寒假预习讲义：三角形的内角和（讲义）-2025-2026学年四年级下册数学人教版

2025-2026学年四年级下册数学人教版寒假预习讲义 【三角形的内角和】 【知识精讲+例题讲解+提升练习】 学习寄语 亲爱的同学们，当你拿着三角尺画出笔直的垂线，当你折叠手工纸做出可爱的三角形小书签，或是观察屋顶的三角形支架时，有没有好奇过这些三角形的三个角加起来藏着一个不变的小秘密？今天我们就一起探索《三角形的内角和》的知识，动手验证规律，用这个秘密解决图形里的小问题，做个会思考、会探索的“数学小侦探”！ 知识精讲 1.核心概念解析 (1) 三角形的内角：三角形内部的三个角叫做三角形的内角，每个三角形都有3个内角，通常用∠1、∠2、∠3来标记。 (2) 三角形的内角和：三角形三个内角的度数之和，这是三角形的一个固定属性，不会随形状、大小改变。 2.关键结论 所有三角形的内角和都是180°，无论它是大三角形还是小三角形，是锐角、直角还是钝角三角形，这个规律始终不变。 3.动手验证方法（适合四年级操作） (1) 测量法：用量角器分别测量三角形的三个内角，把度数相加，结果接近180°（测量误差可忽略）。比如直角三角尺的三个角90°、60°、30°，和为90+60+30=180°。 (2) 拼接法：把三角形的三个内角剪下来，顶点对齐拼在一起，能拼成一个平角（平角=180°），直观证明内角和为180°。 (3) 折叠法：把三角形的三个内角向内折叠，使三个顶点重合，三个角也能拼成一个平角，验证内角和规律。 (4) 推导法：借助长方形（内角和360°），沿对角线分成两个完全相同的直角三角形，每个直角三角形的内角和为360°÷2=180°，再推广到所有三角形。 4.常见应用场景 (1) 已知三角形两个内角的度数，求第三个角的度数； (2) 已知等腰三角形的顶角或底角，计算另外两个角的度数； (3) 根据内角的度数，判断三角形的类型（锐角、直角、钝角三角形）； (4) 解决生活中涉及三角形角度的实际问题，比如三角尺角度计算、屋顶支架角度分析等。 5.易错点提醒 (1) 内角和与三角形的大小、形状无关：大三角形和小三角形的内角和都是180°，钝角三角形和锐角三角形的内角和也相同； (2) 特殊三角形的角度特点：直角三角形必有一个90°的角，钝角三角形必有一个大于90°的角，计算时可利用这一特点快速推导； (3) 等腰三角形的两个底角相等：计算时要区分顶角和底角，避免混淆。 例题讲解 【典型例题1】基础应用：已知两角求第三角 题目：在一个三角形中，已知∠1=55°，∠2=65°，求∠3的度数。 分析：根据三角形内角和为180°，用内角和减去已知两个角的度数，即可得到第三个角的度数。 解答：∠3=180°-∠1-∠2=180°-55°-65°=60° 答：∠3的度数是60°。 【跟踪练习1】 (1) 直角三角形中，一个锐角是40°，另一个锐角是多少度？ (2) 在一个三角形中，∠1=110°，∠2=35°，求∠3的度数。 【典型例题2】进阶应用：等腰三角形的角度计算 题目：一个等腰三角形的顶角是100°，它的底角是多少度？ 分析：等腰三角形的两个底角相等，内角和为180°，先用180°减去顶角的度数，再除以2即可得到一个底角的度数。 解答：(180°-100°)÷2=80°÷2=40° 答：它的底角是40°。 【跟踪练习2】 (1) 一个等腰三角形的底角是70°，它的顶角是多少度？ (2) 等腰直角三角形的两个锐角各是多少度？请说明理由。 【典型例题3】综合应用：通过角度判断三角形类型 题目：已知一个三角形的三个内角中，∠1=∠2+∠3，这个三角形是什么类型的三角形？请说明理由。 分析：根据三角形内角和为180°，结合∠1=∠2+∠3，将∠2+∠3替换为∠1，即可求出∠1的度数，进而判断三角形类型。 解答：因为∠1+∠2+∠3=180°，且∠1=∠2+∠3，所以∠1+∠1=180°，即2∠1=180°，∠1=90°。 有一个角是90°的三角形是直角三角形。 答：这个三角形是直角三角形。 【跟踪练习3】 (1) 已知一个三角形的三个内角分别是40°、40°、100°，这个三角形按角分是什么类型？按边分呢？ (2) 用一副三角尺拼出的三角形，其中一个角是60°，另一个角是30°，第三个角是多少度？拼出的是什么三角形？ 提升练习 一、填空题 1．把三角形的三条边都扩大到原来的2倍，则它现在的内角和是　 　°。 2．有一个等腰三角形，它的顶角是其中一个底角的2倍，它的顶角是　 　°，一个底角是　 　°。 3．如下图所示，一个小朋友坐在秋千上从点 A 荡到点B，连接A、B、C 三点可以组成三角形ABC。已知∠1=47°，那么∠2=　 　°；这个三角形按角分是　 　三角形。 4．下面是一个平板电脑外壳支架和侧面示意图，它的两侧是等腰三角形，其中∠1=∠2=70°， 则∠3的度数是　 　°。 二、判断题 5． 一个三角形越大，它的内角和也越大。(　　) 6．锐角三角形中任意两个锐角的和一定小于90°。(　　) 7．如果一个三角形最小的内角大于45°，这个三角形一定是锐角三角形。(　　) 8．如果一个三角形的两个内角和等于第三个角，那么这个三角形是直角三角形。(　　) 9．把一个大三角形剪成两个小三角形，这两个小三角形的内角和都小于180°。(　　) 三、选择题 10．下面的线段表示 0°到180°。一个三角形中两个内角的度数之和在点 P处，这个三角形一定是(　　)三角形。 A．直角 B．锐角 C．钝角 D．等腰 11．下面几组度数中，(　　)是一个三角形中三个内角的度数。 A．40°，50°，80° B．65°，45°，70° C．110°，35°，35°，70° D．90°，25°，75° 12．把一个等边三角形分成两个相同的直角三角形，则分成的直角三角形的两个锐角分别是(　　)。 A．30°和 30° B．45°和 45° C．60°和 60° D．30°和 60° 13．在一个等腰三角形中，其中一个角是40°，另外两个角不可能是(　　)° 。 A．40 B．100 C．70 D．60 14．一个三角形中，一个内角的度数比另外两个内角的和的2倍多6°，这个三角形是(　　)三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法确定 四、解决问题 15．如图是一个平行四边形沿对角线向上折叠后的图形，已知∠1=65°，∠2=115°，求∠5的度数。 16．一个三角形的最大角是110°，比最小角的3倍还要多5°，这个三角形的其他两个角各是多少度？按边分，这个三角形是什么三角形？ 答案解析部分 【跟踪练习1答案及解析】 (1) 180°-90°-40°=50° 解析：直角三角形有一个固定的90°角，用内角和减去90°，再减去已知锐角的度数，即可得到另一个锐角的度数。 (2) 180°-110°-35°=35° 解析：直接用三角形内角和减去已知的两个角的度数，得到第三个角为35°，该三角形有一个110°的钝角，属于钝角三角形。 【跟踪练习2答案及解析】 (1) 180°-70°×2=180°-140°=40° 解析：等腰三角形的两个底角相等，先算出两个底角的度数和，再用内角和减去这个和，即可得到顶角的度数。 (2) 两个锐角都是45°。 理由：等腰直角三角形有一个角是90°，剩下的两个锐角度数相等，所以(180°-90°)÷2=45°。 【跟踪练习3答案及解析】 (1) 按角分是钝角三角形（有一个100°的钝角）；按边分是等腰三角形（有两个角相等，对应两条边长度相等）。 解析：根据钝角的定义（大于90°小于180°）判断角的类型；根据“等角对等边”，两个角相等说明对应的两条边相等，因此是等腰三角形。 (2) 第三个角是180°-60°-30°=90°，拼出的是直角三角形。 解析：用三角形内角和减去已知的两个角的度数，得到第三个角为90°，有一个直角的三角形是直角三角形。 【提升练习】 1．180 2．90；45 3．86；锐角 4．140 5．错误 6．错误 7．正确 8．正确 9．错误 10．C 11．B 12．D 13．D 14．C 15．解：∠4=∠1=65° ∠3=180°-∠2=180°-115°=65° ∠5 = 180°-∠3-∠4 = 180°-65°-65° =115°-65° =50° 答：∠5 的度数为50°。 16．解：最小角：（110°-5°）÷3=105°÷3=35°， 第三个角：180°-110°-35°=35° 答：这个三角形的其他两个角均为35°，按边分，是等腰三角形。 1 学科网（北京）股份有限公司 $