精品解析：广东省东莞市光明中学2025-2026学年高一上学期第三次月考数学试题

2025-2026学年度第一学期高一年级第三次月考 数学科试卷 一、单选题 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据并集定义直接计算可得结果. 【详解】由，可得。 故选：A 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由诱导公式求解． 【详解】， 故选：C． 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定形式直接判断即可. 【详解】根据全称量词命题的否定形式可知， 命题“，”的否定为，. 故选：C 4. 函数在区间的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解. 【详解】令， 则， 所以为奇函数，排除BD； 又当时，，所以，排除C. 故选：A. 5. 已知某扇形的周长是，面积为，则该扇形的圆心角的弧度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出扇形的半径和弧长，先利用扇形面积公式和周长求出半径和弧长，再利用弧长公式进行求解. 【详解】设扇形的半径为，所对弧长为， 则有，解得， 故. 故选：. 6. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性判断即可. 【详解】因为，， 故. 故选：C. 7. 当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中是消光系数，（单位：米）是海水深度，（单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在深度处和海面的光强.已知某海域5米深处的光强是海面光强的，则该海域消光系数的值约为（ ） （参考数据：） A. 0.2 B. 0.18 C. 0.1 D. 0.14 【答案】B 【解析】 【分析】理解题意，代值后，将指数式化成对数式，取近似值计算即得. 【详解】依题意得，， 化成对数式，，解得，. 故选：B. 8. 已知函数是上的增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数单调性得到不等式组，解出即可. 【详解】由题意得，解得. 故选：B. 二、多选题 9. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 为第四象限角 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用同角三角函数的关系及三角函数的符号一一判定选项即可. 【详解】，， ，，故A正确； ，故C正确； ，故B错误； 因为，且，所以为第四象限角，故D正确. 故选:ACD. 10. 已知且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为2 C. 的最小值为6 D. 的最小值为4 【答案】BC 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断AB；先将化为，再妙用“1”可判断C；取特值可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故错误； 对于B，因为，所以， 即，，当且仅当时，等号成立，故B正确； 对于C，由得，所以， 因为， 所以，当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D，令，则，所以的最小值不是4，D错误. 故选：BC. 11. 已知函数，定义在上的函数满足，则（ ） A. B. 函数的图象关于点（3，0）对称 C. 若实数满足，则 D. 若函数与图象的交点为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】计算得出，可判断A选项；利用函数对称性的定义可判断B选项；分析函数的单调性，可判断C选项；利用函数的对称性可判断D选项. 【详解】对于A选项，对任意的，， 所以，函数的定义域为， ， 所以，，A对； 对于B选项，因为函数满足，故函数的图象关于点对称，B错； 对于C选项，对于函数，该函数的定义域为， ，即， 所以，函数为奇函数， 当时，内层函数为增函数，外层函数为增函数， 所以，函数在上为增函数，故函数在上也为增函数， 因为函数在上连续，故函数在上为增函数， 又因为函数在上为增函数，故函数在上为增函数， 因为实数、满足，则，可得，即，C对； 对于D选项，由上可知，函数与图象都关于点对称， 由于函数与图象的交点为、、， 不妨设，若，则函数与图象的交点个数必为偶数，不合乎题意， 所以，，则，由函数的对称性可知，点、关于点对称， 则，，故，D对. 故选：ACD. 三、填空题 12. 若函数是定义在R上的奇函数，当时，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数的性质求得答案. 【详解】依题意，若函数是定义在R上的奇函数， 所以. 故答案为：. 13. 若，则_______ 【答案】5 【解析】 【分析】根据正弦的和差角公式可得，即可利用弦切互化求解. 【详解】由可得， 故， 故答案为：5 14. 已知函数，若，且，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】去绝对值，结合对数运算及对勾函数的单调性即可求解. 【详解】函数，当时，， 当时，， 则在单调递增，在单调递减， 故，， 由，则， 即，所以， 即，则， 所以， 令，则， 则设函数， 任取，不妨设， 因为， 当，所以，，，所以， 所以，即， 所以在区间上单调递减． 则当时， ， 当时，， 故的取值范围是 故答案为： 四、解答题 15. 已知集合，集合 （1）若时，求 （2）若，求实数的取值范围 【答案】（1）. （2） 【解析】 【分析】（1）将集合化简，再由集合的运算，即可得到结果； （2）根据题意，分集合与讨论，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 因为， 所以. 【小问2详解】 当时，，所以， 由可得，，解得，所以； 当时，，所以， 综上所述，. 16. 已知函数，且点在函数的图象上. （1）求函数的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数的图象； （2）结合图像简单说明，求不等式的解集； 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）将点代入函数解析式可得，即可画出函数图象； （2）根据函数与方程的思想，分别画出函数与的图象，可得不等式解集. 【小问1详解】 点在函数的图象上， ，则， ，则函数的图象如图所示： 【小问2详解】 从图象上来看即观察该函数图象在直线以上的部分， 令和， 解得和2，则直线与函数交点分别为，， 则由图知不等式的解集为. 17. 已知函数，，，的图象如图所示． （1）求的解析式； （2）设若关于的不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的图象与性质结合题目所给图象得到和周期，从而求出，再代入点，求得即可； （2）根据（1）得到的解析式，从而求得的值域，再利用换元法令，得到关于的一元二次不等式，结合二次函数的性质即可求解. 【小问1详解】 由图象可得：，， 所以，又，则， 所以， 代入得：， 则，，解得：，， 又，所以， 故． 【小问2详解】 由（1）知：， 所以， 即，又，所以，则， 令，则有恒成立， 所以， 解得：， 故的取值范围为． 18. 已知函数（，，）是定义在上的奇函数. （1）求和实数b的值； （2）当时，若满足，求实数t的取值范围； （3）若，问是否存在实数m，使得对定义域内的一切t，都有恒成立？ 【答案】（1）， （2） （3）存在 【解析】 【分析】（1）直接代入计算出，由奇函数的定义求出值； （2）利用奇函数的性质变形不等式，再由单调性化简后求解； （3）假定存在实数m，对定义域内的一切，都有恒成立，利用奇偶性单调性变形化简不等式转化为二次不等式恒成立（注意定义域），分别求解后求交集得出． 【小问1详解】 依题意，， 又是上的奇函数，则，即， 亦即，整理得，于是，而， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 显然函数在上单调递减， 由奇函数性质及，得， 当时，函数在上单调递增，则在上单调递减， 不等式化为，解得， 【小问3详解】 假定存在实数m，对定义域内的一切，都有恒成立， 即恒成立， 当时，由（2）知函数在上单调递增， 不等式化为，整理得， 于是有对任意恒成立，则， 当时，，因此； 有对任意恒成立，设， ①当时，函数的图象开口向上，对称轴， （i）当，即时，必有，则； （ii）当，即时，在上恒成立，则； （iii）当，即时，在上恒成立，则； ②当时，，不满足在上恒成立， 综上得且， 所以存在使得对定义域内的一切，都有恒成立. 19. 意大利画家列奥纳多•达•芬奇曾经提出，固定项链的两段，使其在重力的作用下自然下垂，项链所成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，历史上，莱布尼兹等人曾研究并得出了悬链线的方程，其中双曲余弦函数尤为特殊，与此类似的还有双曲正弦函数（是自然对数的底数，）． （1）计算的值； （2）类比两角差的余弦公式，写出两角差的双曲余弦公式______，并加以证明； （3）判断函数的零点个数，并求出零点． 【答案】（1） （2） ，下证明之． 事实上， （3） 时，原函数有1个零点； 时，原函数有3个零点，为 【解析】 【分析】（1）结合新定义，由指数的运算即可求解； （2）类比即可，结合，即可求证； （3）令，得到，得到其零点， 或，再由和讨论. 【小问1详解】 由定义可得， 所以． 【小问2详解】 ，证明略． 【小问3详解】 由于 因此，设，由均值不等式， 因此 令，可得或，而当且仅当 可视为函数和的复合，由复合函数单调性，在上单调递增，在上单调递减 若即，则有2解，原方程共有3个解； 令，设，方程可化为，解得故另两解为 若即，此时关于的方程仅有一解，原方程有唯一解； 若即，此时无解，原方程有唯一解． 综上所述，时，原函数有1个零点； 时，原函数有3个零点，为． 【点睛】关键点点睛：本题关键是理解所给双曲余弦函数与双曲正弦函数的定义，第三问关键是通过换元将函数解析式变形为. . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期高一年级第三次月考 数学科试卷 一、单选题 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 函数在区间的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知某扇形的周长是，面积为，则该扇形的圆心角的弧度数是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中是消光系数，（单位：米）是海水深度，（单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在深度处和海面的光强.已知某海域5米深处的光强是海面光强的，则该海域消光系数的值约为（ ） （参考数据：） A. 0.2 B. 0.18 C. 0.1 D. 0.14 8. 已知函数是上的增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 为第四象限角 10. 已知且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为2 C. 的最小值为6 D. 的最小值为4 11. 已知函数，定义在上的函数满足，则（ ） A. B. 函数的图象关于点（3，0）对称 C. 若实数满足，则 D. 若函数与图象的交点为，则 三、填空题 12. 若函数是定义在R上的奇函数，当时，，则_______． 13. 若，则_______ 14. 已知函数，若，且，则的取值范围是__________. 四、解答题 15. 已知集合，集合 （1）若时，求 （2）若，求实数的取值范围 16. 已知函数，且点在函数的图象上. （1）求函数的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数的图象； （2）结合图像简单说明，求不等式的解集； 17. 已知函数，，，的图象如图所示． （1）求的解析式； （2）设若关于的不等式恒成立，求的取值范围． 18. 已知函数（，，）是定义在上的奇函数. （1）求和实数b的值； （2）当时，若满足，求实数t的取值范围； （3）若，问是否存在实数m，使得对定义域内的一切t，都有恒成立？ 19. 意大利画家列奥纳多•达•芬奇曾经提出，固定项链的两段，使其在重力的作用下自然下垂，项链所成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，历史上，莱布尼兹等人曾研究并得出了悬链线的方程，其中双曲余弦函数尤为特殊，与此类似的还有双曲正弦函数（是自然对数的底数，）． （1）计算的值； （2）类比两角差的余弦公式，写出两角差的双曲余弦公式______，并加以证明； （3）判断函数的零点个数，并求出零点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $