培优01 整式加减的应用8大重难题型（专项训练）数学新教材人教版五四制六年级下册

培优0整式加减的应用8大重难题型 题型1数字问题 1.多位数的表示：若十位数字为、个位数字为，两位数表示为(十位数字个位数字)；若百位数字为、十位为、个位为，三位数表示为。 2.连续数的表示：连续整数可表示为、、(为整数)；连续奇数可表示为、(为整数)；连续偶数可表示为、(为整数)。 1．（24-25七年级上·福建漳州·期中）一个两位数的个位数字是a，十位数字是b，把它们对调后得到另一个两位数，则下列说法正确的是（　　） A．这两个两位数的和是 B．这两个两位数的和是 C．这两个两位数的和是 D．这两个两位数的差是 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）一个三位数，十位上的数字为，个位上的数字比十位上的数字小，百位上的数字是十位上的数字的倍．若把这个三位数百位上的数字挪到个位上的数字的右边，组成一个新的三位数，则新的三位数减原三位数的差为 ． 3．（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段练习）将2，，6，，10，，14，分别填入图中的圆圈内，使每个正方形顶点处4个数字之和与每条斜线上4个数字之和都相等，且，则的值为 ． 4．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）我们知道：如果一个自然数的各位数字之和能被3整除，则这个数就能被3整除．我们不妨用三位数来说明，即设是一个三位数，如果是3的倍数，那么这个数一定是3的倍数．为什么？请说明理由． 5．（20-21七年级上·四川成都·期末）下图的数阵是由全体奇数排成： (1)图中平行四边形框内的九个数之和与中间的数有什么关系？ (2)在数阵图中任意作一类似（1）中的平行四边形，这九个数之和是否能等于2016？说明理由． (3)依据规律这九个数之和能否等于18171呢？若能，请写出这九个数中最大的一个；若不能，请说出理由． 6．（25-26七年级上·吉林长春·期中）一个两位数的十位上的数为a，个位上的数为b，这个两位数记作；一个三位数的百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z，这个三位数记作． 【基础设问】 （1）泉小五发现：如果能被3整除，那么就能被3整除．请补全泉小五的证明思路． 证明：∵①______②______， 又∵代数式②，都能被3整除， ∴能被3整除． （2）能被11整除吗？请说明理由； 【拓展设问】 （3）泉小五又看到如下的阅读材料： 割尾法：三位数割掉末位数字得两位数，再用减去m的2倍所得的差为．若是7的倍数，则能被7整除． 举例：对于三位数364，割掉末位数字4得36，，因为28是7的倍数，所以364能被7整除． 泉小五不明白该方法的道理，请你帮帮他．证明：若是7的倍数，则能被7整除． 题型2 销售问题 销售问题核心关系：现价原价折扣(如折表示折扣为)、利润售价进价、总价单价数量、提价/降价后价格原价百分比(提价用“”，降价用“”)。 常见场景：原价元，先提价再降价，现价为； 7．（24-25七年级上·湖北黄冈·阶段练习）湘雅服装店以每套a 元的价格购进100套西服，然后将进价提高作为销售价，销售50套后， 余下部分按销售价的8折出售，售完后获得的利润是（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 8．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）苹果售价为每千克元，若购买苹果超过10千克，则超出10千克的部分按八折优惠，则购买25千克苹果应付 元．（用含的式子表示） 9．（20-21七年级上·山西临汾·期末）“元旦”期间，某文具店购进100只两种型号的文具进行销售，其进价和售价如表所示．设该店售出x只A型号的文具，那么100只文具销售完，该店盈利 元．（用含x的代数式表示） 型号 进价（元／只） 售价（元／只） A型 10 12 B型 15 23 10．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）三位家长决定带领名孩子（不少于）在“元旦”期间去同安方特景区旅游，春光旅行社的收费标准是成人全价，孩子半价；华夏旅行社收费标准是成人、孩子一律八折优惠，这两家旅行社的基本价相同，都是元． (1)用代数式表示这三位家长和名孩子分别参加这两家旅行社所需的总费用； (2)如果你是其中的一名孩子，你认为选择哪一家旅行社较为合算？为什么？ 11．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）某书店开展图书促销活动，有两种优惠方案： 方案一：购书按定价的付款； 方案二：购书不超过元按定价付款，超过元的部分按定价的付款． 现有一位顾客准备购买定价为元的图书． (1)若该顾客按方案一购买，需付款多少元？（用含的代数式表示） 若该顾客按方案二购买，需付款多少元？（用含的代数式表示） (2)当时，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ (3)当时，你能给出一种更省钱的购买方案吗？请写出具体方案并计算所需费用． 12．（25-26七年级上·全国·期中）某商场推出两种优惠方案． 方案一：购买商品一律按标价的九折优惠； 方案二：若购物金额满500元，则超出500元的部分按八折优惠． (1)若顾客购买标价为800元的商品，选择哪种方案更划算？请通过计算说明． (2)设顾客购买商品的标价为x元（），分别用含x的代数式表示两种方案下顾客需要支付的金额，然后分析当x满足什么条件时，方案二更优惠． 题型3面积问题 1.常见图形公式：长方形周长、面积；正方形周长、面积；圆周长、面积；2.正方体体积；长方体体积(、、为长宽高)。 图形变化场景：正方形边长，剪去个边长为的小正方形(四角)，折成无盖长方体，高为，底面边长为，体积为；圆环面积外圆面积内圆面积(为外圆半径，为内圆半径)。 13．（24-25七年级上·江西宜春·阶段练习）从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的面积是（    ）． A． B． C． D． 14．（24-25七年级上·广西南宁·开学考试）两个正方形如图放置，其中B、C、E在同一条直线上，小正方形的边长为6，连、、，则图中阴影部分的面积为（　  　） A．3 B．6 C．12 D．18 15．（25-26七年级上·陕西西安·开学考试）下图中，图（1）和图（2）是两个形状、大小完全相同的大长方形，在每个大长方形内放入四个大小相同的小长方形，阴影区域是空下来的地方，已知大长方形的长比宽多6厘米，问：图（1），图（2）中阴影区域的周长哪个大？大多少？ 16．（2025七年级上·全国·专题练习）如图是一块长方形花园，内部修有两个凉亭，其余部分种植花圃（阴影部分）． (1)用含的代数式表示花圃的面积； (2)若，修建花圃的成本是每平方米80元，求修建花圃所需费用． 17．（24-25七年级上·山西吕梁·阶段练习）综合与实践 现有三个边长分别为3，4，5的正方形卡片（如图1），分别记为，，，还有一个两边长分别为的长方形． 数学思考 （1）如图2，将放入长方形中，用含的代数式表示阴影部分的面积：___________．当，时，阴影部分的面积为___________． 深入探究 （2）将，两张卡片按图3所示的方式（和部分重叠）放置在长方形中，求阴影部分的面积（用含的代数式表示）． （3）将，，三张卡片按图4所示的方式（和II不重叠，和部分重叠，）放置在长方形中，求左上角阴影部分与右下角阴影部分周长的差，勤学小组成员认为缺少与的值无法计算，善思小组成员则认为不需要与的值也能计算，哪一个小组成员的说法正确？请说明理由． 18．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）将11张长为b，宽为a的小长方形纸片（如图1），按如图2的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的两部分的面积分别记为，，当的值与长方形边长无关时，求a与b的数量关系． 题型4 行程问题 1.行程问题核心公式：路程速度时间()，变形为“时间路程速度”()、“速度路程时间”()。 2.特殊场景：顺水速度静水速度水流速度()；逆水速度静水速度水流速度( )；相遇问题中，总路程甲路程乙路程()；追及问题中，路程差速度差时间()。 19．（2023七年级下·广东深圳·竞赛）在同一路线上有四个人：第一个人坐汽车，第二个人开摩托车，第三个人乘轻骑，第四个人骑自行车，各种车的速度是固定的，坐汽车的在12时追上乘轻骑的，14时遇到骑自行车的，而与开摩托车的相遇时是16时．开摩托车的遇到乘轻骑的是17时，并在18时追上了骑自行车的，则骑自行车的（    ）遇见乘轻骑的． A． B． C． D． 20．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）甲、乙两人沿铁路线相向而行，速度相同，一列火车从甲身边开过用了8秒钟，5分钟后火车与乙相遇，且从乙身边开过用了7秒钟，那么火车与乙相遇后，再过 分钟甲、乙两人相遇． 21．（25-26七年级上·全国·课后作业）甲、乙两人从同一地点出发，甲每小时走，乙每小时走．若他们反向行走，则两人相距 ；若他们同向行走，则两人相距 ．（用含的式子表示） 22．（24-25七年级上·全国·期末）两架飞机从同一地点同时出发反向而行，甲飞机顺风，乙飞机逆风，两架飞机的无风航速都是，风速为，后甲飞机比乙飞机多飞行 ． 23．（24-25七年级上·广东东莞·期中）已知某飞机在无风时的速度是m千米/时，风速为n千米/时，该飞机顺风飞行3小时，逆风飞行2小时． (1)则该飞机顺风飞行了 千米，逆风飞行了 千米． (2)用m、n表示飞机飞行的总路程． (3)当，时，求飞机顺风比逆风多飞行了多少千米？ 题型5分段计费问题 1. 分段计费的逻辑：根据“计费量的范围”分区间，不同区间对应不同计费标准，总费用为各区间费用之和，需用“分段代数式”表示(标注区间范围) 2.列分段代数式表示总费用，如“水费：不超过吨，元/吨；超过吨，超过部分元/吨”， 总费用为：(为用水量)。 根据分段代数式计算具体费用，如“吨水费，代入元”。 24．（25-26七年级上·全国·课后作业）某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过，每立方米元，超过部分每立方米元．该地区某用户上月用水量为，则应缴水费为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 25．（24-25七年级上·山西大同·阶段练习）大同市出租车收费标准起步价为7元，3千米后每千米的价格为1.6元，小明乘坐出租车走了x千米，则小明应付车费 元． 26．（2025七年级上·广东·专题练习）年4月1日，高明区调整了居民生活用水第三阶梯的价格．以下是调整后的居民生活用水价格表：已知小丽家9月份用水量为（），则小丽家9月份应缴纳水费 元． 水价类别 单价（元/立方米） 第一阶梯 每户每月用水量不超过的部分      第二阶梯 每户每月用水量超过且不超过的部分      第三阶梯 每户每月用水量超过的部分      27．（23-24七年级上·广东惠州·期中）【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们到附近的滴滴公司开展“打滴计费”的实践活动． 【实践发现】司机介绍说：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间来计算；远途费的收取方式为：行车里程10公里以内（含10公里）不收远途费，超过10公里的，超出部分每公里收0.4元，收费标准如下： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 1.8元/公里 0.45元/分钟 0.4元/公里 【实践探究】根据以上信息解答下列问题： 老师说：若乘客的行车里程为2公里，行车时间为4分钟，则付费计算为元． 【问题解决】 (1)小东问：“照老师这么算，如果我行车里程为5公里，行车时间为10分钟，则需付车费多少元？” (2)小明问：“如果行车里程为a公里，行车时间为b分钟，则我应付车费多少元？”（用含a、b的代数式表示，并化简）． (3)司机又说：“如果小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为9.5公里与14.5公里，并且小王的行车时间比小张的行车时间多24分钟，这两人下车时所付车费一样．”你赞同司机的说法吗？请同学们说明理由． 28．（2025七年级上·湖北·专题练习）现有一种新型网约车是一款全自动无人驾驶的网约车，已经在全国多个城市开放运营．某城市的新型网约车的计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 元/公里 元/分钟 元/公里 （注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式为：行车里程公里以内（含公里）不收远途费，超过公里的，超出部分每公里加收1元．） (1)若小东乘坐新型网约车，行车里程为公里，行车时间为分钟，则需付车费多少元？ (2)若小明乘坐新型网约车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟（a，b为整数），请分别计算当和当时，小明应付车费多少元？（用含a，b的式子表示，并化简） (3)小王和小张各自乘坐新型网约车，小王比小张的行车里程少3公里，行程结束后反而多付了6元，两人计费项目也相同（远途费为0时视为没有这个计费项目），那么这两辆新型网约车的行车时长相差多少分钟？ 题型6数式的变化规律 1. 探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式． 2. 数式规律分析方法：分“符号规律”“分子规律”“分母规律”“指数规律”四部分拆解，常用“”(为正整数，对应第项)表示序号。 29．（25-26七年级上·河南周口·阶段练习）观察：下列各数：2，，8，，…，根据这些数的变化规律，可得第n个数为（    ）． A． B． C． D． 30．（2025·云南昆明·三模）以下是一组按一定规律排列的多项式：，，，，，…，则第个多项式是（    ） A． B． C． D． 31．（19-20七年级上·四川乐山·期中）观察下列等式：①；②；③；④…；那么第个等式是 ． 32．（2022七年级下·广东揭阳·竞赛）观察下列等式 …… (1)按规律填空： ； (2)按规律填空： ； (3)计算的值． 33．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：… (1)按上述规律填空，第5个等式：______=______． (2)用含的代数式表示第个等式：______=______（为正整数）． (3)求的值． 34．（24-25七年级上·全国·阶段练习）已知公式：． (1)_____； (2)求；（写出计算过程） (3)观察下列图形：图1中共有正方形1个，图2中共有正方形5个，图3中共有正方形_____个，图4中共有正方形______个，图100中共有正方形______个． 题型7图形的变化规律 图形的变化类的规律题： 首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． 35．（25-26七年级上·安徽阜阳·开学考试）如下图，每个黑色圆片周围都摆有6个白色圆片．10个黑色圆片周围一共摆有42个白色圆片，照这样摆下去，个黑色圆片周围一共摆有白色圆片的个数是（   ） A． B． C． D． 36．（25-26七年级上·全国·期末）探索规律：如图所示的图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中图（1）一共有2个五角星，图（2）一共有8个五角星，图（3）一共有18个五角星，…，则图（n）中五角星的个数为 （用含n的代数式表示）． 37．（24-25七年级上·全国·课后作业）用大小一样的黑白两种颜色的小正方形纸片，按如下规律摆放： (1)第④个图案有___________张白色小正方形纸片； (2)第⑤个图案有___________张白色小正方形纸片； (3)第个图案有多少张白色小正方形纸片？ 38．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）如图，第1个图中有1颗棋子，第2个图中有5颗棋子，第3个图中有9颗棋子，第4个图中有13颗棋子，……，以此类推． (1)第9个图中有_____颗棋子； (2)猜想：第个图中有_____颗棋子（用含的代数式表示）； (3)根据你的猜想，试求出第1000个图中棋子颗数． 39．（2024七年级上·云南·专题练习）共享单车解决了城市居民出行采用公共交通出行还需要步行的主要问题，完成交通行业最后一块“拼图”，带动居民使用其他公共交通工具的热情，是一种新型绿色环保共享经济．如图，自行车每节链条的长度为，交叉重叠部分的圆的直径为． (1)4节链条长______； (2)n节链条长______； (3)如果一辆自行车的链条由50节这样的链条组成，那么这辆自行车上链条总长度是多少？ 题型8新定义问题 40．（24-25七年级上·贵州黔东南·阶段练习）定义：若，则称与是关于的“平衡数”．比如：3与是关于的“平衡数”，5与12是关于17的“平衡数”．现有与（为常数）始终关于常数的“平衡数”，则它们是关于 的“平衡数”． 41．（25-26七年级上·北京通州·阶段练习）相传大禹治水时，“洛水”中出现了一个神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”．用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数，且幻和恰好等于中心数的3倍． (1)如图1，是由1、2、3、4、5、6、7、8、9所组成的一个三阶幻方，其幻和为______ (2)如图2所示，则幻和_______； (3)由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方．在如图3所示的“幻方”中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，当时，则的值为_______ 42．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）小刚同学学习了有理数后，对运算充满了探索欲，于是定义了一种新运算“⊕”，规则如下：对于两个有理数m、n，． (1)计算：，； (2)设，，试比较与的大小，并说明理由； (3)已知，且，请直接写出所有满足条件的x的值． 43．（24-25七年级上·福建泉州·期中）在数的学习过程中，我们总会对其中一柴具有某种特性的数充满好奇，例如：定义：对于一个各个数位上的数字均不为零的三位自然数m，若m的十位数字等于其个位数字的2倍，则称这个自然数m为“好数”，当三位自然数m为“好数”时，交换m的百位数字和十位数字后会得到一个新的三位自然数n，规定，例如：当时，因为，所以是“好数”，此时，则． (1)写出最大的好数和最小的好数，并分别求出它们的值； (2)已知一个三位自然数t是“好数”，t的各个数位上的数字和记为k，若能被8整除，求所有满足条件的三位自然数t． 44．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数，为“美丽有理数对”，记为，如：数对，都是“美丽有理数对”． (1)数对，中是“美丽有理数对”的是_____； (2)若是“美丽有理数对”，则_____ “美丽有理数对”；_____ “美丽有理数对”；（填“是”、“不是”或“不一定是”） (3)若是“美丽有理数对”，求的值． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优01整式加减的应用8大重难题型 题型1数字问题 1.多位数的表示：若十位数字为、个位数字为，两位数表示为(十位数字个位数字)；若百位数字为、十位为、个位为，三位数表示为。 2.连续数的表示：连续整数可表示为、、(为整数)；连续奇数可表示为、(为整数)；连续偶数可表示为、(为整数)。 1．（24-25七年级上·福建漳州·期中）一个两位数的个位数字是a，十位数字是b，把它们对调后得到另一个两位数，则下列说法正确的是（　　） A．这两个两位数的和是 B．这两个两位数的和是 C．这两个两位数的和是 D．这两个两位数的差是 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减. 根据题意表示出两位数及对调后的两位数，计算后即可做出判断． 【详解】解：两位数为，对调后的两位数为， 则两个两位数之和为，之差为或， 故选：C． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）一个三位数，十位上的数字为，个位上的数字比十位上的数字小，百位上的数字是十位上的数字的倍．若把这个三位数百位上的数字挪到个位上的数字的右边，组成一个新的三位数，则新的三位数减原三位数的差为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键. 【详解】解：根据题干可知： 个位上的数字是； 百位上的数字是 调换位置后新的三位数的百位为：； 十位为： 个位为：； 则两个三位数的差为： 故答案为： ． 3．（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段练习）将2，，6，，10，，14，分别填入图中的圆圈内，使每个正方形顶点处4个数字之和与每条斜线上4个数字之和都相等，且，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了整式加减的应用．根据每个正方形顶点处4个数字之和与每条斜线上4个数字之和都相等可得，因此，结合图中已填的数字和可得x，y的值，即可解答． 【详解】解：∵每个正方形顶点处4个数字之和与每条斜线上4个数字之和都相等， ∴， ∴， ∵， ∴，或，， ∴当，时，； 当，时，， ∴的值为或． 故答案为：或． 4．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）我们知道：如果一个自然数的各位数字之和能被3整除，则这个数就能被3整除．我们不妨用三位数来说明，即设是一个三位数，如果是3的倍数，那么这个数一定是3的倍数．为什么？请说明理由． 【答案】这个数一定是3的倍数．理由见解析 【分析】本题考查整式加减的应用．将这个三位数写成，进而变形为，即可判断． 【详解】解：这个数一定是3的倍数．理由如下： 由题意知，这个数可以表示为： ， 其中是3的倍数，是3的倍数， 所以这个数一定是3的倍数． 5．（20-21七年级上·四川成都·期末）下图的数阵是由全体奇数排成： (1)图中平行四边形框内的九个数之和与中间的数有什么关系？ (2)在数阵图中任意作一类似（1）中的平行四边形，这九个数之和是否能等于2016？说明理由． (3)依据规律这九个数之和能否等于18171呢？若能，请写出这九个数中最大的一个；若不能，请说出理由． 【答案】(1)平行四边形框内的九个数之和是中间的数的9倍 (2)不能，见解析 (3)不能，见解析 【分析】本题考查了数字类规律题，整式的加减，通过数表，寻找数字间的规律并运用这一规律解决问题． （1）应算出平行四边形框内的九个数之和，进而判断与中间的数的关系； （2）任意作一类似（1）中的平行四边形框，仿照（1）的算法，进行简单判断；然后设最框中间的数为未知数，左右相邻的两个数相差，上下相邻的两个数相差，得到这个数的和，再判断能否被整除，且一定是奇数才可以． （3）看所给的数能否被整除，再次判断位置，能不能用平行四边形框出符合题意的数． 【详解】（1）解：∵， 平行四边形框内的九个数之和是中间的数的9倍； （2）解：这九个数之和不能等于2016，理由如下： 不妨设框中间的数为，这九个数按大小顺序依次为： ，，，，，，，，． ∴． ∴平行四边形框内的九个数之和是中间的数的9倍， ∵，是偶数，而数阵所有的数是奇数， ∴这九个数之和不能等于2016； （3）解：不能，理由如下： ∵， ， ∴是第个奇数， ∵数阵每行有个数，， ∴是第行第个数， 而此时无法构成平行四边形框， 因此这九个数之和不能等于18171． 6．（25-26七年级上·吉林长春·期中）一个两位数的十位上的数为a，个位上的数为b，这个两位数记作；一个三位数的百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z，这个三位数记作． 【基础设问】 （1）泉小五发现：如果能被3整除，那么就能被3整除．请补全泉小五的证明思路． 证明：∵①______②______， 又∵代数式②，都能被3整除， ∴能被3整除． （2）能被11整除吗？请说明理由； 【拓展设问】 （3）泉小五又看到如下的阅读材料： 割尾法：三位数割掉末位数字得两位数，再用减去m的2倍所得的差为．若是7的倍数，则能被7整除． 举例：对于三位数364，割掉末位数字4得36，，因为28是7的倍数，所以364能被7整除． 泉小五不明白该方法的道理，请你帮帮他．证明：若是7的倍数，则能被7整除． 【答案】（1）；或；（2）能被11整除，理由见解析；（3）见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，新定义，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据题意完成证明过程即可； （2）根据即可得证． （3）根据题意得到即可． 【详解】解：（1）证明：∵①②， 又∵代数式②，都能被3整除， ∴能被3整除． 故答案为：；或；    (2)能被11整除，理由如下：    ，    能被11整除；    (3) ， ，    设，    ，              能被7整除． 题型2 销售问题 销售问题核心关系：现价原价折扣(如折表示折扣为)、利润售价进价、总价单价数量、提价/降价后价格原价百分比(提价用“”，降价用“”)。 常见场景：原价元，先提价再降价，现价为； 7．（24-25七年级上·湖北黄冈·阶段练习）湘雅服装店以每套a 元的价格购进100套西服，然后将进价提高作为销售价，销售50套后， 余下部分按销售价的8折出售，售完后获得的利润是（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】本题考查整式加减的实际应用，根据利润等于售价减成本，进行计算即可． 【详解】解：由题意，（元）； 故选B． 8．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）苹果售价为每千克元，若购买苹果超过10千克，则超出10千克的部分按八折优惠，则购买25千克苹果应付 元．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，整式加减的应用，理解题意并正确列式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 9．（20-21七年级上·山西临汾·期末）“元旦”期间，某文具店购进100只两种型号的文具进行销售，其进价和售价如表所示．设该店售出x只A型号的文具，那么100只文具销售完，该店盈利 元．（用含x的代数式表示） 型号 进价（元／只） 售价（元／只） A型 10 12 B型 15 23 【答案】 【分析】题目主要考查列代数式及整式的加减的应用，理解题意，列出代数式化简即可． 【详解】解：设该店售出x只A型号的文具，则售出 只B型号的文具， 根据题意得：， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）三位家长决定带领名孩子（不少于）在“元旦”期间去同安方特景区旅游，春光旅行社的收费标准是成人全价，孩子半价；华夏旅行社收费标准是成人、孩子一律八折优惠，这两家旅行社的基本价相同，都是元． (1)用代数式表示这三位家长和名孩子分别参加这两家旅行社所需的总费用； (2)如果你是其中的一名孩子，你认为选择哪一家旅行社较为合算？为什么？ 【答案】(1)选择春光旅行社所需的总费用为元；选择华夏旅行社所需的总费用为元 (2)选择春光旅行社较为合算，理由见解析 【分析】本题考查了列代数式以及整式的加减，根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出选择两旅行社所需的总费用是解题的关键. 利用总价单价数量，结合两旅行社给出的收费标准，即可用含的代数式表示出选择两旅行社所需的总费用； 选择春光旅行社较为合算，将的两代数式作差，结合，可得出，即，进而可得出选择春光旅行社较为合算． 【详解】（1）解：根据题意得：选择春光旅行社所需的总费用为元； 选择华夏旅行社所需的总费用为元； （2）选择春光旅行社较为合算，理由如下： ， ， ， ， 即， 选择春光旅行社较为合算． 11．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）某书店开展图书促销活动，有两种优惠方案： 方案一：购书按定价的付款； 方案二：购书不超过元按定价付款，超过元的部分按定价的付款． 现有一位顾客准备购买定价为元的图书． (1)若该顾客按方案一购买，需付款多少元？（用含的代数式表示） 若该顾客按方案二购买，需付款多少元？（用含的代数式表示） (2)当时，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ (3)当时，你能给出一种更省钱的购买方案吗？请写出具体方案并计算所需费用． 【答案】(1)方案一：元；方案二：元． (2)按方案二购买较为合算． (3)没有更省钱的方案． 【分析】本题主要考查了列代数式，整式的加减运算，解不等式的知识点，运用分类讨论的思想，理解打折销售是解决问题的关键． （1）根据题目中的购买方案，分别列出代数式即可； （2）根据（1）中所列代数式，将代入求值即可； （3）设方案一购买元，则方案二购买元，根据题意可列不等式，解得，所以没有更省钱的方案． 【详解】（1）解：方案一：按定价的付款，所以需付款元 ； 方案二：需付款元． （2）解：当时，方案一需付款：（元）， 方案二需付款：（元）． 按方案二购买较为合算． （3）解：设方案一购买元，则方案二购买元，总费用为元， 情况一：若,即, , 情况二：若，即， ， ． 综上，最低费用为410元， 故没有更省钱的方案． 12．（25-26七年级上·全国·期中）某商场推出两种优惠方案． 方案一：购买商品一律按标价的九折优惠； 方案二：若购物金额满500元，则超出500元的部分按八折优惠． (1)若顾客购买标价为800元的商品，选择哪种方案更划算？请通过计算说明． (2)设顾客购买商品的标价为x元（），分别用含x的代数式表示两种方案下顾客需要支付的金额，然后分析当x满足什么条件时，方案二更优惠． 【答案】(1)选择方案一更划算，理由见解析 (2)方案一：；方案二：；当时，方案二更优惠 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用、列代数式、解一元一次不等式等知识点，读懂题目信息，理解两种优惠方法是解题的关键． （1）分别按“方案一”和“方案二”求得所需要的金额，然后再比较即可； （2）先列出方案一：需支付元，方案二：需支付（元），再根据方案二更优惠得，解一元一次不等式即可． 【详解】（1）解：方案一：按标价的九折优惠，购买标价为800元的商品需支付（元）， 方案二：购物金额满500元，超出部分为（元）， 这部分按八折优惠，则需支付（元）； 因为， 所以选择方案一更划算； （2）解：设顾客购买商品的标价为x元（）， 方案一：需支付元； 方案二：需支付（元）； 若方案二更优惠，则， 移项可得：， 即， 解得， 所以当时，方案二更优惠． 题型3面积问题 1.常见图形公式：长方形周长、面积；正方形周长、面积；圆周长、面积；2.正方体体积；长方体体积(、、为长宽高)。 图形变化场景：正方形边长，剪去个边长为的小正方形(四角)，折成无盖长方体，高为，底面边长为，体积为；圆环面积外圆面积内圆面积(为外圆半径，为内圆半径)。 13．（24-25七年级上·江西宜春·阶段练习）从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的面积是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减运算，数形结合是解题的关键．根据题意得出长方形的长和宽，进而即可求解． 【详解】解：拼成的长方形的长为，宽为， 长方形的面积为：． 故选：D． 14．（24-25七年级上·广西南宁·开学考试）两个正方形如图放置，其中B、C、E在同一条直线上，小正方形的边长为6，连、、，则图中阴影部分的面积为（　  　） A．3 B．6 C．12 D．18 【答案】D 【分析】本题主要考查不规则图形的面积，设大正方形的边长为，根据面积相等列出代数式化简即可． 【详解】解：设大正方形的边长为，则 图中阴影部分的面积为 ， 故选：D． 15．（25-26七年级上·陕西西安·开学考试）下图中，图（1）和图（2）是两个形状、大小完全相同的大长方形，在每个大长方形内放入四个大小相同的小长方形，阴影区域是空下来的地方，已知大长方形的长比宽多6厘米，问：图（1），图（2）中阴影区域的周长哪个大？大多少？ 【答案】图（1）中阴影区域的周长大，大12厘米 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，根据题意得到厘米是解题的关键． 设小长方形的长为a，宽为b，由图（2）得：大长方形的长为，大长方形的宽为，，再由大长方形的长比宽多6厘米，可得厘米，从而得到图（2）中阴影部分的周长为厘米，图（1）中阴影部分的周长为厘米，即可求解． 【详解】解：设小长方形的长为a厘米，宽为b厘米， 由图（2）得：大长方形的长为厘米，大长方形的宽为厘米，， ∵大长方形的长比宽多6厘米， ∴，大长方形的宽为厘米， ∴厘米， ∴图（2）中阴影部分的周长为厘米， 图（1）中阴影部分的周长为厘米， ∵厘米， ∴图（1）中阴影区域的周长大，大12厘米． 16．（2025七年级上·全国·专题练习）如图是一块长方形花园，内部修有两个凉亭，其余部分种植花圃（阴影部分）． (1)用含的代数式表示花圃的面积； (2)若，修建花圃的成本是每平方米80元，求修建花圃所需费用． 【答案】(1) (2)17600元 【分析】此题考查了代数式求值，整式的加减，以及列代数式，根据题意列出关系式是解本题的关键． （1）根据大矩形面积减去两个小矩形面积表示出花圃面积即可； （2）把的值代入计算即可求出． 【详解】（1）解：根据题意得， ， 答：花圃的面积是； （2）解：当时，花圃面积为，修建花圃所需费用（元）． 答：修建花圃所需费用为17600元． 17．（24-25七年级上·山西吕梁·阶段练习）综合与实践 现有三个边长分别为3，4，5的正方形卡片（如图1），分别记为，，，还有一个两边长分别为的长方形． 数学思考 （1）如图2，将放入长方形中，用含的代数式表示阴影部分的面积：___________．当，时，阴影部分的面积为___________． 深入探究 （2）将，两张卡片按图3所示的方式（和部分重叠）放置在长方形中，求阴影部分的面积（用含的代数式表示）． （3）将，，三张卡片按图4所示的方式（和II不重叠，和部分重叠，）放置在长方形中，求左上角阴影部分与右下角阴影部分周长的差，勤学小组成员认为缺少与的值无法计算，善思小组成员则认为不需要与的值也能计算，哪一个小组成员的说法正确？请说明理由． 【答案】（1）；；（2）；（3）善思小组成员说法正确，理由见解析 【分析】此题考查了列代数式及求值和整式加减运算，熟记长方形、正方形的面积、周长公式求解即可． （1）根据长方形、正方形的面积公式列代数式并求值即可； （2）根据长方形、正方形的面积公式列代数式求解即可； （3）根据长方形、正方形的周长公式列代数式求解即可． 【详解】解：（1）， 当时，； 故答案为：，； （2）； （3）善思小组成员说法正确，理由如下： 周长之差为： ． 则左上角阴影部分与右下角阴影部分周长的差为8， 故善思小组成员说法正确． 18．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）将11张长为b，宽为a的小长方形纸片（如图1），按如图2的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的两部分的面积分别记为，，当的值与长方形边长无关时，求a与b的数量关系． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算在几何图形中的应用，利用数形结合的思想正确的表示出是解题的关键； 根据图形，分别求出，，再求出，根据的值与长方形边长无关，即可求得a与b的数量关系． 【详解】解：设， ∴，， ∴ 与长度无关， ∴， ∴， 故答案为：． 题型4 行程问题 1.行程问题核心公式：路程速度时间()，变形为“时间路程速度”()、“速度路程时间”()。 2.特殊场景：顺水速度静水速度水流速度()；逆水速度静水速度水流速度( )；相遇问题中，总路程甲路程乙路程()；追及问题中，路程差速度差时间()。 19．（2023七年级下·广东深圳·竞赛）在同一路线上有四个人：第一个人坐汽车，第二个人开摩托车，第三个人乘轻骑，第四个人骑自行车，各种车的速度是固定的，坐汽车的在12时追上乘轻骑的，14时遇到骑自行车的，而与开摩托车的相遇时是16时．开摩托车的遇到乘轻骑的是17时，并在18时追上了骑自行车的，则骑自行车的（    ）遇见乘轻骑的． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式加减与除法的应用，正确列出代数式是解题关键．设汽车速度为，摩托车速度为，轻骑速度为，自行车速度为，根据题意可得12时，汽车与轻骑位置相同；此时，与骑自行车的距离为，与摩托车的距离为，再根据开摩托车的遇到乘轻骑的是17时可得，根据摩托车在18时追上了骑自行车的可得，则可得，然后根据自行车与轻骑相遇时间为，代入化简计算即可得． 【详解】解：设汽车速度为，摩托车速度为，轻骑速度为，自行车速度为， ∵坐汽车的在12时追上乘轻骑的，14时遇到骑自行车的，而与开摩托车的相遇时是16时， ∴12时，汽车与轻骑位置相同；此时，与骑自行车的距离为，与摩托车的距离为， ∵开摩托车的遇到乘轻骑的是17时， ∴， ∴， ∵摩托车在18时追上了骑自行车的， ∴， ∴， ∴自行车与轻骑相遇时间为 ， 小时小时分， 12时经过3小时分的时间为， 即骑自行车的遇见乘轻骑的， 故选：A． 20．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）甲、乙两人沿铁路线相向而行，速度相同，一列火车从甲身边开过用了8秒钟，5分钟后火车与乙相遇，且从乙身边开过用了7秒钟，那么火车与乙相遇后，再过 分钟甲、乙两人相遇． 【答案】35 【分析】本题主要考查了列代数式，整式加减的应用，设火车每秒通过x米，人每秒通过y米，车长L米，根据题意得出，即可得出，再求出分钟后甲乙之间的距离为：，最后求出结果即可． 【详解】解：5分钟秒 设火车每秒通过x米，人每秒通过y米，车长L米，根据题意得： ， ∴， 即， ∵火车5分钟后遇到了乙， ∴分钟后甲、乙之间的距离为： ， （秒）， 秒分钟， ∴再过分钟甲、乙相遇． 故答案为：35． 21．（25-26七年级上·全国·课后作业）甲、乙两人从同一地点出发，甲每小时走，乙每小时走．若他们反向行走，则两人相距 ；若他们同向行走，则两人相距 ．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】此题主要考查了列代数式，正确表示出两人行走的总路程是解题关键． 根据两人的速度之和×行驶的时间得出两人的距离；根据两人的速度之差×行驶的时间得出两人的距离． 【详解】解：由题意可得：， 即：反向行走小时后，两人相距千米； 由题意可得：， 即：同向行走小时后，两人相距千米． 故答案为：；． 22．（24-25七年级上·全国·期末）两架飞机从同一地点同时出发反向而行，甲飞机顺风，乙飞机逆风，两架飞机的无风航速都是，风速为，后甲飞机比乙飞机多飞行 ． 【答案】 【分析】根据题意，顺风速度无风速度风速，逆风速度无风速度风速，计算路程，作差计算即可． 本题考查了代数式的应用，整式的加减，正确列代数式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 23．（24-25七年级上·广东东莞·期中）已知某飞机在无风时的速度是m千米/时，风速为n千米/时，该飞机顺风飞行3小时，逆风飞行2小时． (1)则该飞机顺风飞行了 千米，逆风飞行了 千米． (2)用m、n表示飞机飞行的总路程． (3)当，时，求飞机顺风比逆风多飞行了多少千米？ 【答案】(1)， (2)千米 (3)250千米 【分析】本题考查了列代数式的应用，整式加减的应用，利用路程、时间、速度三者之间的关系列代数式，注意求出顺风航速和逆风航速． （1）由路程速度×时间及顺风速度飞机无风时速度+风速、逆风速度＝飞机无风时速度风速，分别求出飞机在顺风、逆风飞行的路程； （2）将（1）中所得路程相加即可求解； （3）将、代入化简后的式子中计算可得． 【详解】（1）解：该飞机顺风飞行的路程为千米，逆风飞行的路程为千米， 故答案为：，； （2）解：飞机飞行的总路程 （千米）， 答：飞机飞行的总路程是千米； （3）解：当，时， 飞机顺风比逆风多飞行的距离为 （千米）． 答：飞机顺风比逆风多飞行了千米． 题型5分段计费问题 1. 分段计费的逻辑：根据“计费量的范围”分区间，不同区间对应不同计费标准，总费用为各区间费用之和，需用“分段代数式”表示(标注区间范围) 2.列分段代数式表示总费用，如“水费：不超过吨，元/吨；超过吨，超过部分元/吨”， 总费用为：(为用水量)。 根据分段代数式计算具体费用，如“吨水费，代入元”。 24．（25-26七年级上·全国·课后作业）某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过，每立方米元，超过部分每立方米元．该地区某用户上月用水量为，则应缴水费为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式，解题的关键是读懂题意并根据缴费说明列代数式． 认真读懂题意，计算的水费与超出的水费的和即可． 【详解】解：+=元． 故选：D． 25．（24-25七年级上·山西大同·阶段练习）大同市出租车收费标准起步价为7元，3千米后每千米的价格为1.6元，小明乘坐出租车走了x千米，则小明应付车费 元． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，正确理解出租车收费标准是解题关键．小明应付车费等于起步价与3千米后的费用之和，由此即可得． 【详解】解：由题意得：小明应付车费为（元）， 故答案为：． 26．（2025七年级上·广东·专题练习）年4月1日，高明区调整了居民生活用水第三阶梯的价格．以下是调整后的居民生活用水价格表：已知小丽家9月份用水量为（），则小丽家9月份应缴纳水费 元． 水价类别 单价（元/立方米） 第一阶梯 每户每月用水量不超过的部分      第二阶梯 每户每月用水量超过且不超过的部分      第三阶梯 每户每月用水量超过的部分      【答案】 【分析】本题主要考查了整式加减运算的应用，理解居民生活用水标准是解题关键． 根据题目中调整后的居民生活用水价格表，可知不超过部分费用为元，超过但不超过部分费用为元，然后求和并化简，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可知小丽家9月份应缴纳水费为 （元）． 故答案为：． 27．（23-24七年级上·广东惠州·期中）【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们到附近的滴滴公司开展“打滴计费”的实践活动． 【实践发现】司机介绍说：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间来计算；远途费的收取方式为：行车里程10公里以内（含10公里）不收远途费，超过10公里的，超出部分每公里收0.4元，收费标准如下： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 1.8元/公里 0.45元/分钟 0.4元/公里 【实践探究】根据以上信息解答下列问题： 老师说：若乘客的行车里程为2公里，行车时间为4分钟，则付费计算为元． 【问题解决】 (1)小东问：“照老师这么算，如果我行车里程为5公里，行车时间为10分钟，则需付车费多少元？” (2)小明问：“如果行车里程为a公里，行车时间为b分钟，则我应付车费多少元？”（用含a、b的代数式表示，并化简）． (3)司机又说：“如果小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为9.5公里与14.5公里，并且小王的行车时间比小张的行车时间多24分钟，这两人下车时所付车费一样．”你赞同司机的说法吗？请同学们说明理由． 【答案】(1)需付车费13.5元 (2)当时，小明应付费元；当时，小明应付费元 (3)赞同，理由见解析 【分析】本题考查根据实际情境列代数式和进行代数式运算，属于分段计费类问题．解题关键是： 对于不同的行车里程情况（是否超过10公里），准确分析车费的构成（里程费、时长费、远途费的组合）． （1）根据题意车费里程费时长费计算即可； （2）根据题意可分当时和当时，进而问题可求解； （3）由题意分别得出小王和小张下车时所付的车费，然后问题可求解． 【详解】（1）解：（元）， 答：需付车费13.5元． （2）当时，小明应付费元； 当时，小明应付费元． （3）赞同 设小王与小张乘坐滴滴快车分别为a分钟、分钟， 则小王应付车费， 小张应付车费， 因此，赞同两人车费一样多． 28．（2025七年级上·湖北·专题练习）现有一种新型网约车是一款全自动无人驾驶的网约车，已经在全国多个城市开放运营．某城市的新型网约车的计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 元/公里 元/分钟 元/公里 （注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式为：行车里程公里以内（含公里）不收远途费，超过公里的，超出部分每公里加收1元．） (1)若小东乘坐新型网约车，行车里程为公里，行车时间为分钟，则需付车费多少元？ (2)若小明乘坐新型网约车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟（a，b为整数），请分别计算当和当时，小明应付车费多少元？（用含a，b的式子表示，并化简） (3)小王和小张各自乘坐新型网约车，小王比小张的行车里程少3公里，行程结束后反而多付了6元，两人计费项目也相同（远途费为0时视为没有这个计费项目），那么这两辆新型网约车的行车时长相差多少分钟？ 【答案】(1)元 (2)当时，小明付费元；当时，小明付费元 (3)分钟或分钟 【分析】本题主要考查了列代数式、代数式求值、整式的加减的应用等知识点，理解题意、列出代数式是解题的关键． （1）根据表中新型网约车的计价规则计算即可解答； （2）根据或分情况讨论，分别用代数式表示出小明应付车费即可； （3）先根据行车里程数分情况讨论，再根据题意在每种情况下分别表示出小王和小张的行车时长，并算出相差的时长即可． 【详解】（1）解：根据计费规则，当行车里程为公里，行车时间为分钟时， 小东需付车费：（元）， 答：需付车费55元． （2）解：根据计费规则，当时，小明应付车费：（元）； 当时，小明应付车费：（元）． 综上，当时，小明付费元；当时，小明付费元． （3）解：设小张的行车里程为x公里，则小王的行车里程为公里，小张付费y元，则小王付费元， 当行车里程公里以内时，小张行车时长：（分钟），小王行车时长：（分钟）， ∴行车时长差为：（分钟）； 当里程超过公里时，小张行车时长：（分钟），小王行车时长：（分钟）， ∴行车时长差为：（分钟）． 答：这两辆新型网约车的行车时长相差为分钟或分钟． 题型6数式的变化规律 1. 探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式． 2. 数式规律分析方法：分“符号规律”“分子规律”“分母规律”“指数规律”四部分拆解，常用“”(为正整数，对应第项)表示序号。 29．（25-26七年级上·河南周口·阶段练习）观察：下列各数：2，，8，，…，根据这些数的变化规律，可得第n个数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是数字类的规律探究，由条件可得按规律排列的数是2的整数指数幂，从而可得答案． 【详解】解：根据题意可得：，，，，… 则第n个数为． 故选：C． 30．（2025·云南昆明·三模）以下是一组按一定规律排列的多项式：，，，，，…，则第个多项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查寻找规律问题，观察多项式，将每个多项式拆分为关于的项和常数项，分别分析各自的规律：符号规律：负、正交替出现，即；指数规律：的指数依次为1，2，3，4，5，…，即；从而确定规律，即可得到答案，根据已知多项式找准规律是解决问题的关键． 【详解】解： 第1个：， 第2个：， 第3个：， 第4个：， 第5个：， …， 第个：， 故选：B． 31．（19-20七年级上·四川乐山·期中）观察下列等式：①；②；③；④…；那么第个等式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字规律探索，根据已知的等式找到规律是解题的关键； 根据已知的4个等式可以得到第个等式是，即可解答． 【详解】解：因为①； ②； ③； ④…； 所以第个等式是； 故答案为：． 32．（2022七年级下·广东揭阳·竞赛）观察下列等式 …… (1)按规律填空： ； (2)按规律填空： ； (3)计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字的变化类问题，解题的关键是正确的观察题目给出的各个关系式，考查了同学们的信息加工能力． （1）根据材料可知，和的结果是首数与末数的平均数的平方． （2）根据材料可知，和的结果是首数与末数的平均数的平方． （3）将原式化为后利用总结的规律解得即可． 【详解】（1）解：根据材料规律可得， 故答案为：． （2）解：根据材料规律可得， 故答案为：． （3）解：原式 ． 33．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：… (1)按上述规律填空，第5个等式：______=______． (2)用含的代数式表示第个等式：______=______（为正整数）． (3)求的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）观察发现，第一个等号后面的式子规律是分子不变，为1；分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为序号的2倍减1和序号的2倍加1．进而可写出第二个等号后面的式子． （2）把（1）中发现的规律用含的代数式表示出来即可； （3）运用变化规律计算即可． 本题考查了用代数式表示规律，并运用规律进行简便计算．找到规律是解题的关键． 【详解】（1）解：按上述规律填空，第5个等式为：， 故答案为：，． （2）解：用含的代数式表示第个等式为：， 故答案为：，． （3）解： ． 34．（24-25七年级上·全国·阶段练习）已知公式：． (1)_____； (2)求；（写出计算过程） (3)观察下列图形：图1中共有正方形1个，图2中共有正方形5个，图3中共有正方形_____个，图4中共有正方形______个，图100中共有正方形______个． 【答案】(1) (2)； (3)14；30；338350． 【分析】本题主要考查了乘方的应用，图形变化类，通过观察归纳出各图形的正方形个数所符合的规律是解题的关键，同时，也考查了代数运算的能力． （1）直接使用给定的公式来计算从1到10的所有整数的平方和． （2）通过计算从1到60的所有整数的平方和，减去从1到32的所有整数的平方和来即可． （3）观察图形规律，找出图n中正方形的数量，然后将代入公式中计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：根据图形，图1中有1个正方形，可以表示为 ； 图2中有5个正方形，可以表示为 ； 图3中有 个正方形； 图4中有 个正方形； 因此，图n中有正方形的数量为 ． 图100中正方形的数量为： 故答案为：14；30；338350． 题型7图形的变化规律 图形的变化类的规律题： 首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． 35．（25-26七年级上·安徽阜阳·开学考试）如下图，每个黑色圆片周围都摆有6个白色圆片．10个黑色圆片周围一共摆有42个白色圆片，照这样摆下去，个黑色圆片周围一共摆有白色圆片的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了图形的规律探索，主要培养学生的观察能力和总结能力， 即每增加一个黑色圆片，白色圆片就会增加4个，由此可得：n个黑色圆片周围一共摆有白色圆片：，由此解答即可． 【详解】解：1个黑色的圆片周围有6个白色圆片； 2个黑色的圆片周围有10个白色圆片； 3个黑色的圆片周围有14个白色圆片； 4个黑色的圆片周围有18个白色圆片； …… 即每增加一个黑色圆片，白色圆片就会增加4个，由此可得：n个黑色圆片周围一共摆有白色圆片：， 故选：A． 36．（25-26七年级上·全国·期末）探索规律：如图所示的图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中图（1）一共有2个五角星，图（2）一共有8个五角星，图（3）一共有18个五角星，…，则图（n）中五角星的个数为 （用含n的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了图形的变化规律，通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．由题意知：第（1）个图形中五角星的个数为；第（2）个图形中五角星的个数为；第（3）个图形中五角星的个数为；得出第（）个图形中五角星的个数为，由此得出答案即可． 【详解】解：第（1）个图形中五角星的个数为； 第（2）个图形中五角星的个数为； 第（3）个图形中五角星的个数为； 第（4）个图形中五角星的个数为； 所以第（）个图形中五角星的个数为． 故答案为：． 37．（24-25七年级上·全国·课后作业）用大小一样的黑白两种颜色的小正方形纸片，按如下规律摆放： (1)第④个图案有___________张白色小正方形纸片； (2)第⑤个图案有___________张白色小正方形纸片； (3)第个图案有多少张白色小正方形纸片？ 【答案】(1)13 (2)16 (3) 【分析】（1）（2）（3）找到规律即可解答：第n个图案有张白色小正方形纸片．本题考查图形的规律，找到规律是解题关键． 【详解】（1）解：第①个图案有4个白色小正方形， 第②个图案有个白色小正方形， 第③个图案有个白色小正方形， 第④个图案有个白色小正方形， 故答案为：13； （2）解：第⑤个图案有个白色小正方形， 故答案为：16； （3）解：第n个图案有张白色小正方形纸片． 38．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）如图，第1个图中有1颗棋子，第2个图中有5颗棋子，第3个图中有9颗棋子，第4个图中有13颗棋子，……，以此类推． (1)第9个图中有_____颗棋子； (2)猜想：第个图中有_____颗棋子（用含的代数式表示）； (3)根据你的猜想，试求出第1000个图中棋子颗数． 【答案】(1)33 (2) (3)3997颗 【分析】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是根据给出的图形，得出一般规律． （1）（2）分别找到前几个图中的规律，继而得出结论； （3）将代入中计算，即可得到结论． 【详解】（1）解：第1个图中有1颗， 第2个图中有颗， 第3个图中有颗， 第4个图中有颗， …， 则第9个图中有颗， 故答案为：33； （2）解：由（1）可得：第n个图中有颗棋子； （3）解：当时，（颗）， ∴第1000个图中有3997颗棋子． 39．（2024七年级上·云南·专题练习）共享单车解决了城市居民出行采用公共交通出行还需要步行的主要问题，完成交通行业最后一块“拼图”，带动居民使用其他公共交通工具的热情，是一种新型绿色环保共享经济．如图，自行车每节链条的长度为，交叉重叠部分的圆的直径为． (1)4节链条长______； (2)n节链条长______； (3)如果一辆自行车的链条由50节这样的链条组成，那么这辆自行车上链条总长度是多少？ 【答案】(1)7.6 (2) (3) 【分析】此题主要考查了图形的变化类． （1）结合图形发现规律：每加一节链条增加，据此计算即可； （2）从特殊到一般，找到规律列式即可； （3）在（2）的基础上，注意到环型链条比直线型链条多一个连接的接头，因此长度要少一个圆的直径，即可求解． 【详解】（1）解：∵根据图形可得出： 2节链条的长度为：， 3节链条的长度为：， 4节链条的长度为：， 故答案为：； （2）解：由（1）可得n节链条长为：． 故答案为：； （3）解：因为自行车上的链条为环形，首尾环形相连，展直的长度减1个0.8，故这辆自行车链条的总长为． 题型8新定义问题 40．（24-25七年级上·贵州黔东南·阶段练习）定义：若，则称与是关于的“平衡数”．比如：3与是关于的“平衡数”，5与12是关于17的“平衡数”．现有与（为常数）始终关于常数的“平衡数”，则它们是关于 的“平衡数”． 【答案】2 【分析】本题考查了整式的加减运算以及“平衡数”的定义，解题的关键是通过合并同类项后令含未知数的项的系数为0，求出常数k的值，进而确定平衡数n． 化简b的表达式，展开并整理；计算a与b的和，合并同类项；根据“始终关于常数n的平衡数”，令含项的系数为0，求出k；代入k的值，计算常数项，得到n． 【详解】解：由“平衡数”定义可知，为常数）． ∵ ∴ ∵a与b始终关于常数n的“平衡数” ∴含x的项系数必须为0（确保和为常数），即解得． 将代入常数项：，故． 故答案为：2． 41．（25-26七年级上·北京通州·阶段练习）相传大禹治水时，“洛水”中出现了一个神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”．用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数，且幻和恰好等于中心数的3倍． (1)如图1，是由1、2、3、4、5、6、7、8、9所组成的一个三阶幻方，其幻和为______ (2)如图2所示，则幻和_______； (3)由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方．在如图3所示的“幻方”中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，当时，则的值为_______ 【答案】(1)15 (2) (3) 【分析】本题考查有理数的运算，整式的加减，代数式求值，熟练掌握幻和的定义以及计算方法，是解题的关键： （1）根据幻和恰好等于中心数的3倍，进行求解即可； （2）根据幻和恰好等于中心数的3倍，进行求解即可； （3）根据“每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等”，分别列出等式，然后表示出代数式，的值，整体代入计算即可． 【详解】（1）解：幻和为； 故答案为：15； （2）幻和为； 故答案为：； （3）解：∵每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， ∴每个三角形各顶点上数字之和相等， ∵， ∴，整理得， ，整理得：， ∴． 42．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）小刚同学学习了有理数后，对运算充满了探索欲，于是定义了一种新运算“⊕”，规则如下：对于两个有理数m、n，． (1)计算：，； (2)设，，试比较与的大小，并说明理由； (3)已知，且，请直接写出所有满足条件的x的值． 【答案】(1)10；0 (2)当，；当时，；当时，，理由见解析 (3)或 【分析】（1）根据新定义的运算法则计算即可； （2）根据新定义的运算法则表示出与，再利用作差法比较大小即可； （3）根据绝对值的非负性可知，由且，整理得到，分类讨论求出的值，进而求出x的值即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：10；0； （2）解：， ， ∴， 当时，则，即； 当时，则，即； 当时，则，即； ∴当，；当时，；当时，； （3）解：∵， ∴， ∵且， ∴， ∴； 当时，则，舍去； 当时，则， 解得， ∴， ∴， 解得或； ∴综上所述，所有满足条件的x的值为或． 【点睛】本题考查新定义运算，绝对值的意义，有理数的加减混合运算，解一元一次方程，整式的运算，第3问有一定难度，通过分类讨论去绝对值，再结合绝对值的几何意义求解是解题的关键． 43．（24-25七年级上·福建泉州·期中）在数的学习过程中，我们总会对其中一柴具有某种特性的数充满好奇，例如：定义：对于一个各个数位上的数字均不为零的三位自然数m，若m的十位数字等于其个位数字的2倍，则称这个自然数m为“好数”，当三位自然数m为“好数”时，交换m的百位数字和十位数字后会得到一个新的三位自然数n，规定，例如：当时，因为，所以是“好数”，此时，则． (1)写出最大的好数和最小的好数，并分别求出它们的值； (2)已知一个三位自然数t是“好数”，t的各个数位上的数字和记为k，若能被8整除，求所有满足条件的三位自然数t． 【答案】(1)984，1；121， (2)342，284，684，742 【分析】本题考查新定义下的运算和整式加减的应用，解题的关键是掌握“好数”的特征． （1）根据“好数”的定义确定各个数位上的数字，然后根据的定义计算其值； （2）先设出三位自然数t的百位、十位、个位数字，根据“好数”定义和F的定义表示出和，再根据能被8整除来确定满足条件的数． 【详解】（1）解：∵是三位自然数且各个数位上的数字均不为零，要使“好数”最大，百位数字应尽量大， ∴百位最大是9． 根据“好数”定义，十位数字等于个位数字的2倍，个位数字最大只能是4，此时十位数字是8， ∴最大的好数， 交换m的百位数字和十位数字后得到， ∵， ∴； 要使“好数”最小，百位数字应尽量小， ∴百位最小是1，个位数字最小是1， ∴十位数字是2， ∴最小的好数， 交换m的百位数字和十位数字后得到， ∵， ∴； （2）设三位自然数t的百位数字为a，个位数字为b，则十位数字为， ∴， 交换t的百位数字和十位数字后得到， ∵， ∴， ∵t的各个数位上的数字和， ∴， ∵k能被8整除，即能被8整除， 当时： 若，则，解得，此时； 若，则，解得，此时； 当时： 若，则，解得，此时； 若，则，解得，此时． 综上所述，所有满足条件的三位自然数t为342，284，684，742． 44．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数，为“美丽有理数对”，记为，如：数对，都是“美丽有理数对”． (1)数对，中是“美丽有理数对”的是_____； (2)若是“美丽有理数对”，则_____ “美丽有理数对”；_____ “美丽有理数对”；（填“是”、“不是”或“不一定是”） (3)若是“美丽有理数对”，求的值． 【答案】(1) (2)不是，是 (3) 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，整式的加减，等式的性质，读懂题目中“美丽有理数对”的定义是解题的关键． （1）根据“美丽有理数对”的定义即可判断； （2）根据“美丽有理数对”的定义即可判断； （3）根据“美丽有理数对”的定义，构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解：（1），， ， 是“美丽有理数对”； ，， ， 不是“美丽有理数对”； 故答案为：； （2）解：是“美丽有理数对”， ， ， 不是“美丽有理数对”； ，即， 是“美丽有理数对”． 故答案为：不是；是； （3）解：是“美丽有理数对”， ， 解得． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $