5.2.2 导数的四则运算法则（培优教学课件）数学人教A版2019选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及应用 人教A版2019选择性必修第二册·高二 5.2 导数的运算 5.2.2 导数的四则运算法则 章节导读 导数概念及其意义 导数的运算 导数在研究函数中的应用 平均变化率 瞬时速度 导数的几何意义 平均速度 曲线的割线斜率、切线斜率 基本初等函数的导数公式 导数的四则运算法则 简单复合函数的导数 函数的单调性 函数的极值与最大（小）值 学 习 目 标 1 2 3 了解函数的和、差、积、商的导数公式的推导 能利用导数公式和导数的四则运算法则求函数的导数，培育数学运算的核心素养 能利用导数公式和导数的四则运算法则解决简单的切线问题和实际问题，培育数学建模、逻辑推理的核心素养. 新知导入 上节课我们学习了基本初等函数的导数公式，请同学们回顾，完成以下填空. 新课导入 在上节课的例2中，我们遗留了一个问题给同学们课后思考，问题如下： 例2 假设某地在20年间的年均通货膨胀率为5%，物价p(单位:元)与时间t(单位:年)之间的关系为 其中p0为t=0时的物价. 假定某种商品的p0=1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01元/年)? 追问 如果某种商品的p0=5，那么在第10 个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？ 在例2中，当p0=5时，p(t)=5×1.05t，这时，求p关于t的导数可以看成求函数f(t)=5与g(t)=1.05t乘积的导数？ 一般地，如何求两个函数和、差、积、商的导数呢？ 新知探究 问题1 设f (x)=x2, g(x)=x, 计算[f (x)+g(x)]′与[f (x)-g(x)]′, 它们与f '(x)和g'(x)有什么关系? 再取几组函数试试, 上述关系仍然成立吗? 由此你能想到什么? 定义新知 导数的运算法则1: 一般地，对于两个函数f(x)和 g(x)的和(或差)的导数，我们有如下法则： 即:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差). 典例分析 例3 求下列函数的导数: 解： 新知探究 问题2 设f (x)=x2, g(x)=x, 计算[f (x)g(x)]′与f ′(x)g′(x), 它们是否相等? f (x)与g(x)商的导数是否等于它们导数的商呢? 定义新知 事实上，对于两个函数f(x)和 g(x)的积(或商)的导数，我们有如下法则： 导数的运算法则2: 两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 导数的运算法则3: 两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函数的平方. 新知探究 追问1 你能用两个函数乘积的导数运算法则推出数乘(常数与函数的乘积)的运算法则吗?并能用文字语言和符号语言分别描述函数cf(x)(c为常数)的导数运算法则吗? 由函数的乘积的导数法则可以得出： 也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即 追问2 你能用两个函数商的导数运算法则推出 的运算法则吗? 由函数的商的导数法则可以得出： 即 新知汇总 导数的四则运算法则 新知探究 例4 求下列函数的导数: 解： 典例分析 例5 日常生活中的饮用水通常是经过净化的, 随着水的纯净度的提高, 所需净化费用不断增加. 已知将1 t水净化到纯净度为x%时所需费用(单位:元)为 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率: (1) 90%； (2) 98%. 解： ∴纯净度为90%和98%时，所需净化费用的瞬时变化率分别为52.84元/吨和1321元/吨. 课后练习 课本练习 课本P78 1. 运用基本初等函数的导数公式与导数运算法则，重新求解5.1节例2. 你是否感觉到运算法则给解题带来的方便简捷? 解： ∴在第2 h和6 h时，原油温度的瞬时变化率分别为－3 ℃/h与5 ℃/h. 课后练习 课本练习 课本P78 2. 求下列函数的导数: 解： 注意：如果有的函数直接求导比较麻烦，可以考虑将函数式先化简，然后进行求导． 课后练习 课本练习 课本P78 2. 求下列函数的导数: 课后练习 课本练习 课本P78 导数的加减运算法则 题型一 题型探究 【例1】 求下列函数的导数. （1） ； [解析] . （2） ； [解析] . （3） . [解析] . 导数的加减运算法则 题型一 题型探究 【例2】 已知曲线 的一条切线的斜率为 ，则该切线的方程为 _ ___________________. 】 m</m> [解析] 设切点坐标为 <m></m> , <m></m> , <m></m> , 解得 <m></m> 或 <m></m> （舍去）， <m></m> , 故切线方程为 <m></m> ,即 <m></m> . 导数的加减运算法则 题型一 题型探究 解题感悟 （1）两个函数和（或差）的求导法则： <m></m> ，即两个函数的和（或差）的导数等于这两个函数的导数的和（或差）. （2）熟记常见基本初等函数的求导公式是进行求导运算的前提.判断所给函数解析式的结构特点，选择正确的公式和运算法则. 导数的乘除运算法则 题型二 题型探究 【例3】(1)函数 的导数 ___________________. <m></m> [解析] <m></m> . (2)函数 的图象在点 处的切线斜率为____，切线方程为________. 1 <m></m> [解析] 因为函数 <m></m> 的导数为 <m></m> ， 所以曲线 <m></m> 在点 <m></m> 处的切线斜率 <m></m> ,切线方程为 <m></m> . 导数的乘除运算法则 题型二 题型探究 【例4】 已知函数 <m></m> 的导数为 <m></m> ，解方程 <m></m> ． [解析] 因为 <m></m> ， 所以 <m></m> ． 由 <m></m> ，得 <m></m> ，解得 <m></m> . 导数的乘除运算法则 题型二 题型探究 解题感悟 乘积函数的导数法则及其注意事项 （1）两个函数的乘积函数的导数法则可以简记为：前导后不导，前不导后导. （2）若能将乘积函数化为函数的和（或差）的形式，可以将乘积函数的导数转化为和（或差）函数的导数，再运用求导法则计算，这样可以简化计算过程. 导数的乘除运算法则 题型二 题型探究 解题感悟 两个函数的商的导数法则及其注意事项 （1）掌握两个函数的商的函数的导数法则 <m></m> ，可以简记为：上导下不导，下导上不导，分母平方，分子相减. （2）注意两个函数的商的导数法则中，分母函数不能为0，否则无意义. 导数四则运算的应用 题型三 题型探究 【例5】(1) 若函数的图象在点 处的切线与直线平 行，则 ____. [解析] 由，得 ， 所以 ， 因为函数的图象在点 处的切线与直线 平行， 所以，所以 . 导数四则运算的应用 题型三 题型探究 【例5】(2)曲线在 处切线的斜率为__. [解析] ， 所以当 时， . 导数四则运算的应用 题型三 题型探究 【例4】 某动车组列车最高时速为 .假设该动车组列车开出站一段时间内， 速度与行驶时间的关系式为 ，求该动车组列车出站后 速度首次达到 时的加速度. [解析] 因为，所以 . 令，得，解得或 （舍去）， 当时，， 即速度首次达到 时的加速度为 . 导数四则运算的应用 题型三 题型探究 解题感悟 利用导数运算法则求解的策略 （1）分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定所需的求导法则和基本公式. （2）若求导式子比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等. （3）利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和、差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导. 课堂达标 1.已知，则 ( ) D A. B. C. D. [解析] ， . 2.设，若，则 ( ) A A. B. C. D. [解析] ，若，则，解得 . 课堂达标 3.球的体积（单位：）与半径 （单位：）的关系为，当 时，体积关于半径的瞬时变化率为( ) C A. B. C. D. [解析] 由，得，所以 时， 体积关于半径的瞬时变化率为 ，故选C. 课堂达标 4. 曲线 在点 处的切线方程为_______________. <m></m> [解析] 由 <m></m> ,得 <m></m> ,所以 <m></m> , 故切线方程为 <m></m> ,即 <m></m> . 课堂小结 导数的四则运算法则 感谢聆听! 并由此将结论推广到多个函数的和与差的情形，即 . $