（举一反三讲义）第三单元 圆柱和圆锥（知识梳理+十五大考点讲练+真题演练+难度分层练共55题）-2025-2026学年人教版数学六年级下册重难点讲义

该小学数学讲义通过导图指引与知识梳理系统构建圆柱和圆锥单元知识体系，分十二个知识点涵盖圆柱圆锥的认识、特征、表面积、体积及切拼等内容，用思维导图呈现知识脉络，突出公式推导、空间关系等重难点及内在联系。 讲义亮点在于“考点讲练+真题演练+分层训练”设计，精选名校易错题、压轴题及5道小升初真题，如圆柱展开图选择、排水法求体积等题型，培养空间观念与推理意识，分层训练满足不同学生需求，助力自主复习与教师精准教学。

第三单元 圆柱和圆锥 【原卷版】 同学你好，该份讲义用于人教版六年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 真题演练：精选5道小升初真题，检验专题内容掌握水平； 5. 难度分层训练：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 知识点一：圆柱的认识和特征 1. 圆柱的形成 圆柱是以长方形的一边为轴旋转而得到的，把一张长方形的硬纸贴在木棒上，快速转动木棒，长方形硬纸形成的图形就是圆柱，生活中常见的圆柱形物体有水杯、固体胶棒、卷纸、树桩等等。 2. 圆柱的特征 （1）圆柱是由两个圆面和一个曲面组成的，两个底面是完全相同的圆，侧面是一个曲面。 （2）圆柱两个底面之间的距离，叫做圆柱的高，任意一个圆柱都有无数条高。 知识点二：圆柱的侧面展开图 1. 当沿高展开时，展开图是长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高。 2. 当底面周长和高相等时，沿高展开图是正方形。 3. 当不沿高展开时（斜向切开），展开图是平行四边形。 知识点三：圆柱的侧面积和表面积 1. 圆柱的侧面积。 当圆柱沿高展开时，侧面展开图是一个长方形，其中长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，因此： 圆柱的侧面积=长方形的面积=长×宽=圆柱底面的周长×高，即S侧=Ch=2πrh。 2. 圆柱的表面积=侧面积+2×底面积，即S表=S侧+2S底=Ch+2πr2。 3. 在解决实际问题时，并不是所有的圆柱形物体都有两个底面，有的有一个底面，如厨师帽、无盖水桶等；有的没有底面，如圆柱形水管、通风管等。 4. 在实际应用中，有时需要根据实际情况，不管被舍去的部分最高位上的数比5大还是比5小，都要向前一位进一，这种取近似值的方法叫做“进一法”。 知识点四：圆柱的切拼问题 1. 圆柱中高的增减变化引起的表面积变化。 高的增减变化引起的表面积变化问题，由于底面积没有改变，所以实际上发生变化的是侧面积，由此可以先求出底面周长，再进而求出表面积，即底面周长=变化的表面积÷变化的高度。 2. 圆柱中横切引起的表面积变化。 横切，即沿着底面或平行于底面将圆柱切一刀，此时表面积会多出两个面的面积，这两个面是底面，每多切一刀，便多增加两个面，即面数=刀数×2，相反，如果两段圆柱拼接在一起，则会减少两个底面。 3. 圆柱中竖切引起的表面积变化。 竖切，即沿着直径，垂直于底面切，此时多出的两个面是长方形，它是以底面圆的直径为长，以圆柱的高为宽的长方形。 4. 如果把正方体削成一个最大的圆柱，那么正方体的棱长是圆柱的高，也是圆柱底面的直径。 5. 圆柱与长方体的切拼引起的表面积变化。 将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多2个面积大小为hr的长方形。 知识点五：圆柱的旋转构成法 1. 圆柱的旋转构成。 一个长方形以一条边为轴顺时针或逆时针旋转一周，所经过的空间叫做圆柱体。 2. 在旋转时，以不同的边作为轴进行旋转所得到的圆柱是不一样的，因此，我们可以得到以下四种不同的旋转方法。 旋转方法①：如图所示，以宽为轴进行旋转。 以宽为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长就是底面圆的半径。 旋转方法②：如图所示，以长为轴进行旋转。 以长为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽就是底面圆的半径。 旋转方法③：如图所示，以两条长中点的连线为轴进行旋转。 以两条长中点的连线为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长的一半就是底面圆的半径。 旋转方法④：如图所示，以两条宽中点的连线为轴进行旋转。 以两条宽中点的连线为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽的一半就是底面圆的半径。 总结：以谁为轴进行旋转谁就是圆柱的高，而另一条边则是底面的半径。 知识点六：圆柱的体积 1. 圆柱的体积和容积。 （1）一个圆柱所占空间的大小，叫做这个圆柱的体积；一个圆柱所能容纳物体的体积，叫做这个圆柱的容积。 （2）圆柱形容器容积的求法和体积的求法是一样的，只是所需的数据要从容器的内部量。 2. 圆柱体积的推导方法。 将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多2个面积大小为hr的长方形，这个长方体的底面积和高与圆柱的底面积和高分别相等，由长方体体积公式（底×高）我们可以推导得出圆柱体体积公式。 如果用V表示圆柱的体积，用S表示圆柱的底面积，用h表示圆柱的高，则圆柱的体积=底面积×高，用字母表示为V=Sh=πr2h。 3. 体积和容积单位进率。 1m3＝1000dm3；1dm3＝1000cm3；1L＝1000mL；1L=1dm3；1mL＝1cm3。 4. 根据圆柱的体积公式=底面积×高，用字母表示为V=Sh，可将体积公式变形反求底面积或高，即： ①S底=V柱÷h ②h=V柱÷S底 知识点七：圆柱体积中的两种关系 其一：比例关系。 1. 当圆柱的底面积相等时，已知高之比，求体积之比：高之比就是体积之比。 2. 当圆柱的高相等时，已知底面积之比，求体积之比：底面积之比就是体积之比。 3. 已知底面积之比和高之比，求体积之比：分别用对应的底面积×对应的高求得对应体积，再求体积之比。 其二：倍数关系。 1. 当高不变时，底面积扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）； 2. 当底面积不变时，高扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）。 知识点八：长方体中的最大圆柱·圆柱中的最大长方体·正方体中的最大圆柱 1. 长方体中的最大圆柱。 在长a厘米，宽b厘米，高c厘米的长方体中切出一个体积最大的圆柱，求这个圆柱的体积是多少立方厘米，要以长方体底面的宽作为圆柱底面圆的直径，长方体的高作为圆柱的高，再来计算圆柱的体积。 2. 圆柱中的最大长方体。 圆柱中的最大的长方体，高和圆柱的高相等，长方体的底面是一个正方形，这个正方形的对角线恰好是圆柱的底面直径，因此，底面正方形的面积=对角线×对角线÷2，再根据“长方体体积=底面积×高”求出这个长方体的体积。 3. 正方体中的最大圆柱。 把正方体加工成一个最大的圆柱，圆柱的底面直径等于正方体的棱长，圆柱的高也等于正方体的棱长，再利用圆柱的体积公式V柱＝πr2h求圆柱的体积。 知识点九：排水法求不规则物体的体积 1. 转化法求不规则物体的体积。 在遇到不规则的物体计算体积或容积时，可以利用转化法把不规则物体的体积转化为规则物体的体积来计算， 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤如下： （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式。 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在- h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 知识点十：圆锥的认识和特征 1. 圆锥的形成。 圆锥是以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周而得到的。当然，圆锥也可以由扇形卷曲形成，即将扇形的两边重合。 2. 圆锥的组成和特征。 圆锥由平面和曲面两部分组成，平面部分是一个圆，叫作圆锥的底面，曲面部分叫作圆锥的侧面，侧面展开图是一个扇形，从顶点到底面圆心的距离叫作圆锥的高，圆锥的高用字母h表示，值得注意的是，圆锥只有一条高。 知识点十一：圆锥的切面积问题 将圆锥沿着高并垂直于底面的方向切成完全相同的两块，每一块的切面都是一个等腰三角形，而且这个三角形的底是底面圆的直径，高是圆锥的高，相比较圆锥的表面积，增加了两个这样的切面。 知识点十二：圆柱与圆锥的关系问题 1. 底面积和高均相等的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，反之，圆锥的体积是圆柱体积的。 2. 体积和高相等的圆锥与圆柱，圆锥的底面积是圆柱的三倍。 3. 体积和底面积相等的圆锥与圆柱，圆锥的高是圆柱的三倍。 高频考点一：圆柱的认识及特征 【典例精讲】（24-25六年级下·贵州黔东南·期末）图中圆柱包装盒的底面直径是40厘米，高是15厘米，彩带打结部分长20厘米，请你求出共用了多长的彩带？ 【变式训练】（24-25六年级下·江西赣州·期末）下面方格图中每个方格的边长代表1厘米。 （1）三角形ABC向（    ）边平移（    ）格后点A的位置变为（7，7）。 （2）画出将三角形ABC绕点C逆时针旋转90°后的图形。 （3）画一个面积是12平方厘米的轴对称图形。 （4）画出从正面观察一个底面直径6厘米、高5厘米的圆柱（如图）看到的图形。 高频考点二：圆柱的展开图 【典例精讲】（2025·河南南阳·小升初模拟）要制作一个无盖的圆柱形铁皮水桶，有编号为①～⑤的铁皮可供搭配选择，如下图。 （1）我选择的铁皮是（    ）和（    ）（填序号），铁皮水桶的高是（    ）dm。 （2）制作这个无盖水桶，一共需要多少平方分米铁皮？ 【变式训练】如图，选择纸板制作一个圆柱形笔筒（无盖），你会选择( )，这个笔筒的表面积是( )平方厘米。（不考虑重叠部分，π取3.14） 高频考点三：圆柱的侧面积 【典例精讲】（2025·河南郑州·小升初真题）一个用塑料薄膜覆盖的蔬菜大棚，长10米，横截面是半径为2米的半圆形，覆盖这个大棚至少需要塑料薄膜多少平方米？（π取3.14） 【变式训练】（24-25六年级下·安徽宿州·期末）用彩带扎一个圆柱形礼盒（如图），打结处刚好在底面圆心上，打结共用去彩带长15厘米。 （1）在它整个侧面贴上商标说明书，这部分的面积是多少平方厘米？ （2）扎这个礼盒共用去彩带多少厘米？ 高频考点四：圆柱的表面积 【典例精讲】（2025·四川内江·小升初真题）宋元时期，我国陶瓷史进入第一个高峰期，工人将一个半径是8cm的圆柱形陶泥沿着底面直径平均切成若干份，并拼成一个近似的长方体后，陶泥的表面积比原来增加了480cm2，原来陶泥的表面积是( )cm2。 【变式训练】（22-23六年级下·福建三明·期中）将一根高5分米的圆柱形木料沿底面直径垂直切成两部分（如下图），这时表面积比原来增加了60平方分米。这根圆柱形木料原来的表面积是（    ）平方分米。 A．18π B．48π C．72π D．132π 高频考点五：组合体的表面积(圆柱) 【典例精讲】（24-25六年级下·河南郑州·期中）计算下面图形的表面积。 【变式训练】（22-23六年级下·浙江·期中）如图，将三个圆柱叠在一起，表面积减少了( )平方分米。 高频考点六：圆柱的体积 【典例精讲】（2025·湖南长沙·小升初真题）如图是一个底面半径为3厘米的圆柱木块被削去一半后的形状，请你计算出它的体积。 【变式训练】（2025·云南昆明·小升初真题）阅读下面资料，解决问题。 生物在进化过程中，为了求得生存，有些动物的骨、植物的茎是空心的，而且截面的内圆直径和外圆直径之比大约都是8∶11，研究表明，当一根空心管的底面的内圈直径和外圆直径之比是8∶11时最不容易弯曲。根据这个研究，人们制成了空心零件、自行车的车身架等，以达到耗费最少材料而使其最坚固的目的。 （1）要加工这样一个零件，有一块长方体木料（如图1），先把这块木料加工成一个圆柱。这个圆柱的体积是多少？（π取3） （2）按照上面的研究，用刚才加工的圆柱制作这样一个零件（如图2）。这个零件底面的内圆直径是多少厘米？ （3）这个零件（如图3）的体积是多少立方厘米？（π取3） 高频考点七：圆柱的容积 【典例精讲】（2025·河南信阳·小升初真题）一只木桶能够装多少水，取决于最短的那块木板，这被人们称之为“木桶原理”。下面是一个圆柱形木桶的相关信息，这只木桶竖直摆放时最多能盛多少升水？ ①木桶占地面积为1384.74平方厘米。    ②内直径为40厘米。 ③最短的木板高度为40厘米。        ④最长的木板高度为60厘米。 （1）计算时，需要的信息有（    ）。（把所选择的序号填在括号内） （2）根据所选信息，计算一下这只木桶竖直摆放时最多能盛多少升水？ 【变式训练】（2025·湖北十堰·小升初真题）小东测量瓶子的容积（如下图），测得瓶子的底面直径是10厘米，然后给瓶子内盛入一些水，正放时水高15厘米，倒放时水高25厘米，瓶子深30厘米。这个瓶子的容积是多少毫升？（π取3.14）（单位：厘米） 高频考点八：立体图形的切拼(圆柱) 【典例精讲】（24-25六年级下·湖南娄底·期末）如下图，把一个高为10cm的圆柱平均分成若干份后，拼成一个近似的长方体，这时表面积增加了80cm2。这个圆柱的底面半径是( )cm。 【变式训练】（21-22六年级下·重庆丰都·期末）如图所示，把底面直径8厘米的圆柱切成若干等分，拼成一个近似的长方体。这个长方体的表面积比原来增加80平方厘米，那么圆体的体积是多少立方厘米？ （1）要求圆柱的体积，我们需要知道它的底面积和（    ）。 （2）拼成长方体后表面积增加了（    ）个长方形，所以我们能求出圆柱的高是（    ）厘米。 （3）圆柱的体积是多少立方厘米？ 高频考点九：圆锥的认识及特征 【典例精讲】（24-25六年级下·河北邯郸·期中）如图，以直角三角形的一条直角边AB为轴旋转一周得到一个( )，得到的这个图形的高是( )cm，底面积是( )cm2。 【变式训练】（24-25六年级下·河南南阳·期中）传统竹编工艺有着悠久的历史，手艺人王师傅制作了一顶底面半径为20厘米，高为15厘米的圆锥形斗笠，现在要用一个长方体纸盒包装起来，这个纸盒至少需要 平方厘米的纸板。 高频考点十：圆柱与圆锥体积的关系 【典例精讲】（24-25六年级下·河南信阳·期末）如图，下面关于四个图形的体积说法错误的是（    ）。 A．①和④的体积相等 B．②的体积是①的3倍 C．②的体积是④的3倍 D．①和③的体积相等 【变式训练】（2025·湖北武汉·小升初真题）小刚在手工课上拿到一根高30厘米的圆柱形木棒，如图所示，将它截成相同的两段后，表面积比原来增加了50.24平方厘米。小刚想把其中一段木棒削成一个最大的圆锥体摆件，削去的体积是多少立方厘米？ 高频考点十一：圆锥的体积（容积) 【典例精讲】（2025·河北保定·小升初模拟）一个圆锥和一个圆柱的底面积相等，且体积比是1∶6，已知圆柱的高是4.2厘米，则圆锥的高是（    ）厘米。 A．2.1 B．1.4 C．8.4 D．0.7 【变式训练】（2025·浙江宁波·小升初真题）下图展示了一款饮料纸杯的设计图，纸张厚度以及连接处忽略不计。 根据图中信息，解决下列问题。（计算结果用含的算式表示） （1）制作一个这样的纸杯，使用的纸张面积是多少平方厘米？ （2）用这款纸杯能装下400毫升的饮料吗？请通过计算说明理由。 高频考点十二：体积的等积变形(圆柱、圆锥） 【典例精讲】（2025·浙江宁波·小升初模拟）在底面半径为6厘米、高10厘米的圆柱形玻璃缸中，放入一个底面半径为4厘米、高9厘米的圆锥体铅块，放水将铅块全部淹没，当铅块取出后，玻璃缸中的水位下降多少厘米？ 【变式训练】．（2022·湖南长沙·小升初真题）如图，在一个盛有450毫升水的量杯中，放入一个圆柱，水面对应的刻度为600毫升。若再放入一个与圆柱等底等高的圆锥，则此时水面对应的刻度为 毫升。 高频考点十三：立体图形的切拼（圆锥） 【典例精讲】（24-25六年级下·湖北黄石·期末）如图，一个圆锥的高是3厘米，沿着它的高平均切成两部分，表面积增加12平方厘米，原来圆锥的底面直径是( )厘米，体积是( )立方厘米。 【变式训练】从正方体里削出一个最大的圆锥，圆锥的体积是cm3，正方体的体积是（    ）cm3。 A．12 B．8 C．6 D．4 高频考点十四：组合体的体积（圆柱、圆锥） 【典例精讲】（2025·河北唐山·小升初真题）计算下面立体图形的体积。（单位：厘米） 【变式训练】（2024·浙江宁波·小升初真题）（如图）一个圆锥和圆柱拼接成透明模具，小仑装了一些水，正放时水的高度是6厘米，倒放时无水部分高14厘米，这个模具的容积是多少毫升？ 高频考点十五：不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥) 【典例精讲】（2025·辽宁本溪·小升初真题）一个圆柱形的水桶，底面直径是40厘米，里面装有80厘米深的水。现将一个底面周长为62.8厘米的圆锥形铁块沉浸在水桶之中（水未溢出），水面升高了，圆锥形铁块的高是多少厘米？ 【变式训练】（22-23六年级下·浙江·期末）如图，一个密封的饮料瓶里装了一些饮料，根据图中的数据，解决下列问题： （1）这个饮料瓶容积是多少？ （2）将这些饮料倒入一个圆锥形杯子里，已知圆锥的底面半径与这个饮料瓶的底面半径之比是1∶2，高是9厘米，这些饮料可以倒满几杯？ 【演练1】（2025·江西吉安·小升初真题）如图：这是一个圆柱形礼盒。 (1)做这个礼盒至少要用多少平方厘米的硬纸壳？（接口处不计） (2)如图：用丝带捆扎起来（系蝴蝶结用去30厘米长的丝带），这条丝带至少长多少厘米？ 【演练2】（2025·浙江温州·小升初真题）图中，h1＝h2，d1＝d2，把下面左边瓶里的饮料倒入圆锥形的杯子里，最多能倒满( )杯。 【演练3】（2025·浙江宁波·小升初真题）如下图，三个量杯从里面量，高度都是9厘米。小冬先把圆锥形量杯盛满水，再把这杯水全部倒进圆柱形量杯中，圆柱形量杯的水面高度是( )厘米，接着他又把这些水全部倒进长方体量杯中，长方体量杯的水面高度应为( )厘米。（得数保留一位小数） 【演练4】（2025·浙江宁波·小升初真题）如图，用完全一样的长方形纸，沿着长或宽卷一卷、转一转（不考虑粘结处），这四个圆柱的体积存在一定的关系。（π取3） 圆柱①和②的体积比，圆柱③和④的体积比，它们的比值相等。 上面这句话是否正确？请你验证。 （1）用喜欢的方法列式算一算，写出验证的结论。 （2）这两个比与原来长方形纸的长和宽有什么关系？写一写你的发现。 【演练5】（2025·北京丰台·小升初真题）为了形象直观地说明“木桶效应”蕴含的道理，老师特意准备了一只木桶，制作此木桶底面与侧面用的木板的厚度相同，侧面木板长短不一，小明从木桶外部测量的数据，如图1所示。 （1）如果从木桶的里面测量，底面的直径是多少厘米？ （2）这只木桶上的铁箍是用薄铁皮制作的，箍1圈铁箍，如果接头处、铁皮厚度都忽略不计，请你算一算，至少需要多少平方厘米的薄铁皮？ （3）把这个木桶斜放比平放最多能多接多少水？ 基础夯实 能力提升 1．（2025·浙江宁波·小升初真题）如图，圆锥形杯子与圆柱形容器的底面积相等。将圆柱形容器里装满的果汁全部倒入圆锥形杯子中，可以倒满（    ）杯。 A．3 B．6 C．9 D．12 2．（24-25六年级下·广东东莞·期末）一个圆柱底面半径扩大到原来的2倍，高不变，体积扩大到原来的（    ）倍。 A．2 B．4 C．6 D．8 3．（2025·广东揭阳·小升初模拟）把一个圆柱形铁块熔铸成一个等底的圆锥形铁块，高将（    ）。 A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来的 C．扩大到原来的6倍 D．缩小到原来的 4．（24-25六年级下·广西南宁·期末）为了探究圆柱的体积，课堂上王阳和本组同学一起把圆柱平均分成若干等份，再拼成一个近似的长方体（如下图）。通过观察发现：这个长方体的底面积等于圆柱的( )，高等于圆柱的( )，拼成的近似长方体的体积等于原来圆柱的体积。然后根据长方体的体积计算公式而得出结论：圆柱的体积＝( )，整个推导过程运用了( )思想方法。 5．（2025·甘肃兰州·小升初真题）一根圆柱木料，底面半径3cm，高10cm，如果把这根圆柱木料削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是( )cm3。 6．（2025·湖南邵阳·小升初模拟）一个圆柱和圆锥的体积和底面积都相等，圆柱的高为4厘米，则圆锥的高为12厘米。( )（判断对错） 7．（24-25六年级下·重庆忠县·期中）计算下面图形的体积。（单位：m） 8．（2025·海南省直辖县级单位·小升初真题）营养学家建议，儿童每天水的摄入量应不少于1500毫升。小刚每天用底面直径6厘米，高10厘米的圆柱形水杯喝6杯水，达到要求了吗？ 9．（24-25六年级下·云南昆明·期末）小明家的一套茶具如下图。烧一壶茶能倒满6杯吗？（杯子的厚度忽略不计） 10．（2025·山东菏泽·小升初真题）刘小薇在研究圆柱的体积时，将圆柱体模型切拼成一个近似的长方体，她发现如果将这个长方体“躺倒”放（如下图），底面就是圆柱侧面的一半，高就是圆柱的半径，因此她得出一个结论： 圆柱的体积＝侧面积的一半×半径 现有一个圆柱，侧面积是37.68平方厘米，体积是37.68立方厘米，这个圆柱的高是多少厘米？（π取3.14） 创新拓展 拔尖冲刺 1．（2025·云南昭通·小升初模拟）在一个棱长4分米的正方体水箱中盛满水，并全部倒入一个空的圆锥形容器里，刚好倒满且没有溢出，圆锥的高是8分米，这个圆锥形容器的底面积是（    ）。（容器厚度忽略不计） A．8平方分米 B．32平方分米 C．24平方分米 D．16平方分米 2．（2025·湖南永州·小升初模拟）一根大小均匀的圆柱形木头，底面直径是2分米，把它锯成三根小圆柱，表面积增加（    ）平方分米。 A．12.56 B．18.84 C．25.12 D．50.24 3．（2025·广东汕头·小升初模拟）把一根圆柱形木料沿底面直径垂直剖开成两个半圆柱，已知切面是一个周长为24分米的正方形，这根木料的表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。 4．（2025·浙江台州·小升初模拟）把一个圆柱削成最大的圆锥后，圆锥体积比圆柱体积少24π立方分米。如果圆锥的底面半径是3分米，圆柱的高是( )分米。 5．（2025·四川遂宁·小升初真题）求下面图形的体积。 6．（2025·广东佛山·小升初模拟）在一个底面半径为10厘米的圆柱形玻璃容器中，水深8厘米，要在容器中放入长和宽都是8厘米，高16厘米的一块铁块。（水没有溢出） (1)如果把铁块横放入水中，水面上升多少厘米？（得数保留整数。） (2)如果把铁块竖放入水中水面上升多少厘米？（得数保留整数。） 7．（24-25六年级下·河南信阳·期末）一个圆柱形的蓄水池，从里面量底面直径10米，深2.4米，在它的内壁与底面抹上水泥。 （1）抹水泥部分是多少平方米？ （2）现在蓄水池所蓄的水占这个水池的，现蓄水多少吨？（每立方米水重1吨） 8．（2025·浙江·小升初模拟）数学组的同学们在上拓展课，张老师和四名同学测量一些螺丝钉的体积，他们合作进行如下操作： ①小明准备了一个圆柱体玻璃杯，从里面测量得到底面直径是厘米，高是厘米。 ②小刚往玻璃杯里注入一些水，水的高度与水面离杯口的距离之比是1∶1。 ③小亮把20枚完全一样的螺丝钉放入水中。（螺丝钉完全浸没在水中） ④小强测量此时水的高度与水面离杯口的距离之比是3∶2。请根据以上信息，计算出一枚螺丝钉的体积。（π取3.14） 9．（2025·浙江·小升初模拟）科学组的同学们在做实验，先将两个大小相同的烧杯中，都盛有480毫升的水，再将等底等高的圆柱与圆锥实心零件（材质相同）分别放入两个烧杯中，则甲烧杯水面刻度如图所示。乙烧杯水面刻度显示应是多少毫升？ 10．（2025·浙江宁波·小升初真题）下图中明明用6个体积是1立方厘米的小正方体，测量了长方体木块的长、宽、高。请根据图中信息算一算。 （1）这个长方体木块的表面积是多少平方厘米？ （2）如果把这个长方体木块削成一个圆柱，能削成的圆柱体积最大是多少立方厘米？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 圆柱和圆锥 【解析版】 同学你好，该份讲义用于人教版六年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 真题演练：精选5道小升初真题，检验专题内容掌握水平； 5. 难度分层训练：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 知识点一：圆柱的认识和特征 1. 圆柱的形成 圆柱是以长方形的一边为轴旋转而得到的，把一张长方形的硬纸贴在木棒上，快速转动木棒，长方形硬纸形成的图形就是圆柱，生活中常见的圆柱形物体有水杯、固体胶棒、卷纸、树桩等等。 2. 圆柱的特征 （1）圆柱是由两个圆面和一个曲面组成的，两个底面是完全相同的圆，侧面是一个曲面。 （2）圆柱两个底面之间的距离，叫做圆柱的高，任意一个圆柱都有无数条高。 知识点二：圆柱的侧面展开图 1. 当沿高展开时，展开图是长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高。 2. 当底面周长和高相等时，沿高展开图是正方形。 3. 当不沿高展开时（斜向切开），展开图是平行四边形。 知识点三：圆柱的侧面积和表面积 1. 圆柱的侧面积。 当圆柱沿高展开时，侧面展开图是一个长方形，其中长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，因此： 圆柱的侧面积=长方形的面积=长×宽=圆柱底面的周长×高，即S侧=Ch=2πrh。 2. 圆柱的表面积=侧面积+2×底面积，即S表=S侧+2S底=Ch+2πr2。 3. 在解决实际问题时，并不是所有的圆柱形物体都有两个底面，有的有一个底面，如厨师帽、无盖水桶等；有的没有底面，如圆柱形水管、通风管等。 4. 在实际应用中，有时需要根据实际情况，不管被舍去的部分最高位上的数比5大还是比5小，都要向前一位进一，这种取近似值的方法叫做“进一法”。 知识点四：圆柱的切拼问题 1. 圆柱中高的增减变化引起的表面积变化。 高的增减变化引起的表面积变化问题，由于底面积没有改变，所以实际上发生变化的是侧面积，由此可以先求出底面周长，再进而求出表面积，即底面周长=变化的表面积÷变化的高度。 2. 圆柱中横切引起的表面积变化。 横切，即沿着底面或平行于底面将圆柱切一刀，此时表面积会多出两个面的面积，这两个面是底面，每多切一刀，便多增加两个面，即面数=刀数×2，相反，如果两段圆柱拼接在一起，则会减少两个底面。 3. 圆柱中竖切引起的表面积变化。 竖切，即沿着直径，垂直于底面切，此时多出的两个面是长方形，它是以底面圆的直径为长，以圆柱的高为宽的长方形。 4. 如果把正方体削成一个最大的圆柱，那么正方体的棱长是圆柱的高，也是圆柱底面的直径。 5. 圆柱与长方体的切拼引起的表面积变化。 将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多2个面积大小为hr的长方形。 知识点五：圆柱的旋转构成法 1. 圆柱的旋转构成。 一个长方形以一条边为轴顺时针或逆时针旋转一周，所经过的空间叫做圆柱体。 2. 在旋转时，以不同的边作为轴进行旋转所得到的圆柱是不一样的，因此，我们可以得到以下四种不同的旋转方法。 旋转方法①：如图所示，以宽为轴进行旋转。 以宽为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长就是底面圆的半径。 旋转方法②：如图所示，以长为轴进行旋转。 以长为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽就是底面圆的半径。 旋转方法③：如图所示，以两条长中点的连线为轴进行旋转。 以两条长中点的连线为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长的一半就是底面圆的半径。 旋转方法④：如图所示，以两条宽中点的连线为轴进行旋转。 以两条宽中点的连线为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽的一半就是底面圆的半径。 总结：以谁为轴进行旋转谁就是圆柱的高，而另一条边则是底面的半径。 知识点六：圆柱的体积 1. 圆柱的体积和容积。 （1）一个圆柱所占空间的大小，叫做这个圆柱的体积；一个圆柱所能容纳物体的体积，叫做这个圆柱的容积。 （2）圆柱形容器容积的求法和体积的求法是一样的，只是所需的数据要从容器的内部量。 2. 圆柱体积的推导方法。 将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多2个面积大小为hr的长方形，这个长方体的底面积和高与圆柱的底面积和高分别相等，由长方体体积公式（底×高）我们可以推导得出圆柱体体积公式。 如果用V表示圆柱的体积，用S表示圆柱的底面积，用h表示圆柱的高，则圆柱的体积=底面积×高，用字母表示为V=Sh=πr2h。 3. 体积和容积单位进率。 1m3＝1000dm3；1dm3＝1000cm3；1L＝1000mL；1L=1dm3；1mL＝1cm3。 4. 根据圆柱的体积公式=底面积×高，用字母表示为V=Sh，可将体积公式变形反求底面积或高，即： ①S底=V柱÷h ②h=V柱÷S底 知识点七：圆柱体积中的两种关系 其一：比例关系。 1. 当圆柱的底面积相等时，已知高之比，求体积之比：高之比就是体积之比。 2. 当圆柱的高相等时，已知底面积之比，求体积之比：底面积之比就是体积之比。 3. 已知底面积之比和高之比，求体积之比：分别用对应的底面积×对应的高求得对应体积，再求体积之比。 其二：倍数关系。 1. 当高不变时，底面积扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）； 2. 当底面积不变时，高扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）。 知识点八：长方体中的最大圆柱·圆柱中的最大长方体·正方体中的最大圆柱 1. 长方体中的最大圆柱。 在长a厘米，宽b厘米，高c厘米的长方体中切出一个体积最大的圆柱，求这个圆柱的体积是多少立方厘米，要以长方体底面的宽作为圆柱底面圆的直径，长方体的高作为圆柱的高，再来计算圆柱的体积。 2. 圆柱中的最大长方体。 圆柱中的最大的长方体，高和圆柱的高相等，长方体的底面是一个正方形，这个正方形的对角线恰好是圆柱的底面直径，因此，底面正方形的面积=对角线×对角线÷2，再根据“长方体体积=底面积×高”求出这个长方体的体积。 3. 正方体中的最大圆柱。 把正方体加工成一个最大的圆柱，圆柱的底面直径等于正方体的棱长，圆柱的高也等于正方体的棱长，再利用圆柱的体积公式V柱＝πr2h求圆柱的体积。 知识点九：排水法求不规则物体的体积 1. 转化法求不规则物体的体积。 在遇到不规则的物体计算体积或容积时，可以利用转化法把不规则物体的体积转化为规则物体的体积来计算， 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤如下： （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式。 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在- h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 知识点十：圆锥的认识和特征 1. 圆锥的形成。 圆锥是以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周而得到的。当然，圆锥也可以由扇形卷曲形成，即将扇形的两边重合。 2. 圆锥的组成和特征。 圆锥由平面和曲面两部分组成，平面部分是一个圆，叫作圆锥的底面，曲面部分叫作圆锥的侧面，侧面展开图是一个扇形，从顶点到底面圆心的距离叫作圆锥的高，圆锥的高用字母h表示，值得注意的是，圆锥只有一条高。 知识点十一：圆锥的切面积问题 将圆锥沿着高并垂直于底面的方向切成完全相同的两块，每一块的切面都是一个等腰三角形，而且这个三角形的底是底面圆的直径，高是圆锥的高，相比较圆锥的表面积，增加了两个这样的切面。 知识点十二：圆柱与圆锥的关系问题 1. 底面积和高均相等的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，反之，圆锥的体积是圆柱体积的。 2. 体积和高相等的圆锥与圆柱，圆锥的底面积是圆柱的三倍。 3. 体积和底面积相等的圆锥与圆柱，圆锥的高是圆柱的三倍。 高频考点一：圆柱的认识及特征 【典例精讲】（24-25六年级下·贵州黔东南·期末）图中圆柱包装盒的底面直径是40厘米，高是15厘米，彩带打结部分长20厘米，请你求出共用了多长的彩带？ 【答案】240厘米 【思路引导】观察图形可知，彩带围绕圆柱包装盒，包括4条底面直径的长度、4条高的长度以及打结部分的长度。底面直径是40厘米，有4条，所以长度为40×4＝160厘米。高是15厘米，有4条，所以长度为15×4＝60厘米。打结部分：长度为20厘米。将160、60和20相加即可得出彩带总长度。 【完整解答】40×4＋15×4＋20 ＝160＋60＋20 ＝220＋20 ＝240（厘米） 答：共用了240厘米长的彩带。 【变式训练】（24-25六年级下·江西赣州·期末）下面方格图中每个方格的边长代表1厘米。 （1）三角形ABC向（    ）边平移（    ）格后点A的位置变为（7，7）。 （2）画出将三角形ABC绕点C逆时针旋转90°后的图形。 （3）画一个面积是12平方厘米的轴对称图形。 （4）画出从正面观察一个底面直径6厘米、高5厘米的圆柱（如图）看到的图形。 【答案】（1）右；4； （2）见详解； （3）见详解（答案不唯一）； （4）见详解 【思路引导】（1）平移是指在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动；据此根据平移前A点的位置和平移后A点的位置判断即可； （2）根据旋转的特征，将三角形ABC绕C点逆时针旋转90°，点C位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数，即可画出旋转后的图形； （3）等腰梯形是轴对称图形，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2确定出面积是12平方厘米的梯形的上底、下底和高，并画出图形即可，注意：此题答案不唯一； （4）一个底面直径6厘米、高5厘米的圆柱从正面看，看到的是一个长是6厘米宽是5厘米的长方形，据此解答。 【完整解答】（1）7－3＝4（厘米） 三角形ABC向右边平移4格后点A的位置变为（7，7）。 （3）（2＋6）×3÷2 ＝8×3÷2 ＝24÷2 ＝12（平方厘米） （答案不唯一） （2）（3）（4）作图如下： 高频考点二：圆柱的展开图 【典例精讲】（2025·河南南阳·小升初模拟）要制作一个无盖的圆柱形铁皮水桶，有编号为①～⑤的铁皮可供搭配选择，如下图。 （1）我选择的铁皮是（    ）和（    ）（填序号），铁皮水桶的高是（    ）dm。 （2）制作这个无盖水桶，一共需要多少平方分米铁皮？ 【答案】（1）②③；5 （2）75.36平方分米 【思路引导】（1）要制作无盖圆柱形水桶，需要一个圆形底面和一个长方形侧面，并且长方形的长应等于底面圆的周长，长方形的高就是水桶的高。 （2）制作无盖圆柱形水桶，需要的铁皮面积是侧面积加上一个底面积，也就是长方形面积加上一个圆的面积。 【完整解答】（1）圆③的周长：，取3.14，d＝4dm，即3.144＝12.56（dm）； 圆④的周长：，取3.14，r＝3dm， 即23.143 ＝63.14 ＝18.84（dm）； 圆⑤的周长：，取3.14，d＝2dm，即3.142＝6.28（dm）。 结合②号长方形的长是12.56dm，和圆③的周长相等，所以选择②和③搭配；此时②号长方形的宽5dm就是水桶的高。 我选择的铁皮是②和③；铁皮水桶的高是5dm。 （2）侧面积（②号长方形的面积）：12.565＝62.8（dm2） 底面积（圆③的面积）：r＝42＝2（dm） 3.1422 ＝3.144 ＝12.56（dm2） 总面积：62.8＋12.56＝75.36（dm2） 答：制作这个无盖水桶，一共需要75.36平方分米铁皮。 【变式训练】如图，选择纸板制作一个圆柱形笔筒（无盖），你会选择( )，这个笔筒的表面积是( )平方厘米。（不考虑重叠部分，π取3.14） 【答案】 ①③ 405.06 【思路引导】根据圆柱侧面展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形，这个长方形的长（或宽）等于圆柱的底面周长，宽（或长）等于圆柱的高；根据圆的周长公式C＝2πr，把③r＝3cm代入公式中计算，求出圆柱的底面周长，据此确定哪个长方形的长或宽等于这个圆柱的底面周长，就选择这个长方形和③r＝3cm组合制作一个无盖的圆柱形笔筒；同理还可计算④r＝8cm的圆柱的底面周长，再做选择即可。 这个无盖的圆柱形笔筒的表面积＝S侧＋S底，其中S侧＝Ch，S底＝πr2，代入数据计算即可。 【完整解答】选择③r＝3cm的圆作为圆柱的底面，那么圆柱的底面周长是： 2×3.14×3 ＝6.28×3 ＝18.84（厘米） 长方形①的宽是18.84厘米，所以选择纸板①③制作一个无盖的圆柱形笔筒。 这个笔筒的表面积是： 18.84×20＋3.14×32 ＝376.8＋3.14×9 ＝376.8＋28.26 ＝405.06（平方厘米） 选择④d＝8cm的圆作为圆柱的底面，那么圆柱的底面周长是： 2×3.14×（8÷2） 2×3.14×4 ＝6.28×4 ＝25.12（厘米） 长方形②的长是25.12厘米，所以选择纸板②④制作一个无盖的圆柱形笔筒。 这个笔筒的表面积是： 25.12×10＋3.14×（8÷2）2 ＝25.12×10＋3.14×42 ＝251.2＋3.14×16 ＝251.2＋50.24 ＝301.44（平方厘米） 【考点再现】本题考查圆柱的侧面展开图、圆柱底面周长、表面积公式的应用，注意圆柱形笔筒无盖，在计算笔筒的表面积时只计算侧面积和一个底面积的和。 高频考点三：圆柱的侧面积 【典例精讲】（2025·河南郑州·小升初真题）一个用塑料薄膜覆盖的蔬菜大棚，长10米，横截面是半径为2米的半圆形，覆盖这个大棚至少需要塑料薄膜多少平方米？（π取3.14） 【答案】75.36平方米 【思路引导】塑料薄膜的面积包括圆柱侧面积的一半和一个完整的底面积，圆柱的侧面积的一半为，底面积为据此列式解答。 【完整解答】 （平方米） 答：这个大棚至少需要塑料薄膜75.36平方米。 【变式训练】（24-25六年级下·安徽宿州·期末）用彩带扎一个圆柱形礼盒（如图），打结处刚好在底面圆心上，打结共用去彩带长15厘米。 （1）在它整个侧面贴上商标说明书，这部分的面积是多少平方厘米？ （2）扎这个礼盒共用去彩带多少厘米？ 【答案】（1）942平方厘米 （2）175厘米 【思路引导】（1）利用侧面积公式S＝πdh求出侧面积即可求出商标说明书的面积。 （2）彩带的长度是由4条高和4条底面直径和打结处的15厘米组成，据此解答。 【完整解答】（1）3.14×30×10 ＝94.2×10 ＝942（平方厘米） 答：商标说明书这部分的面积是942平方厘米。 （2）30×4＋10×4＋15 ＝120＋40＋15 ＝175（厘米） 答：扎这个礼盒共用去彩带175厘米。 高频考点四：圆柱的表面积 【典例精讲】（2025·四川内江·小升初真题）宋元时期，我国陶瓷史进入第一个高峰期，工人将一个半径是8cm的圆柱形陶泥沿着底面直径平均切成若干份，并拼成一个近似的长方体后，陶泥的表面积比原来增加了480cm2，原来陶泥的表面积是( )cm2。 【答案】1909.12 【思路引导】将圆柱体拼成长方体，表面积增加的部分是两个半径乘高的长方形的面积，据此用480÷2求出一个长方形的面积，再除以半径即可求出圆柱的高，再根据圆柱的表面积＝2πrh＋2πr2代入数据列式计算即可。 【完整解答】480÷2＝240（cm2） 240÷8＝30（cm） 2×8×3.14×30＋3.14×82×2 ＝16×3.14×30＋3.14×64×2 ＝50.24×30＋200.96×2 ＝1507.2＋401.92 ＝1909.12（cm2） 因此，原来陶泥的表面积是1909.12cm2。 【变式训练】（22-23六年级下·福建三明·期中）将一根高5分米的圆柱形木料沿底面直径垂直切成两部分（如下图），这时表面积比原来增加了60平方分米。这根圆柱形木料原来的表面积是（    ）平方分米。 A．18π B．48π C．72π D．132π 【答案】B 【思路引导】根据题意，把一个圆柱形木料沿底面直径垂直切成两部分，表面积增加60平方分米，那么增加的表面积是2个切面的面积，每个切面的长、宽分别等于圆柱的底面直径和高；用增加的表面积除以2，求出一个切面的面积，再除以高，即可求出圆柱的底面直径；然后根据圆柱的表面积S表＝S侧＋2S底，其中S侧＝πdh，S底＝πr2，代入数据计算即可。 【完整解答】圆柱的底面直径： 60÷2÷5 ＝30÷5 ＝6（分米） 圆柱的表面积： π×6×5＋π×（6÷2）2×2 ＝π×6×5＋π×9×2 ＝30π＋18π ＝48π（平方分米） 这根圆柱形木料原来的表面积是48π平方分米。 故答案为：B 【考点再现】本题考查圆柱切割的特点，明确圆柱沿底面直径切成两个半圆柱时，增加的表面积是2个切面的面积，每个切面是以圆柱的底面直径和高为长、宽的长方形。 高频考点五：组合体的表面积(圆柱) 【典例精讲】（24-25六年级下·河南郑州·期中）计算下面图形的表面积。 【答案】270.72cm2 【思路引导】由图可知，该图形有5个面，包括两个相同的圆，半径为6cm；两个相同的长方形，长10cm，宽6cm；一个圆柱的侧面，底面半径是6cm，高是10厘米。 根据圆的面积公式计算出圆的面积，再除以4乘2计算出两个圆的面积； 根据“长方形面积＝长×宽”计算出长方形的面积，再乘2计算出两个长方形的面积； 根据圆柱的侧面积S侧＝2πrh计算出圆柱的侧面积，再除以4计算出圆柱的侧面积； 最后将三部分相加即可。 【完整解答】3.14×62÷4×2 ＝3.14×36÷4×2 ＝113.04÷4×2 ＝28.26×2 ＝56.52（cm2） 10×6×2 ＝60×2 ＝120（cm2） 2×3.14×6×10÷4 ＝6.28×6×10÷4 ＝37.68×10÷4 ＝376.8÷4 ＝94.2（cm2） 56.52＋120＋94.2 ＝176.52＋94.2 ＝270.72（cm2） 所以该图形的表面积是270.72cm2。 【变式训练】（22-23六年级下·浙江·期中）如图，将三个圆柱叠在一起，表面积减少了( )平方分米。 【答案】31.4 【思路引导】通过观察图形可知，把三个小、中、大圆柱摞起来，表面积比原来减少了小、中圆柱的两个底面的面积，根据圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。 【完整解答】3.14×（2÷2）2×2＋3.14×（4÷2）2×2 ＝3.14×1×2＋3.14×4×2 ＝6.28＋25.12 ＝31.4（平方分米） 则表面积减少了31.4平方分米。 【考点再现】此题主要考查圆柱表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 高频考点六：圆柱的体积 【典例精讲】（2025·湖南长沙·小升初真题）如图是一个底面半径为3厘米的圆柱木块被削去一半后的形状，请你计算出它的体积。 【答案】169.56立方厘米 【思路引导】可以把这个组合形体看成两部分，上面是圆柱的一半（底面半径为3厘米，高为2厘米的圆柱），下面是圆柱（底面半径为3厘米，高为5厘米的圆柱），再根据圆柱体积公式V＝Sh，它们的体积之和即是这个物体的体积。 【完整解答】7﹣5＝2（ 厘米） 3.14×3²×2÷2 ＝3.14×9×2÷2 ＝28.26×2÷2 ＝56.52÷2 ＝28.26（立方厘米） 3.14×3²×5 ＝3.14×9×5 ＝28.26×5 ＝141.3（立方厘米） 28.26＋141.3＝169.56（立方厘米） 所以它的体积是169.56立方厘米。 【变式训练】（2025·云南昆明·小升初真题）阅读下面资料，解决问题。 生物在进化过程中，为了求得生存，有些动物的骨、植物的茎是空心的，而且截面的内圆直径和外圆直径之比大约都是8∶11，研究表明，当一根空心管的底面的内圈直径和外圆直径之比是8∶11时最不容易弯曲。根据这个研究，人们制成了空心零件、自行车的车身架等，以达到耗费最少材料而使其最坚固的目的。 （1）要加工这样一个零件，有一块长方体木料（如图1），先把这块木料加工成一个圆柱。这个圆柱的体积是多少？（π取3） （2）按照上面的研究，用刚才加工的圆柱制作这样一个零件（如图2）。这个零件底面的内圆直径是多少厘米？ （3）这个零件（如图3）的体积是多少立方厘米？（π取3） 【答案】（1）3630立方厘米 （2）16厘米 （3）1710立方厘米 【思路引导】（1）求这个圆柱的体积是多少立方厘米，，代入数值即可解答； （2）内圆直径和外圆直径之比大约都是8∶11，设内圆直径为厘米，外圆直径为22厘米，，解比例即可解答； （3）求这个零件（如图3）的体积，用外圆柱的体积减内圆柱的体积，据此解答。 【完整解答】（1） （立方厘米） 答：这个圆柱的体积是3630立方厘米。 （2）设内圆直径为厘米， 答：这个零件底面的内圆直径是16厘米。 （3） （立方厘米） （立方厘米） 答：这个零件（如图3）的体积是1710立方厘米。 【考点再现】本题借“长方体加工空心圆柱”的实际场景，考查圆柱体积计算、比例应用、空心立体体积求法，核心是用“公式＋比例＋整体减部分”的思路解题。 高频考点七：圆柱的容积 【典例精讲】（2025·河南信阳·小升初真题）一只木桶能够装多少水，取决于最短的那块木板，这被人们称之为“木桶原理”。下面是一个圆柱形木桶的相关信息，这只木桶竖直摆放时最多能盛多少升水？ ①木桶占地面积为1384.74平方厘米。    ②内直径为40厘米。 ③最短的木板高度为40厘米。        ④最长的木板高度为60厘米。 （1）计算时，需要的信息有（    ）。（把所选择的序号填在括号内） （2）根据所选信息，计算一下这只木桶竖直摆放时最多能盛多少升水？ 【答案】（1）②③ （2）50.24升 【思路引导】（1）根据“一只木桶能够装多少水，取决于最短的那块木板”以及圆柱的体积（容积）公式V＝πr2h，需要知道圆柱形木桶的内直径和最短的木板高度，据此选择需要的信息。 （2）根据圆柱的体积（容积）公式V＝πr2h，代入数据计算，求出这只木桶的容积，再根据进率“1升＝1000立方厘米”换算单位即可。 【完整解答】（1）计算时，需要的信息有（②③）。 （2）3.14×（40÷2）2×40 ＝3.14×202×40 ＝3.14×400×40 ＝50240（立方厘米）     50240立方厘米＝50.24升 答：这只木桶竖直摆放时最多能盛50.24升水。 【变式训练】（2025·湖北十堰·小升初真题）小东测量瓶子的容积（如下图），测得瓶子的底面直径是10厘米，然后给瓶子内盛入一些水，正放时水高15厘米，倒放时水高25厘米，瓶子深30厘米。这个瓶子的容积是多少毫升？（π取3.14）（单位：厘米） 【答案】1570毫升 【思路引导】瓶子的容积等于瓶子正放时的水的体积加上瓶子倒放时上面空的部分的体积，这两部分都是圆柱，根据圆柱的体积公式V＝πr2h解决。1立方厘米＝1毫升。 【完整解答】10÷2＝5（厘米） 3.14×52×15＋3.14×52×（30－25） ＝3.14×25×15＋3.14×25×（30－25） ＝3.14×25×15＋3.14×25×5 ＝1177.5＋392.5 ＝1570（立方厘米） 1570立方厘米＝1570毫升 答：这个瓶子的容积是1570毫升。 【考点再现】瓶子的容积等于水的体积加上空的部分的体积，把瓶子倒放时，空的部分正好是圆柱，根据圆柱体积公式。算出水的体积和空的部分的体积之和就是瓶子的容积。 高频考点八：立体图形的切拼(圆柱) 【典例精讲】（24-25六年级下·湖南娄底·期末）如下图，把一个高为10cm的圆柱平均分成若干份后，拼成一个近似的长方体，这时表面积增加了80cm2。这个圆柱的底面半径是( )cm。 【答案】4 【思路引导】把一个圆柱切拼成的长方体的表面积比圆柱的表面积增加了两个切面（长方体的左右两个面）的面积，每个切面的长等于圆柱的高，宽等于圆柱的底面半径。用增加的表面积除以2，得到一个长方形，再根据长方形的面积＝长×宽的逆运算，用长方形面积除以长即可得解。 【完整解答】 （cm） 如下图，把一个高为10cm的圆柱平均分成若干份后，拼成一个近似的长方体，这时表面积增加了80cm2。这个圆柱的底面半径是4cm。 【变式训练】（21-22六年级下·重庆丰都·期末）如图所示，把底面直径8厘米的圆柱切成若干等分，拼成一个近似的长方体。这个长方体的表面积比原来增加80平方厘米，那么圆体的体积是多少立方厘米？ （1）要求圆柱的体积，我们需要知道它的底面积和（    ）。 （2）拼成长方体后表面积增加了（    ）个长方形，所以我们能求出圆柱的高是（    ）厘米。 （3）圆柱的体积是多少立方厘米？ 【答案】（1）高 （2）2；10 （3）502.4立方厘米 【思路引导】（1）根据“圆柱的体积＝底面积×高”解答。 （2）把一个圆柱切开后拼成一个近似的长方体，圆柱的体积等于长方体的体积，拼成的长方体表面积比圆柱的表面积多了两个长方形的面积（即长方体的左右面）；这两个长方形的宽等于圆柱的底面半径，长方形的长等于圆柱的高； 已知这个长方体的表面积比原来增加80平方厘米，先用增加的表面积除以2，求出一个长方形的面积，再除以底面半径，即可求出圆柱的高。 （3）根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算即可。 【完整解答】（1）要求圆柱的体积，我们需要知道它的底面积和高。 （2）80÷2＝40（平方厘米） 40÷（8÷2） ＝40÷4 ＝10（厘米） 拼成长方体后表面积增加了2个长方形，所以我们能求出圆柱的高是10厘米。 （3）3.14×42×10 ＝3.14×16×10 ＝502.4（立方厘米） 答：圆柱的体积是502.4立方厘米。 【考点再现】掌握圆柱切割拼接成长方体后，各部分元素间对应的关系，以及增加的表面积是哪些面的面积，并以此为突破口，利用公式列式计算。 高频考点九：圆锥的认识及特征 【典例精讲】（24-25六年级下·河北邯郸·期中）如图，以直角三角形的一条直角边AB为轴旋转一周得到一个( )，得到的这个图形的高是( )cm，底面积是( )cm2。 【答案】 圆锥 3 50.24 【思路引导】根据题意，以直角三角形的一条直角边AB为轴旋转一周得到一个圆锥，这个圆锥的高等于AB，圆锥的底面半径等于BC。圆锥的底面是一个圆，根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆锥的底面积。 【完整解答】3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（cm2） 以直角三角形的一条直角边AB为轴旋转一周得到一个（圆锥），得到的这个图形的高是（3）cm，底面积是（50.24）cm2。 【变式训练】（24-25六年级下·河南南阳·期中）传统竹编工艺有着悠久的历史，手艺人王师傅制作了一顶底面半径为20厘米，高为15厘米的圆锥形斗笠，现在要用一个长方体纸盒包装起来，这个纸盒至少需要 平方厘米的纸板。 【答案】5600 【思路引导】要包装圆锥形斗笠，长方体纸盒的长和宽至少要等于圆锥底面直径，高至少要等于圆锥的高，这样才能刚好容纳圆锥。然后根据长方体表面积公式S＝（ab＋ah＋bh）×2（其中a为长，b为宽，h为高）来计算所需纸板面积，依据长方体表面积的计算逻辑推导，据此解答。 【完整解答】确定长方体纸盒的尺寸： 已知圆锥底面半径为20厘米，则底面直径为20×2＝40厘米，圆锥的高为15厘米。 所以长方体纸盒的长、宽均为40厘米（等于圆锥底面直径），高为15厘米（等于圆锥的高）。 计算长方体表面积： 把a＝40厘米，b＝40厘米，h＝15厘米代入长方体表面积公式S＝（ab＋ah＋bh）×2， S＝（40×40＋40×15＋40×15）×2 ＝（1600＋600＋600）×2 ＝（2200＋600）×2 ＝2800×2 ＝5600（平方厘米） 这个纸盒至少需要5600平方厘米的纸板。 高频考点十：圆柱与圆锥体积的关系 【典例精讲】（24-25六年级下·河南信阳·期末）如图，下面关于四个图形的体积说法错误的是（    ）。 A．①和④的体积相等 B．②的体积是①的3倍 C．②的体积是④的3倍 D．①和③的体积相等 【答案】D 【思路引导】圆柱的体积公式V＝πr2h，圆锥的体积公式V＝πr2h，据此求出4个图形的体积，并逐项分析即可。 【完整解答】图①：π×（4÷2）2×9 ＝π×22×9 ＝π×4×9 ＝12π 图②：π×（4÷2）2×9 ＝π×22×9 ＝π×4×9 ＝36π 图③：π×（2÷2）2×9 ＝π×12×9 ＝π×1×9 ＝9π 图④：π×（4÷2）2×3 ＝π×22×3 ＝π×4×3 ＝12π A．①和④的体积均为12π，则①和④的体积相等，正确； B．②的体积为36π，①的体积为12π，36π÷12π＝3，则②的体积是①的3倍，正确； C．36π÷12π＝3，则②的体积是④的3倍，正确； D．③的体积为9π，①的体积为12π，则①和③的体积不相等，错误； 故答案为：D 【变式训练】（2025·湖北武汉·小升初真题）小刚在手工课上拿到一根高30厘米的圆柱形木棒，如图所示，将它截成相同的两段后，表面积比原来增加了50.24平方厘米。小刚想把其中一段木棒削成一个最大的圆锥体摆件，削去的体积是多少立方厘米？ 【答案】251.2立方厘米 【思路引导】把高30厘米的圆柱形木棒截成两段后，表面积增加的50.24平方厘米是2个圆柱底面的面积，据此求出一个底面的面积；用这根木棒的高度除以2，求出每一段木棒的高度；用底面积乘高，即可求出其中一段的体积。因为等底等高的圆锥体积是圆柱体积的，所以削去部分的体积是这段圆柱体积的。据此解答。 【完整解答】50.24÷2＝25.12（平方厘米） 30÷2＝15（厘米） 25.12×15×（1－） ＝376.8× ＝251.2（立方厘米） 答：削去的体积是251.2立方厘米。 【考点再现】本题关键是先由截圆柱增加的表面积求出底面积，再算一段圆柱体积，最后利用等底等高圆锥与圆柱的体积关系，求出削去部分的体积。 高频考点十一：圆锥的体积（容积) 【典例精讲】（2025·河北保定·小升初模拟）一个圆锥和一个圆柱的底面积相等，且体积比是1∶6，已知圆柱的高是4.2厘米，则圆锥的高是（    ）厘米。 A．2.1 B．1.4 C．8.4 D．0.7 【答案】A 【思路引导】根据圆柱的体积＝底面积×高，可推出高＝圆柱的体积÷底面积；根据圆锥的体积＝底面积×高÷3，可推出高＝圆锥的体积×3÷底面积；把底面积看成S，把圆锥的体积看作1，则圆柱的体积为6，那么圆柱的高为6÷S＝，圆锥的高为1×3÷S＝3÷S＝，圆柱与圆锥高的比为：∶＝2∶1，即圆柱的高是圆锥的2倍，已知圆柱的高是4.2厘米，则圆锥的高为4.2÷2，据此解答。 【完整解答】由分析可知：把底面积看成S，把圆锥的体积看作1份，则圆柱的体积为6份。 圆柱的高为：6÷S＝ 圆锥的高为：1×3÷S ＝3÷S ＝ 圆柱与圆锥高的比为：∶ ＝（×S）∶（×S） ＝6∶3 ＝（6÷3）∶（3÷3） ＝2∶1 4.2÷2＝2.1（厘米） 所以圆锥的高是2.1厘米。 故答案为：A 【变式训练】（2025·浙江宁波·小升初真题）下图展示了一款饮料纸杯的设计图，纸张厚度以及连接处忽略不计。 根据图中信息，解决下列问题。（计算结果用含的算式表示） （1）制作一个这样的纸杯，使用的纸张面积是多少平方厘米？ （2）用这款纸杯能装下400毫升的饮料吗？请通过计算说明理由。 【答案】（1）平方厘米 （2）这款纸杯能装下400毫升的饮料，见详解。 【思路引导】（1）对于展开图中的扇形，大圆半径为10厘米＋20厘米，小圆半径为20厘米，根据圆心角的度数确定这个扇形面积是整个大圆的几分之几即，杯身的面积＝，则杯身侧面展开面积＋底面圆面积即可知道使用的纸张面积； （2）纸杯的容积＝大圆锥体积－小圆锥体积，利用比例可知大圆锥的高，大圆锥的底面半径为9厘米的一半，小圆锥的底面半径为6厘米的一半，据此即可求解纸杯的容积，再与400毫升比较即可知道这款纸杯是否能装下400毫升的饮料。 【完整解答】（1） 答：制作一个这样的纸杯，使用的纸张面积是平方厘米。 （2）9÷2＝4.5（厘米） 6÷2＝3（厘米） 因为 所以 纸杯体积： 因为 答：这个杯子能装下400毫升的饮料。 【考点再现】求解扇形的面积，通过扇形对应的圆心角构建扇形与圆形的关系，扇形的面积＝。 高频考点十二：体积的等积变形(圆柱、圆锥） 【典例精讲】（2025·浙江宁波·小升初模拟）在底面半径为6厘米、高10厘米的圆柱形玻璃缸中，放入一个底面半径为4厘米、高9厘米的圆锥体铅块，放水将铅块全部淹没，当铅块取出后，玻璃缸中的水位下降多少厘米？ 【答案】 厘米 【思路引导】先根据圆锥体积公式求出铅块体积，此体积即为减少的水的体积，再根据圆柱底面积公式求出玻璃缸底面积，最后用减少的水的体积（圆锥铅块的体积）除以玻璃缸底面积得到水位下降的高度。用到圆锥体积公式和圆柱底面积公式。 【完整解答】 （立方厘米） （平方厘米） ÷ ＝48÷36 ＝ ＝（厘米） 答：当铅块取出后，玻璃缸中的水位下降厘米。 【变式训练】．（2022·湖南长沙·小升初真题）如图，在一个盛有450毫升水的量杯中，放入一个圆柱，水面对应的刻度为600毫升。若再放入一个与圆柱等底等高的圆锥，则此时水面对应的刻度为 毫升。 【答案】650 【思路引导】根据题意可知，把圆柱放入量杯中，上升部分水的体积等于这个圆柱的体积，等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，据此可以求出圆锥的体积，然后用水和圆柱的体积加上这个圆锥体积的就是量杯中水面的刻度。 【完整解答】450毫升＝450立方厘米 600毫升＝600立方厘米 600－450＝150（立方厘米） 150×＝50（立方厘米） 50立方厘米＝50毫升 600＋50＝650（毫升） 【考点再现】此题主要考查圆柱体积（容积）公式的灵活运用，等底等高的圆柱和圆锥体积之间的关系及应用。注意容积单位与体积之间的换算。 高频考点十三：立体图形的切拼（圆锥） 【典例精讲】（24-25六年级下·湖北黄石·期末）如图，一个圆锥的高是3厘米，沿着它的高平均切成两部分，表面积增加12平方厘米，原来圆锥的底面直径是( )厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 4 12.56 【思路引导】由题意可知：增加的面积即两个以圆锥的底面直径为底，圆锥的高为高的三角形的面积，那么一个三角形的面积为12÷2＝6平方厘米，三角形面积公式为：面积＝底×高÷2，则底＝面积×2÷高，已知高为3厘米，则底为6×2÷3＝4厘米（即圆锥的直径），所以圆锥的半径为4÷2＝2厘米，根据圆锥体积公式：V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），把半径2厘米，高3厘米代入公式计算即可。 【完整解答】12÷2×2÷3＝4（厘米） 4÷2＝2（厘米） 3.14×22×3 ＝3.14×4×3 ＝3.14×4 ＝12.56（立方厘米） 原来圆锥的底面直径是4厘米，体积是12.56立方厘米。 【变式训练】从正方体里削出一个最大的圆锥，圆锥的体积是cm3，正方体的体积是（    ）cm3。 A．12 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【思路引导】正方体体积＝棱长×棱长×棱长，圆锥的体积＝×底面积×高，一个正方体削成一个最大的圆锥，则圆锥的底面直径和高与正方体的棱长相等，据此求解。 【完整解答】设正方体的棱长是acm，则圆锥的底面直径和高都是acm，则正方体的体积是：a×a×a＝a3（cm3）；圆的体积是π（a÷2）2×a＝（cm3）；圆锥的体积是正方体的÷a3＝，所以正方体的体积是÷＝6（cm3）。 故答案为：C 【考点再现】掌握一个正方体削成一个最大的圆锥，则圆锥的底面直径和高与正方体的棱长相等，是解决此类问题的关键。 高频考点十四：组合体的体积（圆柱、圆锥） 【典例精讲】（2025·河北唐山·小升初真题）计算下面立体图形的体积。（单位：厘米） 【答案】100.48立方厘米 【思路引导】立体图形由圆柱和圆锥组成，，，代入数据分别计算出体积，最后相加就是图中立体图形的体积。据此解答。 【完整解答】4÷2＝2（厘米） 3.14×22×6＋3.14×22×6× ＝3.14×4×6＋3.14×4×6× ＝12.56×6＋12.56×6× ＝75.36＋25.12 ＝100.48（立方厘米） 立体图形的体积是100.48立方厘米。 【变式训练】（2024·浙江宁波·小升初真题）（如图）一个圆锥和圆柱拼接成透明模具，小仑装了一些水，正放时水的高度是6厘米，倒放时无水部分高14厘米，这个模具的容积是多少毫升？ 【答案】1004.8毫升 【思路引导】根据题意可知，模具的容积、水的体积不变，则正放时空白部分的容积与倒放时空白部分的容积相等，所以模具的容积＝正放时水的体积＋倒放时无水部分的体积，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算求出模具的容积。注意单位的换算：1立方厘米＝1毫升。 【完整解答】3.14×（8÷2）2×6＋3.14×（8÷2）2×14 ＝3.14×42×6＋3.14×42×14 ＝3.14×16×6＋3.14×16×14 ＝3.14×16×（6＋14） ＝3.14×16×20 ＝1004.8（立方厘米） 1004.8立方厘米＝1004.8毫升 答：这个模具的容积是1004.8毫升。 【考点再现】理解正放和倒放时水的体积是不变的，也就是容器中空的部分体积是一样的，利用转化思想将其转化成圆柱进行计算。 高频考点十五：不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥) 【典例精讲】（2025·辽宁本溪·小升初真题）一个圆柱形的水桶，底面直径是40厘米，里面装有80厘米深的水。现将一个底面周长为62.8厘米的圆锥形铁块沉浸在水桶之中（水未溢出），水面升高了，圆锥形铁块的高是多少厘米？ 【答案】 60厘米 【思路引导】已知圆柱形水桶的底面直径是40厘米，则底面半径是40÷2＝20厘米；水桶里装有80厘米深的水，将圆锥形铁块沉浸在水桶之中，水面升高了，即水面上升了80×＝5厘米；根据圆柱体积公式计算出上升的水的体积，即为圆锥形铁块的体积。 已知圆锥形铁块底面周长是62.8厘米，根据圆的周长公式C＝2πr得r＝C÷π÷2，据此可计算出圆锥形铁块的底面半径；根据圆的面积公式计算出圆锥形铁块的底面积；最后根据“圆锥的体积＝×底面积×高”，用圆锥形铁块的体积乘3除以底面积即可计算出圆锥形铁块的高。据此解答。 【完整解答】3.14×（40÷2）2×（80×） ＝3.14×202×5 ＝3.14×400×5 ＝1256×5 ＝6280（立方厘米） 62.8÷3.14÷2 ＝20÷2 ＝10（厘米） 3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 6280×3÷314 ＝18840÷314 ＝60（厘米） 答：圆锥形铁块的高是60厘米。 【变式训练】（22-23六年级下·浙江·期末）如图，一个密封的饮料瓶里装了一些饮料，根据图中的数据，解决下列问题： （1）这个饮料瓶容积是多少？ （2）将这些饮料倒入一个圆锥形杯子里，已知圆锥的底面半径与这个饮料瓶的底面半径之比是1∶2，高是9厘米，这些饮料可以倒满几杯？ 【答案】（1）753.6毫升 （2）8杯 【思路引导】（1）瓶子正放或倒放时的容积与饮料的体积不变，则瓶子正放或倒放时瓶子里空气的体积相等，所以瓶子的容积＝左图中水的体积＋右图中空气的体积。圆柱的体积V＝πr2h，据此求出左图中水的体积，右图中空气的体积，再把二者加起来即可求出瓶子的容积。 （2）已知圆锥的底面半径与这个饮料瓶的底面半径之比是1∶2，则这个圆锥底面积半径是这个饮料瓶的底面半径的，据此求出圆锥的底面半径，再根据圆锥的体积V＝πr2h，求出圆锥形杯子的容积，再用这些饮料的容积除以圆锥形杯子的容积，如果有余数，根据“去尾法”即可求出可以倒满几杯；如果没有余数，商是几就是可以倒满几杯。 【完整解答】（1）8÷2＝4（厘米） 3.14×42×6 ＝3.14×16×6 ＝50.24×6 ＝301.44（立方厘米） 3.14×42×9 ＝3.14×16×9 ＝50.24×9 ＝452.16（立方厘米） 301.44＋452.16＝753.6（立方厘米） 753.6立方厘米＝753.6毫升 答：这个饮料瓶容积是753.6毫升。 （2）4×＝2（厘米） 3.14×22×9× ＝3.14×4×9× ＝12.56×9× ＝37.68（立方厘米） 301.44÷37.68＝8（杯） 答：这些饮料可以倒满8杯。 【考点再现】求不规则物体的体积或容积，可以利用转化思想将其转化成规则的物体进行计算。 【演练1】（2025·江西吉安·小升初真题）如图：这是一个圆柱形礼盒。 (1)做这个礼盒至少要用多少平方厘米的硬纸壳？（接口处不计） (2)如图：用丝带捆扎起来（系蝴蝶结用去30厘米长的丝带），这条丝带至少长多少厘米？ 【答案】(1)5024平方厘米 (2)270厘米 【思路引导】（1）求硬纸壳的面积相当于求圆柱的表面积，根据圆柱表面积＝底面积×2＋侧面积，底面积＝圆周率×底面半径的平方，侧面积＝底面周长×高，列式解答即可； （2）看图可知，丝带的长度＝底面直径×4＋高×4＋系蝴蝶结用的长度，据此列式解答。 【完整解答】（1）3.14×（40÷2）2×2＋3.14×40×20 ＝3.14×202×2＋2512 ＝3.14×400×2＋2512 ＝2512＋2512 ＝5024（平方厘米） 答：做这个礼盒至少要用5024平方厘米的硬纸壳。 （2）40×4＋20×4＋30 ＝160＋80＋30 ＝270（厘米） 答：这条丝带至少长270厘米。 【演练2】（2025·浙江温州·小升初真题）图中，h1＝h2，d1＝d2，把下面左边瓶里的饮料倒入圆锥形的杯子里，最多能倒满( )杯。 【答案】6 【思路引导】从图中可知，左边瓶中的饮料是圆柱形，杯子是圆锥形，由d1＝d2可知，它们的底面半径相等，根据底面积公式S＝πr2，可知圆柱形饮料与圆锥形杯子的底面积相等，设它们的底面积是S，高度h1＝h2＝h。 根据圆柱的体积公式V＝Sh，圆锥的体积（容积）公式V＝Sh，分别求出饮料的体积和杯子的容积，再用饮料的体积除以杯子的容积，即可求出最多能倒满的杯数。 【完整解答】设h1＝h2＝h，圆柱形饮料与圆锥形杯子的底面积都是S。 饮料的体积：S×（h1＋h2）＝ S×2h＝2Sh 杯子的容积：×S×h1＝Sh 2Sh÷Sh ＝2÷ ＝2×3 ＝6（杯） 最多能倒满6杯。 【演练3】（2025·浙江宁波·小升初真题）如下图，三个量杯从里面量，高度都是9厘米。小冬先把圆锥形量杯盛满水，再把这杯水全部倒进圆柱形量杯中，圆柱形量杯的水面高度是( )厘米，接着他又把这些水全部倒进长方体量杯中，长方体量杯的水面高度应为( )厘米。（得数保留一位小数） 【答案】 3 2.4 【思路引导】由图可知，圆锥和圆柱的底面直径都是4厘米，则它们的底面半径相等，，那么圆锥和圆柱的底面积相等，把圆锥形量杯里面的水倒入圆柱形量杯中水的体积不变，由“”可知“”，由“”可知“”，，由此可知，当圆柱和圆锥的体积和底面积分别相等时，圆锥的高是圆柱高的3倍，即圆锥形量杯的高度是圆柱形量杯水面高度的3倍；先根据“”求出圆柱形量杯中水的体积，长方体量杯的水面高度＝水的体积÷长方体量杯的底面积，据此解答。 【完整解答】当圆柱和圆锥的体积和底面积分别相等时，圆锥的高是圆柱高的3倍。 9÷3＝3（厘米） 3.14×（4÷2）2×3÷（4×4） ＝3.14×22×3÷16 ＝3.14×4×3÷16 ＝12.56×3÷16 ＝37.68÷16 ≈2.4（厘米） 所以，圆柱形量杯的水面高度是3厘米，长方体量杯的水面高度应为2.4厘米。 【演练4】（2025·浙江宁波·小升初真题）如图，用完全一样的长方形纸，沿着长或宽卷一卷、转一转（不考虑粘结处），这四个圆柱的体积存在一定的关系。（π取3） 圆柱①和②的体积比，圆柱③和④的体积比，它们的比值相等。 上面这句话是否正确？请你验证。 （1）用喜欢的方法列式算一算，写出验证的结论。 （2）这两个比与原来长方形纸的长和宽有什么关系？写一写你的发现。 【答案】（1）正确 （2）这两个比的比值与原来长方形的长与宽的比值是相同的 【思路引导】（1）根据圆柱的体积公式V＝πr2h，把数据代入公式，分别求出四个圆柱的体积，进而求出它们体积比，然后进行比较即可。 （2）根据比的意义，求出长方形长与宽的比，再求出比值，然后与上面两个比的比值进行比较。 【完整解答】（1）圆柱①和②的体积比：＝ 比值是 圆柱③和④的体积比：＝1.5＝ 比值是 圆柱①和②的体积比，圆柱③和④的体积比，它们的比值相等。 答：这句话是正确的。 （2）长方形的长与宽的比：9∶6＝3∶2 比值是 所以，这两个比的比值与原来长方形的长与宽的比值是相同的。 【演练5】（2025·北京丰台·小升初真题）为了形象直观地说明“木桶效应”蕴含的道理，老师特意准备了一只木桶，制作此木桶底面与侧面用的木板的厚度相同，侧面木板长短不一，小明从木桶外部测量的数据，如图1所示。 （1）如果从木桶的里面测量，底面的直径是多少厘米？ （2）这只木桶上的铁箍是用薄铁皮制作的，箍1圈铁箍，如果接头处、铁皮厚度都忽略不计，请你算一算，至少需要多少平方厘米的薄铁皮？ （3）把这个木桶斜放比平放最多能多接多少水？ 【答案】（1）40厘米；（2）659.4平方厘米；（3）12560毫升 【思路引导】（1）根据图示可知，木桶从外面测量的直径是42厘米，而小板厚1厘米，用外面测量的直径长度减去2个1厘米即是从内部测量的直径长度。 （2）根据“圆周长＝πd”，用木桶从外面测量的直径是42厘米乘π，求出木桶的底面周长，再根据“长方形面积＝长×宽”，用底面周长乘铁箍的宽即可求解。 （3）根据图示可知，平放时最多可以装水的容积即为底面直径40厘米，高36厘米的圆柱体积，斜放比平放多装水的部分即为底面直径40厘米，高（56－36）厘米的圆柱体积的一半，据此解答。 【完整解答】（1）42－1×2 ＝42－2 ＝40（厘米） 答：如果从木桶的里面测量，底面的直径是40厘米。 （2）3.14×42×5 ＝131.88×5 ＝659.4（平方厘米） 答：至少需要659.4平方厘米的薄铁皮。 （3）3.14×（）2×（56－36）÷2 ＝3.14××20÷2 ＝3.14×400×20÷2 ＝12560（立方厘米） 12560立方厘米＝12560毫升 答：把这个木桶斜放比平放最多能多接12560毫升水。 【考点再现】本题考查了圆柱体积、圆柱侧面积、圆直径计算的应用。 基础夯实 能力提升 1．（2025·浙江宁波·小升初真题）如图，圆锥形杯子与圆柱形容器的底面积相等。将圆柱形容器里装满的果汁全部倒入圆锥形杯子中，可以倒满（    ）杯。 A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【思路引导】一个等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，由题意可知，圆柱和圆锥的底面积相等，但圆柱的高是圆锥的3倍，相当于求3个等底等高的圆柱的体积是一个等底等高圆锥的几倍。 【完整解答】3×3＝9（杯） 因此将圆柱形容器里装满的果汁全部倒入圆锥形杯子中，可以倒满9杯。 故答案为：C 2．（24-25六年级下·广东东莞·期末）一个圆柱底面半径扩大到原来的2倍，高不变，体积扩大到原来的（    ）倍。 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【思路引导】根据圆柱的体积公式V＝πr2h以及积的变化规律，可知一个圆柱底面半径扩大到原来的2倍，高不变，则圆柱的体积扩大到原来的22倍。 【完整解答】2×2＝4 一个圆柱底面半径扩大到原来的2倍，高不变，体积扩大到原来的4倍。 故答案为：B 3．（2025·广东揭阳·小升初模拟）把一个圆柱形铁块熔铸成一个等底的圆锥形铁块，高将（    ）。 A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来的 C．扩大到原来的6倍 D．缩小到原来的 【答案】A 【思路引导】根据圆柱的体积＝底面积×高，圆锥的体积＝底面积×高÷3。把一个圆柱形铁块熔铸成一个等底的圆锥形铁块，则圆柱的体积和圆锥的体积相等，底面积相等，所以圆锥的高是圆柱的高的3倍，据此选择即可。 【完整解答】把一个圆柱形铁块熔铸成一个等底的圆锥形铁块，高将扩大到原来的3倍。 故答案为：A 4．（24-25六年级下·广西南宁·期末）为了探究圆柱的体积，课堂上王阳和本组同学一起把圆柱平均分成若干等份，再拼成一个近似的长方体（如下图）。通过观察发现：这个长方体的底面积等于圆柱的( )，高等于圆柱的( )，拼成的近似长方体的体积等于原来圆柱的体积。然后根据长方体的体积计算公式而得出结论：圆柱的体积＝( )，整个推导过程运用了( )思想方法。 【答案】 底面积 高 底面积×高 转化 【思路引导】观察图形可知：将圆柱平均分成若干等份，此时圆柱的底面会被分成若干份小扇形，再拼在一起形成一个近似长方体，拼成的近似长方体的体积等于原来圆柱体的体积。这时每个扇形底面拼接在一起后是近似长方体的底面，也就是圆柱的底面积等于近似长方体的底面积；圆柱的高等于近似长方体的高。因此圆柱体积公式可以通过长方体体积公式推导。整个推导过程运用了转化的思想方法（也可以从将圆柱平均分成若干等份，再拼成一个近似的长方体层面去考虑，体现极限数学思想）。据此分析填空即可。 【完整解答】通过观察发现：这个长方体的底面积等于圆柱的底面积，高等于圆柱的高，拼成的近似长方体的体积等于原来圆柱的体积。然后根据长方体的体积计算公式而得出结论：圆柱的体积＝底面积×高，整个推导过程运用了转化思想方法。 5．（2025·甘肃兰州·小升初真题）一根圆柱木料，底面半径3cm，高10cm，如果把这根圆柱木料削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是( )cm3。 【答案】94.2 【思路引导】依据题意可知，这根圆柱木料削成一个最大的圆锥，那么圆锥应该以圆柱的底为底，以圆柱的高为高。然后利用圆锥的体积底面半径2高 ，结合题中数据计算即可。 【完整解答】 （立方厘米） 圆锥的体积是cm3。 6．（2025·湖南邵阳·小升初模拟）一个圆柱和圆锥的体积和底面积都相等，圆柱的高为4厘米，则圆锥的高为12厘米。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】圆柱的体积计算公式为：；圆锥的体积计算公式为： 。本题中圆柱和圆锥的体积相等，底面积也相等，需要利用这两个公式，通过假设底面积为具体数值，计算圆锥的高，判断题干是否正确。 【完整解答】假设它们的底面积都是1平方厘米。 圆柱体积： ＝1×4＝4（立方厘米） 圆锥体积： ，即4＝ （厘米） 因此，题干说法正确。 故答案为：√ 7．（24-25六年级下·重庆忠县·期中）计算下面图形的体积。（单位：m） 【答案】141.3m3 【思路引导】由图可知，图形由一个圆柱和一个圆锥组成，且等底。圆柱和圆锥的底面直径均为6m，则底面半径为6÷2＝3m；圆柱的高为4m，圆锥的高为3m。圆柱的体积公式为：V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为圆柱的高），圆锥的体积公式为：V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为圆锥的高），把数据分别代入公式计算后再相加即可得出该图形的体积。 【完整解答】6÷2＝3（m） 3.14×32×4 ＝3.14×9×4 ＝28.26×4 ＝113.04（m3） ×3.14×32×3 ＝×3.14×9×3 ＝3×3.14×3 ＝9.42×3 ＝28.26（m3） 113.04＋28.26＝141.3（m3） 该图形的体积是141.3m3。 8．（2025·海南省直辖县级单位·小升初真题）营养学家建议，儿童每天水的摄入量应不少于1500毫升。小刚每天用底面直径6厘米，高10厘米的圆柱形水杯喝6杯水，达到要求了吗？ 【答案】达到要求了 【思路引导】根据圆柱的容积（体积）公式：，把数据代入公式求出一杯水的容积，再乘6得出6杯水的容积，然后与1500毫升进行比较即可．据此解答。 【完整解答】3.14×（6÷2）2×10×6 ＝3.14×32×10×6 ＝3.14×9×10×6 ＝28.26×10×6 ＝282.6×6 ＝1695.6（立方厘米） 1695.6立方厘米＝1695.6毫升 1695.6毫升＞1500毫升 答：达到要求了。 9．（24-25六年级下·云南昆明·期末）小明家的一套茶具如下图。烧一壶茶能倒满6杯吗？（杯子的厚度忽略不计） 【答案】不能倒满 【思路引导】先计算一个杯子的容积，再算6杯水的总体积，再与1200毫升比较。圆柱的体积＝底面积×高，计算时注意单位名数的转换。 【完整解答】 ＝28.26×10 ＝282.6（立方厘米） ＝282.6（毫升） （毫升） 答：烧一壶茶不能倒满6杯。 10．（2025·山东菏泽·小升初真题）刘小薇在研究圆柱的体积时，将圆柱体模型切拼成一个近似的长方体，她发现如果将这个长方体“躺倒”放（如下图），底面就是圆柱侧面的一半，高就是圆柱的半径，因此她得出一个结论： 圆柱的体积＝侧面积的一半×半径 现有一个圆柱，侧面积是37.68平方厘米，体积是37.68立方厘米，这个圆柱的高是多少厘米？（π取3.14） 【答案】3厘米 【思路引导】根据题意，先用侧面积除以2计算出侧面积的一半；再根据“圆柱的体积＝侧面积的一半×半径”可知“半径＝圆柱的体积÷侧面积的一半”，代入数值计算出圆柱的半径；最后根据“圆柱的体积＝πr2h”可知“h＝圆柱的体积÷π÷r2”，代入数值计算即可。 【完整解答】37.68÷（37.68÷2） ＝37.68÷18.84 ＝2（厘米） 37.68÷3.14÷22 ＝37.68÷3.14÷4 ＝12÷4 ＝3（厘米） 答：这个圆柱的高是3厘米。 创新拓展 拔尖冲刺 1．（2025·云南昭通·小升初模拟）在一个棱长4分米的正方体水箱中盛满水，并全部倒入一个空的圆锥形容器里，刚好倒满且没有溢出，圆锥的高是8分米，这个圆锥形容器的底面积是（    ）。（容器厚度忽略不计） A．8平方分米 B．32平方分米 C．24平方分米 D．16平方分米 【答案】C 【思路引导】先根据“”求出正方体水箱中水的体积，圆锥形容器里水的体积等于正方体水箱中水的体积，再根据“”求出这个圆锥形容器的底面积，据此解答。 【完整解答】4×4×4＝64（立方分米） 64×3÷8 ＝192÷8 ＝24（平方分米） 所以，这个圆锥形容器的底面积是24平方分米。 故答案为：C 2．（2025·湖南永州·小升初模拟）一根大小均匀的圆柱形木头，底面直径是2分米，把它锯成三根小圆柱，表面积增加（    ）平方分米。 A．12.56 B．18.84 C．25.12 D．50.24 【答案】A 【思路引导】锯一次会增加两个切面的面积，锯两次会增加四个切面的面积，把这个圆柱锯成三根小圆柱，表面积增加4个截面的面积，用圆柱的底面积乘4即可解答；圆的面积＝。 【完整解答】2÷2＝1（分米） 3.14××4 ＝3.14×1×4 ＝3.14×4 ＝12.56（平方分米） 所以表面积增加12.56平方分米。 故答案为：A 3．（2025·广东汕头·小升初模拟）把一根圆柱形木料沿底面直径垂直剖开成两个半圆柱，已知切面是一个周长为24分米的正方形，这根木料的表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。 【答案】 169.56 169.56 【思路引导】已知“切面是周长24分米的正方形”，得出圆柱的底面直径与高相等，利用正方形周长公式C＝4a求出边长为6分米，即圆柱的底面直径d＝6分米、高h＝6分米，再通过r＝d÷2求出底面半径r＝3分米；接着运用圆柱表面积公式S＝2πr2＋πdh（π取3.14），分别计算两个底面积和侧面积后求和，求出木料的表面积；最后代入圆柱体积公式V＝πr2h（π取3.14），将半径和高的数值代入计算，即可求出木料的体积。 【完整解答】正方形边长（圆柱直径、高）：24÷4＝6（分米） 底面半径：6÷2＝3（分米） 表面积：2×3.14×32＋3.14×6×6 ＝2×3.14×9＋3.14×6×6 ＝3.14×（2×9＋6×6） ＝3.14×（18＋36） ＝3.14×54 ＝169.56（平方分米） 体积：3.14×32×6 ＝3.14×9×6 ＝28.26×6 ＝169.56（立方分米） 所以这根木料的表面积是169.56平方分米，体积是169.56立方分米。 4．（2025·浙江台州·小升初模拟）把一个圆柱削成最大的圆锥后，圆锥体积比圆柱体积少24π立方分米。如果圆锥的底面半径是3分米，圆柱的高是( )分米。 【答案】4 【思路引导】把一个圆柱削成最大的圆锥，那么这个圆锥和圆柱等底等高，圆柱的体积是圆锥的3倍。24π立方分米相当于圆锥体积的2倍，算出圆锥的体积。根据圆锥的体积V＝，用圆锥的体积乘3除以π除以半径的平方即可算出圆锥的高，也是圆柱的高。 【完整解答】24π÷2＝12π（立方分米） 12π×3÷π÷32 ＝12π×3÷π÷9 ＝36π÷π÷9 ＝4（分米） 所以，圆柱的高是4分米。 【考点再现】把一个圆柱削成最大的圆锥，那么这个圆锥和圆柱等底等高，圆柱的体积是圆锥的3倍。24π立方分米相当于圆锥体积的2倍。 5．（2025·四川遂宁·小升初真题）求下面图形的体积。 【答案】125.6 cm3 【思路引导】结合图示可知，图形的体积＝圆柱的体积＋圆锥的体积，利用圆柱的体积V＝πr2h，圆锥的体积V＝πr2h，结合图中数据计算即可。 【完整解答】3.14×22×8＋×3.14×22×6 ＝3.14×4×8＋×3.14×4×6 ＝100.48＋25.12 ＝125.6（cm3） 故图形的体积是125.6 cm3。 6．（2025·广东佛山·小升初模拟）在一个底面半径为10厘米的圆柱形玻璃容器中，水深8厘米，要在容器中放入长和宽都是8厘米，高16厘米的一块铁块。（水没有溢出） (1)如果把铁块横放入水中，水面上升多少厘米？（得数保留整数。） (2)如果把铁块竖放入水中水面上升多少厘米？（得数保留整数。） 【答案】(1)3厘米 (2)2厘米 【思路引导】（1）铁块横放在水中时，整个铁块浸没在水中，因此水面上升的高度就等于铁块的体积除以容器内部的底面积。 （2）铁块竖放在水中时，铁块未浸没，且放入铁块前后水的体积不变，用水的体积除以容器的底面积与竖放的铁块底面积的差，即可求出此时水面的高度，再减去原来的水面高度即可求出水面上升的高度。 计算时最后得数采用“四舍五入法”保留整数。 【完整解答】（1）8×8×16÷（3.14×102） ＝8×8×16÷（3.14×100） ＝64×16÷314 ＝1024÷314 ≈3（厘米） 答：水面上升3厘米。 （2）3.14×102×8÷（3.14×102－8×8）－8 ＝3.14×100×8÷（3.14×100－64）－8 ＝314×8÷（314－64）－8 ＝2512÷250－8 ＝10.048－8 ＝2.048 ≈2（厘米） 答：水面上升2厘米。 7．（24-25六年级下·河南信阳·期末）一个圆柱形的蓄水池，从里面量底面直径10米，深2.4米，在它的内壁与底面抹上水泥。 （1）抹水泥部分是多少平方米？ （2）现在蓄水池所蓄的水占这个水池的，现蓄水多少吨？（每立方米水重1吨） 【答案】（1）153.86平方米； （2）113.04吨 【思路引导】（1）抹水泥部分包括圆柱的内壁（侧面积）和底面（一个底面积）。 圆柱侧面积公式：圆柱侧面积＝底面周长×高，其中底面周长＝πd（d是底面直径）； 圆的面积公式：圆的面积＝πr2，半径＝d÷2 将圆柱侧面积和圆的面积相加，即可得到抹水泥部分是多少。 （2）蓄水池的蓄水量等于圆柱的容积 圆柱容积公式为：容积＝底面积×高，底面积＝πr2，r＝d÷2（d是底面直径） 再根据每立方米水重1吨，用容积乘1得到蓄水池可蓄水的吨数。 现在蓄水池所蓄的水占这个水池的，用蓄水池可蓄水的吨数乘，即可得到现蓄水多少。 【完整解答】（1）10÷2＝5（米） 圆柱侧面积：3.14×10×2.4 ＝31.4×2.4 ＝75.36（平方米） 圆的面积：3.14×5² ＝3.14×25 ＝78.5（平方米） 75.36＋78.5＝153.86（平方米） 答：抹水泥部分是153.86平方米。 （2）圆柱容积：3.14×52×2.4 ＝3.14×25×2.4 ＝78.5×2.4 ＝188.4（立方米） 188.4×1＝188.4（吨） 188.4×＝113.04（吨） 答：现蓄水113.04吨。 8．（2025·浙江·小升初模拟）数学组的同学们在上拓展课，张老师和四名同学测量一些螺丝钉的体积，他们合作进行如下操作： ①小明准备了一个圆柱体玻璃杯，从里面测量得到底面直径是厘米，高是厘米。 ②小刚往玻璃杯里注入一些水，水的高度与水面离杯口的距离之比是1∶1。 ③小亮把20枚完全一样的螺丝钉放入水中。（螺丝钉完全浸没在水中） ④小强测量此时水的高度与水面离杯口的距离之比是3∶2。请根据以上信息，计算出一枚螺丝钉的体积。（π取3.14） 【答案】0.628立方厘米 【思路引导】根据圆柱体积公式计算玻璃杯的容积；由初始水的高度与水面离杯口的距离比为1：1，可知水体积占杯容积的一半；由放入螺丝钉后水的高度与水面离杯口的距离比为3：2，可知水加螺丝钉的体积占杯容积的；螺丝钉的总体积等于水加螺丝钉的体积减去水的体积；再除以螺丝钉的数量20，得到一枚螺丝钉的体积。 【完整解答】圆柱形玻璃杯的底面半径：（厘米） 圆柱形玻璃杯的底面积： （平方厘米） 圆柱形玻璃杯的容积：（立方厘米） 初始水的高度： （厘米） 初始水的体积：（立方厘米） 放入螺丝钉后水的高度： （厘米） 水加螺丝钉的体积：（立方厘米） 螺丝钉的总体积：（立方厘米） 一枚螺丝钉的体积：（立方厘米） 答：一枚螺丝钉的体积为0.628立方厘米。 【考点再现】本题考查了比的应用和圆柱的体积，能根据比求出水和螺丝钉的体积占玻璃杯的几分之几，会灵活运用圆柱的体积公式是解题的关键。 9．（2025·浙江·小升初模拟）科学组的同学们在做实验，先将两个大小相同的烧杯中，都盛有480毫升的水，再将等底等高的圆柱与圆锥实心零件（材质相同）分别放入两个烧杯中，则甲烧杯水面刻度如图所示。乙烧杯水面刻度显示应是多少毫升？ 【答案】520毫升 【思路引导】甲烧杯的圆柱形零件排掉水的体积是600毫升与480毫升的差。因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以用圆柱零件的体积除以3就是圆锥形零件排掉水的体积，据此就能求出乙烧杯中水面的刻度。 【完整解答】 （毫升） （毫升） 答：乙烧杯水面刻度显示应是520毫升。 【考点再现】此题考查排水法求体积以及等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系，解题需要灵活运用等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍。 10．（2025·浙江宁波·小升初真题）下图中明明用6个体积是1立方厘米的小正方体，测量了长方体木块的长、宽、高。请根据图中信息算一算。 （1）这个长方体木块的表面积是多少平方厘米？ （2）如果把这个长方体木块削成一个圆柱，能削成的圆柱体积最大是多少立方厘米？ 【答案】（1）52平方厘米； （2）14.13立方厘米 【思路引导】小正方体体积是1立方厘米，只有1×1×1＝1（立方厘米），则小正方体的棱长为1厘米。由图可知，长方体长是4个小正方体棱长，1×4＝4（厘米）；长方体宽是3个小正方体棱长，1×3＝3（厘米）；长方体高是2个小正方体棱长，1×2＝2（厘米）。 （1）长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据进行计算即可算出这个长方体木块的表面积。 （2）以长方体的长与宽这个面为底，以长方体的高为圆柱的高，这样可以削成一个体积最大的圆柱，则半径是3÷2＝1.5（厘米），高是2厘米，代入公式：，计算即可解答。 【完整解答】（1）1×4＝4（厘米），1×3＝3（厘米），1×2＝2（厘米）。 （4×3＋4×2＋3×2）×2 ＝（12＋8＋6）×2 ＝26×2 ＝52（平方厘米） 答：这个长方体木块的表面积是52平方厘米。 （2）3.14×（3÷2）2×2 ＝3.14×1.52×2 ＝3.14×2.25×2 ＝7.065×2 ＝14.13（立方厘米） 答：削成的圆柱体积最大是14.13立方厘米。 【考点再现】根据图示，可以先找出长方体长宽高分别是多少厘米，计算长方体表面积。要削成一个体积最大的圆柱，需要以长方体长与高这个面为底，以长方体宽为圆柱的高，代入圆柱体体积公式，就可以计算出削成的体积最大的圆柱。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $