专题8.2立方根题型突破讲义(常考题型精析+强化题型+寒假预习)2025-2026学年人教版七年级数学下册

专题8.2立方根题型突破讲义 01 重难点 重点 1.立方根的定义 理解“若x3=a,则x叫做a的立方根”，掌握立方根的表示方法， 明确根指数3不 能省略。 核心：开立方与立方互为逆运算。 2.立方根的核心性质 正数的立方根是正数； 负数的立方根是负数： 0的立方根是*0*。关键特征：任何实数都有且只有一个立方根。 3.立方根的计算 直接求常见数的立方根（如-2，一8=-2）； 利用公式a3=a进行化简计算： 解决简单的立方根方程（如x3=27,(2x-1)予=-8）。 4.立方根的实际应用：结合正方体体积公式V=a3,利用立方根求正方体的棱长(a=下) 难点 1.立方根与平方根的区别与联系：这是学生极易混淆的点，需明确两者在存在性、结果 个数、根指数写法上的差异： 平方根：负数没有平方根，非负数有两个互为相反数的平方根，根指数2可省略； 立方根：任何实数都有一个立方根，根指数3不能省略。 2.含符号立方根的化简与理解：掌握一a=的推导与应用，避免出现“负数没有 立方根”的认知错误。 3.复杂立方根方程的求解步骤：对于(ax+b)3=c型方程，需先把ax+b看成整体开立方， 再解一元一次方程，步骤的逻辑顺序容易出错。 试卷第1页，共3页 4.立方根估算的初步应用：对非完全立方数的立方根进行大致范围判断（如估算10 的大小在2和3之间)，需要结合立方数的大小对比。 02 题型梳理 基础 1.立方根概念理解 2.求一个数的立方根 过关题 3.计算器-平方根和立方根 能力 4.已知一个数的立方根求这个数 5.立方根的实际应用 提升题 6.算术平方根和立方根的综合应用 拓展 7.与立方根有关的规律探索 拔高题 基础过关题 【题型1.立方根概念理解】 1.下列结论正确的是() A.64的立方根是±4 B.。没有立方根 9 C.-1的立方根为±1 D.27=-27 2.下列式子正确的是() A.9=+3 B.-8=2 C.-16=4 D.-22=-2 3.已知2.14=1.463，√21.4=4.626,0.214=0.5981,2.14=1.289，则 ±V0.0214= 4.下列语句正确的是() A.-√5是5的一个平方根 B.400万有7个有效数字 C.近似数12.8和12.80表示的意义是相同的 试卷第1页，共3页 D.一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是1 5.据说，我国著名的数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂 志上有一道智力题：一个数是59319，希望求出它的立方根.华罗庚脱口而出：39.邻座乘 客很惊讶，忙问计算的奥妙.华罗庚是这样计算的： ①由103=1000,1003=1000000从而得出59319的立方根是一个两位数； ②由59319的个位数字是9，从而确定59319的立方根的个位数字是9； ③若划去59319后面的三位数319得到数59，而33=27,4=64从而确定59319的立方根 的十位数字是3. 请你按照上面的方法确定110592的立方根为 ·（说明：若a3=b,则a叫做b的立 方根) 解答题 6.求下列各式中x的值： (1)125x3=8; (2)x-2=-2. 【题型2.求一个数的立方根】 7.若一个数的平方根是±5，则这个数的立方根是() A.25 B.125 C.5 D.-5 8.若x2=-64,则5-x的平方根是() A.3 B.-3 C.2 D.±3 9.若√x-1+(3x+y-1)2=0,则3x+y立方根为一. 10.已知1.51≈1.147,15.1≈2.472,0.151≈0.533，则1510的值约是() A.24.72 B.53.25 C.11.47 D.114.7 11.己知32.37≈1.333,323.7≈2.872，则2370≈ (精确到百分位) 12.若a2=9,b3=-8,则a+b= .解答题 13.解方程： (1)(x-3)3-27=0: 试卷第1页，共3页 (2)1-x2=16 【题型3.计算器-平方根和立方根】 14.若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，依次2dF5=按键，对应 的计算是() A.5 B.5 C.2 D.5 15.利用教材中的计算器进行计算，其按键顺序如下： 10 2ndF 8 则计算器显示结果与下列各数 最接近的一个是() A.5.0 B.5.2 C.5.8 D.6.0 16.下列关于计算器的按键说法中，错误的是（) A.按網8 显示结果：2 B.按☑8)2= 显示结果：64 C.用计算器求(-2.3)×8的值时，按键顺序是 2☐3x8= D.用计算器求(-8)的值时，按键顺序是(-)86= 17.运用科学计算器进行计算，按键顺序如下： ☒3☒☑囵回2□四3+6】日☑回6ae + 2ndF 64 则计算器显示的结果是」 能力提升题 【题型4.已知一个数的立方根.求这个数】 18.已知5x+4的立方根是4，则2x+1的平方根是() A.5 B.±5 C.5 D.±5 19.若2 是数a的立方根，-√2是数b的一个平方根，则(ab)25的值为() 试卷第1页，共3页 A.2 B.-2 C.1 D.-1 20.已知5x-1的平方根是3，x-y-3的立方根是-2，则x+y= 21.已知5x-1的算术平方根是3,2y+9的立方根是1，则4x-2y的平方根是」 22.已知a=2,6=3,则2a-b的值是() A.31 B.-23 C.31或-31 D.-23或-31 23.已知：2a-7和a+4是正数M的平方根，b-7的立方根为-2，则3a+2b的算术平方 根 解答题 24.小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出-50653的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为103=1000,1003=1000000，所以50653是两位数： ②其次观察了立方数：1=1,23=8,33=27,43=64,53=125,6=216,73=343， 8=512,93=729;猜想50653的个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为3=27,43=64，所以350653的十位 数字应为3，于是猜想50653=37，验证得：50653的立方根是37： ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到一50653=-37，同时发现结论：若两个数互为相 反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立. 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)3-117649=; (2)若1-2x+5=0,则x=; (3)已知x-2+2=x,且3y-1与-2x互为相反数，求x,y的值. 【题型5.立方根的实际应用】 25.如图，某港口有一个体积为27m3的正方体集装箱，为存放更多的货物，现准备将其改 造为一个体积为216m的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的() 试卷第1页，共3页 A.2倍 B.3倍 C.6倍 D.9倍 26.若2y-1与-3x互为相反数，用含x的式子表示y,则y=一· 27.把两个半径分别为1cm和7cm的铅球熔化后做成一个更大的铅球，则这个大铅球的半 径是一m(球的体积公式”=青，其中，是球的半径〉， 28.我国著名的数学家华罗庚曾巧解开立方的智力题：一个数是59319，希望求它的立方根 解答：：103<59319<1003,59319是两位整数： :整数59319的末位上的数字是9，而整数0至9的立方中，只有93=729的末位数字是9， .59319的末位数字是9： 又：划去59319的后面三位319得到59，而3<59<4， .59319的十位数字是3： .59319=39; 【应用】3(2x-1)3+59049=0,其中x是整数则x的值为 29.下列说法正确的是() A.若一个正方体体积为216，则它的棱长为16 B. 的算木平方根是号 C.若式子√x-i+-x=0成立，则x=1 D.的值等于3 解答题 30.小明打算利用一张面积为900cm的正方形卡纸裁出需要的形状进行手工制作， 图1 图2 ()求正方形卡纸的边长： 试卷第1页，共3页 (2)如图1，按图中方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长宽之比为4：3， 裁出的长方形的面积能否为768cm2？请通过计算说明； (③)如图2，按图中方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为 343cm3,求该正方体的表面积. 【题型6.算术平方根和立方根的综合应用】 31.-√5的绝对值是； 的立方根是：16的算术平方根是 32.已知a的算术平方根是2，b的立方根是0，则ab的平方根为() A.2 B.0 C.±2 D.±4 33.一个自然数a的算术平方根为x,那么a+1的立方根是() A.±a+1 B. x+1 C.x2+1 D.±x2+1 34.已知2a-1的立方根是3,3a+b-1的算术平方根是6，则a+2b的平方根是」 解答题 35.已知a=m√2m-2是2m-2的算术平方根，b="+n-28是n-28的立方根. (1)求a,b的值. (2)化简：√a-b-4-b-a+4 拓展拔高题 【题型7.与立方根有关的规律探索】 36.如果2.37≈1333,23.7≈2.872，那么23700约等于() A.28.72 B.0.2872 C.13.33 D.0.1333 37.观察下表规律 a 0.008 P 8000 8000000 a 0.2 2 20 200 利用规律解答，若2.37≈1.333,23.7≈2.872，则0.0237≈ 38.下表是部分正数x的平方和立方. 试卷第1页，共3页 x 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 x 65.61 67.24 68.89 70.56 72.25 3 531.441 551.368 571.787 592.704 614.125 根据上表的数据，可得：√68.89= 551.368= √7225+30.614125= 39.下列各式正确的是() A.-7=-7B.±5=3 C.V16=±4 D.-22=-2 解答题 40.我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一 道智力题：求54872的立方根.华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你 知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是王老师的探究过程，请补充完整： (1)口算并填空：75个位数字为 (2)求54872. ①由103=1000,1003=1000000，可以确定54872是 位数 ②由54872的个位上的数是2，可以确定54872的个位上的数是 ③如果划去54872后面的三位872得到数54，而33=27,43=64，可以确定54872的十 位上的数是，由此求得54872= (3)己知17576是整数的立方，请用类似的方法求出7576的值.[过程可按题中的步骤写] 试卷第1页，共3页 专题8.2立方根题型突破讲义 一、 重点 1.立方根的定义 理解 “若x3=a，则x叫做a的立方根”，掌握立方根的表示方法，明确根指数3不能省略。 核心：开立方与立方互为逆运算。 2.立方根的核心性质 正数的立方根是正数； 负数的立方根是负数； 0的立方根是 **0**。关键特征：任何实数都有且只有一个立方根。 3.立方根的计算 直接求常见数的立方根（如=2，=−2）； 利用公式=a进行化简计算； 解决简单的立方根方程（如x3=27，(2x−1)3=−8）。 4.立方根的实际应用:结合正方体体积公式V=a3，利用立方根求正方体的棱长（a=）。 二、 难点 1.立方根与平方根的区别与联系:这是学生极易混淆的点，需明确两者在存在性、结果个数、根指数写法上的差异： 平方根：负数没有平方根，非负数有两个互为相反数的平方根，根指数2可省略； 立方根：任何实数都有一个立方根，根指数3不能省略。 2.含符号立方根的化简与理解:掌握=−的推导与应用，避免出现 “负数没有立方根” 的认知错误。 3.复杂立方根方程的求解步骤:对于(ax+b)3=c型方程，需先把ax+b看成整体开立方，再解一元一次方程，步骤的逻辑顺序容易出错。 4.立方根估算的初步应用:对非完全立方数的立方根进行大致范围判断（如估算的大小在2和3之间），需要结合立方数的大小对比。 基础 过关题 1.立方根概念理解 2.求一个数的立方根 3.计算器--平方根和立方根 能力 提升题 4.已知一个数的立方根.求这个数 5.立方根的实际应用 6.算术平方根和立方根的综合应用 拓展 拔高题 7.与立方根有关的规律探索 【题型1.立方根概念理解】 1．下列结论正确的是（    ） A．64的立方根是±4 B．没有立方根 C．－1的立方根为±1 D． 【答案】D 【分析】根据立方根的定义和性质，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，任何实数都有立方根，依次判断即可. 【详解】解：A、的立方根是，不是，所以 A错误； B、 任何实数都有立方根，的立方根是，所以 B错误； C、 的立方根是，不是，所以 C错误； D、 =， = ，∴ = ，故D正确. 【点睛】本题主要考查的是立方根的定义和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 2．下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查算术平方根及立方根的概念，熟练掌握算术平方根及立方根的概念是解决本题的关键． 根据算术平方根及立方根的概念化简求解即可． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B正确； C、，故C错误； D、，故D错误． 故选：B． 3．已知，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的概念等，根据平方根、算术平方根、立方根的概念依次求解即可，属于基础题，熟练掌握其定义是解决本类题的关键． 【详解】解： ∵， ∴， 故答案为：． 4．下列语句正确的是（    ） A．是5的一个平方根 B．400万有7个有效数字 C．近似数12.8和12.80表示的意义是相同的 D．一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是1 【答案】A 【分析】本题考查近似数、有效数字、平方根、立方根，根据它们的定义逐项判断即可． 【详解】解：A：5的平方根是，故是5的一个平方根，故A正确； B：400万有3个有效数字，故B错误； C：近似数12.8和12.80表示的意义是不同的，12.8精确到十分位，12.80精确到百分位，故C错误； D：一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是0，故D错误． 故选：A． 5．据说，我国著名的数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求出它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座乘客很惊讶，忙问计算的奥妙．华罗庚是这样计算的： ①由，从而得出59319的立方根是一个两位数； ②由59319的个位数字是9，从而确定59319的立方根的个位数字是9； ③若划去59319后面的三位数319得到数59，而，从而确定59319的立方根的十位数字是3． 请你按照上面的方法确定110592的立方根为 ．（说明：若，则a叫做b的立方根） 【答案】48 【分析】本题主要考查了乘方运算，立方根的意义，本题是阅读型，熟练掌握题干中的方法和立方根的意义是解题的关键． 利用题干中的方法分步解答即可． 【详解】解：∵，从而得出110592的立方根是一个两位数； 又∵110592的个位数字是2，从而确定110592的立方根的个位数字是8； 划去110592后面的三位数592得到数110，而，，从而确定110592的立方根的十位数字是4． ∴110592的立方根为48． 故答案为：48． 解答题 6．求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解此题的关键． （1）利用立方根的定义解方程即可得解； （2）由立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：由，得， 所以； （2）解：由，得， 所以． 【题型2.求一个数的立方根】 7．若一个数的平方根是，则这个数的立方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方根定义、立方根定义，熟记平方根定义及立方根定义是解决问题的关键． 根据平方根的定义，平方根为的数是25，再求25的立方根即可得到答案． 【详解】解：∵ 一个数的平方根是， ∴ 这个数为， ∴ 这个数的立方根为， 故选：A． 8．若，则的平方根是（    ） A．3 B．－3 C．±2 D．±3 【答案】D 【分析】先求方程 的根，得到 ，再计算 ，最后求 9 的平方根． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 的平方根为 ， 故选：D. 【点睛】本题主要考查的是立方根和平方根的定义和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 9．若，则立方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，平方的非负性，以及立方根，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 先根据非负性列式求出的值，进而得到的值，再利用立方根定义求解，即可解题． 【详解】解：∵， 且， 解得：，， 则， 则的立方根为； 故答案为：． 10．已知，，，则的值约是（    ） A．24.72 B．53.25 C．11.47 D．114.7 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的应用，要注意被开方数与立方根的小数点的移动变化规律． 利用立方根的性质，将1510分解为，再分别求立方根后相乘． 【详解】解：∵ ， 又∵ ，， ∴ ． 故选：C． 11．已知   则 （精确到百分位） 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根的求解，立方根的运算，解题的关键是掌握立方根的运算法则． 对立方根进行变式，然后根据给出的值进行求解即可． 【详解】解： 故答案为：． 12．若，，则 ． 【答案】1或 【分析】本题考查求一个数的平方根，立方根，求代数式的值．先由平方根，立方根的定义求出a，b，进而可以求解． 【详解】解：∵，， ∴，， 当，时，， 当，时，， ∴或． 故答案为：1或 .解答题 13．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了利用立方根和平方根解方程，熟练掌握立方根和平方根的定义是解题的关键． （1）利用立方根的性质解方程即可； （2）利用平方根的性质解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 或 或． 【题型3.计算器--平方根和立方根】 14．若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，依次按键，对应的计算是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用计算器求立方根．根据题目中的运算程序，可以计算出式子的运算结果． 【详解】 解：依次按键，对应的计算是． 故选：A． 15．利用教材中的计算器进行计算，其按键顺序如下：，则计算器显示结果与下列各数最接近的一个是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了计算器—基础知识，直接利用计算器计算即可，掌握计算器的使用方法是解题的关键． 【详解】解：根据按键顺序可得，， 故选：． 16．下列关于计算器的按键说法中，错误的是（   ） A．按键显示结果：2 B．按键显示结果：64 C．用计算器求的值时，按键顺序是 D．用计算器求的值时，按键顺序是 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用计算器进行有理数的相关运算，解题的关键是掌握科学计算器中各按键的功能． 根据计算器的按键对应的功能即可求解． 【详解】 解：A．按键显示结果：2，正确，不符合题意； B．按键显示结果：64，正确，不符合题意；     C．用计算器求的值时，按键顺序是，正确，不符合题意； D．用计算器求的值时，按键顺序是，故原选项错误，符合题意． 故选：D． 17．运用科学计算器进行计算，按键顺序如下：    则计算器显示的结果是 ． 【答案】19 【分析】根据计算器的按键代表的运算可得答案． 【详解】解：根据题意可知计算式为， 解得， 故答案为：19． 【点睛】本题考查了用计算器计算的知识点，掌握计算器的各个按键所表示的意义是解决本题的关键． 【题型4.已知一个数的立方根.求这个数】 18．已知的立方根是4，则的平方根是（   ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立方根和平方根，根据立方根的定义得到x的值是解题的关键．根据的立方根是4，从而得到，代入，再根据平方根的定义即可得到答案． 【详解】解：∵的立方根是4， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 故选：B． 19．若是数的立方根，是数的一个平方根，则的值为（　　） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查立方根、平方根，先根据立方根、平方根的定义求出a、b的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵是数的立方根，是数的一个平方根， ∴， 则， 故选：C． 20．已知的平方根是，的立方根是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及平方根定义、立方根定义定义等知识，熟记平方根及立方根定义是解决问题的关键． 根据题意求出值，再代入计算即可． 【详解】解：的平方根是， ， ； 的立方根是， ， ； ； 故答案为：． 21．已知的算术平方根是3，的立方根是1，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根、立方根、算术平方根的应用，解此题的关键是求出x、y的值． 根据算术平方根、立方根的定义求出x、y的值，求出的值，再根据平方根定义求出即可． 【详解】解：∵的算术平方根是3， ∴ 解得：， ∵的立方根是1， ∴ 解得：， ∴ ∴的平方根是． 故答案为：． 22．已知，，则的值是（    ） A．31 B． C．31或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了立方根、绝对值、代数式求值，熟练掌握运算法则及定义是解题的关键． 先根据绝对值、立方根的定义求出、的值，再根据代数式求值计算即可． 【详解】解：，， ，， 或， 故选：D． 23．已知：和是正数M的平方根，的立方根为，则的算术平方根 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了根据立方根求原数，平方根的定义，求一个数的算术平方根，根据和是正数M的平方根可得与相等或与互为相反数，据此求出a的值， 再由立方根的定义求出b的值，则可求出的值，最后根据算术平方根的定义即可求出答案． 【详解】解：当时，则， 当与不相等时， ∵和是正数M的平方根， ∴， ∴； 综上所述，或； ∵的立方根为， ∴， ∴， ∴或， ∴的算术平方根是或， 故答案为；或． 解答题 24．小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，9；猜想的个位数字是7； ③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)______； (2)若，则______； (3)已知，且与互为相反数，求x，y的值． 【答案】(1) (2) (3)或，或， 【分析】本题考查求一个数的立方根．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键． （1）根据题目中给定的方法进行求解即可； （2）根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可； （3）根据算立方根的性质，根据立方根是本身的数为，进行分类讨论，再根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可． 【详解】（1）解：因为，，所以是两位数， 因为；猜想的个位数字是9， 接着将往前移动3位小数点后约为117，因为，所以的十位数字应为4，于是猜想，验证得：的立方根是； 最后再依据“负数的立方根是负数”得到； （2）解：∵， ∴和 互为相反数， ∴， ∴； 故答案为：3． （3）解：∵，即， ∴或1或 解得：或或 ∵与互为相反数，即， ∴，即， ∴当时， 当时，； 当，． 【题型5.立方根的实际应用】 25．如图，某港口有一个体积为的正方体集装箱，为存放更多的货 物，现准备将其改造为一个体积为的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的（    ） A．2 倍 B．3 倍 C．6 倍 D．9 倍 【答案】A 【分析】本题考查立方根的应用，掌握立方根的意义是解题的关键．先根据立方根分别求出体积为的正方体的棱长和体积为的正方体的棱长，然后作除法即可得出结论． 【详解】解：∵体积为的正方体的棱长为：， 体积为的正方体的棱长为：， 又 ∵， ∴棱长应变为原来的2倍． 故选：A． 26．若与互为相反数，用含x的式子表示y，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的概念，立方根等知识，根据题意可得等式，两边立方，即可求解． 【详解】根据题意有：， ， 故答案为：． 27．把两个半径分别为和的铅球熔化后做成一个更大的铅球，则这个大铅球的半径是 cm（球的体积公式，其中是球的半径）． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，求出半径分别是，的铅球的体积之和，再根据立方根的定义计算出结果即可，熟记立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：这个大铅球的半径是， 由题意得：， ∴，则， 故答案为：． 28．我国著名的数学家华罗庚曾巧解开立方的智力题：一个数是59319，希望求它的立方根． 解答：∵＜59319＜，∴是两位整数； ∵整数59319的末位上的数字是9，而整数0至9的立方中，只有＝729的末位数字是9，∴的末位数字是9； 又∵划去59319的后面三位319得到59，而3＜＜4， ∴的十位数字是3； ∴＝39； 【应用】＋59049＝0，其中x是整数则x的值为 ． 【答案】-13 【分析】先运用学到的方法，进行估算，再解一元一次方程即可． 【详解】∵＋59049＝0， ∴， ∵＜19683＜， ∴是两位整数； ∵整数19683的末位上的数字是3，而整数0至9的立方中，只有的末位数字是3， ∴的末位数字是7； 又∵划去19683的后面三位683得到19， 而2＜＜3， ∴的十位数字是2； ∴＝27； ∴， 解得x=-13， 故答案为：-13． 【点睛】本题考查了立方根的估算，一元一次方程的解法，熟练掌握估算方法，灵活解方程是解题的关键． 29．下列说法正确的是（   ） A．若一个正方体体积为216，则它的棱长为16 B．的算术平方根是 C．若式子成立，则 D．的值等于 【答案】C 【分析】此题考查了算术平方根的定义、方程解的条件及平方根与算术平方根的区别， 逐一分析各选项的正误，结合算术平方根的定义、方程解的条件及平方根与算术平方根的区别进行判断． 【详解】选项A：正方体体积公式为，当时，棱长，而非16，故A错误； 选项B：，其算术平方根为（算术平方根非负），而选项B中结果为负数，故B错误． 选项C：由和有意义，需满足且，即．代入原式得，成立，故C正确． 选项D：表示算术平方根，结果为3，而是平方根，故D错误． 故选：C． 解答题 30．小明打算利用一张面积为的正方形卡纸裁出需要的形状进行手工制作． (1)求正方形卡纸的边长； (2)如图1，按图中方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长宽之比为，裁出的长方形的面积能否为？请通过计算说明； (3)如图2，按图中方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为，求该正方体的表面积． 【答案】(1) (2)裁出的长方形的面积不能为，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的实际应用，熟知求算术平方根和立方根的方法是解题的关键． （1）设出正方形卡片的边长，根据正方形面积计算公式建立方程求解即可； （2）设裁出的长方形的长为，宽为，根据长方形面积计算公式建立方程求出长和宽，再比较长方形长和宽与正方形边长的大小即可得到结论； （3）根据正方体体积公式计算出棱长，进而求出其表面积即可． 【详解】（1）解：设正方形卡纸的边长为． 根据题意，得，     解得或（舍去）．     答：正方形卡纸的边长为． （2）解：裁出的长方形的面积不能为，理由如下： 设裁出的长方形的长为，宽为． 根据题意，得，       解得或（舍去）， ∵， ∴裁出的长方形的面积不能为； （3）解：∵正方体的体积为， ∴该正方体的棱长为， ∴该正方体的表面积为． 【题型6.算术平方根和立方根的综合应用】 31．的绝对值是 ；的立方根是 ；的算术平方根是 ； 【答案】 【分析】此题主要考查了实数的相关性质，灵活准确的利用绝对值，立方根、算术平方根是关键．根据算术平方根、立方根、绝对值的概念进行求解． 【详解】解：的绝对值是； 的立方根是； ， 的算术平方根是， 故答案为：，，． 32．已知的算术平方根是2，的立方根是0，则的平方根为（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根以及立方根的性质．根据算术平方根以及立方根的性质，先求出a和b的值，再计算的值，最后求其平方根，即可． 【详解】解：∵的算术方根是2，的立方根是0， ∴，， ∴， ∴的平方根为0． 故选：B 33．一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根与立方根，熟练掌握算术平方根与立方根的性质是解题关键．先根据算术平方根求出，再根据立方根的性质即可得． 【详解】解：∵一个自然数的算术平方根为， ∴， ∴， ∴的立方根是， 故选：C． 34．已知的立方根是3，的算术平方根是6，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根以及算术平方根的计算，比较简单，注意运算时解方程要进行验算，确保计算的正确；区分算术平方根与平方根，一个正数的平方根有两个，但是算术平方根只有一个，并且是正的． 根据平方根的概念，可推出和的值，然后得到关于a和b的二元一次方程组，可解出a和b的值，再代入中得出的值即可得出答案． 【详解】解：∵的立方根是3， ∴， ∴， ∵的算术平方根是6， ∴， 解得：； ∴， ∴的平方根为； 故答案为． 解答题 35．已知是的算术平方根，是的立方根． (1)求a，b的值． (2)化简:  ． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和立方根，代数求值，解题的关键是掌握算术平方根和立方根的定义． （1）根据算术平方根和立方根的定义，列出方程求出的值，再求a，b的值即可； （2）将a，b的值代入式子求值即可． 【详解】（1）解：根据是的算术平方根得，， 解得， ∴； 根据是的立方根得，， 解得， ∴； （2）解：将代入得， ． 【题型7.与立方根有关的规律探索】 36．如果，那么约等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查立方根的性质，一个数的小数点向左（或向右）每移动3位，其立方根也相应向左（或向右）移动1位．据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 37．观察下表规律． a 8 8000 8000000 2 20 200 利用规律解答，若，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了立方根，解题的关键是根据图表找到规律，即如果一个数扩大1000倍，它的立方根扩大10倍，如果一个数缩小1000倍，它的立方根缩小10倍． 根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可． 【详解】解：根据图表中的规律得， ， 故答案为：． 38．下表是部分正数x的平方和立方． x 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 65.61 67.24 68.89 70.56 72.25 531.441 551.368 571.787 592.704 614.125 根据上表的数据，可得： ； ； ． 【答案】 8.3 8.2 85.85 【分析】本题主要考查平方根和立方根，根据表格中的数据找出开平方和开立方规律解答即可． 【详解】解：根据表格中的数据可得： ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵ ∴ ∴ ∴． 故答案为：8.3；8.2；85.85 39．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了立方根、算术平方根、平方根，根据立方根、算术平方根、平方根的概念与性质逐项分析即可得解． 【详解】解：A、，故原选项正确，符合题意； B、，故原选项错误，不符合题意； C、，故原选项错误，不符合题意； D、，故原选项错误，不符合题意； 故选：A． 解答题 40．我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求54872的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是王老师的探究过程，请补充完整： (1)口算并填空：个位数字为______． (2)求． ①由，，可以确定是______位数； ②由54872的个位上的数是2，可以确定的个位上的数是______； ③如果划去54872后面的三位872得到数54，而，，可以确定的十位上的数是______，由此求得______． (3)已知17576是整数的立方，请用类似的方法求出的值．［过程可按题中的步骤写］ 【答案】(1)5 (2)①两；②8；③， (3) 【分析】本题考查求一个数的立方根，根据已知内容进行类比探究是解答问题的关键． （）根据的个位数字即可判断； （）根据题干提供的思路和方法，进行推理验证得出答案； （）根据（）的方法、步骤，类推出相应的结果即可． 【详解】（1）解：∵，个位数字为， ∴个位数字为， 故答案为：； （2）解：①∵，， ∴， ∴可以确定是两位数， 故答案为：两； ②由的个位上的数是，，个位数字为， ∴的个位上的数是， 故答案为：； ③∵，，， ∴， ∴可以确定的十位上的数是， ∴ 故答案为：． （3）解：，， 的个位上的数是6，只有个位数字是6的数的立方的个位数字是6， 的个位数字是6． 如果划去17576后面的三位576得到数17，而，，， ， ，即的十位数字是2． ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $