专题03 圆中的重要模型之圆中的翻折模型（几何模型讲义）数学沪科版九年级下册

专题03 圆中的重要模型之圆中的翻折模型 圆中的翻折模型是将一个圆形的纸片沿着一条直线翻折，使得纸片的边缘与直线重合，从而形成新的圆形或圆环。翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分。这种模型可以用于创建各种不同的图形和图案，是一种非常有趣的几何模型。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 2 模型拓展 4 模型运用 4 模型1.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰） 2 19 阿拉伯学者系统证明圆弧翻折后，‌折痕必垂直平分对应弦‌（即垂径定理），确立了“翻折→对称→垂直关系”的逻辑链。‌中国宋代数学学者基于弦长与圆心角关系，明确“等弧翻折得等弦”的性质，强化对称构图思想。法国数学家布里昂雄发现翻折的‌对偶性质‌：圆内折痕两侧的弧、角、弦存在对称等价关系，奠定现代模型核心原理。近代形成 ‌“弧翻折必出等腰”的定性定理‌：圆内以弦为对称轴翻折圆弧，所得两弦相等（即生成等腰三角形），成为模型的核心判定条件。 圆中的翻折模型作为几何学中处理圆内对称问题的核心工具，其历史演进脉络融合了东西方数学思想。 （2025·江苏无锡·一模）如图，为的直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接，点与圆心不重合，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接，∵是直径，∴， ∵，∴， 根据翻折可得，，，∴， ∴．故选：C． （24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知是的直径，点C为圆上一点．将沿弦翻折，交于D，把沿直径翻折，交于点E，作，若点E恰好是翻折后的的中点，则的值为 ． 【答案】/ 【详解】解：∵、、所在的圆是等圆，、、所对的圆周角都是，∴， ∵点E恰好是翻折后的的中点，∴，∴， 又∵，∴，∴， 如图所示，连接，在上截取，连接，∴， ∵的度数为，∴∴， ∵，∴都是等腰直角三角形，∴， 设，则，∴， ∴，故答案为：． 模型1）条件：如图，以圆O的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与弦AB交于点D，结论：CD=CA 1）证明：如图，设折叠后的所在的圆心是G，连接AC，CD. 由题意得（折叠）：，即：，∴∠CAB=∠DCB+∠CBD， ∵∠CDA=∠DCB+∠CBD，∴∠CAB=∠CDA，∴CD=CA。 模型2）条件：特别地，弧BC折叠后过圆心，结论：CD=CA，∠CAB=60° 2）证明：如图，连接AC，CD，CO；由1）中证明知：CO=CA， ∵OA=OC，∴CO=CA=OA，∴△OAC为等边三角形，∴∠CAB=60°。 1、翻折变换的性质：翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分； 2、圆的性质：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧、弦相等；同弧或等弧所对的圆周角相等； 3、等圆相交：如图，圆O和圆G为两个相等的圆，圆O和圆G相交，相交形成的弦为AB，则弦AB为整个图形的对称轴，圆心O和圆心G关于AB对称，弧ACB和弧ADB为等弧，且关于AB对称； 4、弧翻折（即等圆相交）：如图，以弦BC为对称轴，将弧BC翻折后交弦AB于点D，那么弧CDB所在的圆圆G与圆O是相等的圆，且两个圆关于BC对称，故圆心O、G也关于BC对称。 例1（2025·陕西西安·二模）如图，为的直径，为圆上一点，为劣弧上一点，将劣弧沿弦所在的直线翻折，翻折后点恰好与圆心重合，则的大小等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了翻折的性质，圆周角定理，等边三角形的判定及性质，连接，，由等边三角形的判定方法得为等边三角形，结合圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接，， ， ， 由翻折得：， ， 为等边三角形， ， ∴， ∴， ， 故选：C． 例2（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）方方同学将图①中圆形纸片沿直径向上对折得到图②，再沿弦向下翻折得到图③，最后沿弦向上翻折得到图④．若点恰为弧的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据折叠和圆的相关知识得出，再利用圆周角知识进而得到，在等腰中，由勾股定理得到，由垂径定理及中垂线判定与性质可得，数形结合求值即可得到答案． 【详解】解：设圆的半径为，连接，，，，，，，，如图所示： 由题中折叠性质可知， ， ， ， ， ， 在等腰中，，则由勾股定理可得， ， 如图④所示： ， ． 故选：． 【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，垂直平分线判定与性质，翻折变换（折叠问题），掌握圆的相关知识是解题的关键． 例3（2024九年级上·全国·专题练习）如图，为的一条弦，为上一点，，将劣弧沿弦翻折，翻折后的交于点，若为翻折后的中点，则的度数为 ．    【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的外角性质，三角形内角和定理，连接，，，，设，通过圆周角定理和三角形的外角性质用表示出，，利用三角形内角和定理，构建方程即可求解，解题的关键是理解题意，学会利用参数，构建方程解决问题． 【详解】解：连接，，，，设，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为翻折后的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 例4（24-25九年级上·江苏宿迁·月考）如图，是一条弦，将劣弧沿弦翻折，连结并延长交翻折后的弧于点，连接．若，，则的长为 ． 【答案】7 【分析】延长交于点D，过点B作于点H，连接，先根据“在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等”，得到，即，然后根据直径所对的圆周角是直角，得到，利用勾股定理求出的长，进一步求出和的长，再根据等腰三角形三线合一性质，得到，由此即得答案． 【详解】解：延长交于点D，过点B作于点H，连接， 和是圆周角所对的弧， ， ， 是直径， ， ， ， ， ， ，， ， ． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了圆弧的翻折，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握相关定理及性质是解答本题的关键． 例5（24-25九年级上·江苏盐城·月考）如图1，扇形中，，，点P在半径上，连接．    (1)把沿翻折，点O的对称点为点Q． ① 当点Q刚好落在弧上，求弧的长； ② 如图2，点Q落在扇形外，与弧交于点C，过点Q作，垂足为 H，、求的长； (2)如图3，记扇形在直线上方的部分为图形W，把图形W沿着翻折，点B的对称点为点E，弧与交于点F，若，求的长． 【答案】(1)①AQ弧长为；② (2) 【分析】（1）①连接，根据折叠的性质可得是等边三角形，可得，再根据弧长公式即可求解； ②过点O作，垂足为点G，则，根据可得，由此即可求解； （2）将沿着翻折得△AQP，过点Q作，垂足为点H，过点P作，垂足为点D，则四边形是矩形，中，可求出，在中，再根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）连接，由翻折得    ∵， ∴为等边三角形 ∴ ∴弧长为： ②过O作    ∴ ∵翻折 ∴ 在与中 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ （2）如图所示，将沿着翻折得 过点Q作，垂足为点H，过点P作，垂足为点D    ∵ ∴四边形是矩形 由折叠和 (1) 可知， ∵， ∴ ∴， 中， ∴的长为． 【点睛】本题考查圆的几何图形的综合，掌握折叠的性质，圆的基础知识，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 1．（2024·河北唐山·二模）如图，的直径，是上一点，将沿直线翻折，若翻折后的圆弧恰好经过点，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接OC，BC，可证得， ，，再过点O作于点D，可求得OD、AD，最后根据，即可求得． 【详解】解：连接OC，BC， ， ， ， ， ，， ， 过点O作于点D， ，， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，勾股定理，垂径定理，扇形的面积公式，作出辅助线是解决本题的关键． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，将⊙O上的沿弦BC翻折交半径OA于点D，再将沿BD翻折交BC于点E，连接DE． 若AD＝2OD，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，连接AC，CD，OC，过点C作CH⊥AB于H．设OA＝3a，则AB＝6a．首先证明AC＝CD＝DE，求出AC（用a表示），即可解决问题． 【详解】解：如图，连接AC，CD，OC，过点C作CH⊥AB于H．设OA＝3a，则AB＝6a． ∵在同圆或等圆中，∠ABC所对的弧有，，， ∴AC＝CD＝DE， ∵CH⊥AD， ∴AH＝DH， ∵AD＝2OD， ∴AH＝DH＝OD＝a， 在Rt△OCH中，CH＝， 在Rt△ACH中，AC＝， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查圆周角定理，翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题． 3．（24-25九年级上·云南昆明·期末）某校科技实践社团制作实践设备，小明的操作过程如下：①小明取出老师提供的圆形细铁环，先通过在圆一章中学到的知识找到圆心O，再任意找出圆O的一条直径标记为AB（如图1），测量出AB＝4分米；②将圆环进行翻折使点B落在圆心O的位置，翻折部分的圆环和未翻折的圆环产生交点分别标记为C、D（如图2）；③用一细橡胶棒连接C、D两点（如图3）；④计算出橡胶棒CD的长度．    小明计算橡胶棒CD的长度为（　　） A．2分米 B．2分米 C．3分米 D．3分米 【答案】B 【分析】连接OC，作OE⊥CD，根据垂径定理和勾股定理求解即可． 【详解】解：连接OC，作OE⊥CD，如图3，    ∵AB＝4分米， ∴OC＝2分米， ∵将圆环进行翻折使点B落在圆心O的位置， ∴分米， 在Rt△OCE中，CE＝分米， ∴分米； 故选：B． 【点睛】此题综合运用了勾股定理以及垂径定理．注意构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行有关的计算． 4．（24-25九年级下·浙江温州·期末）如图，将⊙O上的沿弦BC翻折交半径OA于点D，再将沿BD翻折交BC于点E，连结DE．若AB＝10，OD＝1，则线段DE的长为（　　） A．5 B．2 C．2 D．+1 【答案】B 【分析】连接CA、CD、OC，作CF⊥OA于F，则AD＝4，先利用折叠的性质和圆周角定理得到 ，再利用弧、弦、圆心角的关系得到AC＝CD＝DE，则AF＝DF＝2，然后利用勾股定理计算出CF，接着再计算出CD即可． 【详解】解：连接CA、CD、OC，作CF⊥OA于F，如图， ∵⊙O上的沿弦BC翻折交半径OA于点D，再将沿BD翻折交BC于点E， ∴为等圆中的弧， ∵它们所对的圆周角为∠ABC， ∴， ∴AC＝CD＝DE， ∴AF＝DF＝2， 在Rt△OCF中，CF＝＝4， 在Rt△CDF中，CD＝＝ ， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查折叠的性质，圆周角定理及弧，弦，圆心角之间的关系，掌握圆周角定理及弧，弦，圆心角之间的关系是解题的关键． 5．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，是的直径，且，是上一点，将弧沿直线翻折，若翻折后的圆弧恰好经过点，取，，，那么由线段、和弧所围成的曲边三角形的面积与下列四个数值最接近的是（    ） A．3.2 B．3.6 C．3.8 D．4.2 【答案】C 【分析】作OE⊥AC交⊙O于F，交AC于E，连接CO，根据折叠的性质得到OE＝OF，根据直角三角形的性质求出∠CAB，再得到∠COB，再分别求出S△ACO与S扇形BCO即可求解.． 【详解】作OE⊥AC交⊙O于F，交AC于E， 由折叠的性质可知，EF＝OE＝OF， ∴OE＝OA， 在Rt△AOE中，OE＝OA， ∴∠CAB＝30°， 连接CO，故∠BOC=60° ∵ ∴r=2，OE=1,AC=2AE=2×=2 ∴线段、和弧所围成的曲边三角形的面积为S△ACO+S扇形BCO===≈3.8 故选C. 【点睛】本题考查的是翻折变换的性质、圆周角定理，扇形的面积求解，解题的关键是熟知折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 6．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，是的直径，点A在上，将沿翻折交于点，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形， 设点的对称点为点，连接，进而得到，直径得到，进而求出的度数，再根据圆内接四边形的内对角互补，求出的度数即可． 【详解】解：设点的对称点为点，连接，则：， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∴； 故选C． 7．（2025·江苏无锡·一模）如图，为的直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接，点与圆心不重合，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是翻折变换，圆周角定理，连接，根据直径所对的圆周角是直角求出，根据直角三角形两锐角互余求出，再根据翻折可得，再根据计算即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， 根据翻折可得，，， ∴， ∴． 故选：C． 8．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，为的直径，点为圆上一点，，若将劣弧沿弦翻折交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理以及折叠问题的知识，根据同弦所对的两个圆周角互补求解是解题的关键，此题难度不大．连接，根据直径所对的圆周角是直角求出和，根据翻折的性质，可知所对的圆周角为，所对的圆周角为，再根据，可得，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， 根据翻折的性质，所对的圆周角为，所对的圆周角为， ∴， ∵， ， ． 故选：A． 9．（24-25九年级上·湖北武汉·月考）如图，将弧沿弦翻折过圆心点，交弦于，，，则的长为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】过点作于，过点作于，连接、、、，求出为等边三角形，求出和的长，求出，再根据勾股定理求出即可． 【详解】过点作于，过点作于，连接、、、， ， ， ，， ， ， 为等边三角形， ， ，， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理、等边三角形的性质和判定，圆周角定理和垂径定理，能构造直角三角形是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分这条弦． 10．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在⊙中，点C为的中点，将弦下方的部分沿弦翻折，使点C与圆心O重合．点D为优弧上一点连接．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了圆周角定理、折叠的性质、等边三角形的性质与判定、解直角三角形等知识，熟练运用圆周角定理、折叠的性质、等边三角形的性质与判定并作出合理的辅助线构建三角形是解题的关键．连接，交于点N，过点B作，先证明是等边三角形，再求得及的长即可． 【详解】如图，连接，交于点N，过点B作， 将弦下方的部分沿弦翻折，使点C与圆心O重合． ，垂直平分， ， ， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， 故选：A 11．（2025九年级下·陕西·学业考试）如图，已知内接于，将沿弦翻折后恰好经过弦的中点，则弦的长为 ，的半径为 ． 【答案】 【分析】连接，设点D关于的对称点为点E，连接，，得到，，得到，，得到，根据，得到，推出，得到，推出，根据，，得到；连接，过点A作，得到，得到过圆心O，，设圆的半径为R，得到， ，根据，得到，得到． 【详解】如图，连结，延长交于点，过点作于点． ， 是的中点，， ， ， ， ， ， ， ． ，， 垂直平分， ，， ． 设．在中，， 即， 解得． 【点睛】本题考查了圆弧折叠，圆周角定理，等腰三角形，全等三角形，相似三角形，勾股定理，熟练掌握折叠图形的全等性，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，是解决此类问题的关键． 12．（24-25九年级上·广西梧州·期末）如图，是的直径，半径的长为1，点在线段上运动，过点的弦，将沿翻折交直线于点，当的长为正整数时，线段的长为 ． 【答案】或或2 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，根据，可得或2，利用勾股定理进行解答即可，进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：为直径，为弦， ， 当的长为正整数时，或2， 当时，即为直径， 将沿翻折交直线于点F，此时与点重合， 故； 当时，且在点在线段之间， 如图，连接， 此时， ， ， ， ， ； 当时，且点在线段之间，连接， 同理可得， ， 综上，可得线段的长为或或2， 故答案为：或或2． 13．（2025·重庆·三模）如图，是的直径，点是上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，点为弧的中点，若，，则的半径为 ；的面积为 ． 【答案】 5 15 【分析】根据，得出，过点作，根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理结合，求出，根据圆周角定理得出，即可得，，从而得，求出，即可得；连接交于点，根据点为弧的中点，得出，得出，即可得，求出，，根据即可求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， 过点作， 则， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； 连接交于点， ∵点为弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：5；15． 【点睛】该题考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是正确做出辅助线，掌握以上知识点． 14．（24-25九年级上·山东济宁·期末）如图，是半圆上一点，是直径，将弓形沿翻折交于点，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，相等弧对的圆周角相等，勾股定理；连接，过点C作于点E；由折叠性质及相等弧对的圆周角相等可得，则E为中点且，设，由勾股定理建立方程即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点C作于点E； 由折叠性质得， ∴； ∵， ∴， ∴； 设， 一方面，，， 另一方面，在中，， ∴， 解得：； 故答案为：． 15．（2025·广东深圳·三模）如图，为的直径，点为圆上一点，，将劣弧沿弦所在的直线翻折，交点，则的度数等于 ． 【答案】 【分析】本题考查翻折的性质，圆周角定理以及等腰三角形的性质，掌握轴对称的性质，圆周角定理以及等腰三角形的性质是正确解答的关键． 根据对称轴的性质，圆周角定理以及等腰三角形的性质进行计算即可． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，则点在上，连接，，． 由翻折的性质可知，，，， ∵， ∴， ， ， 是的直径， ， 又， ， 故答案为：． 16．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，在中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点D，连接．如果，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，圆的基本性质，如图，过作于，连接、，设折叠前后点D的对应点为，先证明，进而证明，得到，由三线合一求出，再求出的长，进而求出，进一步求出的长，即可利用勾股定理求出答案． 【详解】解：如图，过作于，连接、，设折叠前后点D的对应点为， 由折叠的性质可得， ∵，     ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，且为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 17．（2024·浙江绍兴·模拟预测）在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接．若，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了解直角三角形，翻折的变换的性质，弧长公式．作辅助线，构建和，利用勾股定理求得的半径和，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，过作于，连接、， 由题意得， ∵， ∴， ∴， ∴， 设的半径为x，则，， 由勾股定理得， 即， 整理得， 解得（舍去）， 在中，，， ∴， ∴， ∴的长为， 故答案为：． 18．（2024·江苏徐州·一模）如图，是的直径，点在圆上．将沿翻折与交于点．若的度数为，则 （弧长）． 【答案】 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质、圆周角定理、弧长公式等知识点，作D关于的对称点E，连接，则，然后再根据的度数为知，然后再根据圆周角定理、邻补角性质可得，最后运用弧长公式即可解答． 【详解】解：如图，作D关于的对称点E，连接， 则， ∵ 的度数为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长度为， ∴ 的长度为． 故答案为：． 19．（24-25九年级上·江苏南京·月考）如图，为直径，点C为圆上一点，将沿弦翻折交于点D，连结．若，则 ．    【答案】 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角求出，再根据翻折的性质得到所对的圆周角，然后根据，计算即可得解． 【详解】解：如图，连接，    是直径， ， ， ． 根据翻折的性质，所对的圆周角为，所对的圆周角为， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是翻折变换，圆周角定理，三角形的外角定理，难度适中．根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 20．（2025·河北·模拟预测）如图1，扇形AOB中，，，点在半径上，连接．把沿翻折，点的对称点为点． (1)当点Q刚好落在弧上，求弧的长； (2)如图2，点Q落在扇形外，与弧交于点C，过点Q作，垂足为点H，，求的长，猜想并直接写出三者之间的数量关系． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）如图所示，连接，根据折叠的性质可得是等边三角形，可得，再根据弧长公式即可求解； （2）如图所示，过点作，垂足为点，则，根据题意可得，由此即可求解: 【详解】（1）解：扇形中，，， 点P在半径上，连接，如图． 把沿翻折，点的对称点为点， ， ， ， 是等边三角形， ， 弧AQ的长； （2）如图，过点作，垂足为点，则． ， ． ， ， ，即． ，理由如下： ， ，，即， ， ． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查折叠的性质，圆的基础知识，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键. 21．（24-25九年级上·浙江绍兴·月考）中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿翻折交于点D，连接． (1)如图1，若点D与圆心O重合，，则的半径______，弧的长=______． (2)如图2，若点D与圆心O不重合，， ______． (3)如图3，若点D与圆心O不重合，，求的长． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】本题主要考查了圆的综合应用、折叠的性质、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． （1）如图1：过点O作于E，由垂径定理可得到的长，由折叠的性质可得，根据勾股定理计算即可求得半径r，然后运用三角函数求得，再运用弧长公式求解即可； （2）如图2：连接，根据翻折的性质弧所对的圆周角为，弧所对的圆周角为，在根据角的和差求解即可； （3）如图3：过C作于G，连接、，可求得半径的长度，根据计算得，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图1，过点O作于E，则， ∵翻折后点D与圆心O重合， ∴， 在中，，即，解得； ∴，即， ∵， ∴， ∴弧的长为． （2）解：如图2，连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， 根据翻折的性质，弧所对的圆周角为，弧所对的圆周角为， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图3：过C作于G，连接、， ∵， ∴的半径为， 由（2）知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 在中，， 在中，． 22．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，已知的半径为2，为直径，为弦．与交于点M，将沿翻折后，点A与圆心O重合，延长至P，使，连接 （1）求的长； （2）求证：是的切线； （3）点G为的中点，在延长线上有一动点Q，连接交于点E．交于点F（F与B、C不重合）．问是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由． 【拓展】（4）在（3）的条件下，当时，求的值 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3），理由见解析．（4） 【分析】（1 ）连接，根据翻折的性质求出，，再利用勾股定理列式求解即可； （2 ）利用勾股定理列式求出，然后利用勾股定理逆定理求出，再根据圆的切线的定义证明即可； （3 ）连接、、，根据等弧所对的圆周角相等可得，然后根据两组角对应相等两三角相似求出和相似，根据相似三角形对应边成比例可得，从而得到，再根据等腰直角三角形的性质求解即可． （4）连接，，，，，证明，得出，再求出，的长即可得解． 【详解】（）连接， ∵沿翻折后，与重合， ∴，， ∵， ∴． （）∵，，， ∵，， ∴， ∵，， ∵， ∴， 又∵是半径， ∴是的切线． （）为定值， 连接，，， ∵点为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵为直径，， ∴， ∴， ∴． （4 ）如图，连接，，，，， ， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定鱼性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、圆周角定理、勾股定理逆定理、折叠的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 23．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）在中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点D，连接．    (1)如图1，若点D与圆心O重合，，求的半径； (2)如图2，若点D与圆心O不重合，，请求出的度数； (3)如图2，如果，，那么的长为____________．（直接写出答案） 【答案】(1) (2)∠ACD=38° (3) 【分析】（1）设D在原来弧上的对应点为，连接、，根据折叠的地性质得出，，在根据垂径定理得出，设， 根据勾股定理得出，列出方程求解即可； （2）设D在原来弧上的对应点为，连接，易得，则，根据圆内接四边形的性质得出，再根据折叠的性质得出，最后根据三角形内角和即可求解； （3）过点C作于点H，易得，则，，通过证明，得出，则，，先根据勾股定理得出，再根据勾股定理得出，即可求解． 【详解】（1）解：设D在原来弧上的对应点为，连接、， ∵点D和点关于对称， ∴，， ∵点D与圆心O重合， ∴， 设， 在中，， 即， 解得：（舍去）， ∴求出半径为．    （2）解：设D在原来弧上的对应点为，连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵由沿折叠得到， ∴， ∴．    （3）解：过点C作于点H， ∵，， ∴，则， ∴， ∵，， ∴，则， ∵， ∴， ∴，， 在中，根据勾股定理可得：， 在中，根据勾股定理可得：， 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握相关知识点，正确作出辅助线，构造直角三角形，掌握折叠前后对应角相等，圆内接四边形对角互补． 24．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图1，扇形中，，，点C在半径上，连接．把沿翻折，点O的对称点为点D．    (1)当点D刚好落在弧上，求弧的长； (2)如图2，点D落在扇形内，的延长线与弧交于点E，过点D作，垂足为F，，求的长； (3)若点D落在扇形外，与弧交于点E，过点D作，垂足为F，试探究与之间的数量关系．请直接写出你的结论为：______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了折叠的性质，垂径定理，三角形全等的判定和性质．熟练掌握相关知识点，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． （1）连接，通过证明为等边三角形，得出，进而得出，根据弧长公式即可求解； （2）过点O作于点G，通过证明，得出，再根据垂径定理即可求解； （3）根据题意补全图形，过点O作于点H，通过证明，得出，再根据垂径定理即可得出． 【详解】（1）解：连接， ∵沿翻折得到， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴．    （2）解：过点O作于点G， ∵沿翻折得到， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴．    （3）解：如图：过点O作于点H， ∵沿翻折得到， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：．    25．（24-25九年级上·浙江·月考）在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连结． (1)如图1，如图，若点与圆心重合，，求的半径； (2)如图2，若点与圆心不重合，，请求出的度数 (3)如图2，如果，那么的长为 ．(直接写出答案) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作于，可得到AE的长，根据勾股定理计算即可； （2）连接，根据翻折的性质，弧所对的圆周角为，弧所对的圆周角为，在根据角度求解即可； （3）过作于，连接、，可求得半径的长度，根据计算得，根据勾股定理计算即可； 【详解】（1）如图1，过点作于， 则, ∵翻折后点与圆心重合， ∴， 在中，， 即， 解得； （2）如图2，连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， 根据翻折的性质，弧所对的圆周角为，弧所对的圆周角为， ∴， ∴， ∴． （3）如图3，过作于，连接、， ∵ ∴的半径为4， 由（2）知：， ∵， ∴， ∴， ∴， 中，， 中，， 则的长为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆的综合应用，折叠的性质，垂径定理，结合勾股定理计算是解题的关键． 26．（2025·广东惠州·二模）综合探究： (1)如图1，等圆与相交于点与点，连接，证明四边形为菱形． (2)如图2，已知的直径为10，以线段为折痕进行折叠，使得与直径相切于点，若折叠后与点重合，求此时的长度． (3)如图3，在题（2）中，改变与直径相切的切点的位置．若折叠后切点与圆心的长度，求折痕的长度． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】（1）根据圆的性质得，，结合等圆得，即可证明菱形； （2）连接、，过点O作，则，结合重叠得，即可求得，，利用弧长公式即可求得； （3）设折叠后的圆弧所对的圆心为，连接，，，与交于点M，由（1）知与互相垂直平分得和，进一步求得，由（1）知以点为圆心的圆半径也是5，利用勾股定理求得和，利用即可． 【详解】（1）证明：∵与相交与点与点， ∴，， ∵等圆与， ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：连接、，过点O作，如图， ∵的直径为10， ∴， ∵直径相切于点，若折叠后与点重合， ∴， 则， ∴，， 则的长度； （3）解：设折叠后的圆弧所对的圆心为，连接，，，与交于点M，如图所示： 由（1）知与互相垂直平分， ∴，， ∵， ∴， 由（1）知以点为圆心的圆半径也是5， ∴， ∵，改变与直径相切的切点的位置， ∴， ∴， ∴， ∴， 即折痕的长为． 【点睛】本题考查了翻折的性质、圆的性质、相交圆的性质、菱形的判定、解直角三角形、弧长公式、勾股定理的运用和垂直平分线性质的运用，根据相交圆的性质求解是解题的关键． 27．（24-25九年级上·福建福州·期中）如图①，一张半径为10cm的圆形纸片，点О为圆心，将该圆形纸片沿直线l折叠，直线l交于A，B两点． (1)如图②，若折叠后的圆弧恰好经过点O，求此时线段的长度； (2)如图③，已知P是内一点，，若折叠后的圆弧与直线相切于点P，请用无刻度的直尺与圆规在图③中画出一条折痕，并直接写出线段的长度． 【答案】(1) (2)画图见解析， 【分析】（1）连接，过点O作交劣弧与点P，交与点H，直线l垂直平分．，在中即可求解； （2）如图，连接并延长，交与点E，过点P作的垂线，在垂线上截取，以点为圆心，长为半径画弧，分别交于A，B两点，连接，即为所求，再利用垂径定理，勾股定理进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，连接，过点O作交劣弧与点P，交与点H，    ∵点P与点O关于直线l对称，半径为， ∴直线l垂直平分．， ． 在中， ， ． 在中， ， ． （2）如图，连接并延长，交与点E，过点P作的垂线，在垂线上截取，以点为圆心，长为半径画弧，分别交于A，B两点，连接，即为所求， 连接，交与点D，交于，交于， ∴，，，， ∴垂直平分，， ， 在中，， ， 在中，，， ， ； 【点睛】本题考查圆的翻折，垂径定理，圆的切线，勾股定理的应用；线段的垂直平分线的性质，熟练用垂径定理，轴对称的性质进行作图是解本题的关键． 28．（2025·山东枣庄·一模）在《折叠圆形纸片》综合实践课上，小东同学展示了如下的操作及问题： (1)如图1，的半径为4cm，通过折叠圆形纸片，使得劣弧AB沿弦AB折叠后恰好过圆心，求AB长； (2)如图2，弦AB，垂足为点C，劣弧AB沿弦AB折叠后经过的中点D，，求的半径． 【答案】(1)cm (2)cm 【分析】（1）如图1，作交于，交于，连接，由题意知，，，在中，由勾股定理得求出的值，进而可求的值； （2）如图2，延长交于，连接，设半径为，由题意知，由折叠和中点的性质可知，在中，由勾股定理得，即，求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：如图1，作交于，交于，连接 由题意知，， 在中，由勾股定理得 ∴ ∴的长为． （2）解：如图2，延长交于，连接，设半径为 由题意知，由折叠和中点的性质可知， 在中，由勾股定理得，即 解得：，（不合题意，舍去） ∴半径的长为． 【点睛】本题考查了垂径定理，折叠的性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 29．（2025·山东潍坊·二模）小颖在数学实践课上进行折纸操作，将圆形纸片连续对折两次后展开，将直径四等分，其四等分点分别记为，，，如图1所示．（虚线为折痕） (1)如图2，若折叠后点恰好与点重合，折痕为，顺次连接，，，，得到四边形．请判断四边形的形状并证明； (2)如图3，若折叠后点恰好与点重合，折痕仍记为，连接．请判断直线与所在圆的位置关系，并简述理由． 【答案】(1)四边形为菱形，理由见解析 (2)与所在圆的位置关系是相交，理由见解6790 【分析】本题考查了折叠的性质，菱形的判定和性质，圆与直线的位置关系，熟练掌握菱形的判定和性质，圆与直线的位置关系判定是解题的关键． （1）由折叠得出垂直平分，则，，，根据垂径定理得出，根据弧、弦的关系得出，根据菱形的判定定理即可判断四边形的形状； （2）由折叠可知，所在圆的圆心为点，连接，，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据切线的判定得出与相切，结合可判断与所在圆的位置关系是相交． 【详解】（1）解：四边形为菱形，证明如下： ∵折叠， ∴垂直平分， ∴，，， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：与所在圆的位置关系是相交． 理由如下： 由折叠可知，所在圆的圆心为点， 连接，， ∵是直径， ∴， ∴与相切， ∵， ∴与所在圆的位置关系是相交． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆中的重要模型之圆中的翻折模型 圆中的翻折模型是将一个圆形的纸片沿着一条直线翻折，使得纸片的边缘与直线重合，从而形成新的圆形或圆环。翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分。这种模型可以用于创建各种不同的图形和图案，是一种非常有趣的几何模型。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 2 模型拓展 4 模型运用 4 模型1.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰） 2 19 阿拉伯学者系统证明圆弧翻折后，‌折痕必垂直平分对应弦‌（即垂径定理），确立了“翻折→对称→垂直关系”的逻辑链。‌中国宋代数学学者基于弦长与圆心角关系，明确“等弧翻折得等弦”的性质，强化对称构图思想。法国数学家布里昂雄发现翻折的‌对偶性质‌：圆内折痕两侧的弧、角、弦存在对称等价关系，奠定现代模型核心原理。近代形成 ‌“弧翻折必出等腰”的定性定理‌：圆内以弦为对称轴翻折圆弧，所得两弦相等（即生成等腰三角形），成为模型的核心判定条件。 圆中的翻折模型作为几何学中处理圆内对称问题的核心工具，其历史演进脉络融合了东西方数学思想。 （2025·江苏无锡·一模）如图，为的直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接，点与圆心不重合，，则的度数为（    ） A． B． C． D． （24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知是的直径，点C为圆上一点．将沿弦翻折，交于D，把沿直径翻折，交于点E，作，若点E恰好是翻折后的的中点，则的值为 ． 模型1）条件：如图，以圆O的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与弦AB交于点D，结论：CD=CA 1）证明：如图，设折叠后的所在的圆心是G，连接AC，CD. 由题意得（折叠）：，即：，∴∠CAB=∠DCB+∠CBD， ∵∠CDA=∠DCB+∠CBD，∴∠CAB=∠CDA，∴CD=CA。 模型2）条件：特别地，弧BC折叠后过圆心，结论：CD=CA，∠CAB=60° 2）证明：如图，连接AC，CD，CO；由1）中证明知：CO=CA， ∵OA=OC，∴CO=CA=OA，∴△OAC为等边三角形，∴∠CAB=60°。 1、翻折变换的性质：翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分； 2、圆的性质：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧、弦相等；同弧或等弧所对的圆周角相等； 3、等圆相交：如图，圆O和圆G为两个相等的圆，圆O和圆G相交，相交形成的弦为AB，则弦AB为整个图形的对称轴，圆心O和圆心G关于AB对称，弧ACB和弧ADB为等弧，且关于AB对称； 4、弧翻折（即等圆相交）：如图，以弦BC为对称轴，将弧BC翻折后交弦AB于点D，那么弧CDB所在的圆圆G与圆O是相等的圆，且两个圆关于BC对称，故圆心O、G也关于BC对称。 例1（2025·陕西西安·二模）如图，为的直径，为圆上一点，为劣弧上一点，将劣弧沿弦所在的直线翻折，翻折后点恰好与圆心重合，则的大小等于（    ） A． B． C． D． 例2（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）方方同学将图①中圆形纸片沿直径向上对折得到图②，再沿弦向下翻折得到图③，最后沿弦向上翻折得到图④．若点恰为弧的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 例3（2024九年级上·全国·专题练习）如图，为的一条弦，为上一点，，将劣弧沿弦翻折，翻折后的交于点，若为翻折后的中点，则的度数为 ．    例4（24-25九年级上·江苏宿迁·月考）如图，是一条弦，将劣弧沿弦翻折，连结并延长交翻折后的弧于点，连接．若，，则的长为 ． 例5（24-25九年级上·江苏盐城·月考）如图1，扇形中，，，点P在半径上，连接．    (1)把沿翻折，点O的对称点为点Q． ① 当点Q刚好落在弧上，求弧的长； ② 如图2，点Q落在扇形外，与弧交于点C，过点Q作，垂足为 H，、求的长； (2)如图3，记扇形在直线上方的部分为图形W，把图形W沿着翻折，点B的对称点为点E，弧与交于点F，若，求的长． 1．（2024·河北唐山·二模）如图，的直径，是上一点，将沿直线翻折，若翻折后的圆弧恰好经过点，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，将⊙O上的沿弦BC翻折交半径OA于点D，再将沿BD翻折交BC于点E，连接DE． 若AD＝2OD，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·云南昆明·期末）某校科技实践社团制作实践设备，小明的操作过程如下：①小明取出老师提供的圆形细铁环，先通过在圆一章中学到的知识找到圆心O，再任意找出圆O的一条直径标记为AB（如图1），测量出AB＝4分米；②将圆环进行翻折使点B落在圆心O的位置，翻折部分的圆环和未翻折的圆环产生交点分别标记为C、D（如图2）；③用一细橡胶棒连接C、D两点（如图3）；④计算出橡胶棒CD的长度．    小明计算橡胶棒CD的长度为（　　） A．2分米 B．2分米 C．3分米 D．3分米 4．（24-25九年级下·浙江温州·期末）如图，将⊙O上的沿弦BC翻折交半径OA于点D，再将沿BD翻折交BC于点E，连结DE．若AB＝10，OD＝1，则线段DE的长为（　　） A．5 B．2 C．2 D．+1 5．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，是的直径，且，是上一点，将弧沿直线翻折，若翻折后的圆弧恰好经过点，取，，，那么由线段、和弧所围成的曲边三角形的面积与下列四个数值最接近的是（    ） A．3.2 B．3.6 C．3.8 D．4.2 6．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，是的直径，点A在上，将沿翻折交于点，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·江苏无锡·一模）如图，为的直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接，点与圆心不重合，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，为的直径，点为圆上一点，，若将劣弧沿弦翻折交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·湖北武汉·月考）如图，将弧沿弦翻折过圆心点，交弦于，，，则的长为（    ） A． B． C． D．3 10．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在⊙中，点C为的中点，将弦下方的部分沿弦翻折，使点C与圆心O重合．点D为优弧上一点连接．若，，则（    ） A． B． C． D． 11．（2025九年级下·陕西·学业考试）如图，已知内接于，将沿弦翻折后恰好经过弦的中点，则弦的长为 ，的半径为 ． 12．（24-25九年级上·广西梧州·期末）如图，是的直径，半径的长为1，点在线段上运动，过点的弦，将沿翻折交直线于点，当的长为正整数时，线段的长为 ． 13．（2025·重庆·三模）如图，是的直径，点是上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，点为弧的中点，若，，则的半径为 ；的面积为 ． 14．（24-25九年级上·山东济宁·期末）如图，是半圆上一点，是直径，将弓形沿翻折交于点，若，，则的长为 ． 15．（2025·广东深圳·三模）如图，为的直径，点为圆上一点，，将劣弧沿弦所在的直线翻折，交点，则的度数等于 ． 16．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，在中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点D，连接．如果，，则的长为 ． 17．（2024·浙江绍兴·模拟预测）在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接．若，，则的长为 ． 18．（2024·江苏徐州·一模）如图，是的直径，点在圆上．将沿翻折与交于点．若的度数为，则 （弧长）． 19．（24-25九年级上·江苏南京·月考）如图，为直径，点C为圆上一点，将沿弦翻折交于点D，连结．若，则 ．    20．（2025·河北·模拟预测）如图1，扇形AOB中，，，点在半径上，连接．把沿翻折，点的对称点为点． (1)当点Q刚好落在弧上，求弧的长； (2)如图2，点Q落在扇形外，与弧交于点C，过点Q作，垂足为点H，，求的长，猜想并直接写出三者之间的数量关系． 21．（24-25九年级上·浙江绍兴·月考）中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿翻折交于点D，连接． (1)如图1，若点D与圆心O重合，，则的半径______，弧的长=______． (2)如图2，若点D与圆心O不重合，， ______． (3)如图3，若点D与圆心O不重合，，求的长． 22．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，已知的半径为2，为直径，为弦．与交于点M，将沿翻折后，点A与圆心O重合，延长至P，使，连接 （1）求的长； （2）求证：是的切线； （3）点G为的中点，在延长线上有一动点Q，连接交于点E．交于点F（F与B、C不重合）．问是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由． 【拓展】（4）在（3）的条件下，当时，求的值 23．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）在中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点D，连接．    (1)如图1，若点D与圆心O重合，，求的半径； (2)如图2，若点D与圆心O不重合，，请求出的度数； (3)如图2，如果，，那么的长为____________．（直接写出答案） 24．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图1，扇形中，，，点C在半径上，连接．把沿翻折，点O的对称点为点D．    (1)当点D刚好落在弧上，求弧的长； (2)如图2，点D落在扇形内，的延长线与弧交于点E，过点D作，垂足为F，，求的长； (3)若点D落在扇形外，与弧交于点E，过点D作，垂足为F，试探究与之间的数量关系．请直接写出你的结论为：______． 25．（24-25九年级上·浙江·月考）在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连结． (1)如图1，如图，若点与圆心重合，，求的半径； (2)如图2，若点与圆心不重合，，请求出的度数 (3)如图2，如果，那么的长为 ．(直接写出答案) 26．（2025·广东惠州·二模）综合探究： (1)如图1，等圆与相交于点与点，连接，证明四边形为菱形． (2)如图2，已知的直径为10，以线段为折痕进行折叠，使得与直径相切于点，若折叠后与点重合，求此时的长度． (3)如图3，在题（2）中，改变与直径相切的切点的位置．若折叠后切点与圆心的长度，求折痕的长度． 27．（24-25九年级上·福建福州·期中）如图①，一张半径为10cm的圆形纸片，点О为圆心，将该圆形纸片沿直线l折叠，直线l交于A，B两点． (1)如图②，若折叠后的圆弧恰好经过点O，求此时线段的长度； (2)如图③，已知P是内一点，，若折叠后的圆弧与直线相切于点P，请用无刻度的直尺与圆规在图③中画出一条折痕，并直接写出线段的长度． 28．（2025·山东枣庄·一模）在《折叠圆形纸片》综合实践课上，小东同学展示了如下的操作及问题： (1)如图1，的半径为4cm，通过折叠圆形纸片，使得劣弧AB沿弦AB折叠后恰好过圆心，求AB长； (2)如图2，弦AB，垂足为点C，劣弧AB沿弦AB折叠后经过的中点D，，求的半径． 29．（2025·山东潍坊·二模）小颖在数学实践课上进行折纸操作，将圆形纸片连续对折两次后展开，将直径四等分，其四等分点分别记为，，，如图1所示．（虚线为折痕） (1)如图2，若折叠后点恰好与点重合，折痕为，顺次连接，，，，得到四边形．请判断四边形的形状并证明； (2)如图3，若折叠后点恰好与点重合，折痕仍记为，连接．请判断直线与所在圆的位置关系，并简述理由． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $