变量为a时的函数值. 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）已知函数，当时，；当时，．那么，当时，的值为（   ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【典例】2．（2025·成都·校考三模）函数中，自变量x的取值范围是   ． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）函数 中自变量x的取值范围是 ． 【变式】2．（2025·成都·二模）已知，那么 ． 【变式】3．（2025·浙江杭州·模拟预测）设函数，若，则的取值范围为 ． ►题型02 实际问题中的函数图象分析 根据实际情况或实物图，分析关键的图象变化点，通过对比函数图象得出选项即可。 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）家用热水器在使用过程中通常会经历加热、保温、断电的过程，如图是某家用热水器1小时内水的温度随时间的变化图象，设表示从第0分钟到第分钟热水器内水的平均温度，则随的变化图象大致是（　　） A．B．C．D． 【变式】1．（2025·四川成都·模拟预测）把一个长方体铁块放在如图所示的圆柱形容器内，现按一定的速度向容器内均匀注水，后将容器内注满．那么容器内水面的高度h(单位：)与注水时间t(单位：s)之间的函数关系图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·成都·二模）如图，烧杯中装有适量溶液，向烧杯中不断滴入稀盐酸后，烧杯中的溶液的值变化情况用图象可近似表示为（   ） A．B．C．D． 【变式】3．（2025·成都·二模）如图所示的是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，则容器中水面的高度随时间变化的图象可能是（    ） A． B． C． D． ►题型03 从函数图像中提取信息 1.看坐标轴，明确变量意义‌： 先看横轴（x）和纵轴（y）分别代表什么（比如时间、距离），这是理解图像的基础。 2.抓关键点，提取数值信息‌： 与坐标轴交点‌：x轴交点表示y=0时的解，y轴交点表示x=0时的函数值。 顶点、转折点‌：最高点或最低点对应函数的最大值或最小值，转折点表示变化趋势改变。 与其他图像交点‌：交点的坐标是两个函数共同的解。 3.读趋势，理解变化规律‌： 上升/下降‌：图像上升表示函数值随自变量增加而增大，下降则减小。 水平线段‌：表示函数值不随自变量变化而变化。 曲线形状‌：抛物线开口向上（a>0）或向下（a<0）。 【典例】1．（2025·成都·三模）为提高学生身体素质，某校在假期期间布置给学生每日进行跑步训练的作业，甲乙两名同学相约某日一起去体育场训练，两人同时同地起跑，同一终点汇合，他们离开起点的路程（米）与甲跑步时间（分钟）对应关系如图所示，已知乙同学全程速度不变，甲同学3分钟以后的速度为260米/分钟．下列说法：①起跑后1分钟内甲同学的速度为360米/分钟；②前2分钟两名同学都跑了520米；③两人跑步训练的路程为1000米；④乙比甲提前30秒到达终点．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例】2．（2025·四川成都·模拟预测）“双十一”期间，某网店开展了促销活动，购买原价超过300元的商品，超过300元的部分可享受打折优惠．如果购买的商品实际付款（元）与原价（元）之间的函数关系如图所示，则超过300元的部分可享受的打折优惠是（   ） A．打八折 B．打七折 C．打六折 D．打五折 【变式】1．（2025·河南·中考真题）汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（   ） A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 B．当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C．要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不低于 D．若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小 【变式】2．（2025·成都·二模）某太阳能充电站在晴天和多云天气下的充电功率不同，如图是该充电站某日为电动汽车充电时，电池储能率（储能率）随充电时间（小时）变化的函数图象（前2小时为晴天，充电速率快，后1小时转为多云，充电速率降低），则下列说法错误的是（ ） A．本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量 B．本次充电持续时间是2小时，充电结束时汽车电池储能率达到了 C．本次充电持续时间是3小时，充电结束时汽车电池储能率提高了 D．若电池总容量为100千瓦时，本次共为电动汽车充电能75千瓦时 【变式】3．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在长方形中，是边上一点，且，，点从点出发，沿折线匀速运动，运动到点停止．点的运动速度为，运动时间为，的面积为，与之间的关系图象如图，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．当时， 命题点三 一次函数的图象与性质 ►题型01 一次（正比例）函数的图象辨析 一次函数‌：形式为 y = kx + b（k ≠ 0）的函数，其图像是‌一条直线‌。 正比例函数‌：是特殊的一次函数，形式为 y = kx（k ≠ 0，b = 0），其图像也是一条直线，但‌一定经过坐标原点 (0, 0)‌。 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，函数和（为常数，且）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·四川甘孜州·中考真题）函数的图象为(    ) A． B． C． D． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）如图，若直线经过第一、三、四象限，则直线的图象可能是（   ） A． B． C． D． ►题型02 一次函数经过的象限与系数之间的关系 看斜率 k‌： k > 0 时，直线从左下向右上倾斜，必过‌第一、三象限‌； k < 0 时，直线从左上向右下倾斜，必过‌第二、四象限‌。 看截距 b‌： b 的符号决定了直线与 y 轴的交点在正半轴还是负半轴，从而影响经过的象限。 b > 0‌：交 y 轴正半轴，图像‌向上平移‌，可能经过第一、二象限。 b = 0‌：过原点，图像经过原点。 b < 0‌：交 y 轴负半轴，图像‌向下平移‌，可能经过第三、四象限。 【典例】1．（2025·四川成都·校考三模）如果函数的图象经过第二、三、四象限，那么应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·成都·模拟预测）正比例函数的图象经过点，则一次函数的图象不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式】1．（2025·四川成都·模拟预测）若一次函数的图象不经过第一象限，则m的取值范围为 ． 【变式】2．（2025·四川成都·模拟预测）已知点在一次函数的图象上，则一次函数的图象经过第 象限． 【变式】3．（2025·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，若一次函数经过一、三、四象限，则k的取值范围是 ． ►题型03 一次函数的增减性与系数之间的关系 一次函数 y = kx + b 的增减性由‌斜率 k‌ 决定： k > 0‌：函数值随 x 增大而‌增大‌，图像从左向右‌上升‌。 k < 0‌：函数值随 x 增大而‌减小‌，图像从左向右‌下降‌。 记忆技巧‌：想象“k”是“快”的拼音首字母，k>0时“向上快跑”，k<0时“向下快跑”。 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）若函数（m为常数，且）是正比例函数，且y随x的增大而减小，则一次函数与y轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·成都·模拟预测）下列函数中，当时，y值随x值的增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·四川成都·模拟预测）已知一次函数的图象经过点，且y随x的增大而减小，请写出一个符合条件的一次函数解析式 ． 【变式】2．（2025·四川广安·中考真题）已知一次函数，当时，y的值可以是 ．（写出一个合理的值即可） ►题型04根据增减性比较函数值 如果函数在某区域内y随x的增大而增大‌，自变量大的函数值就‌大‌。 如果函数在某区域内y随x的增大而减小‌，自变量大的函数值就‌小‌。 【典例】1．（2025·四川成都·二模）若点，都在函数的图象上，则 （填“”或“”）． 【典例】2．（2025·四川成都·模拟预测）已知点在一次函数的图象上，当时，，则实数的值可以是 ．（只需写出一个符合条件的实数即可） 【变式】1．（2025·四川成都·一模）点和点在直线上，则m与n的大小关系是 ． 【变式】2．（2025·安徽·模拟预测）若点，在函数的图象上，且，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式】3．（2025·四川成都·一模）如图，直线不经过第三象限，若点在该直线上，且的大小关系为 ，则的大小关系为 ． ►题型05 一次函数最值（范围）问题 1、确定函数与区间‌：明确一次函数表达式 y = kx + b 和自变量 x 的取值范围 [m, n]。 2、判断单调性‌：观察 k 的符号（若无法辨别，则需要分类讨论）。 3、计算端点值‌：代入 x = m 和 x = n 计算 y。 4、比较得最值‌：根据单调性直接判断最大值和最小值。 【典例】1．（2025·成都·三模）已知一次函数，当时，的最大值是，则的最小值是 ． 【变式】1．（2025·成都·三模）对于实数，，我们定义符号的意义为：当时，．当时，；如：，，若关于的函数为．则该函数的最小值为 ． 【变式】2．（2025·成都·校考一模）已知一次函数，当时，函数有最小值，则k的值为 【变式】3．（2025·成都·一模）已知一次函数，当时，对应的y值为，则b的值为 ►题型06 一次函数与方程、不等式的关系 1）一次函数与一元一次方程 从函数图象的角度考虑，解这个方程就是确定直线y=kx+b与x轴的交点的横坐标． 2）一次函数与一元一次不等式 从函数的角度看，解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件。 3）一次函数与二元一次方程组 从函数图象的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标。 【典例】1．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，一次函数经过点，与轴交于点，与正比例函数交于点，则下列结论正确的是（    ）（多选题） A． B．为的中点 C．方程的解是 D．当时， 【典例】2．（2025·成都·校考二模）如图，直线与相交于点，则不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·成都·校考一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（   ） A．随的增大而减小 B． C．当时， D．关于x,y的方程组的解为 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）如图，直线和与x轴分别相交于点，点，则解集为（   ） A． B． C． D．或 【变式】3．（2025·山东临沂·二模）在同一直角坐标系中，一次函数，的图象如图所示，则以下结论：①随x的增大而减小；②；③当时，；④方程组的解为．其中正确的为 ．（写出所有正确结论的序号） ►题型07 一次函数与图形变换 【典例】1．（25-26九年级上·成都·校考期末）如图，直线与轴、轴分别交于，两点，把绕点按逆时针旋转后得到，则点的坐标是 ． 【典例】2．（2025·成都·三模）如图，将置于第一象限内，一次函数的图象经过中点，将沿射线平移，当点的对应点与点M重合时，则点A的对应点坐标为 ． 【变式】1．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，沿x轴向右平移后得到，点A的对应点在直线上一点，则点A与其对应点之间的距离为 ．    【变式】2．（2026·成都·模拟预测）如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，把绕着直线AB翻折后得到，则点的坐标是 ． 【变式】3．（2025·四川成都·一模）如图，已知，直线l：经过点，点O关于直线l的对称点落在三角形内（不含边界），则b的取值范围是 ． ►题型08 一次函数与实际应用 审题与变量定义‌：先圈出变化量和不变量，明确自变量（x）和因变量（y）。注意单位统一和隐含条件（比如起步价）。 确定函数关系‌：抓住"变化率恒定"这个关键。k是单位变化率（比如速度、单价），b是初始值（比如固定成本、起点距离）。 建立与求解模型‌：用待定系数法，代入两组已知数据解方程组求k和b。分段问题要分区间讨论。 最值问题需要结合函数的增减性和自变量的取值范围给出最优解。 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为120万立方，原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工．由于特殊情况，公司抽调甲队外援施工，先由乙队先单独施工20天后甲队返回，两队又共同施工了60天，甲、乙两队共完成土方量108万立方，这时乙队因故暂时停止施工，由甲队单独完成剩余部分，甲、乙两队共同完成的土方量y万立方与工作的时间x天的函数关系如图所示．(1)乙队每天完成土方量多少万立方；(2)若该公司预计工期100天，甲队能否按期完成剩余部分？(3)当时，求甲、乙两队共同完成的土方量y万立方与工作的时间x天的函数关系式； (4)当甲、乙两个工程队共同完成土方量100万立方时，甲、乙两个工程队哪个队完成的土方量多，多多少？ 【典例】2．（2025成都·模拟预测）某种植物生长的高度可以分为三个主要阶段：幼苗期、营养生长期和成熟期（即开花结果期）．已知每个阶段这种植物的平均高度（）与生长时间（天）之间的函数图象如图所示．(1)前天，这种植物平均每天长高___________；(2)当时，求与之间的函数表达式；(3)当该植物的高度为时，求该植物生长的天数． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）甲，乙两家商店出售品质相同的樱桃，甲商店的樱桃价格为元千克，无优惠；乙商店的樱桃价格为元千克，若一次购买千克以上，超过千克部分的樱桃价格打折． (1)设购买樱桃千克，(单位：元)分别表示顾客到甲，乙两家商店购买樱桃的付款金额，求关于的函数关系式；(2)甲、乙两家水果店均按以上销售方式推出售价为元的樱桃礼盒，若只考虑重量因素，选择在哪家水果店购买樱桃礼盒更合算？ 【变式】2．（2025·四川成都·模拟预测）“五一”前夕，某超市销售一款商品，进价每件75元，售价每件140元，每天销售40件，每销售一件需支付给超市管理费5元．从5月1日开始，该超市对这款商品开展为期一个月的“每天降价1元”的促销活动，即从第一天（5月1日）开始每天的售价均比前一天降低1元．通过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与第x天（，且x为整数）之间存在一次函数关系，x，y之间的部分数值对应关系如下表： 第x天 5 10 15 20 日销售量y（件） 50 60 70 80 (1)直接写出y与x之间的函数关系式______________； (2)设第x天的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大？最大利润是多少元？ 【变式】3（2025·四川成都·模拟预测）每年春运的腊月二十至正月初七这18天（包含腊月二十和正月初七这两天，默认农历腊月为三十天）都会对航空公司的某条热门航线造成航运压力．今年航空公司对该航线下午起飞的机票进行价格调整：票价（元/张）与腊月二十始第x天的函数关系如图所示，据历年的平均数据搭乘该航班的人数与x满足函数关系． (1)求票价与x之间的函数表达式；(2)试估算该航班这18天期间哪一天的收入最高？最高收入是多少？ 突破一 坐标系与一次函数中的规律探究 【典例】（2025·成都·模拟预测）如图，已知直线，直线和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点按此作法进行下去，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·成都·二模）已知，直线与x轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作x轴的平行线与直线l交于点，与y轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方），以同样的方式依次作等边三角形，等边三角形…，则点的横坐标为 ． 【变式】2．（2025成都·校考二模）正方形按照如图的方式摆放，点在直线上，点在轴上，则点的坐标为 ． 突破二 一次函数与新定义、跨学科问题 【典例】（2025四川成都·三模）对于平面直角坐标系中的点P和线段，其中、两点，有如下定义：若在线段上存在一点Q，使得P，Q两点间的距离小于或等于1，则称P为线段AB的“附庸点”．在点，，中，线段的“附庸点”是 ；在直线上存在线段的“附庸点”M，N，且，则b的取值范围是 ． 【变式】1．（2025·上海·模拟预测）化学反应“氢氧化钙和二氧化碳反应”（化学方程式：）中，参与反应的的质量x和生成的得质量y的函数关系式为，那么下列说法中错误的是（   ） A．该反应消耗了二氧化碳，有助于缓解温室效应 B．参与反应的的质量和生成的成正比例关系 C．每消耗74克的，就会生成100克的 D．每消耗50克的，就会生成37克的 【变式】2．（2025·四川成都·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，若点满足，则称点为“积和点”．例如：，就是“积和点”．若直线上所有的点中只有唯一一个“积和点”，则 ． 【变式】3．（2025·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，对于点，我们称直线为点的相关直线．例如，点的相关直线为．已知点，点．点为直线上的动点．以为圆心，6为半径作圆．在点运动过程中，当点的相关直线与圆交于，两点时，的最小值为8，则的值为 ． 突破三 一次函数与几何图形、几何最值综合问题 【典例】（2025·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线经过点B交x轴于点C，且． (1)求的表达式；(2)点D是直线上的一个动点，连接，当时，求点D的坐标； (3)点E是线段上的一个动点，点F为x轴上一点，且，当最小时，求的值． 【变式】1．（2025·成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线上，且点A的横坐标是1，过点A作轴于点D，以为边作正方形，连接，若直线与围成的阴影三角形的面积为，则下列结论正确的是（    ） A．m的值为 B．正方形的边长是 C．的面积是 D．直线的解析式是 【变式】2．（2025·广东广州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则d的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点是直线上第一象限的点，点的坐标是， O是坐标原点，的面积为S，则S关于x的函数关系式是 ．    【变式】3．（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数分别交轴，轴于点，，点是直线上一动点，连接，则线段的最小值为 ．    【变式】4．（2025·成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，点、，点C在x轴上运动，点D在直线上运动，则四边形周长的最小值是 ．    1．（2025·成都·模拟预测）已知M点关于x轴的对称点是第三象限内的整点（横、纵坐标都为整数的点，称为整点），则M点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·成都·模拟预测）已知一次函数（，是常数，且），若，则该一次函数的图象必经过点（   ） A． B． C． D． 3．（2025·成都·模拟预测）一次函数的图象如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B．随的增大而减小 C．图象经过一、二、三象限 D．关于的方程的解是 4．（2025·成都·模拟预测）已知点，在一次函数的图象上，且则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·成都·校考一模）如图为冰壶比赛场地示意图，由以为圆心、半径分别为，，，的同心圆组成．三只冰壶的位置如图所示，，的延长线平分，冰壶分别表示为，，则冰壶可表示为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·成都·模拟预测）一次函数，函数y的值随x值的增大而减小，且其图象不经过第一象限，则m的值可以是（    ） A． B． C． D．1 7．（2025·成都·一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，根据图象得到如下结论，其中结论错误的是（   ） A．在一次函数的图象中，y的值随着x值的增大而减小 B．方程组的解为 C．方程的解为 D．当时， 8．（2023·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是 ． 9．（2025·四川成都·模拟预测）已知点在一次函数的图像上，那么的值是 . 10．（2025·成都·模拟预测）为传承云南本土非遗文化，某学校开展“非遗文化进校园”主题活动，计划采购A、B两种非遗文创用品（A为傣族织锦书签，蕴含对称、比例等数学元素；B为永子围棋迷你摆件，承载传统工艺中的数学配比智慧）．经调查，购进A种文创用品的费用y元与购进数量x件之间的函数关系如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式；(2)现学校准备购进A、B两种非遗文创用品共200件，其中购进A种非遗文创用品不少于60件，且不超过B种非遗文创用品件数的3倍，若B种非遗文创用品每件60元，设购进两种非遗文创用品的总费用为W元，那么应该如何设计购买方案，才能使总费用最少？最少费用是多少元？ 11．（2026·成都·模拟预测）文体书店老板到批发市场选购A、B两类书籍共240本，B类书籍的进货单价比A类书籍进货单价多20元，当购进A类书籍80本时，购进A、B两类书籍共需9200元． (1)求A、B这两种书籍的进货单价．(2)若该文体书店每销售1本A类书籍可获利6元，每销售1本B类书籍可获利13元，根据学生需求，书店老板决定仍购进A、B两类书籍共240本，准备用不超过8600元购进A、B两类书籍，且这两种书籍全部售出后获利不低于2336元，问该文体书店有哪几种进货方案． (3)哪种方案能使获利最大，最大获利为多少元？ 12．（2025·四川成都·校考模拟预测）随着“公园城市”建设的不断推进，成都绕城绿道化身成为这座城市的一个超大型“体育场”，绿道骑行成为市民的一种低碳生活新风尚．甲、乙两人相约同时从绿道某地出发同向骑行，甲骑行的速度是，乙骑行的路程与骑行的时间之间的关系如图所示． (1)直接写出当和时，与之间的函数表达式；(2)何时乙骑行在甲的前面？ 1．（2024成都·模拟预测）如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A，B，与正比例函数的图象相交于点C，点C的纵坐标为2．若点D在y轴上，且满足，则点D的坐标为（    ） A．或 B． C． D．或 2．（2025·成都·模拟预测）、是直线图象上相异的两点，若，则m的取值范围（   ） A． B． C． D． 3．（2025·成都·模拟预测）如图1，在矩形中分别为边上的动点，点沿折线以每秒2个单位长度的速度运动，同时点以每秒1个单位长度的速度从点沿着运动，当点到达点时，点随之停止运动．连接，若的面积与运动时间之间的函数图象如图2所示．下列结论中：①边的长度为4；②四边形的面积为20；③当时，点与点的距离为4；④当时，．正确的序号为（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 4．（2025·四川成都·校考二模）利用数学公式处理原始数据是数据加密的一种有效方式．在平面直角坐标系中，定义一种坐标加密方式：将点变换得到点，则称点Q是点P的“加密点”．例如，点的“加密点”是点．已知点A在x轴的上方，且，若点A的“加密点”B在直线上，则m的取值范围是 ． 5．（2025·成都·二模）如图，直线与坐标轴交于A，P两点，过点A作交y轴于点B，以为边在AB右侧作正方形，复制正方形并沿着直线向上平移，使得一边重合，得到正方形，继续复制正方形（，并沿着直线向上平移，使得一边重合，得到正方形，依此类推，复制平移2025次后，顶点的坐标为 ． 6．（2025·成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，其中对应点A和坐标分别是，，则位似中心C的坐标是 ． 1．（2025·海南·中考真题）在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少”“年”的坐标分别为、，则“强”的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山西·中考真题）氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量与分解的水的质量满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（    ） 水的质量 氢气的质量 A． B． C． D． 3．（2025·江苏常州·中考真题）小华家、小丽家与图书馆位于一条笔直的街道上，小丽家位于小华家和图书馆之间，小华家到小丽家、图书馆的距离分别为300米、1800米．若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达．现两人各自从自己家同时出发，小丽仍然以米/分钟的速度匀速前往图书馆，小华先以米/分钟的速度追赶小丽，与小丽相遇后，再以米/分钟的速度与小丽一同前往图书馆，则小华到图书馆的距离y（米）与行进时间x（分钟）之间的函数图像可能是（   ） A．B．C． D． 4．（2025·青海·中考真题）如图，甲、乙两车从地出发前往地，在整个行程中，汽车离开地的路程与时刻之间的对应关系如图所示，下列结论错误的是（    ） A．乙车先到达地 B．、两地相距 C．甲车的平均速度为 D．在时，乙车追上甲车 5.（2025·广东·中考真题）在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量与骑行里程之间的关系如图．当电池剩余能量小于时，摩托车将自动报警．根据图象，下列结论正确的是（   ） A．电池能量最多可充 B．摩托车每行驶消耗能量 C．一次性充满电后，摩托车最多行驶 D．摩托车充满电后，行驶将自动报警 6．（2025·山东威海·中考真题）某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，下列说法正确的是（　　） A．位置是B种瓷砖 B．位置是B种瓷砖 C．位置是A种瓷砖 D．位置是B种瓷砖 7．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·江苏宿迁·中考真题）点在第一象限，则实数的取值范围是 ． 9．（2025·西藏·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，以原点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点C，交y轴于点D，分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限内交于点E，作射线交于点F，则点F的坐标是 ． 10．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在长方形电子屏中，m，m．一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点从点出发沿边，以的速度向点运动，随着的移动，画面逐渐展开． (1)写出展开的画面面积（单位：）关于点的运动时间（单位：s）的函数表达式；(2)当展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续，求播放结束时展开的画面面积． 11．（2025·北京·中考真题）工厂对新员工进行某种工艺品制作的培训．在完成理论学习后，新员工接下来先使用智能辅助训练系统进行一次为期T日（T可取0，1，2或3）的模拟练习，然后开始试制．记一名新员工在试制阶段的第x日单日制成的合格品的个数为y，根据以往的培训经验，对于给定的T，可以认为y是x的函数．当和时，部分数据如下： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 时y的值 0 7 8 10 12 16 20 23 25 26 时y的值 0 26 37 43 m 48 50 51 52 53 时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变． 对于给定的T，在平面直角坐标系中描出该T值下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线．当和时，曲线，如图所示． (1)观察曲线，当整数x的值为_______时，y的值首次超过35； (2)写出表中m的值，并在给出的平面直角坐标系中画出时的曲线； (3)新员工小云和小腾刚刚完成理论学习，接下来进行模拟练习和试制． ①若新员工单日制成不少于45个合格品即可获得“优秀学员”证书，根据上述函数关系，小云最早在完成理论学习后的第_______日可获得“优秀学员”证书； ②若工厂希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这4日中应安排小腾先进行_______日的模拟练习． 12．（2025·山东德州·中考真题）如图，，点M在线段上，将沿直线折叠，点B恰好落在点处．(1)求a的值；(2)求直线的解析式；(3)若直线与直线的交点在直线的左侧，请直接写出t的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $