6.2.3向量的数乘运算课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

讲课人： 日期： 6.2.3 向量的数乘运算 学习目标 学习目标 核心素养 1.了解向量的数乘的概念，掌握向量数乘的运算律. 数学抽象 2.理解并掌握向量共线定理及其应用. 逻辑推理 复习回顾 特点：共起点，连终点，方向指向被减向量 1.向量加法三角形法则: 特点:首尾相接，连首尾 特点:同一起点,对角线 A O 2.向量加法平行四边形法则: 3.向量减法三角形法则: B 如图5 . 31, 在直角坐标系内，设任意角α 的 终边与单位圆交于点P1 . (1) 作 P1 关于原点的对称点 P2 , 以 。P2 为 终边的角β与角α有什么关系？ 角 β, α 的三角函 数值之间有什么关系？ (2) 如果作P1 关于x 轴（或S轴） 的对称点 P3 （或 P4 ), 那么又可以得到什么结论？ 新课引入 前面，我们掌握了向量的加法、减法运算，并给出了求作和（差）向量的方法. 由向量的加法、减法运算自然联想到向量的乘法运算，在数的运算中，相同数的加法可以看成数的乘（倍数）运算．类比相同数的加法运算，同一向量的加法可以写成什么关系式？如何定义向量的数乘法则？ 这节课我们就来一起探究一下吧. 探索新知 P Q M N O A B C 探索新知 探索新知 思考：你对零向量、相反向量有什么新的认识？ 探索新知 探索新知 思考：一般地，设λ，μ为实数，则λ(μa)，(λ＋μ)a，λ(a＋b)分别等于什么？ 探索新知 向量的线性运算 典例分析 典例分析 例6 如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且 =a， =b，试用a, b表示向量 M A B D C a b 探索新知 思考：引入向量数乘运算后, 你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗？ 探索新知 向量共线定理 典例分析 典例分析 ,且有公共点Ａ 典例分析 典例分析 典例分析 和为1 和为1 课堂小结 1.实数与向量可以相乘，其积仍是向量，但实数与向量不能相加、相减.实数除以向量没有意义，向量除以非零实数就是数乘向量. 2.若λa=0，则可能有λ=0，也可能有a=0. 3.向量共线定理的应用： 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC A,B,C三点共线 3. 证明 两直线平行: AB=λCD AB∥CD AB与CD不在同一直线上 直线AB∥直线CD 课堂检测 C 课堂检测 C 课堂检测 C 课堂检测 课堂检测 作业 对应课后习题p16页 希望同学们：好学数学 学好数学 祝语 谢谢大家观看 讲课人： 日期： 思考：已知非零向量 ，怎样作出 和 ？如何简化其表示形式？ 向量 与向量 的方向相同，向量 的模是向量 的模的3.5倍. 根据这一定理，设非零向量a位于直线l上，那么对于直线l上的任意一个向量b，都存在唯一的一个实数 ，使 .也就是说，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示. 例7 如图，已知任意两个非零向量a，b，试作 ， ， .猜想A，B，C三点之间的位置关系，并证明你的猜想. 分析：判断三点之间的位置关系，主要是看这三点是否共线，为此只要看其中一点是否在另两点所确定的直线上，在本题中，应用向量知识判断A，B，C三点是否共线，可以通过判断向量 ， 是否共线，即是否存在 ，使 成立. 否则，不妨设 ，则 ， 由两个向量共线的充要条件知a，b共线，与已知矛盾， 由 ，解得 ， 因此，当向量 ， 共线时， . 2.如图，在 中，点D，E分别在 ， 边上，且 ， ，点F为 中点，则 ( ) A. B. C. D. 3.如图，在 中， ，E为线段AD上的动点，且 ，则 的最小值为( ) A.8 B.12 C.32 D.16 4、　已知非零向量e1，e2不共线． (1)如果eq \o(AB,\s\up15(→))＝e1＋e2，eq \o(BC,\s\up15(→))＝2e1＋8e2，eq \o(CD,\s\up15(→))＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线； [解]　(1)证明：∵eq \o(AB,\s\up15(→))＝e1＋e2， eq \o(BD,\s\up15(→))＝eq \o(BC,\s\up15(→))＋eq \o(CD,\s\up15(→))＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5eq \o(AB,\s\up15(→)). ∴eq \o(AB,\s\up15(→))，eq \o(BD,\s\up15(→))共线，且有公共点B，∴A，B，D三点共线． (2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值． [解]　(2)∵ke1＋e2和e1＋ke2共线， ∴存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)， 即(k－λ)e1＝(λk－1)e2. ∵e1与e2不共线，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k－λ＝0，,λk－1＝0，))解得k＝±1. $