重难点02 二次函数综合压轴问题（B25或B26）（复习讲义）（四川成都专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦二次函数综合压轴问题，覆盖代数综合（直线过定点、动点轨迹、韦达定理应用）与几何综合（特殊三角形、四边形、相似等）核心考点，按“重难点—题型—方法—典例—变式”架构，通过“深挖重难”梳理考点方法、“分层锤炼”开展真题训练，助力学生系统突破中考高频难点。 亮点在于“代数推理+几何建模”双路径教学，如用参数法解决直线过定点问题（令参数系数为0消参），培养推理意识；几何综合中用中点公式证平行四边形，渗透模型意识。设“固根基”“拓能力”分层练习，配合典例变式训练，确保高效复习，帮助教师精准把控节奏，提升学生综合解题与应考能力。

第三章 函数 重难点02 二次函数综合压轴问题（B25或B26） 目 录 01 深挖重难·固根基 1 02 分层锤炼·验成效 3 固·重难考点 拓·创新能力 重难点一 二次函数与代数综合压轴 二次函数与代数综合压轴问题，是从22年成都中考改革后，新增的热点。二次函数综合压轴的考查不仅仅是考查二次函数与几何图形综合，而是倾向于二次函数与代数方面的结合（如与根与系数的关系），主要题型方面出现了直线（曲线）过定点问题、动点过定直线问题、与根与系数相关的新定义和定值问题等。 1）直线（曲线）过定点问题：这类题的关键是‌无论参数如何变化，直线或曲线始终经过某个固定点‌。 ‌‌参数法（通法）：将曲线方程用参数表示，整理成关于参数的方程。若方程对所有参数值成立，则参数的系数必须为零，由此解出定点坐标。 2）动点过定直线问题：是“过定点”的逆向思维，‌无论动点如何运动，其轨迹始终在某条固定直线上‌。 解法思路‌：通常通过几何性质（如对称、相似）或代数方法（消参）证明动点的横坐标或纵坐标恒为定值，或横坐标与纵坐标存在某种关联。 3）‌韦达定理相关的定值或新定义问题：这类题将‌韦达定理与二次函数结合，考查新定义或定值证明。 韦达定理是桥梁‌：直线与二次曲线联立后，利用韦达定理表示根的和与积，简化计算。 题型01 二次函数中的直线过定点问题 函数的解析式中除自变量外，还有待定的系数，此时函数的图象会随着待定的系数的变化而变化。图象变化过程中，有时始终会经过某个固定的点，定点问题是一个难点。 方法：使待定的系数k失去影响力。 【例】证明：无论k取何值，直线都经同一定点。 第一步：先找出所有含k的项，再提公因式k 即： 第二步：令与k相乘的因式为0，此时k就不起作用了 即：令，此时=0 在一个函数中，知x可求y，这个坐标就是定点，故无论k取何值，函数都经过定点（3，0）。 总结：因为当x取某个值时，使含k项全部抵消了，即k不起作用了! 【典例】（2025·四川成都·一模）如图，直线与抛物线：交于A、B两点（点A在点B的左侧），抛物线与y轴交于点C，抛物线的顶点坐标为．(1)若点A的横坐标为，求抛物线的解析式；(2)在（1）条件下，点M为直线：上方的抛物线上一点，若，求点M的坐标；(3)将抛物线平移使得顶点落在原点O得到抛物线，直线交抛物线于P，Q两点，已知点H，直线分别交抛物线于另一点M，N．求证：直线恒过一个定点． 【答案】(1)(2)M的坐标为或(3)见解析 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为：，∴设抛物线的解析式为：， 把代入，得，∴，把A的坐标代入， 得，解得，∴抛物线的解析式为； （2）由，解得或，∴， 把代入，解得：，∴，∴，∴， ∵，∴，设直线上方抛物线上的点M坐标为，过M点作y轴的平行线交直线于点N，则， ∴． 整理得，解得 ，． 故M的坐标为或． （3）证明：∵将抛物线平移使得顶点落在原点O得到抛物线， ∴抛物线的解析式为，令，∴，∴，， 设直线的解析式为，令，∴，∴，∴， 设直线的解析式为，令，∴，∴，∴， ∴，∴，设直线的解析式为， 令，∴，∴， ∴，∴，∴，∴直线经过定点． 【变式】1．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线与轴交于A，两点，与轴交于点，．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，已知点为第一象限内抛物线上的一点，点的坐标为，；求点的坐标；(3)如图2，将抛物线平移到以坐标原点为顶点，点在新抛物线上，过点作分别交新抛物线于，两点，求直线过定点的坐标． 【答案】(1)(2)(3)直线恒过定点． 【详解】（1）解：令，得，，， ，，，，， 将，代入，得： ，解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：设，如图，连接,过点作轴于点，过点作于点． 则，，， ，，，， ，，， ，，，点的坐标为，， ，， ，，解得：或， 点在第一象限，，，，； （3）证明：将抛物线平移到以坐标原点为顶点的新抛物线，新抛物线的解析式为， 设直线的解析式为，且、， 点在抛物线上，，，， ，整理得：， 联立，得，，， ， ， ，即，或， 当时，直线的解析式为， 即直线过定点，与重合，不符合题意； 当时，直线的解析式为，直线恒过定点． 【变式】2.（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点E，其顶点为C，D是抛物线第四象限上一点． (1)求线段的长；(2)当时，若的面积是面积的两倍，求点D的坐标； (3)延长交x轴于点F，，试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)直线恒过定点 【详解】（1）解：在中，令，则， ∴，解得：，，∴，，∴； （2）解：当时，，∴， 如图，连接、、、，作轴于，轴交于， 设点的坐标为，则，∴， ∴，设直线的解析式为， 将，代入解析式可得，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，∴， ∴，∴， ∵的面积是面积的两倍，∴， 整理得：，解得：或， ∵，∴，此时，∴； （3）解：∵，∴， 在中，当时，，故，如图：作轴于， 设，则，∴，， ∵，∴，∴，∴， 设直线的解析式为，将，， 代入解析式可得，解得：， ∴直线的解析式为，令，则， 解得：，∴，∴，解得：或， ∵，∴，∴，设直线的解析式为， 将，代入解析式可得，解得：， ∴直线的解析式为，当时，，解得：，∴直线恒过定点． 题型02 二次函数过定点和二次函数轨迹问题 函数的解析式中除自变量外，还有待定的系数，此时函数的图象会随着待定的系数的变化而变化。图象变化过程中，有时始终会经过某个固定的点，定点问题是一个难点。 方法：使待定的系数k失去影响力 【例】证明：无论k取何值，抛物线都经同一定点. 第一步：先找出所有含k的项，再提公因式k 即： 第二步：令与k相乘的因式为0，此时k就不起作用了 即： 令，此时 在一个函数中，知x可求y，这个坐标就是定点，故无论k取何值，函数都经过定点 总结：因为当x取某个值时，使含k项全部抵消了，即k不起作用了! 【典例】（2025·四川成都·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线：（）与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，作直线，点的坐标为且(1)求抛物线的表达式；(2)若点在抛物线第一象限图象上，线段（点在点的左侧）是直线上一段长度为2的动线段，轴上一点，连接，，，，若四边形为平行四边形，求点的横坐标；(3)一次函数：（）图象交二次函数于，两点，抛物线上是否存在定点，连接，，当点与点，不重合时，总有，若存在，求定点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)或(3)存在， 【详解】（1）解：抛物线：（），当时，，∴，， ∵，∴，又∵，∴， 代入得，，解得：，∴抛物线的表达式为． （2）解：如图，连接交于点，设直线的解析式为， 代入得，，解得：，∴直线的解析式为， ∵四边形为平行四边形，∴，，设， ∵，∴，∵点在直线上，∴，解得：，， 当时，，设，则，解得：，， ∵点在点的左侧，∴； 当时，，设，则，解得：，， ∵点在点的左侧，∴；∴综上所述，点的横坐标为或． （3）解：如图，过点作轴的平行线，过点分别作此平行线的垂线，垂足为， 设，，联立，消去整理得：， ∴，，∴， ， 设，∵，，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴， 整理得：， ∵点是定点，∴，，，解得：，， 经检验，在抛物线上，符合题意； ∴抛物线上存在定点，点的坐标为． 【变式】1．（25-26九年级上·成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点和点，直线与抛物线交于两点，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式和点的坐标；(2)已知抛物线沿轴向右平移个单位长度后得到抛物线． ①用含的式子表示抛物线的顶点坐标；②当时，直线与轴交于点，与直线交于点．若抛物线与线段有公共点，求的取值范围；(3)已知是的中点．当变化时，试探究点的运动轨迹是否为一条直线或一条抛物线的一部分？若是，请直接写出该直线或抛物线的解析式；若不是，请说明理由．[提示：若，则的中点坐标为 【答案】(1)，(2)①；②(3)是； 【详解】（1）解：将点和点代入，解得，， ∴抛物线的解析式为, 对于直线，当时，，∴，∴点D的坐标为． （2）①，∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为； ②当时，, 当时，，当时，，∴点的坐标为，点的坐标为． 当抛物线与线段有公共点时，联立和，整理可得， ，解得．结合图象，当抛物线与线段有公共点时，； （3）解：联立和，整理可得， 设点，的坐标分别为，，则、为方程的根， ∴，， ∴点M的坐标为，令，，∴， ∴，抛物线的解析式为． 题型03 二次函数中动点在定直线问题 证明动点在定直线上，一般先设出动点（x，y），在根据题中条件直接建立关于x和y的关系式，也可利用一个新的变量表示出x和y，再利用新的变量串联出x和y的关系式。 【典例】（25-26九年级上·成都·校考期中）如图1，抛物线与x轴分别交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若． (1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接，D是上方抛物线上异于B、C的一点，连接交y轴于点E，当时，求点D的坐标；(3)如图2，是抛物线上异于B，C的两个动点，直线与直线交于点T，若直线经过定点，求证：点T的运动轨迹是一条定直线． 【答案】(1)(2)(3)点的运动轨迹是一条定直线 【详解】（1）解：对于抛物线，当时，，则，则， ∵，∴，，∴，， 将代入，得，解得：，∴； （2）解：∵，，，∴，，，过点作于点， ∵，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴，∴， 设直线的解析式为，代入，解得：，∴ ， 联立抛物线解析式，可得，解得：或（舍去），∴； （3）解：设，∵，，设直线的解析式为， ∴，解得：，∴，设的解析式为，， ∴，解得：，∴， 联立，消去得：， 联立，消去得：， ∵，∴，即， 由可得，依题意，直线的解析式为，即， 联立，则，∴，， ∴，消去得：， 解得：（与直线重合，故舍去）或，即点的运动轨迹是一条定直线． 【变式】1．（25-26九年级上·成都·校考期末）如图1，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式；(2)为轴下方抛物线上一点，，求点坐标； (3)如图2，直线与抛物线交于，两点，直线与直线交于点，问：点是否在定直线运动，若是，求直线的解析式，若不是，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)点在定直线上运动． 【详解】（1）解：将，代入得， ，解得，抛物线的解析式为； （2）解：如图，设交轴于点，取点，连接，过点F作，则， 令，可得或，，， 在△和△中，，△△， ，平分，，，， ，，设，则有，解得或（舍去）， ，即，设直线解析式为， 则有，解得，直线解析式为， 联立，解得（与点重合，故舍去）或，； （3）设点，，设直线的解析式为， ，解得，直线的解析式为， 设直线的解析式为，，解得， 直线的解析式为， 联立得：，解得：，， 联立直线与抛物线得：， 整理得：，，，，， 将代入得，     ，     ， ，点在直线上． 【变式】2．（25-26九年级上·成都·月考）如图，抛物线与x轴分别交于点A、B（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，点在抛物线上． (1)求c的值；(2)若点D与C关于原点O对称，作射线交抛物线于点E，若． ①如图1，在直线下方的抛物线上有一点 P，若平分，求P点的横坐标； ②如图2，直线交抛物线于另一点 F，直线交抛物线于另一点H，且M，N分别为线段，的中点，若，求证：直线与经过原点的一条定直线平行． 【答案】(1)(2)①；②证明见解析 【详解】（1）解：将点代入抛物线，得， ，即，∴； （2）解：，令，则，∴点C坐标为， ∵点D与C关于原点O对称，∴点D坐标为，设点B坐标为， ∵，∴点D是的中点， 由中点公式可得，解得，，∴点E坐标为， 将，代入抛物线，得，， 将得，，即，将代入①得，，解得，， ∴，∴方程组的解为， ∴抛物线解析式为，点B坐标为，点E坐标为， ①如图，作轴，垂足为J，延长交于点K，作，垂足为，设， ∵点E坐标为，轴，∴点J坐标为，，∴，， 在直角中，， ∵，∴，∵平分，∴， 在和中，，∴，∴，， 在直角中，，，， 由勾股定理得，，∴，解得，，∴点K坐标为， 设直线的函数解析式为，将，代入，得， ，解得，，∴直线的函数解析式为， 联立方程，解得，或，∴点P的横坐标为； ②证明：如图，连接，将点E坐标为代入，得， ∴，即，同理，，， 联立方程，将③代入④得，， 化简，得，因式分解，得， 解得，或，∴方程组的解为或， ∴点F坐标为，同理，点H坐标为， 设直线的函数解析式为， 将，代入，得， ，将得，， ∵，且，∴，即， ∵M，N分别为线段，的中点，∴是的中位线，∴， ∴，∴与过原点的定直线平行． 题型04 二次函数中的定值问题 掌握韦达定理及其证明，能让你在处理二次函数定值问题时，透过参数看到根的本质关系，化繁为简。中考中这类问题常以压轴题出现，熟练运用是制胜关键。这类问题要求证明某个代数式的值恒为常数，与参数无关。韦达定理通过将“和”与“积”整体代入，常能简化表达式。整体代入‌：直接套用韦达定理的结论。 【典例】（2025·四川成都·模拟预测）如图，已知抛物线 的对称轴为直线，且抛物线与x轴交于点A 和点 ，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式和点 C 的坐标．(2)直线上方的抛物线上有一动点M，过点M作y轴的平行线交于点 N，过点 M 作的垂线，垂足为 H．①当点M运动到抛物线的顶点时，求的周长；②求的周长的最大值．(3)将抛物线向下平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到一个新的抛物线．在y轴上是否存在一点F，使得当经过点 F 的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有 为定值？若存在，求出点 F 的坐标及该定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，点C的坐标为(2)①，②周长的最大值为 (3)存在，定点F 的坐标为 的值为4 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，∴． 把点代入 中，得，∴抛物线的解析式为 ， 当时，，∴点C的坐标为； （2）解：设直线 的函数解析式为，把代入，得 ，解得 ， ∴直线 的函数解析式为，∵，∴． ∵轴，∴．∴是等腰直角三角形．； ①当点 M 运动到抛物线的顶点时，点 N的坐标为，∴． ∴的周长为 ； ②设 其中，则， ∴的周长为 ，∴当 时，的周长有最大值，最大值为 ； （3）解：存在． 当抛物线 向下平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度后，得到新的抛物线 ，即 ， 设的解析式为，点 S 的坐标为，点T的坐标为，则 ， 联立新抛物线与直线的函数解析式，得 ，整理，得 ， 由根与系数的关系，得 ，则 ， 同理， ，， ， 当 为定值时，有 ， ， 当 时， ，∴定点F 的坐标为 的值为4． 【变式】1．（2025·四川成都·二模）如图，平面直角坐标系中，抛物线经过原点O、，将该抛物线绕点旋转得到抛物线，两抛物线交于B、C两点，抛物线与y轴交于点D． (1)求抛物线的表达式；(2)当时，求的面积；(3)若直线与抛物线交于E、F两点，点E在点F的左侧，记直线的斜率为，直线的斜率为，当为定值时，求m的值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：∵抛物线经过原点O、， ∴，∴，∴抛物线的表达式， （2）解：∵抛物线的表达式，∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线绕点旋转得到抛物线，∴抛物线的顶点坐标为，且二次项系数为， ∴抛物线的解析式为， 联立，解得或，∴， ∵，∴点M为中点，∴； （3）解：∵抛物线绕点旋转得到抛物线，抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的顶点坐标为，且二次项系数为， ∴抛物线的解析式为，∴， 设，联立得，∴； 设直线解析式为，直线解析式为， ∴，解得，同理可得， ∴ ， ∵是一个定值，∴，即． 【变式】2．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，直线与抛物线交于两点(点在轴左侧，点在轴右侧)，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式；(2)若与的面积之比是，求的值； (3)若作点关于轴的对称点，直线与直线相交于点，试探究：的面积是否为定值？若为定值，请求出的面积；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)的面积为定值，的面积为4 【详解】（1）解：已知抛物线经过点， 将点代入抛物线方程可得：，解得，∴抛物线的函数表达式为． （2）解：若与的面积之比是，则， ∵点在同一直线上，则，即①， 联立直线与抛物线的方程得：， 整理得，∴，②， 由①②得：，解得：， ∵点在轴左侧，∴，∴，即，∴，即． （3）解：点关于轴的对称点，直线与轴交于点，则点， 设点的坐标分别为：、， 由点的坐标得，直线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：，整理得：， 由点的坐标得，直线的表达式为：， 同理可得，的表达式为：， 联立上述两式得：，解得：， ，则，，， ∴点的纵坐标为为定值，即的面积为定值， ∵，到的距离为，∴． 题型05 二次函数与新定义综合压轴 【典例】（2025·广东深圳·三模）规定1：一个点纵坐标与横坐标的比“”称为点的“纵横比”．例如：点，则它的“纵横比”为． 规定2：若点是函数图象上任意一点，则函数图象上所有点的“纵横比”中的最大值称为函数的“最优纵横比”． 例如：点在函数图象上，图象上所有点的“纵横比”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的（）“最优纵横比”为7． 根据规定，解答下列问题：(1)点的“纵横比”为_____； (2)若当时，一次函数的最优纵横比为5，则的值为_____； (3)若已知二次函数的顶点在直线上，当时，二次函数的最优纵横比为2，求的值． (4)若已知二次函数的图象如图所示，平面中有、两点，且，，现向左右平移该二次函数图象，使得图象与线段只有一个交点．若平移的距离为，请求出的取值范围，并直接写出交点“纵横比”的对应范围_____． 【答案】(1)(2)1(3)的值为或4 (4)当或时，图象与线段只有一个交点； 【详解】（1）解：点的“纵横比”为，故答案为：； （2）解：一次函数的纵横比为，则纵横比随着的增大而减小， ∵，∴当时，一次函数取得最优纵横比， ∵一次函数的最优纵横比为5，∴，∴．故答案为：1． （3）解：∵二次函数的顶点在直线上，∴，则， 二次函数的纵横比为， 当时，当时，纵横比随着的增大而增大， ∴当时，二次函数取得最优纵横比为， ∵二次函数的最优纵横比为2，则，解得，则； 当时，在当时，纵横比随着的增大而减小， ∴当时，二次函数取得最优纵横比为， ∵二次函数的最优纵横比为2，则，解得，则； 综上，当，二次函数的最优纵横比为2时，的值为或4． （4）解：根据题意得二次函数平移后的解析式为， ∵，，将代入可得，解得：或， 将代入可得，解得：或， 故当时，和都在上， 根据图象可得当或时，图象与线段只有一个交点， ∵，，设直线的解析式为 ， 则，解得：，故直线的解析式为 ， 则交点“纵横比”，则纵横比随着的增大而减小， ∵，当时，， ∴当时，n最小，∴交点“纵横比”的对应范围是． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）我们约定：如果一个二次函数的二次项系数和一个一次函数和一次项系数相同，且二次函数的一次项系数和一次函数的常数项相同，则称这两个函数互为“友情函数”，例如：二次函数与一次函数互为“友情函数”． (1)已知二次函数满足，试说明该二次函数与它的“友情函数”有两个不同的交点； (2)当二次函数与它的“友情函数”仅有一个交点，且时，请判断这两个函数是否有交点，如果有，请写出交点的横坐标； (3)若二次函数满足以下条件：①函数图像过点，②，若该二次函数与它的“友情函数”的交点的横坐标，，试判断的取值范围． 【答案】(1)证明见解析(2)有，或(3) 【详解】（1）证明：由题意得：二次函数的“友情函数”为，∴， 整理，得：，∴ ∵，，∴，∴该二次函数与它的“友情函数”有两个不同的交点． （2）解：∵，由（1）得：， ∴或， ①若，则由（1）得：，∴，∵，∴ ②若，同理得：，∵0，∴．综上所述，交点的横坐标为或． （3）解：把点代入得：，∴， 由题意得：，∴，整理，得：， 由（1）得：，∴， 由题意得：，是的两个解，∴，， ∴， ∵，∴随着的增大而增大， 当时，，当时，=，∴的取值范围是． 【变式】2．（25-26九年级上·成都·月考）定义：我们规定二次函数（且）与（且）互为“交叉函数”，它们的交点叫做“交叉点”． (1)求证：互为“交叉函数”的两个二次函数有且只有一个“交叉点”． (2)二次函数与它的“交叉函数”与y轴分别交于B、C两点，它们的“交叉点”为A点，若是以为底边的等腰直角三角形，求这两个函数的解析式． (3)二次函数与它的“交叉函数”交x轴于不同的四点，且四个交点中任意相邻两点间的距离相等，若一次函数与它们两个二次函数共有3个不同的交点，求k的值或者范围． 【答案】(1)证明见解析(2)这两个函数的解析式为和 (3)的值为或 【详解】（1）证明：联立，消去y整理得，， 又，即，，解得，方程组只有一组解， 二次函数（且）与（且）只有一个交点， 互为“交叉函数”的两个二次函数有且只有一个“交叉点”． （2）解：依题意作图，如图1：过点A作轴于点D， 当时，，故；当时，，故； 由（1）知二次函数与它的“交叉函数”的“交叉点”A的坐标为， ，，，是以为底边的等腰直角三角形，， 又，点D为的中点，，即，， 点D为的中点，，，联立，解得或， 这两个函数的解析式为和． （3）解：不妨设二次函数与x轴交于点M，N（点N在点M的右边）， 二次函数与x轴交于点P，Q（点Q在点P的右边）， 则关于x的方程有两根，，由求根公式可得， ，同理可求得， 由题知，，，两边平方整理得，， 又，，，，两函数图象的交点坐标为， 点P在之间，点N在之间，如图2所示， 由，可知点在抛物线的对称轴上，且，，， ，是方程的两根，由根与系数的关系可知， ，，，整理得， 又，，由得， 两抛物线解析式为和，易求得，，，， 当时，，一次函数图象过点， 如图3，结合图象可知，若一次函数与它们两个二次函数共有3个不同的交点， 则一次函数图象过点或一次函数图象与抛物线只有一个交点， 当一次函数图象过点时，，． 当一次函数图象与抛物线只有一个交点时，方程有两个相等的实数根， 整理得，， 解得，．综上可知，的值为或． 重难点二 二次函数与几何图形综合压轴 二次函数与几何图形综合压轴是历年成都中考的传统考法，知识覆盖较广，综合性强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高。解决这类问题需要用到数形结合思想，需要很好地把“数”和“形”结合在一起，互相渗透。存在探究问题是指在给定条件下，判断某种数学现象是否存在、某个结论是否出现的问题。解决这类问题的一般思路是先假设结论的某一方面存在，然后在这个假设的条件下进行逻辑推理，若推出矛盾，可否定假设，若推出合理结论，则可肯定假设。 二次函数与几何图形综合压轴问题考查方向有：与特殊三角形综合压轴、与特殊四边形综合压轴、与相似（全等）三角形综合压轴、与特殊角度综合压轴、与面积（长度）综合压轴、与几何变换综合压轴、与几何最值综合压轴等。 处理方法与反比例函数综合压轴题类似，一般先设出几何图形中的未知数，然后结合函数的图像用含未知数的式子表示出几何图形与图像的交点坐标，再由函数解析式及几何图形的性质写出含未知数及待求字母系数的当成（组），解方程（组）即可得所求几何图形的未知量或函数解析式中待定字母的值。 题型01 二次函数与特殊三角形综合压轴 1）等腰三角形存在性问题处理技巧：需注意分类讨论思想的应用，找准顶确与底角分类讨论的关键，借助等腰三角形的等边对等角、等角对等边、三线合一等性质来转化已知条件是常用的处理手段。 2）直角三角形存在性问题处理技巧：需注意分类讨论思想的应用，找准直角顶点是分类讨论的关键，借助直角三角形的勾股定理，两锐角互补等性质来转化已知条件是常用的处理手段。 【典例】（2025·四川成都·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，（点在点的右边），与轴交于点，直线经过点，(1)求，，三点的坐标及直线的函数解析式．(2)是第二象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为（），的长为．求与的函数关系式，并写出的取值范围；(3)设抛物线的顶点为，问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，，直线解析式为 (2)(3)存在，或或或． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，，解得：，∴， ∵直线经过点A，B；∴，解得：，∴； （2）∵点P的横坐标为，∴， ∵轴，∴，∴， ∴，∴，∴， ∵P是第二象限内抛物线上的一个动点，∴；∴； （3）存在，设点，∵，∴， ∵，∴； ①当点为直角顶点时：，解得：，∴； ②当点为直角顶点时，，解得：，∴； ③当点为直角顶点时：，解得：或，∴或； 综上：或或或． 【变式】1．（2025·成都·一模）如图，抛物线与轴交于A、B两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式；(2)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (3)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，求的值． 【答案】(1)抛物线解析式为，直线解析式为(2)的最大值为(3) 【详解】（1）解：抛物线过、两点， 代入抛物线解析式可得，解得，抛物线解析式为， 令可得，，解， 点在点右侧，点坐标为，设直线解析式为， 把B、C坐标代入可得，解得，直线解析式为； （2）解：轴，点的横坐标为，， 在线段上运动，点在点上方，， 当时，有最大值，的最大值为； （3）解：轴，当是以为腰的等腰直角三角形时，则有， 点纵坐标为3，，解得或， 当时，则M、C重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）综合与探究，如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，平行于轴的直线与抛物线交于两点，点在对称轴左侧，． (1)求此抛物线的解析式；(2)已知在轴上存在一点，使得的周长最小，则点的坐标为_______； (3)若点在直线上，直线将的面积分成两部分，求点坐标． (4)点在直线上，在抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标，不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)或 (4)存在，或或或 【详解】（1）解：∵与轴交于点，对称轴为直线， ∴，解得：，∴抛物线的解析式为； （2）解：∵对称轴为直线，，∴点横坐标为，横坐标为1． 把代入抛物线解析式得：，∴，．    如图，作点关于轴的对称点为点，连接，交x轴于点D，则，， 此时取得最小值，则此时的周长最小， 设直线解析式为，把坐标代入得：，解得：， 即直线解析式为，令，解得， 即点D的坐标为； 故答案为： （3）解：由（2）得：，，设直线解析式为， ∴解得：，∴直线解析式为， 设直线与交于点P，过P作轴，垂足为H，设与y轴交于点S，则，则， ∴，∴．   ∵直线将的面积分成两部分， ∴或，∴或， ∵，∴或∴或，∴点P的横坐标为或， 把代入得：，此时； 把代入得：，此时； 综上所述，点P的坐标为或；故答案为：或 （4）解：存在，设点Q的坐标为，设交y轴于点K，则，根据题意得：， 如图，过点M作于点N，则，此时， ∴，∴， ∵，∴，∴，， ∴，∴点，把点代入得： ，解得：（舍去）或0；此时点Q的坐标为； 如图，过点Q作轴于点Q，过点M作于点G，过点A作于点E， 此时，，同理∴，， ∴，∴点，把点代入得： ，解得：或（舍去），∴点； 如图，过点Q作轴于点Q，过点M作于点N，过点A作于点E，此时，， 同理∴，，∴，∴点， 把点代入得：， 解得：（舍去）或；∴点； 如图，过点Q作轴于点Q，过点M作于点N，过点A作于点E，此时，，同理；∴，， ∴，∴点，把点代入得： ，解得：或0（舍去）；∴点； 综上所述，点Q的坐标为或或或． 题型02 二次函数与特殊四边形综合压轴 特殊平行四边形存在性问题处理技巧： 1）平行四边形存在性问题处理技巧：（平移+中点思想） 关键：对角线互相平分，即对角线中点重合→中点公式。 ①当AB为对角线：xA+xB=xC+xD；yA+yB=yC+yD； ②当AC为对角线：xA+xC=xB+xD；yA+yC=yB+yD； ③当AD为对角线：xA+xD=xB+xC；yA+yD=yB+yC。 2）菱形存在性问题处理技巧：先用中点公式证平行四边形，再构造等腰三角形，即邻边相等的点。 3）矩形存在性问题处理技巧：先用中点公式证平行四边形，再构造证直角三角形，即邻边垂直的点。 4）正方形存在性问题处理技巧：先用中点公式证平行四边形，再构造证等腰直角三角形的点。 注意：“四边形ABCD是 ....”和“以点A、B、C、D为顶点的四边形是....”的区别，前者顺序已定，后者可以随机顺序，需进一步讨论。 【典例】（25-26九年级上·四川成都·校考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．(1)求抛物线关系式； (2)已知P是直线下方抛物线上一动点，连接，求四边形面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，点D为抛物线的顶点，对称轴交x轴于点E，M是直线上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点N，使得以点C，E，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)四边形面积最大值是16，此时P的坐标为 (3)存在，点N的坐标为，，， 【详解】（1）解：将，两点代入解析式得，，解得：， ∴抛物线关系式， （2）连接，对于抛物线，当时，可有，即， 又∵，，∴，设P点坐标，则 ， ∵，此函数有最大值，∵，∴当时，四边形面积有最大值，最大面积是16． 当时，，此时P的坐标为． （3）存在，此时点N的坐标为：；；；． 由，可知，对称轴为直线，∴，连接，可得， 设直线解析式为，将点，代入， 可得，解得，所以直线解析式为， ①当为边，且四边形为菱形时，如图所示， 此时，过点作轴于点G， 设，则，，， ∴，解得（舍去），或，∴，； ②当为边，且四边形为菱形时，如图所示， 此时，过点作轴于点H，过点作轴于点T， ∵，∴，，∴， ，∴，， ∴，，∴，； ③当为对角线，且四边形CNEM为菱形时，如图所示， 取的中点K，过点K作，交于点M，∴， 设直线的表达式为：，把，代入可得， 解得∴直线的表达式为：， ∵直线与直线垂直，且过的中点，∴直线的表达式为：， 联立，解得，∴，∴， 综上可知，此时点N的坐标为：，，，． 【变式】1．（2026·成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与轴交于、两点，与轴相交于点，直线与抛物线交于两点．    (1)求二次函数的解析式；(2)点为直线上方抛物线上一点，过点作轴的平行线交于点，当最长时，求此时点的坐标；(3)抛物线顶点为，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数的解析式为；(2)点的坐标为； (3)存在，点坐标为． 【详解】（1）解：将 分别代入， 得，解得，∴二次函数的解析式为； （2）解：如图1，设点，则，    ． 联立一次函数与二次函数的表达式，得， 解得或，． ∵，且，∴当时，取得最大值， 把代入，得，∴； （3）解：，∴抛物线的顶点为． 由（1）知， 如图2，当点为顶点的四边形是平行四边形时，设，分三种情况：    ①如图2，为对角线时，的中点与的中点重合， ，解得，∴； ②如图2，为对角线时，的中点与的中点重合， ，解得，； ③如图2，为对角线时，的中点与的中点重合， ，解得，． 综上，点 的坐标为． 【变式】2．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且抛物线的顶点的坐标为，连接，抛物线的对称轴与交于点． (1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上、两点之间的部分（不包含、两点），是否存在点，使得四边形的面积最大，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；(3)如图②，将抛物线在上方的图象沿折叠后与轴交于点，为直线上一个动点，在平面内是否存在一个点，使得以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形，若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)点的坐标为或 【详解】（1）解：∵抛物线的图象与轴交于、两点，抛物线的顶点的坐标为，∴，解得：，∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，当时，，即，设直线的解析式为， 将，代入解析式可得，解得：，∴直线的解析式为， 如图：连接、、，作轴交直线于点， 设，则，∴， ∵，，，∴，， ∴ ， ∵，∴当时，最大，为，此时， ∴点的坐标为； （3）解：如图：∵，，∴，∴， 设点关于的对称点为点，则，， ∴，∴点和点关于直线对称， ∴，∴，∴，即， ∵以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形，∴， 设，∵，，， ∴，解得：或， 当时，，由矩形的性质可得此时， 当时，，由矩形的性质可得此时；综上所述，点的坐标为或． 题型03 二次函数与相似（全等）三角形综合压轴 1.相似三角形存在性问题：（1）若两个相似三角形对应关系已知，则根据对应边或对应角关系；①设点坐标；②表示线段长（或点坐标）；③列比例关系式求解；④将点坐标代入到满足的函数关系中求解；（2）若两个相似三角形对应关系末知，则需根据已知三角形分类讨论三角形的对应边关系，再由（1）中的步骤求解即可。 2.全等三角形存在性问题：（1）若两个全等三角形对应关系已知，则根据对应边关系；①若三角形的边长可以计算出来，则根据全等关系直接列式；②若已知三角形的顶点在抛物线上，并且可以表示出来，则将此顶点坐标代入抛物线解析式中列式。（2）若两个全等三角形对应关系未知，则需根据已知分类讨论两个三角形的对应全等关系，再由（1）中的方法求解即可。 【典例】（2025·四川成都·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于点A，，与y轴交于点C， 是抛物线的顶点，连接． (1)求抛物线的函数表达式；(2)如图2，P是直线下方抛物线上一动点，过点P作于点E，作轴交抛物线于另一点F，求的最大值及此时点P的坐标；(3)连接，设直线交x轴于点M，若N是线段上的一动点，是否存在以点M，N，O为顶点的三角形与相似．若存在；求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)的最大值为，此时点P的坐标为； (3)存在以点M，N，O为顶点的三角形与相似，N的坐标为或． 【详解】（1）解：由抛物线的顶点为，设抛物线解析式为， 把代入得：，解得，， 抛物线的函数表达式为； （2）过P作PK交BC于K，如图： 设，在中，令得，， 由，得直线BC解析式为，，，∵， ，，， ，， ，抛物线对称轴为直线，轴，， ， ，当时，的最大值为，此时， 的最大值为，此时点P的坐标为； （3）存在以点M，N，O为顶点的三角形与相似，理由如下：如图： 由，得直线CD解析式为， 令得，，， 直线OC是线段BM的垂直平分线，，， 要使以点M，N，O为顶点的三角形与相似，只需或， 设，，，，， ，，， 当时，，解得，∴； 当时，，解得，∴． 综上所述，N的坐标为或． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）如图，直线与轴，轴分别交于点，点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为．(1)求该抛物线的解析式以及顶点的坐标；(2)当时，在抛物线上存在点，使的面积有最大值，求点的坐标；(3)连接，点在轴上，是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，点P的坐标为；(2)点E的坐标为； (3)存在，点N的坐标为或 【详解】（1）解：直线，令，得，令，得， 所以，，代入得， ，解得：，∴， ∴，∴顶点P的坐标为：； （2）解：在抛物线上取点E，连接，，过E作x轴的垂线，交于点F， 设点，则点，∴， ∴， ∴当时，的面积有最大值，此时，点E的坐标为； （3）解：存在，理由如下，连接，设， 当时，，解得，， ∴， ∵，，，∴，且非等腰三角形， 若为顶点的三角形与相似，，则点在点的左侧， ， ①当时，，∴，解得，所以点N的坐标为， ②当时，，∴，解得，所以点N的坐标为， 综上所述，点N的坐标为或． 【变式】2．（25-26九年级上·成都·校考期中）综合与探究：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D． (1)如图，分别求这个二次函数和直线的表达式；(2)如图，连接，，求四边形的面积；如图，若点P是第二象限内抛物线上的一点，且使的面积最大．请解答下面问题：①求出点P的坐标；②此时平面内是否存在另一点Q，使和全等？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)四边形的面积为5；①点P坐标为；②点Q的坐标为或或 【详解】（1）解：∵，， ∴设二次函数的表达式为：， 又∵二次函数表达式为，∴，解得：， ∴抛物线的表达式为：，顶点的坐标为，点C的坐标为， 将点A、C坐标代入一次函数表达式得：，解得：， ∴直线的表达式为：． （2）解：如图，过点D作轴，交于点G，∴点，则点，∴， ∴； ①如图，过点D作轴交于点G，过点P作轴交于点H， 设点，则点，∴， ∵，抛物线开口向下，故有最大值，当时，有最大值，∴点P坐标为； ②（i）如图，当点Q在直线上方时， 设点P，Q过直线且直线，线段的中垂线与线段的交点为M，此时点M为线段中点， ∴，则点P、Q关于线段的中垂线对称，∴线段的中点， 过点M作轴交点G，直线与y轴交点H，∵，， ∴，，， ∴，∴，即， ∵，∴，∴点H的坐标为， ∵直线过点M和点H，设直线的解析式为， ∴，解得，∴直线的解析式为， 同理过点P平行于直线的直线的表达式为：， 联立①②并解得：，即点， ∵点N是的中点，点P坐标为，点，∴由中点公式得点； （ii）如图，当点Q在直线下方时， 当时，同理可得中垂线的表达式为：，设点坐标为， ∵点，，即：， 整理得：，解得：，（舍去），故点； 当时，，∴， 将点A、P坐标代入一次函数表达式得：，解得：， ∴直线的解析式为：，设直线的解析式为：，将点C坐标代入得：， ∴直线的解析式为：，设点坐标为， ∵，即：，解得（舍去），，故点为， 综上所述，点Q的坐标为或或． 题型04 二次函数与特殊角度综合压轴  1）特殊角问题： （1）利用特殊角的三角函数值找到线段之间的数量关系；（2） 遇到特殊角可以构造特殊三角形，如遇到45°构造等腰直角三角形，遇到30°、60°构造等边三角形，遇到90°构造直角三角形。 2）角的数量关系问题 （1）等角问题：基于动点构造某个角使其与特定已知角相等，主要借助特殊图形的性质、全等和相似的性质或构造圆，利用圆周角的性质来解决； （2）倍角问题：基于动点构造某个角使其等于特定已知角的倍角，主要利用角平分线的性质、等腰三角形的性质、对称、辅助圆等知识来解答； （3）角的和差问题：角度和为90度等。 3）角的最值（范围）问题：比如最大最小角问题、锐角或钝角产生的取值问题等，常用利用辅助圆等知识来解答。 【典例】（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，抛物线：经过，两点，与轴交于点，连接，且． (1)求该抛物线的解析式；(2)如图2，点为抛物线上一点，且位于第三象限，于点，若，求点的坐标；(3)抛物线与抛物线：关于原点对称，抛物线与轴正半轴交于点，作交直线于点，在抛物线上是否存在点，使得∠，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)或； (3)或 【详解】（1）解：直线与x轴，y轴分别交于点A，B， ，，，，，， 经过点A，B，C，解得抛物线的解析式为； （2）解：，， ，，取的中点，在的延长线上取点G，使点G与点F关于点B对称，， ，，，，，四边形是矩形，， 设直线且过点，， ，或； （3）解：抛物线与抛物线关于原点对称， 的函数表达式为，点F的坐标为， ，点G的坐标为，在x轴上取一点P，使得，此时， 设，，，，， 当点H位于第一象限时，过点B作交的延长线于点Q，作轴于点M，作轴于点N，设点Q的坐标为，，，，， ∵∴ ∵∴，， ，，，， ，，直线与交于点H， （舍去），点H的坐标为，     当点H位于第三象限时，点与点Q关于点B对称，此时， ，， （舍去）， 点H的坐标为， 综上所述，点H的坐标为或． 【变式】1．（24-25九年级上·天津南开·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点在抛物线上，点P是抛物线上一动点． (1)求该抛物线的解析式；(2)连接，若上方抛物线上有一点P，且P到直线的距离为，求点P的坐标；(3)如下图，连接，抛物线上是否存在点P，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)存在，点的坐标为或 【详解】（1）解：代入和，得，解得：， 抛物线的解析式为． （2）解：令，则，，， ，，又，，设直线的解析式为， 代入和，得，解得：，直线的解析式为； 作交于点，轴交轴于点，交于点， 轴，轴，， ，，， ，是等腰直角三角形，，由题意得，， ，设点P的坐标为，则点N的坐标为， ，解得：， ，点P的坐标为． （3）解：存在，理由如下：令，则，解得：，，， 如图，将绕点顺时针方向旋转至，则，， ，由（2）中的结论得，， ，， 直线上存在符合题意的点，设直线的解析式为， 代入和得，，解得：， 直线的解析式为，联立，解得：或，； 如图，连接、，过点作交于点，，，轴， ，，，，， ， ，是等腰直角三角形，， ，，，， 又，，， ，，直线上也存在符合题意的点， 又点在抛物线上，点与点重合，即；综上所述，点P的坐标为或． 【变式】2．（2025·广东东莞·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，且点在点的左侧，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式；(2)如图，直线与轴交于点，与轴交于点，动点为抛物线第一象限上的一点，于点， 轴交于点，求的周长的最大值，及此时点的坐标；(3)如图，连接，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使平移后的新抛物线经过点，新抛物线与x轴的另一交点为点，请问在新抛物线上是否存在一点，使得？若存在，则直接写出点的坐标；若不存在，则说明理由． 【答案】(1)；(2)周长的最大值为，此时点P的坐标为； (3)存在，坐标为或． 【详解】（1）解：把，代入得：，解得， 抛物线的函数表达式为． （2）解：设，轴，H在直线上，， ；在中，令得，令得， ，，，， 轴，，，是等腰直角三角形， ，， ，， 当时，取最大值，最大值为，此时， 的周长的最大值为，此时点P的坐标为． （3）解：在新抛物线上存在一点T，使得，理由如下： 当在轴上方时，延长，交于，如图： 在中，令得或，， 由，设抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位， 新抛物线函数表达式为， 把代入得：，解得舍去或， 新抛物线函数表达式为， 在中，令得或，， 由，可得直线函数表达式为，设， ，，，， ，，解得，， 由，可得直线函数表达式为， 联立，解得或，； 当在轴下方时，设关于轴的对称点为，则，由轴对称性质可知，为直线与新抛物线的交点，由，得直线函数表达式为， 联立，解得或，；综上所述，的坐标为或． 题型05 二次函数与面积（长度）综合压轴 1.线段长度的表示：(1)当线段为竖直线时，线段的长度为线段上端点与下端点纵坐标的差； (2)当线段为水平线时，线段的长度为线段右端点与左端点横坐标的差； (3)当线段为斜线段时，利用两点间距离公式表示线段长，AB＝。 2.坐标系中面积表示方法： （1）割补法（补）：如图1，S△ABC＝S四形边AMNC－(S△AMB＋S△BNC)． 图1 图2 图3 图4 （2）割补法（割）：如图2，S△ABC＝S△ABD＋S△ADC． （3）和差法：如图3，S△PBA＝S△OAP＋S△OBP－S△OBA． （4）铅垂法：如图4，S△ABC=ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半． 【典例】（2025·广东中山·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．    (1)求A，B，C三点的坐标；(2)如图1，连接，点E是第四象限内抛物线上的动点，过点E作于点F，轴交直线于点G，求面积的最大值；(3)如图2，点M在线段上（点M不与点O重合），点M、N关于原点对称，射线分别与抛物线交于P、Q两点，连接，若的面积为，四边形的面积为，求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：令，则； 令，则，解得；∴； （2）解：∵，∴，∴， ∵轴，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴， 设直线的解析式为∴，解得，∴， 设，则，∴， ∴ ，∴当最大时，的面积最大； 当时，有最大值，的面积有最大值； （3）解：设，则，设直线的解析式为， ∴，解得，∴，联立方程组， 解得或，∴，同理可求直线的解析式为， 联立方程组，解得或，∴； ∵，∴，，∴． 【变式】1．（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，以点为端点向右作与轴平行的射线交抛物线于点连接，点为线段的中点，过点的直线与轴交于点，与射线交于点，与抛物线在第一象限内交于点．(1)求抛物线的函数表达式：(2)连接，，则的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)连结，以所在直线为对称轴，经轴对称变换后得到，记直线与射线的交点为若的面积为，求点的坐标． 【答案】(1)(2)的面积不存在最大值，理由见解析 (3)或 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴ ∵与轴交于点，∴解得： ∴∴ （2）解：∵轴，当时， 解得：或∴；如图，过点作 依题意，点在直接的抛物线图象上运动， ∵是的中点，，∴； ∴抛物线的顶点坐标为，∴顶点坐标为到的距离为， 直线与的距离为，∵当重合时，的面积最大， 而与轴相交，与轴平行，则点无法与点重合，故的面积不存在最大值 （3）解：由（2）可得到的距离为 ∵的面积为，∴∴， 如图，当在点的左侧时， ∵，∴∴，∴， ∵是中点，∴，∴， ∵折叠∴∴∴，设， 由，可得直线的解析式为；设，依题意，点在的左侧，则 ∵折叠；∴；∴；设直线的解析式为，代入， ∴，解得：，∴直线的解析式， 当时，，即的横坐标为； 设直线的解析式为，代入， ∴解得：∴ 当时，解得：，即， ∵，∴，解得：（舍去）或，∴ 当在点的右侧时，如图 ∵∴解得：（舍去）或∴ 综上所述，或 【变式】2．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，已知顶点为的抛物线经过点，点为轴上一动点，过点的直线与抛物线交于，两点（点在点左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的表达式；(2)如图1，当，时，在轴上有一点，连接，，若面积为，求的值；(3)如图2，当，时，过点作直线与轴、轴分别交于，两点，且直线与抛物线有且仅有一个公共点，连接，过点作交轴于点．若与的面积之比等于，求点的坐标． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：∵顶点为的抛物线过点， ∴将点代入抛物线得：，解得：；∴抛物线表达式为：； （2）解：当时，，当时，，∴， 联立，∴，∴， ∵点在点左侧，∴， ∵，∴， ；，，整理得，， ∵，∴，解得：； （3）解：由题意得，，设直线，代入得，，∴， ∴直线，即， 联立得：， ∵直线与抛物线有且仅有一个公共点，∴， ∴，∴，∴， ∴直线，即，当，∴， 当，则，解得：，∴，∴， ∵与的面积之比等于，∴，∴， ∵，同理可求直线， ∵，∴，∴同理可求直线， 当，则，解得：，∴， 对于直线，同理可求， ∵，∴，∴，∴， 联立，∴，∴，∴，， ∴∴，∴，解得：， ∵，∴． 【变式】3．（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点．抛物线与抛物线在第一象限交于点，与轴交于点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若以，，为顶点的三角形为直角三角形，求的值； (3)当时，过点的直线与抛物线在第二象限交于点，与抛物线的另一交点为，求四边形的面积与的函数关系式． 【答案】(1)(2)2或(3) 【详解】（1）解：代入和到抛物线得，，解得：， 抛物线的函数表达式为． （2）解：由（1）得，，抛物线， 令，则，，又，， 第一象限点在抛物线上，设， ①若，则点和点的纵坐标相同，，解得：（舍去）； ②若，则点和点的纵坐标相同，，解得：或（舍去），， 代入到抛物线得，，解得：； ③若，取的中点为，则，，， 解得：或（舍去）或（舍去），， 代入到抛物线得，，解得：；综上所述，的值为2或． （3）解：联立， 消去整理得：， 直线与抛物线交于点、，， 联立， 消去整理得：，同理可得，， ， 四边形的面积， 四边形的面积与的函数关系式为． 题型06 二次函数与几何变换综合压轴 【典例】（2025·四川成都·二模）如图，已知抛物线与轴相交于点，将抛物线绕着点旋转得到新的抛物线，抛物线与轴相交于点． (1)求点的坐标及抛物线的顶点坐标；(2)在抛物线上取一点，连接，且满足． 当时，求点的坐标；定义：我们把一条对角线与一条边相等的平行四边形称为关于此对角线的对等平行四边形．现过点，，作平行四边形，当平行四边形是关于对角线的对等平行四边形时，求此时的值． 【答案】(1)；(2)或或 【详解】（1）解：∵令，得，∴， ∵，∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：∵，∴，∴或， 当为时，如图，设新的抛物线的解析式为， 抛物线绕着点旋转得到新的抛物线，两抛物线开口方向相反，形状相同，则， ∵点绕点旋转得，新的抛物线的对称轴与抛物线的对称轴关于轴对称， ∴，解得：，∴新的抛物线的解析式为， ∵如图，过点作轴于点， ∵，∴，∴设，设直线解析式为， 将代入，得，解得：，∴直线解析式为， 联立，解得：，，∴； 当为时，如图，同理可得新的抛物线的解析式为， 如图，过点作轴于点，同理可得直线解析式为， 联立，解得：，，∴， 综上所述，或； 由旋转知和关于点对称，新的抛物线的对称轴与抛物线的对称轴直线关于轴对称，，， ∴，新的抛物线的对称轴为直线，两抛物线开口方向相反，形状相同， 同方法可得新的抛物线的解析式为， 设交轴于点，∵，∴，且点在轴负半轴，∴， 设直线解析式为，将，代入， 得，解得：，∴直线解析式为， 联立，解得：，，∴， ∵平行四边形是关于对角线的对等平行四边形， 当时，得，解得：； 当时，得，解得：或（大于，舍）； 综上所述，或． 【变式】1．（2025九年级上·成都·专题练习）如图，已知抛物线：的顶点为P，与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左边)，点B的横坐标是1． (1)求a的值及P的坐标； (2)如图（1），抛物线与抛物线关于x轴对称，将抛物线向右平移，平移后的抛物线记为，的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求的解析式； (3)如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线绕点Q旋转后得到抛物线．抛物线的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标． 【答案】(1)，P的坐标为(2) (3)当Q点坐标为或时，以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形 【详解】（1）解：由抛物线：得，顶点P的坐标为， ∵点在抛物线上，∴，解得； （2）解：连接，作轴于H，作轴于G，∴， ∵点P、M关于点B成中心对称，∴过点B，且， ∴，∴，，∴顶点M的坐标为， 抛物线由关于x轴对称得到，抛物线由平移得到，∴抛物线的表达式为； （3）解：∵抛物线由绕x轴上的点Q旋转得到，∴顶点N、P关于点Q成中心对称， 由（2）得点N的纵坐标为5，设点N坐标为， 作轴于H，作轴于G，作于K， ∵旋转中心Q在x轴上，∴点B与点E是对应点，点A与点F是对应点，∴． ∵点P是抛物线的顶点，∴，∴∴ ∵点N是抛物线的顶点，∴∴点F坐标为． H坐标为，K坐标为，∵顶点P的坐标为， 根据勾股定理得：， ，， ①当时，，即， 解得，∴Q点坐标为， ②当°时，，， 解得，∴Q点坐标为， ③∵，∴， 综上所述，当Q点坐标为或时，以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形． 【变式】2．（2025·四川成都·二模）如图，将抛物线平移，得到的新抛物线经过点和．在第三象限内新抛物线上取点，设点在原抛物线上的对应点为． (1)求新抛物线的表达式；(2)若，求点的坐标；(3)若点在第三象限内新抛物线上移动，试探究四边形的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请求出它的最大值． 【答案】(1)(2)(3)四边形的面积是定值，这个定值为15 【详解】（1）解：抛物线平移得到新抛物线，设新抛物线的表达式为， 把和代入可得：，解得，新抛物线的表达式为； （2）解：新抛物线的表达式为， 抛物线的顶点平移到抛物线的顶点， 抛物线平移得抛物线的平移方式为：向右平移2个单位，向下平移4个单位， 设，则， 设的解析式为，它过和，则，解得， 设解析式为，它过和， 则，解得， ，，，经检验：是原方程的根， 当时，，，； （3）解：连接，，，设和交于点，和的交点为E， 设的解析式为，它过，则，解得，∴的解析式为； 设的解析式为，它过和， 则，解得，∴设的解析式为， 联立方程组，解得，，∴, ∴，，， ∵，是直角三角形，， 平移过程中，点的对应点为点，点的对应点为， ，，， 四边形的面积是定值，这个定值为15． 题型07 二次函数与几何最值综合压轴 1．竖直线的最值问题：设出点坐标，表示出线段的长，利用二次函数性质求解． 2．斜线段的最值问题：看到斜线段，首先想到构造三角形将斜线段转化为竖直线段求解．如过线段的端点作平行于y轴的线段构造三角形，具体方法如下： （1）可通过构造的三角形与某三角形相似，将斜线段转化为竖直线段； （2）利用平行线性质将所构造三角形中的角进行转化，利用锐角三角函数将斜线段转化为竖直线段； （3）若构造后的三角形含特殊角，则直接利用直角三角形的边角关系将斜线段转化为竖直线段． 3．求线段比值最值问题：找出含有比值线段的两个相似三角形，利用相似的性质将线段比值进行转化，再利用二次函数性质求解。 4.除此外，也需关注将军饮马（遛马、过桥）、逆等线、胡不归、费马点、阿氏圆等几何最值模型。 【典例】（2025·天津·一模）已知抛物线（为常数，）的顶点为，且与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，为抛物线上一点，点横坐标为，且． (1)若．①求点和点的坐标；②过点作，交于点，若时，求点的坐标；(2)若点的坐标为，点在轴负半轴上，且点的坐标为，，点分别在上，且，当取得最小值为时，求点的坐标． 【答案】(1)①，；②或(2) 【详解】（1）解：①∵，，∴抛物线解析式为，∴, 当时，，解得，，∵点在点的左侧， ∴； ②过点作轴，垂足为，交于点， 由①知，当时，，∴，∴， ∵，∴，∴在中，，∴， ∵点横坐标为，∴，，∴，∴， ∴，在中，， ∴,∴，解得或，∴或； （2）解：∵点的坐标为，∴，∴，∴抛物线解析式为， ∵，，，∴， ∵，∴，， ∵，∴，过点作，垂足为， 则， ∴，解得，，∴， 过点作，使，连接， ∵，，∴， ∵，，∴，∴，∴， ∴当点共线时，有最小值，最小值为，即， ∴， ∵，∴，∴，解得，， ∵，∴，∴． 【变式】1．（2025·四川绵阳·一模）如图所示，抛物线的解析式为． (1)若抛物线经过点，求抛物线的解析式；(2)在（1）的条件下，抛物线与x轴相交于两点（点A在点B的左侧），若将直线绕点A按顺时针方向旋转后与抛物线相交于点P，求点P的坐标； (3)如图1所示，若直线与抛物线相交于两点（M在N的左侧）O为坐标系原点，直接写出的最小值． 【答案】(1)该抛物线的解析式为(2)(3) 【详解】（1）解：把点代入得：， 解得：，∴该抛物线的解析式为； （2）解：设直线与y轴的交点为D，过点D作于点E，如图所示： 由（1）可知：抛物线的解析式为，点， ∴令时，则有，解得：， ∴，∴，∴， 由旋转的性质可知：，∴是等腰直角三角形，∴， ∵，∴，∴，即， ∴，∴，∴， ∴，∴，∴， 设直线的解析式为，则有： ，解得：，∴直线的解析式为， 联立直线与抛物线的解析式得：，解得：，∴； （3）解：由题意可联立得：，解得：， ∴，∴，， ∴根据两点距离公式的几何意义可知：的和可看作是动点到定点距离之和，且动点在直线上运动，如图，作点关于直线的对称点H，根据轴对称的性质可知直线垂直平分，所以，即点，连接，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可知：当动点是直线与线段的交点时，有最小值，最小值为． 【变式】2．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，其顶点为．直线与轴交于点，与抛物线交于，两点，且．(1)求抛物线的表达式．(2)若，求的值．(3)直线与直线交于点，求的最小值． 【答案】(1)(2)或(3) 【详解】（1）解：当时，，即． 当时，，，即，， 抛物线的对称轴为直线．将代入抛物线表达式得，即， ，，得，故抛物线的表达式为； （2）解：∵，，∴，∴，∴， 当时，，即， 设直线的表达式为，将，代入， 则，解得，则直线的表达式为，同理可得直线的表达式为． ①如图1，当在右侧时，，则，． ②如图2，当在左侧时，设与交于点，过的直线交于点，由，得，在中垂线上．的坐标为．设， 则，解得，即， 将点代入，得．综上所述，的取值为或； （3）解：设，， 设直线的表达式为，直线的表达式为． 将，坐标代入，有则，， ∴即．直线的表达式为， 同理直线的表达式为，则，， 即，，即， 整理得，联立直线与抛物线得到 整理得，，． ． 即点在定直线上运动，作点关于直线的对称点， ． 当且仅当点在直线上时取最小值，的最小值为． 【变式】2．（2025·黑龙江·模拟预测）综合与探究：如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线，，是直线下方抛物线上一动点． (1)求抛物线解析式；(2)过点作轴，交直线于点，交直线于点．当为线段的中点时，求此时点的坐标；(3)在（2）的条件下，若是直线上一动点，试判断在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)当点到的距离最大时，点在直线上，则的最小值为_______． 【答案】(1)(2)(3)存在，点M的坐标为或(4) 【详解】（1）解：将，代入， ，化简得，解得：，，∴抛物线解析式为； （2）解：设直线的解析式为，将，代入得 ，解得：，，∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，将，代入得 ，解得：，，∴直线的解析式为；设， ∵轴，∴，， ∵是线段的中点，∴，， 化简得：，解得：（舍去），，∴，∴； （3）解：存在，点的坐标为或．分以下三种情况讨论： ①当时，如图，过点作轴于点，过点作，交的延长线于点． 设，则，． ∵，∴．∵，∴，∴． 又∵，∴，∴． ∵，∴．∴，解得．∴，∴； ②当时，如图，过点作轴，过点作于点， 过点作交的延长线于点． 设，则，． ∵，∴，∵，∴． 又∵，∴，∴． ∵，∴，∴，解得， ∴，∴； ③当时，该情况不存在．综上所述，点的坐标为或． （4）解：设，作轴交于，交轴于， ∵直线解析式为，∴，∴， 在中，∵，，∴，∴， ∵轴，轴∴，∵在中，，∴， ∵二次函数开口向下，当时，点到的距离最大， 此时即，过作轴于，连接， 在中，，∵，， ∴，∴， 当、、共线（即在上）时，， ∵，为到轴的距离，∴，即的最小值为． 1．（2025·四川成都·二模）如图1，抛物线与x轴的交点为、B两点，与y轴交于C点，连接，，．(1)求抛物线的解析式；(2)若P为抛物线第四象限内的一点，交于点Q，若，求点P的坐标；(3)如图2，若点D为y轴上C点下方一动点，、分别与抛物线交于唯一公共点M、N（M在N的左侧），连接交y轴于E，求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：由抛物线的表达式知，点，∴， ∵，∴，又∵点A为，∴点B为， ∴抛物线的表达式为：， ∴解得，故抛物线的表达式为：； （2）解：设直线的表达式为：，将点B、C的坐标代入， 得，∴直线的表达式为：，由题意得，设点， ∵，∴，即， 解得：（舍去）或，即点， 设直线的表达式为：，将点A、Q的坐标代入， 得，∴直线的表达式为：， 联立直线的表达式和抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或，即点； （3）解：设过点D的直线为：，，， 联立抛物线和直线的表达式得，∵直线与抛物线有唯一公共点， ∴， ∴，∴此时，∴，， ∵，∴，即， ∴，，∴，， 如图，过M，N分别作y轴的垂线，垂足分别为R，S，设， 则，，，， ∵轴，轴，∴，∴，∴， 即，解得：，∵， ∴，∴点，点，∵点C为，故点C是ED的中点，故． 2．（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点，与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点．连接，作射线，且． (1)求抛物线（）的表达式；(2)点是射线下方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交线段于点．点是线段上一动点，轴于点，点为线段的中点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值；(3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（）中线段长度取得最大值时的点，且与射线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)(2)(3)点T的坐标为或 【详解】（1）解：∵，∴，∵，则，∴，∴， 将和代入得，解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：令，则，解得或， ∵，则设直线的解析式为， 代入，得，解得，∴直线的解析式为， 设（），则，∴， ∵，∴当时，最大，此时， ∵点是线段上一动点，轴于点，∴当线段长度取得最大值时， ∵，，点为线段的中点，∴ 将线段向左平移个单位得到，则 当三点共线时最小，即最小，最小值为的长度； ∴的最小值为； （3）解：由（2）得， ∴新抛物线由向左平移个单位，向上平移个单位得到， ∴，过点作交抛物线于点， ∴，同理求得直线的解析式为， ∵，∴设直线的解析式为，代入 ∴解得：∴直线的解析式为 联立得，解得，，当时，，∴， 联立直线和抛物线解析式可得解得：， 当时，，∴∴轴， 又∵∴∴ 作关于直线的对称点，连接交于点∴ ∵∴∵，， ∴将点向左平移个单位再向下平移个单位，得 同理直线的解析式为，联立，解得或， 当时，，∴， 综上，符合条件的点T的坐标为或． 3.（2025·黑龙江·模拟预测）综合与探究：如图1，在平面直角坐标系中抛物线经过点和点，交y轴于C．(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)若P为y轴上的一动点，且的值最大，则点P坐标为______；(3)点E在第二象限抛物线上，且，求出点E的坐标； (4)如图2，连接、，点M在线段上（不与A、B重合），作，交线段于点N，是否存在这样的点M，使得为等腰三角形？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由； (5)点F在x轴下方，，则最小值为______． 【答案】(1)，(2)(3) (4)存在这样的点，使得为等腰三角形；或(5) 【详解】（1）解：∵经过点和点， ∴抛物线的解析式为； ∵，∴点； （2）解：如图，∵在中，， ∴当点A，D，P在同一条直线上时，，此时的值最大， 如图，可设直线的解析式为， ∴代入，，得，∴解得，∴点； （3）解：∵，，，∴，， ∵点E在第二象限抛物线上，且，∴为的平分线，∴， 如图，过点D作交的延长线于点F， ∴，∴，则为等腰三角形， ∴,∴，设直线的解析式为， ∴将，代入得，，解得：，∴， 联立，解得：（与点B重合，舍去），，∴； （4）解：存在点M，使得为等腰三角形， ∵，，，∴， ∵，∴，∴， ∵，，①当时，此时， ∴，∴； ②当时，∴，∴， ∴，解得：，∵，即，解得：； ③当时，此时点M与点B重合，∴不符合题意，∴此情况不存在；∴的长为1或． （5）解：如图：∵点F在x轴下方，，∴点F在上，过点A，O，且始终为， 设圆心，半径为r，∴点Q在的垂直平分线上，∴，即， ∵，∴，， ∴为等腰直角三角形，即， 解得：或（不合题意舍去），∴，， ∵最小值为，∴，∴最小值为． 4．（24-25九年级上·广东湛江·期末）如图所示，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴的另一个交点为点． (1)求抛物线的解析式；(2)点是轴正半轴上一动点，过点作轴于点，交直线于点，交抛物线于点，连结．①当点在线段上时，若与相似，求点的坐标； ②若，求出的值． 【答案】(1)(2)①点的坐标为或；②的值为或5 【详解】（1）解：把代入得：，故，则的坐标为， 把代入中 得，解得：，∴抛物线的解析式的为：． （2）解：①∵，令，则，解得：或3，∴， 又∵，∴，，， 又轴，，，， ∵，∴，，， 当，即时，，解得：（舍去）或，故； 当，即时，，解得：（舍去）或，故， 综上，或． ②∵点，，设直线的解析式为：， 则，解得：，∴直线的解析式为：， 当点P在x轴上方时，如图，连接，延长交x轴于N， ，， ，，，，， 设直线的解析式为：，则，解得：， ∴直线的解析式为：，，解得：（舍去）； 当点P在x轴下方时，如下图所示：，， ，，，， 设直线的解析式为：，则，解得：， ∴直线的解析式为：，， 解得：（舍去）；综上所述，的值为：或5． 5．（2026·成都·模拟预测）抛物线交轴于点，交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，已知．(1)如图1，求抛物线解析式；(2)如图2，点是第一象限抛物线上一点，设点横坐标为，面积为，试用表示S；(3)如图3，在（2）的条件下，连接，将射线绕点逆时针旋转得到的射线与的延长线交于点，与轴交于点，连接与轴交于点，连接，过点作轴的垂线与过点作的垂线交于点，连接，与交于点，且，求点点的坐标． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：∵抛物线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，且， 设，，∴，∴两边平方得，①， ∵，，∴②， ∴①②得，，即 ∴，解得，，∴抛物线的解析式为． （2）解：如图所示，过点作轴，交于，交轴于， ∵点是第一象限抛物线上一点，设点横坐标为，∴， 令抛物线中，则，解得：或， ∴，，且，设直线的解析式为， ∴，解得：，∴直线的解析式为， ∵点横坐标为，点在直线上，∴，∴， ∵，且，∴． （3）解：如图所示，作轴，，在轴上取一点，使得，则， ∵，，∴，∴， ∵，，∴，，， ∴，∴， ∵，∴等腰直角三角形， ∵轴，轴，且，∴四边形是正方形，即， ∴，∴，∴，∴，且， ∴，且四边形是正方形，∴，∴， ∵，∴，∴或（舍），∴， ∴，且是等腰直角三角形，∴， ∴，且，∴， ∴，∴，∴，设直线的解析式为：，则： ，解得：∴直线的解析式为：， ∵直线，∴，解得：，∴． 6．（2025·黑龙江·模拟预测）综合与探究 如图，抛物线与x轴相交于，两点（点A在点B的左侧），其中，是方程的两个根，抛物线与y轴相交于点C． (1)求该抛物线对应的函数表达式；(2)已知直线与x，y轴分别相交于点D，E． ①抛物线上是否存在点N，直线上是否存在点Q，使以D，N，E，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由． ②设直线与l相交于点F，问在第三象限内的抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；③过抛物线上一点M作直线的平行线．与抛物线相交于另一点N．设直线，相交于点Q．连接，．求线段的最小值． 【答案】(1)(2)①0或3或或；②存在，理由见解析；③ 【详解】（1）解：，是的两个根，，，，， 抛物线与x轴相交于A、B两点， ，解得，抛物线函数表达式为； （2）①解：0或3或或，理由如下： 令得：，解得，令得：， 则点、，抛物线与y轴相交于点C，则点， 设直线的解析式为，将点、代入得： ，解得，则直线的解析式为， 设点的坐标为、点的坐标为， 当为平行四边形的对角线时，的中点为、的中点为， 则解得或，令时，，点的坐标为、点的坐标为， 令时，，点的坐标为、点的坐标为； 当为平行四边形的对角线时，的中点为，的中点为， 则解得； 当为平行四边形的对角线时， 的中点为，的中点为， 则整理得，判别式，则没有实数解， 综上所述，点的横坐标为，，，； ②解：存在，理由如下：直线与x、y轴分别交于点D、E，时，， 当时，，，∴点、，，， ，由抛物线可知：当时，，，， ，， 是的外角，， ，， ，设，则，， ，（舍去）或，； ③过抛物线上一点M作直线BC的平行线，与抛物线相交于另一点N， 设，，设直线MN的解析式为：， 设直线的解析式为，将代入得，解得， 直线的解析式为，设直线的解析式为， 将代入得，直线的解析式为； 联立方程组，得，， 将代入，得： ，，解得：， 将代入，得： ，，，解得：， 联立方程组，得出， 点Q在直线上运动，在中，令，则，即， 如图，作点E关于直线的对称点，连接交直线于，连接， 则，由轴对称性质可得，的最小值， 由两点之间线段最短可得：线段的最小值为， ，线段的最小值为． 7．（25-26九年级上·成都·期末）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式；(2)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；(3)若点在抛物线对称轴上，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出，两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)最大值为，(3)存在，， 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点，∴当； 当，则，解得，∴，， ∵对称轴为直线∴，解得，∴抛物线的表达式为； （2）解：∵，抛物线对称轴为，∴，∴ 过点D作y轴的平行线交于点K， 则，则，∴ ∵，∴ ， ∵，，∴当时，取得最大值为，此时； （3）解：存在，如图，设， ∵四边形是菱形，∴，∴，解得，∴ ∵四边形是菱形，∴，∴点向点的平移方式与点C向点Q的平移方式一样， ∵，，，∴由平移的性质可得． 8．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，抛物线（,是常数，且）与轴交于，两点，与轴交于点．并且，两点的坐标分别是，，抛物线顶点为． (1)求抛物线的解析式；(2)若为线段上的一个动点，其横坐标为，过点作轴，垂足为点，当为何值时，四边形的面积最大？(3)点在抛物线的对称轴上，若线段绕点逆时针旋转后，点的对应点恰好也落在此抛物线上，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)(2)(3)或 【详解】（1）解：把，代入 得解得； （2）解：由抛物线解析式知：顶点 设所在直线解析式为 解得：所在直线解析式： 在上，，．当时，，， 由题意可知，，，， ，当时，； （3）解：抛物线的对称轴为，当点在轴上方时，如图1，易知点与点重合， 过点作直线，垂足为，则， ，，， ，，，； 当点在轴下方时，如图2，易知与重合， ，，为等腰直角三角形，，． 综上所述，点坐标为或． 9．（25-26九年级上·广东江门·月考）已知，如图，抛物线与轴正半轴交于、两点，与轴交于点，直线经过、两点．(1)求抛物线的解析式；(2)为抛物线上一点，若点关于直线对称点落在轴上，直接写出点坐标；(3)现将抛物线平移，保持顶点在直线上，若平移后的抛物线与直线交于、两点，求证：的长度为定值． 【答案】(1)(2)(3)见解析 【详解】（1）解：在中，令，得，令，得，∴，； ∵抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C， ∴将点，坐标代入得： ，解得，∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，∵，∴， ∵点P关于的对称点Q在y轴上，∴，∴,即轴， ∴点P的纵坐标为，令，解得或（舍去），∴； （3）解：设平移后的抛物线的顶点为，∴平移后的抛物线的解析式为， 令，整理得，设，， ∴，， ∴， ∴的长度为． 1.（2025·四川成都·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，两点（点A在点的左侧）其顶点为，是抛物线第四象限上一点． (1)求点A，的坐标；(2)如图2当时，若，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，如图3，过点A的直线与轴正半轴交于点，与抛物线交于点，将直接绕点A顺时针旋转使其与轴负半轴交于点，与抛物线交于点，若，试判断直线是否经过定点．若是，请求出该点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于A，两点（点A在点的左侧）， ∴A，两点的横坐标为方程的解， ∵，∴，解得：，∴点A，的坐标分别为：． （2）解：如图：当时，函数解析式为，∴，顶点， 如图：过C作轴于点E，交于点F，则， ∴，∴， ∵，∴，∴，∴， 设点F的坐标为，则，， ∴，即，解得：，∴， 设直线的解析式为，则，解得：，∴直线的解析式为， 联立，解得：或（不合题意舍弃），∴，∴． （3）解：由（2）可得：当时，函数解析式为，， 设直线的解析式为，则，即， ∴直线的解析式为，， 联立，解得：或（不合题意舍弃），∴； 设直线的解析式为，同理可得：、， ∵，∴，解得：，设直线的解析式为， 则，①-②可得, ,, ∵，∴，把代入可得： ，， ， ∴∴直线的解析式为，整理得： ∴当，即时，，∴直线经过定点． 2．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，且． (1)求抛物线的函数表达式和对称轴；(2)如图1，直线交轴正半轴于点，把线段沿直线翻折，若点刚好落在抛物线的对称轴上点处，求此时的值； (3)如图2，为抛物线上两动点，且，当（2）中点为时，直线与直线交于点，试判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)，(2)(3)是定值，定值为 【详解】（1）解： ，，将点代入，得， 拋物线的函数表达式为，对称轴为直线； （2）解：如解图①过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为． ，∴在抛物线对称轴的右侧，．根据翻折的性质可知，， ，，， ，． 过点作交于点，过点作于点． 在与中，，， ，又，， ，点与点重合，， 将点代入中，得，解得； （3）解：是定值．理由如下：设， 设直线MN的表达式为， ，得：， ∵，解得，把代入①得： ，直线的表达式为， 如解图②，过点分别作轴的垂线，垂足分别为． ∴，同理可得：， ∴， ，即，整理得：． 由直线过点，得，直线的表达式为， 联立，整理得，， 把代入上式得，． ，，即点为一个定点，． ，轴，∴，， ，为定值，定值为． 3．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，且． (1)求抛物线的函数表达式和对称轴；(2)如图1，直线交轴正半轴于点，把线段沿直线翻折，若点刚好落在抛物线的对称轴上点处，求此时的值； (3)如图2，为抛物线上两动点，且，当（2）中点为时，直线与直线交于点，试判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)，(2)(3)是定值，定值为 【详解】（1）解： ，，将点代入，得， 拋物线的函数表达式为，对称轴为直线； （2）解：如解图①过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为． ，∴在抛物线对称轴的右侧，．根据翻折的性质可知，， ，，， ，． 过点作交于点，过点作于点． 在与中，，， ，又，， ，点与点重合，， 将点代入中，得，解得； （3）解：是定值．理由如下：设， 设直线MN的表达式为，， 得：， ∵，解得，把代入①得： ，直线的表达式为， 如解图②，过点分别作轴的垂线，垂足分别为． ∴，同理可得：， ∴， ，即，整理得：． 由直线过点，得，直线的表达式为， 联立，整理得，， 把代入上式得，． ，，即点为一个定点，． ，轴，∴，， ，为定值，定值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 重难点02 二次函数综合压轴问题（B25或B26） 目 录 01 深挖重难·固根基 1 02 分层锤炼·验成效 3 固·重难考点 拓·创新能力 重难点一 二次函数与代数综合压轴 二次函数与代数综合压轴问题，是从22年成都中考改革后，新增的热点。二次函数综合压轴的考查不仅仅是考查二次函数与几何图形综合，而是倾向于二次函数与代数方面的结合（如与根与系数的关系），主要题型方面出现了直线（曲线）过定点问题、动点过定直线问题、与根与系数相关的新定义和定值问题等。 1）直线（曲线）过定点问题：这类题的关键是‌无论参数如何变化，直线或曲线始终经过某个固定点‌。 ‌‌参数法（通法）：将曲线方程用参数表示，整理成关于参数的方程。若方程对所有参数值成立，则参数的系数必须为零，由此解出定点坐标。 2）动点过定直线问题：是“过定点”的逆向思维，‌无论动点如何运动，其轨迹始终在某条固定直线上‌。 解法思路‌：通常通过几何性质（如对称、相似）或代数方法（消参）证明动点的横坐标或纵坐标恒为定值，或横坐标与纵坐标存在某种关联。 3）‌韦达定理相关的定值或新定义问题：这类题将‌韦达定理与二次函数结合，考查新定义或定值证明。 韦达定理是桥梁‌：直线与二次曲线联立后，利用韦达定理表示根的和与积，简化计算。 题型01 二次函数中的直线过定点问题 函数的解析式中除自变量外，还有待定的系数，此时函数的图象会随着待定的系数的变化而变化。图象变化过程中，有时始终会经过某个固定的点，定点问题是一个难点。 方法：使待定的系数k失去影响力。 【例】证明：无论k取何值，直线都经同一定点。 第一步：先找出所有含k的项，再提公因式k 即： 第二步：令与k相乘的因式为0，此时k就不起作用了 即：令，此时=0 在一个函数中，知x可求y，这个坐标就是定点，故无论k取何值，函数都经过定点（3，0）。 总结：因为当x取某个值时，使含k项全部抵消了，即k不起作用了! 【典例】（2025·四川成都·一模）如图，直线与抛物线：交于A、B两点（点A在点B的左侧），抛物线与y轴交于点C，抛物线的顶点坐标为．(1)若点A的横坐标为，求抛物线的解析式；(2)在（1）条件下，点M为直线：上方的抛物线上一点，若，求点M的坐标；(3)将抛物线平移使得顶点落在原点O得到抛物线，直线交抛物线于P，Q两点，已知点H，直线分别交抛物线于另一点M，N．求证：直线恒过一个定点． 【变式】1．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线与轴交于A，两点，与轴交于点，．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，已知点为第一象限内抛物线上的一点，点的坐标为，；求点的坐标；(3)如图2，将抛物线平移到以坐标原点为顶点，点在新抛物线上，过点作分别交新抛物线于，两点，求直线过定点的坐标． 【变式】2.（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点E，其顶点为C，D是抛物线第四象限上一点． (1)求线段的长；(2)当时，若的面积是面积的两倍，求点D的坐标； (3)延长交x轴于点F，，试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由． 题型02 二次函数过定点和二次函数轨迹问题 函数的解析式中除自变量外，还有待定的系数，此时函数的图象会随着待定的系数的变化而变化。图象变化过程中，有时始终会经过某个固定的点，定点问题是一个难点。 方法：使待定的系数k失去影响力 【例】证明：无论k取何值，抛物线都经同一定点. 第一步：先找出所有含k的项，再提公因式k 即： 第二步：令与k相乘的因式为0，此时k就不起作用了 即： 令，此时 在一个函数中，知x可求y，这个坐标就是定点，故无论k取何值，函数都经过定点 总结：因为当x取某个值时，使含k项全部抵消了，即k不起作用了! 【典例】（2025·四川成都·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线：（）与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，作直线，点的坐标为且(1)求抛物线的表达式；(2)若点在抛物线第一象限图象上，线段（点在点的左侧）是直线上一段长度为2的动线段，轴上一点，连接，，，，若四边形为平行四边形，求点的横坐标；(3)一次函数：（）图象交二次函数于，两点，抛物线上是否存在定点，连接，，当点与点，不重合时，总有，若存在，求定点的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式】1．（25-26九年级上·成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点和点，直线与抛物线交于两点，与轴交于点．   (1)求抛物线的解析式和点的坐标；(2)已知抛物线沿轴向右平移个单位长度后得到抛物线． ①用含的式子表示抛物线的顶点坐标；②当时，直线与轴交于点，与直线交于点．若抛物线与线段有公共点，求的取值范围；(3)已知是的中点．当变化时，试探究点的运动轨迹是否为一条直线或一条抛物线的一部分？若是，请直接写出该直线或抛物线的解析式；若不是，请说明理由．[提示：若，则的中点坐标为 题型03 二次函数中动点在定直线问题 证明动点在定直线上，一般先设出动点（x，y），在根据题中条件直接建立关于x和y的关系式，也可利用一个新的变量表示出x和y，再利用新的变量串联出x和y的关系式。 【典例】（25-26九年级上·成都·校考期中）如图1，抛物线与x轴分别交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若． (1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接，D是上方抛物线上异于B、C的一点，连接交y轴于点E，当时，求点D的坐标；(3)如图2，是抛物线上异于B，C的两个动点，直线与直线交于点T，若直线经过定点，求证：点T的运动轨迹是一条定直线． 【变式】1．（25-26九年级上·成都·校考期末）如图1，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)为轴下方抛物线上一点，，求点坐标；(3)如图2，直线与抛物线交于，两点，直线与直线交于点，问：点是否在定直线运动，若是，求直线的解析式，若不是，请说明理由． 【变式】2．（25-26九年级上·成都·月考）如图，抛物线与x轴分别交于点A、B（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，点在抛物线上． (1)求c的值；(2)若点D与C关于原点O对称，作射线交抛物线于点E，若． ①如图1，在直线下方的抛物线上有一点 P，若平分，求P点的横坐标； ②如图2，直线交抛物线于另一点 F，直线交抛物线于另一点H，且M，N分别为线段，的中点，若，求证：直线与经过原点的一条定直线平行． 题型04 二次函数中的定值问题 掌握韦达定理及其证明，能让你在处理二次函数定值问题时，透过参数看到根的本质关系，化繁为简。中考中这类问题常以压轴题出现，熟练运用是制胜关键。这类问题要求证明某个代数式的值恒为常数，与参数无关。韦达定理通过将“和”与“积”整体代入，常能简化表达式。整体代入‌：直接套用韦达定理的结论。 【典例】（2025·四川成都·模拟预测）如图，已知抛物线 的对称轴为直线，且抛物线与x轴交于点A 和点 ，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式和点 C 的坐标．(2)直线上方的抛物线上有一动点M，过点M作y轴的平行线交于点 N，过点 M 作的垂线，垂足为 H．①当点M运动到抛物线的顶点时，求的周长；②求的周长的最大值．(3)将抛物线向下平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到一个新的抛物线．在y轴上是否存在一点F，使得当经过点 F 的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有 为定值？若存在，求出点 F 的坐标及该定值；若不存在，请说明理由． 【变式】1．（2025·四川成都·二模）如图，平面直角坐标系中，抛物线经过原点O、，将该抛物线绕点旋转得到抛物线，两抛物线交于B、C两点，抛物线与y轴交于点D． (1)求抛物线的表达式；(2)当时，求的面积；(3)若直线与抛物线交于E、F两点，点E在点F的左侧，记直线的斜率为，直线的斜率为，当为定值时，求m的值． 【变式】2．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，直线与抛物线交于两点(点在轴左侧，点在轴右侧)，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式；(2)若与的面积之比是，求的值； (3)若作点关于轴的对称点，直线与直线相交于点，试探究：的面积是否为定值？若为定值，请求出的面积；若不为定值，请说明理由． 题型05 二次函数与新定义综合压轴 【典例】（2025·广东深圳·三模）规定1：一个点纵坐标与横坐标的比“”称为点的“纵横比”．例如：点，则它的“纵横比”为． 规定2：若点是函数图象上任意一点，则函数图象上所有点的“纵横比”中的最大值称为函数的“最优纵横比”． 例如：点在函数图象上，图象上所有点的“纵横比”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的（）“最优纵横比”为7． 根据规定，解答下列问题：(1)点的“纵横比”为_____； (2)若当时，一次函数的最优纵横比为5，则的值为_____； (3)若已知二次函数的顶点在直线上，当时，二次函数的最优纵横比为2，求的值． (4)若已知二次函数的图象如图所示，平面中有、两点，且，，现向左右平移该二次函数图象，使得图象与线段只有一个交点．若平移的距离为，请求出的取值范围，并直接写出交点“纵横比”的对应范围_____． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）我们约定：如果一个二次函数的二次项系数和一个一次函数和一次项系数相同，且二次函数的一次项系数和一次函数的常数项相同，则称这两个函数互为“友情函数”，例如：二次函数与一次函数互为“友情函数”． (1)已知二次函数满足，试说明该二次函数与它的“友情函数”有两个不同的交点； (2)当二次函数与它的“友情函数”仅有一个交点，且时，请判断这两个函数是否有交点，如果有，请写出交点的横坐标； (3)若二次函数满足以下条件：①函数图像过点，②，若该二次函数与它的“友情函数”的交点的横坐标，，试判断的取值范围． 【变式】2．（25-26九年级上·成都·月考）定义：我们规定二次函数（且）与（且）互为“交叉函数”，它们的交点叫做“交叉点”． (1)求证：互为“交叉函数”的两个二次函数有且只有一个“交叉点”． (2)二次函数与它的“交叉函数”与y轴分别交于B、C两点，它们的“交叉点”为A点，若是以为底边的等腰直角三角形，求这两个函数的解析式． (3)二次函数与它的“交叉函数”交x轴于不同的四点，且四个交点中任意相邻两点间的距离相等，若一次函数与它们两个二次函数共有3个不同的交点，求k的值或者范围． 重难点二 二次函数与几何图形综合压轴 二次函数与几何图形综合压轴是历年成都中考的传统考法，知识覆盖较广，综合性强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高。解决这类问题需要用到数形结合思想，需要很好地把“数”和“形”结合在一起，互相渗透。存在探究问题是指在给定条件下，判断某种数学现象是否存在、某个结论是否出现的问题。解决这类问题的一般思路是先假设结论的某一方面存在，然后在这个假设的条件下进行逻辑推理，若推出矛盾，可否定假设，若推出合理结论，则可肯定假设。 二次函数与几何图形综合压轴问题考查方向有：与特殊三角形综合压轴、与特殊四边形综合压轴、与相似（全等）三角形综合压轴、与特殊角度综合压轴、与面积（长度）综合压轴、与几何变换综合压轴、与几何最值综合压轴等。 处理方法与反比例函数综合压轴题类似，一般先设出几何图形中的未知数，然后结合函数的图像用含未知数的式子表示出几何图形与图像的交点坐标，再由函数解析式及几何图形的性质写出含未知数及待求字母系数的当成（组），解方程（组）即可得所求几何图形的未知量或函数解析式中待定字母的值。 题型01 二次函数与特殊三角形综合压轴 1）等腰三角形存在性问题处理技巧：需注意分类讨论思想的应用，找准顶确与底角分类讨论的关键，借助等腰三角形的等边对等角、等角对等边、三线合一等性质来转化已知条件是常用的处理手段。 2）直角三角形存在性问题处理技巧：需注意分类讨论思想的应用，找准直角顶点是分类讨论的关键，借助直角三角形的勾股定理，两锐角互补等性质来转化已知条件是常用的处理手段。 【典例】（2025·四川成都·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，（点在点的右边），与轴交于点，直线经过点，(1)求，，三点的坐标及直线的函数解析式．(2)是第二象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为（），的长为．求与的函数关系式，并写出的取值范围；(3)设抛物线的顶点为，问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式】1．（2025·成都·一模）如图，抛物线与轴交于A、B两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式；(2)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (3)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，求的值． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）综合与探究，如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，平行于轴的直线与抛物线交于两点，点在对称轴左侧，． (1)求此抛物线的解析式；(2)已知在轴上存在一点，使得的周长最小，则点的坐标为_______； (3)若点在直线上，直线将的面积分成两部分，求点坐标． (4)点在直线上，在抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标，不存在，请说明理由． 题型02 二次函数与特殊四边形综合压轴 特殊平行四边形存在性问题处理技巧： 1）平行四边形存在性问题处理技巧：（平移+中点思想） 关键：对角线互相平分，即对角线中点重合→中点公式。 ①当AB为对角线：xA+xB=xC+xD；yA+yB=yC+yD； ②当AC为对角线：xA+xC=xB+xD；yA+yC=yB+yD； ③当AD为对角线：xA+xD=xB+xC；yA+yD=yB+yC。 2）菱形存在性问题处理技巧：先用中点公式证平行四边形，再构造等腰三角形，即邻边相等的点。 3）矩形存在性问题处理技巧：先用中点公式证平行四边形，再构造证直角三角形，即邻边垂直的点。 4）正方形存在性问题处理技巧：先用中点公式证平行四边形，再构造证等腰直角三角形的点。 注意：“四边形ABCD是 ....”和“以点A、B、C、D为顶点的四边形是....”的区别，前者顺序已定，后者可以随机顺序，需进一步讨论。 【典例】（25-26九年级上·四川成都·校考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．(1)求抛物线关系式； (2)已知P是直线下方抛物线上一动点，连接，求四边形面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，点D为抛物线的顶点，对称轴交x轴于点E，M是直线上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点N，使得以点C，E，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式】1．（2026·成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与轴交于、两点，与轴相交于点，直线与抛物线交于两点．    (1)求二次函数的解析式；(2)点为直线上方抛物线上一点，过点作轴的平行线交于点，当最长时，求此时点的坐标；(3)抛物线顶点为，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【变式】2．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且抛物线的顶点的坐标为，连接，抛物线的对称轴与交于点． (1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上、两点之间的部分（不包含、两点），是否存在点，使得四边形的面积最大，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；(3)如图②，将抛物线在上方的图象沿折叠后与轴交于点，为直线上一个动点，在平面内是否存在一个点，使得以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形，若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由． 题型03 二次函数与相似（全等）三角形综合压轴 1.相似三角形存在性问题：（1）若两个相似三角形对应关系已知，则根据对应边或对应角关系；①设点坐标；②表示线段长（或点坐标）；③列比例关系式求解；④将点坐标代入到满足的函数关系中求解；（2）若两个相似三角形对应关系末知，则需根据已知三角形分类讨论三角形的对应边关系，再由（1）中的步骤求解即可。 2.全等三角形存在性问题：（1）若两个全等三角形对应关系已知，则根据对应边关系；①若三角形的边长可以计算出来，则根据全等关系直接列式；②若已知三角形的顶点在抛物线上，并且可以表示出来，则将此顶点坐标代入抛物线解析式中列式。（2）若两个全等三角形对应关系未知，则需根据已知分类讨论两个三角形的对应全等关系，再由（1）中的方法求解即可。 【典例】（2025·四川成都·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于点A，，与y轴交于点C， 是抛物线的顶点，连接． (1)求抛物线的函数表达式；(2)如图2，P是直线下方抛物线上一动点，过点P作于点E，作轴交抛物线于另一点F，求的最大值及此时点P的坐标；(3)连接，设直线交x轴于点M，若N是线段上的一动点，是否存在以点M，N，O为顶点的三角形与相似．若存在；求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）如图，直线与轴，轴分别交于点，点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为．(1)求该抛物线的解析式以及顶点的坐标；(2)当时，在抛物线上存在点，使的面积有最大值，求点的坐标；(3)连接，点在轴上，是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【变式】2．（25-26九年级上·成都·校考期中）综合与探究：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D． (1)如图，分别求这个二次函数和直线的表达式；(2)如图，连接，，求四边形的面积；如图，若点P是第二象限内抛物线上的一点，且使的面积最大．请解答下面问题：①求出点P的坐标；②此时平面内是否存在另一点Q，使和全等？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 题型04 二次函数与特殊角度综合压轴  1）特殊角问题： （1）利用特殊角的三角函数值找到线段之间的数量关系；（2） 遇到特殊角可以构造特殊三角形，如遇到45°构造等腰直角三角形，遇到30°、60°构造等边三角形，遇到90°构造直角三角形。 2）角的数量关系问题 （1）等角问题：基于动点构造某个角使其与特定已知角相等，主要借助特殊图形的性质、全等和相似的性质或构造圆，利用圆周角的性质来解决； （2）倍角问题：基于动点构造某个角使其等于特定已知角的倍角，主要利用角平分线的性质、等腰三角形的性质、对称、辅助圆等知识来解答； （3）角的和差问题：角度和为90度等。 3）角的最值（范围）问题：比如最大最小角问题、锐角或钝角产生的取值问题等，常用利用辅助圆等知识来解答。 【典例】（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，抛物线：经过，两点，与轴交于点，连接，且． (1)求该抛物线的解析式；(2)如图2，点为抛物线上一点，且位于第三象限，于点，若，求点的坐标；(3)抛物线与抛物线：关于原点对称，抛物线与轴正半轴交于点，作交直线于点，在抛物线上是否存在点，使得∠，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式】1．（24-25九年级上·天津南开·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点在抛物线上，点P是抛物线上一动点． (1)求该抛物线的解析式；(2)连接，若上方抛物线上有一点P，且P到直线的距离为，求点P的坐标；(3)如下图，连接，抛物线上是否存在点P，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式】2．（2025·广东东莞·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，且点在点的左侧，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式；(2)如图，直线与轴交于点，与轴交于点，动点为抛物线第一象限上的一点，于点， 轴交于点，求的周长的最大值，及此时点的坐标；(3)如图，连接，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使平移后的新抛物线经过点，新抛物线与x轴的另一交点为点，请问在新抛物线上是否存在一点，使得？若存在，则直接写出点的坐标；若不存在，则说明理由． 题型05 二次函数与面积（长度）综合压轴 1.线段长度的表示：(1)当线段为竖直线时，线段的长度为线段上端点与下端点纵坐标的差； (2)当线段为水平线时，线段的长度为线段右端点与左端点横坐标的差； (3)当线段为斜线段时，利用两点间距离公式表示线段长，AB＝。 2.坐标系中面积表示方法： （1）割补法（补）：如图1，S△ABC＝S四形边AMNC－(S△AMB＋S△BNC)． 图1 图2 图3 图4 （2）割补法（割）：如图2，S△ABC＝S△ABD＋S△ADC． （3）和差法：如图3，S△PBA＝S△OAP＋S△OBP－S△OBA． （4）铅垂法：如图4，S△ABC=ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半． 【典例】（2025·广东中山·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．    (1)求A，B，C三点的坐标；(2)如图1，连接，点E是第四象限内抛物线上的动点，过点E作于点F，轴交直线于点G，求面积的最大值；(3)如图2，点M在线段上（点M不与点O重合），点M、N关于原点对称，射线分别与抛物线交于P、Q两点，连接，若的面积为，四边形的面积为，求的值． 【变式】1．（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，以点为端点向右作与轴平行的射线交抛物线于点连接，点为线段的中点，过点的直线与轴交于点，与射线交于点，与抛物线在第一象限内交于点．(1)求抛物线的函数表达式：(2)连接，，则的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)连结，以所在直线为对称轴，经轴对称变换后得到，记直线与射线的交点为若的面积为，求点的坐标． 【变式】2．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，已知顶点为的抛物线经过点，点为轴上一动点，过点的直线与抛物线交于，两点（点在点左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的表达式；(2)如图1，当，时，在轴上有一点，连接，，若面积为，求的值；(3)如图2，当，时，过点作直线与轴、轴分别交于，两点，且直线与抛物线有且仅有一个公共点，连接，过点作交轴于点．若与 的面积之比等于，求点的坐标． 【变式】3．（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点．抛物线与抛物线在第一象限交于点，与轴交于点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若以，，为顶点的三角形为直角三角形，求的值； (3)当时，过点的直线与抛物线在第二象限交于点，与抛物线的另一交点为，求四边形的面积与的函数关系式． 题型06 二次函数与几何变换综合压轴 【典例】（2025·四川成都·二模）如图，已知抛物线与轴相交于点，将抛物线绕着点旋转得到新的抛物线，抛物线与轴相交于点． (1)求点的坐标及抛物线的顶点坐标；(2)在抛物线上取一点，连接，且满足． 当时，求点的坐标；定义：我们把一条对角线与一条边相等的平行四边形称为关于此对角线的对等平行四边形．现过点，，作平行四边形，当平行四边形是关于对角线的对等平行四边形时，求此时的值． 【变式】1．（2025九年级上·成都·专题练习）如图，已知抛物线：的顶点为P，与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左边)，点B的横坐标是1． (1)求a的值及P的坐标； (2)如图（1），抛物线与抛物线关于x轴对称，将抛物线向右平移，平移后的抛物线记为，的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求的解析式； (3)如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线绕点Q旋转后得到抛物线．抛物线的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标． 【变式】2．（2025·四川成都·二模）如图，将抛物线平移，得到的新抛物线经过点和．在第三象限内新抛物线上取点，设点在原抛物线上的对应点为． (1)求新抛物线的表达式；(2)若，求点的坐标；(3)若点在第三象限内新抛物线上移动，试探究四边形的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请求出它的最大值． 题型07 二次函数与几何最值综合压轴 1．竖直线的最值问题：设出点坐标，表示出线段的长，利用二次函数性质求解． 2．斜线段的最值问题：看到斜线段，首先想到构造三角形将斜线段转化为竖直线段求解．如过线段的端点作平行于y轴的线段构造三角形，具体方法如下： （1）可通过构造的三角形与某三角形相似，将斜线段转化为竖直线段； （2）利用平行线性质将所构造三角形中的角进行转化，利用锐角三角函数将斜线段转化为竖直线段； （3）若构造后的三角形含特殊角，则直接利用直角三角形的边角关系将斜线段转化为竖直线段． 3．求线段比值最值问题：找出含有比值线段的两个相似三角形，利用相似的性质将线段比值进行转化，再利用二次函数性质求解。 4.除此外，也需关注将军饮马（遛马、过桥）、逆等线、胡不归、费马点、阿氏圆等几何最值模型。 【典例】（2025·天津·一模）已知抛物线（为常数，）的顶点为，且与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，为抛物线上一点，点横坐标为，且． (1)若．①求点和点的坐标；②过点作，交于点，若时，求点的坐标；(2)若点的坐标为，点在轴负半轴上，且点的坐标为，，点分别在上，且，当取得最小值为时，求点的坐标． 【变式】1．（2025·四川绵阳·一模）如图所示，抛物线的解析式为． (1)若抛物线经过点，求抛物线的解析式；(2)在（1）的条件下，抛物线与x轴相交于两点（点A在点B的左侧），若将直线绕点A按顺时针方向旋转后与抛物线相交于点P，求点P的坐标； (3)如图1所示，若直线与抛物线相交于两点（M在N的左侧）O为坐标系原点，直接写出的最小值． 【变式】2．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，其顶点为．直线与轴交于点，与抛物线交于，两点，且．(1)求抛物线的表达式．(2)若，求的值．(3)直线与直线交于点，求的最小值． 【变式】2．（2025·黑龙江·模拟预测）综合与探究：如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线，，是直线下方抛物线上一动点． (1)求抛物线解析式；(2)过点作轴，交直线于点，交直线于点．当为线段的中点时，求此时点的坐标；(3)在（2）的条件下，若是直线上一动点，试判断在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)当点到的距离最大时，点在直线上，则的最小值为_______． 1．（2025·四川成都·二模）如图1，抛物线与x轴的交点为、B两点，与y轴交于C点，连接，，．(1)求抛物线的解析式；(2)若P为抛物线第四象限内的一点，交于点Q，若，求点P的坐标；(3)如图2，若点D为y轴上C点下方一动点，、分别与抛物线交于唯一公共点M、N（M在N的左侧），连接交y轴于E，求的值． 2．（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点，与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点．连接，作射线，且． (1)求抛物线（）的表达式；(2)点是射线下方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交线段于点．点是线段上一动点，轴于点，点为线段的中点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值；(3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（）中线段长度取得最大值时的点，且与射线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 3.（2025·黑龙江·模拟预测）综合与探究：如图1，在平面直角坐标系中抛物线经过点和点，交y轴于C．(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)若P为y轴上的一动点，且的值最大，则点P坐标为______；(3)点E在第二象限抛物线上，且，求出点E的坐标； (4)如图2，连接、，点M在线段上（不与A、B重合），作，交线段于点N，是否存在这样的点M，使得为等腰三角形？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由； (5)点F在x轴下方，，则最小值为______． 4．（24-25九年级上·广东湛江·期末）如图所示，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴的另一个交点为点． (1)求抛物线的解析式；(2)点是轴正半轴上一动点，过点作轴于点，交直线于点，交抛物线于点，连结．①当点在线段上时，若与相似，求点的坐标； ②若，求出的值． 5．（2026·成都·模拟预测）抛物线交轴于点，交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，已知．(1)如图1，求抛物线解析式；(2)如图2，点是第一象限抛物线上一点，设点横坐标为，面积为，试用表示S；(3)如图3，在（2）的条件下，连接，将射线绕点逆时针旋转得到的射线与的延长线交于点，与轴交于点，连接与轴交于点，连接，过点作轴的垂线与过点作的垂线交于点，连接，与交于点，且，求点点的坐标． 6．（2025·黑龙江·模拟预测）综合与探究 如图，抛物线与x轴相交于，两点（点A在点B的左侧），其中，是方程的两个根，抛物线与y轴相交于点C． (1)求该抛物线对应的函数表达式；(2)已知直线与x，y轴分别相交于点D，E． ①抛物线上是否存在点N，直线上是否存在点Q，使以D，N，E，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由． ②设直线与l相交于点F，问在第三象限内的抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；③过抛物线上一点M作直线的平行线．与抛物线相交于另一点N．设直线，相交于点Q．连接，．求线段的最小值． 7．（25-26九年级上·成都·期末）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式；(2)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；(3)若点在抛物线对称轴上，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出，两点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，抛物线（,是常数，且）与轴交于，两点，与轴交于点．并且，两点的坐标分别是，，抛物线顶点为． (1)求抛物线的解析式；(2)若为线段上的一个动点，其横坐标为，过点作轴，垂足为点，当为何值时，四边形的面积最大？(3)点在抛物线的对称轴上，若线段绕点逆时针旋转后，点的对应点恰好也落在此抛物线上，请直接写出点的坐标． 9．（25-26九年级上·广东江门·月考）已知，如图，抛物线与轴正半轴交于、两点，与轴交于点，直线经过、两点．(1)求抛物线的解析式；(2)为抛物线上一点，若点关于直线对称点落在轴上，直接写出点坐标；(3)现将抛物线平移，保持顶点在直线上，若平移后的抛物线与直线交于、两点，求证：的长度为定值． 1.（2025·四川成都·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，两点（点A在点的左侧）其顶点为，是抛物线第四象限上一点． (1)求点A，的坐标；(2)如图2当时，若，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，如图3，过点A的直线与轴正半轴交于点，与抛物线交于点，将直接绕点A顺时针旋转使其与轴负半轴交于点，与抛物线交于点，若，试判断直线是否经过定点．若是，请求出该点坐标；若不是，请说明理由． 2．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，且． (1)求抛物线的函数表达式和对称轴；(2)如图1，直线交轴正半轴于点，把线段沿直线翻折，若点刚好落在抛物线的对称轴上点处，求此时的值； (3)如图2，为抛物线上两动点，且，当（2）中点为时，直线与直线交于点，试判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 3．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，且． (1)求抛物线的函数表达式和对称轴；(2)如图1，直线交轴正半轴于点，把线段沿直线翻折，若点刚好落在抛物线的对称轴上点处，求此时的值； (3)如图2，为抛物线上两动点，且，当（2）中点为时，直线与直线交于点，试判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $