8.1 平方根（第2课时算术平方根及其估算）（培优教学课件）数学新教材人教版七年级下册

8.1 平方根 第2课时 算术平方根及其估算 第八章 实数 实数 第八章 8.1 平方根 8. 2 立方根 8. 3 实数及其简单运算 章节导读 平方根 算术平方根及其估算 用计算器求算术平方根 立方根 立方根的性质及用计算器求立方根 实数的概念及数轴表示 实数的性质及简单运算 学 习 目 标 1 2 3 能结合具体实例，准确说出算术平方根的定义，明确算术平方根与平方根的区别与联系； 掌握算术平方根的性质，能运用定义和性质准确求一个数的算术平方根，并解决与算术平方根相关的计算问题； 经历探究等无理数的过程，认识无限不循环小数，体会转化思想，提升数学抽象与运算能力的核心素养. 导入新课 其实，这个大正方形的边长既不是整数，也不是我们熟悉的分数，那它到底是什么样的数呢？今天这节课我们就一起来揭开这个数的神秘面纱． 拼图中的“新数”之谜 两个边长为1dm的小正方形，它们的面积各是多少？如果把这两个小正方形拼成一个大正方形，这个大正方形的面积是多少？它的边长应该怎么表示呢？ + = 新知探究 我们知道，正数a有两个平方根，其中正的平方根叫作a的算术平方根．正数a的算术平方根用来表示． 规定：0的算术平方根是0．0的算术平方根也记为 非负数a的算术平方根 具有双重非负性： (1) 被开方数 a 是非负数；( a ≥ 0 ) (2) 非负数 a 的算术平方根是非负数.( ≥ 0 ) 典例分析 例1：已知，则的值是 ． 解：∵， 且 ∴ 解得， ∴，故答案为：． 典例分析 “几个非负数的和为 0 ”问题的解决方法 目前学过的典型的非负数有 a2，|b|， 三种．根据非负数的性质，知若几个非负数的和为 0，则每一个非负数均为 0，即若 a2＋|b|＋ ＝0，则 a2＝0，|b|＝0， ＝0． 基础训练 练习：若x，y为实数，且满足，则的值是 ． 【解析】本题考查了绝对值的非负性，算术平方根的非负性，有理数的乘方运算．利用绝对值和算术平方根的非负性，求出和的值，再代入表达式计算即可． 解：∵，，， ∴且， 由，得，解得：， 则可化为，即，解得：， ∴．故答案为：． 典例分析 例2：求下列各数的算术平方根. （1）100；（2） ；（3）0.000 1． 解：（1）因为102＝100，所以100的算术平方根是10，即． （2）因为()2＝ ，所以 的算术平方根是，即． （3）因为0.012＝0.0001，所以0.0001的算术平方根是0.01，即． 被开方数越大，对应的算术平方根也越大．这个结论对所有正数都成立． 从例题中，能得到什么结论呢？ 基础训练 练习：求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 解：（1）∵，∴，∴​． （2）∵，∴． （3）∵，∴ 原式． 新知探究 怎样用两个面积为1 dm2的小正方形拼成一个面积为2 dm2的大正方形？这个大正方形的边长是多少？ 探究 新知探究 动手操作：如图，把两个小正方形分别沿对角线剪开，将所得的 4 个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为 2 dm2 的大正方形. 新知探究 解：设大正方形的边长为x dm，则 x2=2. 由边长的实际意义可知， x= . 所以大正方形的边长是dm. 小正方形的对角线的长是多少呢？ 小正方形的对角线的长即为大正方形的边长. 新知探究 因为12＝1, 22＝4, 12＜2＜22 ,所以 1＜ ＜2 因为1.42＝1.96, 1.52＝2.25 , 1.42＜2＜1.52,所以 1.4＜ ＜1.5 因为1.412＝1.9881, 1.422＝2.0164 , 1.412＜2＜1.422,所以 1.41＜ ＜1.42 因为1.4142＝1.999 396, 1.4152＝2.002 225 , 1.4142＜2＜1.4152,所以 1.414＜ ＜1.415 …… 如此进行下去，可以得到的更精确的估计范围。 “两边夹”法 有多大呢？ 探究 新知探究 =1.414 213 562 373…… 无限不循环小数 无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数. 许多正有理数的算术平方根 （例如， ， 等）都是无限不循环小数． 你以前见过这样的小数吗？ 典例分析 例3：估算 的值(精确到0.1). 解：因为 12=1，22=4， 所以 1 < < 2； 因为1.72 = 2.89，1.82 = 3.24， 所以 1.7 < < 1.8； 因为1.732 = 2.9929，1.742 = 3.0276， 所以 1.73 < < 1.74； 所以≈1.7 基础训练 练习：一个正方形的面积是11，估计它的边长大小在（    ） A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间 C 【解析】本题主要考查了算术平方根取值范围的估算，掌握算术平方根取值范围的估算方法是解题的关键．根据正方形的面积公式，边长是面积的平方根，即．再通过比较邻近的完全平方数，估算的范围即可解答． 解：∵正方形的面积是11，∴边长为． ∵，且， ∴，即，∴边长在3和4之间． 故选C． 新知总结 算术平方根及其估算 ①算术平方根的概念及表示方法 ②算术平方根的非负性 非负数a的算术平方根 具有双重非负性： (1) 被开方数 a 是非负数；( a ≥ 0 ) (2) 非负数 a 的算术平方根是非负数.( ≥ 0 ) 正数a有两个平方根，其中正的平方根叫作a的算术平方根．正数a的算术平方根用来表示．0的算术平方根是0. ③用“两边夹”法对算术平方根进行估算 巩固练习 1．9的算术平方根是（    ） A． B．3 C．9 D． B 【解析】本题考查了算术平方根，掌握算术平方根是非负的平方根是解题关键．9的算术平方根是正数3． 解：9的算术平方根是3，故选：B． 巩固练习 2．下列说法：①；②，③4是16的平方根；④的算术平方根是，⑤的平方根是．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B 解：① ∵ ，∴ ，故此说法错误； ② ∵ ，且，∴ ，故此说法错误； ③ ∵ ，∴ 4是16的一个平方根，故此说法正确； ④ ∵ ，且是5的算术平方根，∴此说法正确； ⑤ ∵ ，负数在实数范围内无平方根，∴此说法错误； 综上，正确个数为2个．故选：B． 巩固练习 3．已知在两个连续的整数a和b之间，那么a＋b＝ ． 7 【解析】结合9＜10＜16，由此可以估计的近似值，然后就可以得出a，b的值． 解：∵9＜10＜16， ∴3＜＜4， ∴a＝3，b＝4． ∴a+b＝7． 故答案为：7． 巩固练习 4．求下列各式的值： (1)；(2)；(3)；(4)． 【解析】本题主要考查了求算术平方根，求平方根，熟练计算是解题的关键．依据题意，根据算术平方根和平方根的定义，逐个进行化简与计算即可得解． 解：（1）； （2）； （3）； （4）． 拓展提升 5．对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． (1)仿照以上方法计算：_______，_______； (2)若，写出满足题意的的整数值______； (3)①若我们对连续求根整数，直到结果是1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．则对有理数137连续求根整数，几次之后结果是1； ②试写出只需进行3次连续求根整数运算后结果是1的所有正整数中最大的数______． 拓展提升 【解析】本题考查新定义运算． （1）由根整数的定义，结合及即可得到答案； （2）由根整数的定义，根据得到，再结合与即可确定，从而得到答案； （3）①由根整数的定义，逐次求解即可得到答案； ②由前面求解过程，结合根整数的定义，逐次分析倒推即可得到答案． 拓展提升 解：（1）∵，，， ，即， ，，故答案为：4，6； （2） ， ， ，， ∴， 或或，故答案为：1，2，3； 拓展提升 （3）①第一次：，第二次：，第三次：， 第3次之后结果为1，故答案为：3次； ②由上述求解过程可知，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3， ，， 进行2次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15， ，， 进行3次求根整数运算后结果为15的正整数最大为255， 只对一个正整数进行3次连续求根整数运算后结果为1，则这个正整数最大值是255，故答案为：255． 课堂总结 感谢聆听! $