专题05 圆中的六大重要模型（几何模型讲义）数学浙教版九年级下册

专题05 圆中的六大重要模型 本专题包含圆中的六大重要模型，主要有：四点共圆模型、阿基米德折弦（定理）模型、婆罗摩笈多（定理）模型、圆中的翻折模型、圆中的全等三角形模型、圆中的外接圆和内切圆模型等。通过这些综合训练希望能让大家弄清楚这些模型的适用条件，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 圆中六大模型 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、系统分组_加入顺序 1．（四川省南充市2025-2026学年上学期九年级数学期末试题）如图，与相切于，，与交于，延长与交于．若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，掌握圆与三角形的综合知识是关键． 连接，可得平分，则，可得，从而，设交于点，由可得，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵与相切于， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∴， ∴， 设交于点， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 2．（25-26九年级上·甘肃庆阳·期末）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，凯凯在读完《九章算术》卷九勾股定理篇记载的“圆材埋壁”问题后，突发灵感，设计了一个数学题．如图，为的直径，弦于点E，，，则的长是（   ）    A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是应用勾股定理列出关于的半径的方程． 连接，设的半径是r，利用垂径定理和勾股定理得到，解方程即可． 【详解】解：连接，设的半径是r，则，，    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，四边形为的内接四边形．延长与相交于点．，垂足为，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、垂径定理、圆周角定理．延长交于M，根据垂径定理得到，得到，根据圆内接四边形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：延长交于M， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 4．（2026九年级·吉林·专题练习）如图，的内切圆与分别相切于点，若的半径为，则的大小为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的内切圆与内心，圆周角定理，切线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．连接，．利用切线性质可知，则，再利用圆周角定理解决问题即可． 【详解】解：如图，连接，．   的内切圆与，，分别相切于点，，， ∴，， ∴， ， ． 故选：C． 5．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质及补角性质，由圆周角定理得，进而根据圆内接四边形的性质及补角性质可得，即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：． 6．（25-26九年级上·北京·月考）如图，、分别与相切于、两点，点在上，连接、．若，，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了切线的性质，四边形的内角和，勾股定理，等边对等角，解题的关键连接圆心与切点构造辅助线．连接、、，根据切线的性质可得，根据等边对等角结合已知易求得和的度数，根据四边形的内角和可求得，从而利用勾股定理求解半径长即可． 【详解】解：如图，连接、、， 、分别与相切于、两点， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， 设的半径为，则有， 在中，， 解得， 即的半径为． 故选：A． 7．（25-26九年级上·福建福州·月考）如图，是一张周长为的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的周长、三角形的内切圆与内心、切线长定理等知识，设与、直线分别相切于点D、E、F、H，由的周长为，，求得，由，，求得，由，，得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设与、直线分别相切于点D、E、F、H， ∵的周长为，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴剪下的三角形的周长为， 故选：C． 8．（25-26九年级上·江苏常州·月考）如图，一块直角三角板的斜边与量角器的直径重合，点对应的刻度值为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握并灵活运用圆周角定理是解题的关键． 根据题意，点、、、在同一圆上，设圆心为点，根据圆周角定理求出的度数，从而求出的度数即可． 【详解】解：直角三角板的斜边与量角器的直径重合，且， 点、、、在同一圆上，如图所示： 设圆心为点， ， ， ． 故选：B． 9．（2025·四川绵阳·一模）如图，是的切线，是切点，分别交线段于两点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了切线长定理，全等三角形的性质和判定，四边形内角和定理， 连接根据切线的性质和切线长定理得，再根据“边角边”证明，可得，然后根据四边形内角和定理求出，最后根据得出答案． 【详解】解：连接，如下图， ∵是的切线，点A，B，E是切点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 10．（2025·辽宁鞍山·一模）如图，是的直径，点D是的中点，过点D作于点E，交于另一点F．若，，则的半径是（   ） A． B． C．6 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理及其推论，弧、弦的关系，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 先证，进而得出，，由垂径定理得，再用勾股定理解即可． 【详解】解：点D是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 如图，连接，设的半径为r，设， 在中，由勾股定理得， ， 解得， 故选：A． 11．（25-26九年级上·天津西青·月考）如图，中，内切圆I和边、、分别相切于点D、E、F，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，多边形的内角和定理， 连接，根据切线的性质得，再根据三角形内角和定理求出，进而得出，然后根据圆周角定理得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵内切圆I和边分别相切于点D，E，F， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 12．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，将半径为6的沿折叠，与垂直的半径交于点D且，则折痕的长为（　　） A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键；延长交于点，连接，构造直角三角形， 然后根据勾股定理求出的长． 【详解】解：延长交于点，交于点F，连接， ， 为的中点， ，， ， 由折叠的性质可知：， ， 在中，由勾股定理可得：， ． 故选：B． 13．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，，斜边，内切圆切各边于点，连接，作交于，则长为 （    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】连接，则，由，根据勾股定理求得，再证明四边形是正方形，由，求得，则，所以，因为，所以，而，则四边形是平行四边形，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， ∵与分别相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点都在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故选：C． 【点睛】本题重点考查切线的性质定理、切线长定理、勾股定理、正方形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、平行四边形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 14．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，在中，弦与直径相交于点，连接，．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理以及三角形外角的性质． 根据是的外角可求解，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可求解． 【详解】解：是的外角， ， ， ． 故选：． 15．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，在四边形中，，，与四边形各边都相切，连接，若的半径为2，，则的值是（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设切点依次为点E、F、G、H，连接，，，，，，，，分别过点A、D作的垂线，垂足为M、N，由切线长定理可以推出，．根据内切圆半径与多边形面积和周长之间关系可以算出，梯形的高为4，使用勾股定理和矩形的性质算出下底，，最后使用勾股定理算出的值． 【详解】解：如图，设切点依次为点E、F、G、H，连接，，，，，，，，分别过点A、D作的垂线，垂足为M、N，设半径为， 与四边形各边都相切，由切线长定理可知，，，，， ∴， ， ， ∵， ∴， 由切线的性质可知，，，，， ∴， ， ， ， ， ∵在四边形中，，， ∴四边形是等腰梯形， 设梯形的高为h， 则，即， 解得，， ∵，， ∴， 在直角中，， 同理，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ ， ∵， ∴，解得，， ∴， 在直角中，． 故选：B． 【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，矩形的判定与性质，梯形的性质和勾股定理，熟练掌握切线相关的定理是解题关键． 16．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，点O为平行四边形内一点，以点O为圆心，为半径作圆，恰好经过点B和点C，且，，，则的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，平行四边形的性质，解题的关键是正确作出辅助线，利用勾股定理建立方程求解． 延长交于点，连接，可得，由垂径定理得到，则，设，则，再在中运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：延长交于点，连接， ∵平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵为半径， ∴， ∴， 设，则， ∵， ， 解得， ∴的半径为， 故答案为：． 17．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）如图，为的内切圆，切点分别为，已知，则的半径为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了三角形内切圆，切线的性质，勾股定理等知识﹒ 连接证明四边形为正方形﹒设的半径为r，则﹒根据切线长定理得到，在中，根据勾股定理得到方程，解方程，舍去不合题意解即可﹒ 【详解】解：如图，连接﹒ ∵为切线， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴矩形为正方形﹒ 设的半径为r，则﹒ ∵为的内切圆， ∴， ∴在中，根据勾股定理得， 解得（舍去）﹒ ∴的半径为1﹒ 故答案为：1 18．（25-26九年级上·北京石景山·期末）如图，在四边形中，，，以为直径的与相切于点．若，．则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查切线的判定及切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，其切线长相等，熟练掌握切线长定理是解题关键． 根据题意得出与、都相切，切点为、，根据切线长定理即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵以为直径的与相切于点， ∴与、都相切，切点为、， ∴，， ∵，， ∴． 故答案为：． 19．（25-26九年级上·河北石家庄·月考）如图，点为外接圆的圆心，点为的内心，连接，，若，则的度数为 °． 【答案】 【分析】本题考查三角形的内心和外心的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，内心是三角形角平分线的交点，外心是各边垂直平分线的交点． 由点为的内心可得的度数，由点为外接圆的圆心可得的度数，然后根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：连接， 点为的内心， 平分， ， ， 点为外接圆的圆心， ， ， ． 故答案为：． 20．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，的半径为2，点A为上一点，半径弦于D，如果，那么的长是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理、直角三角形30度的性质，解题的关键是熟记圆周角定理． 由于，根据圆周角定理可求，又，根据垂径定理可知，在，利用直角三角形30度的性质易求． 【详解】解：∵， ∴， ∵弦，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：1． 21．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，是的内切圆，分别切，，于点D，E，F，，P是上一点，则的度数是 ． 【答案】/69度 【分析】本题考查三角形的内切圆，切线的性质，圆周角定理，连接，根据切线的性质，结合四边形的内角和为360度，求出的度数，再根据圆周角定理，即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵是的内切圆，分别切，，于点D，E，F， ∴， ∴， ∴， ∵P是上一点， ∴； 故答案为：． 22．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期末）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出关于的方程是解题的关键．由切线长定理可知：，得到，设，则，然后根据，列方程求解即可． 【详解】解：∵的内切圆与分别相切于点、、， ， ∴， 设，则， 则． 解得． ∴． 故答案为：3． 23．（25-26九年级上·山东淄博·月考）如图，是的直径，为的弦，将弧沿翻折恰好过点O，连接，若，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查圆周角定理，翻折性质，垂径定理，等边三角形判定及性质等．根据题意连接，由翻折性质可知，继而利用圆周角定理得，再判断是等边三角形，即可得到本题答案． 【详解】解：连接， ， 由翻折性质可知， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分线段， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：2． 24．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，四边形是的内接四边形，为延长线上一点．若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，根据圆内接四边形的性质得出，进而根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，为延长线上一点．， ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 25．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，四边形内接于，为的直径．若，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了圆的性质，等边对等角和三角形内角和定理，掌握相关知识点是解题的关键． 根据等边对等角和三角形内角和定理可求出的度数，根据同弧所对的圆周角相等可得出的度数，根据直径所对的圆周角是直角可得的度数，最后结合三角形内角和可得求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， 故答案为：． 26．（25-26九年级上·天津·月考）如图，在中，，是的内切圆，三个切点分别为D，E，F，若，，则的面积是 ． 【答案】54 【分析】本题主要考查切线的性质、三角形的内切圆、勾股定理、全等三角形的判定与性质，灵活运用相关性质定理是解题的关键． 由，，可得，如图：连接，根据切线的性质易证可得：，同理可得：，设，则，再根据勾股定理列方程求得的值，进而确定，最后运用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 如图：连接， ∵是的内切圆，三个切点分别为D，E，F， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， 设，则， ∵， ∴， ∴，解得：或负值舍去， ∴． ∴． 故答案为：54． 27．（25-26九年级上·四川泸州·期末）如图，是的直径，为上一点，，为圆上一动点，为的中点，连接，若的半径为4，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，正确进行计算是解题关键． 根据题意得出点的移动轨迹，再根据圆外一点到圆上一点最大距离、最小距离进行计算即可． 【详解】解：当点在上移动时，为的中点，连接，根据垂径定理得出， ∵90度的圆周角所对的弦是直径， ∴的中点的轨迹是以为直径的， ①如图，当交于点，此时的值最大， 由题意得，，， 在中，，， ， ∴， ②如图，当交于点，此时的值最小， ∴， ∴的取值范围是． 故答案为：． 28．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，在中，点C在优弧上，将沿直线折叠后刚好经过弦的中点D．若的半径为，，则折痕线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的相关性质，全等三角形的判定与性质以及运用勾股定理求线段长度，理解圆的对称性并运用对称性作相关辅助线是解题关键．取D关于的对称点，在上，连接，，，，，，，过点C作于点E，过点O作于点F．先求的长度，再证明，从而证明，最后运用矩形的判定及性质以及勾股定理求出的长． 【详解】解：取D关于的对称点，在上，连接，，，，，，，过点C作于点E，过点O作于点F． ∵D为弦的中点，， ∴， ∵的半径为， ∴， ∵D为弦的中点， ∴， ∴． ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 29．（25-26九年级上·福建龙岩·月考）如图，在半圆中，直径，是半圆上一点，将弧沿弦折叠交于，点是弧的中点．连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了轴对称、垂径定理、勾股定理和圆的有关知识，解题的关键是通过作辅助线，根据三角形三边关系确定的取值范围． 把所在的圆补全为，可知点与点关于对称，求出，长，的最小值为． 【详解】解：如图，把所在的圆补全为，连接，，，，交于点，可知点与点关于对称，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是弧的中点， ∴， ∴， ∵， 在中，， ∵， ∴的最小值为． 故答案为：． 30．（25-26九年级上·重庆·月考）如图，是的外接圆，，于点，的延长线交于点． （1） （填“、或”）： （2）若，，则 ． 【答案】 1 【分析】（1）延长交于点，连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，根据直角三角形两锐角互余可得，，根据在同圆中，等弧所对的圆周角相等可得，根据等角的余角相等可得，根据等边对等角可得，即可推得； （2）根据直角三角形两锐角互余可得，结合（1）中结论和根据等角的余角相等可得，结合对顶角相等可得，根据等角对等边可得，设，则，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方列方程，解方程求出的值，即可求出、的值，根据即可求解． 【详解】解：（1）延长交于点，连接，如图： ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，等角对等边，等边对等角，勾股定理，直角三角形的性质等；熟练掌握圆的相关性质是解题的关键． 31．（25-26九年级上·天津宝坻·月考）已知内接于圆O，直线与圆O相切于点D，且，连接． (1)如图①，若，求的大小； (2)如图②，圆O的直径为4，若，求和的长． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质，切线的性质，平行线的性质和勾股定理等知识，熟练掌握相关性质和定理是解题的关键． （1）连接，根据圆内接四边形的性质，求出，再根据切线和平行线的性质得，，最后利用垂径定理，可得，，即可求解． （2）连接，过点B作交于点N，易证，利用勾股定理求出的长度；再根据圆周角定理可得，利用勾股定理求出和的长度，计算即可求出的长度． 【详解】（1）解：如图，连接交于点H， 由题意可得，四边形内接于圆O，， ， 直线与圆O相切于点D， ， ， ， ， ， ， ，即， ； （2）如图，连接，过点B作交于点N， 直线与圆O相切于点D， ， ， ， 圆O的直径为4， ， 在中，， 是圆O的直径， ， 在中，， 则， 又 在中，且， ， 在中，， ， ，． 32．（25-26九年级上·湖北孝感·月考）如图，是的外接圆，．过点作，垂足为，交于点，交于点．过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若的半径，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，切线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，是的切线，即，则有，所以，证明是等腰直角三角形，从而求证； （）先证明是等腰直角三角形，所以，由（）得，连接，然后通过勾股定理得，最后根据线段的和与差即可求解． 【详解】（1）证明：∵，是的切线， ∴， ∴，           ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， 由（）得， 如图所示，连接， ∴在中，，           ∴， ∴， ∴． 33．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，是的内切圆，与分别相切于点D、E、F，，． (1)求的三个内角的大小： (2)设的半径为1，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查多边形内角和定理，切线长定理等知识，掌握切线长定理是关键． （1）根据相切的性质得到，再根据四边形内角和，三角形内角和定理的计算即可求解； （2）根据题意得到四边形是正方形，由切线长定理得到，设，则，结合含30度角的三角形的性质得到，由此即可得到，则得到的值，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵相切， ∴， 在四边形中，， ∴， 同理，， 在中，， ∴； （2）解：∵， ∴四边形是正方形， ∴， 设，则， 在中，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴． 34．（25-26九年级上·新疆喀什·期末）如图，是的直径，C是异于，的一点，点D是延长线上一点，连接，，且． (1)求证：直线是的切线； (2)若的半径是，，求的长．（结果保留根号） 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查圆的切线判定定理，勾股定理和相似三角形，正确掌握切线的判定定理和相似三角形的判定是解题的关键． （1）连接，利用圆周角定理得，再根据等边对等角得，根据角之间的等量代换得，从而证明，根据切线的判定定理即证； （2）先根据勾股定理求出，，利用“”易证，根据相似三角形对应边成比例，可得，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：如图1，连接， 是的直径， ，即， ， ， ， ，即， 是的半径， 直线是的切线； （2）解：如图2， 在中，，， 则， ， ，， ， ，即， ， 在中，，， 即，解得， ， 则的长为． 35．（25-26九年级上·安徽淮南·期末）如图，是半圆的直径，，是半圆上不同于，的两点，与相交于点，是半圆的切线，与的延长线相交于点． (1)若，求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，切线的性质等，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由是半圆的直径，则，再利用全等三角形的判定定理可直接判定全等； （）由是半圆的直径，所以，则有，，从而得垂直平分，所以，故，根据切线的性质可得，然后通过直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵是半圆的直径， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵是半圆的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵是半圆的切线， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 36．（2025·四川广元·一模）如图， 在中，，以为直径作． 为上一点，且，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：直线与相切； (2)若， 求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定定理，切线长定理，勾股定理等知识点，熟练掌握切线的判定与性质定理，学会添加常用辅助线是解题的关键． （1）连接，利用证明，结合已知推出，即，再根据圆的切线判定定理(垂直于半径外端的直线是圆的切线)，即可证明； （2）先设圆的半径，表示出，在中利用勾股定理列方程求解得半径为，进而得出；再根据切线长定理设，表示出，在中再次用勾股定理列方程解得；最后在中通过勾股定理计算出即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵点在圆上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为半径， ∴直线与相切； （2）解：设， ∵， ∴， 在中，，， 即， 解得， ∴； ∵是圆的切线， ∴设， 在中，， 即， 解得， ∴， 在中，． 37．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，是的直径，是的弦，点M是外一点，过点C作的切线，交的延长线于点N，连接，． (1)求证：是的切线； (2)点D是的中点，连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． （1），利用等腰三角形性质可知，，因为是的切线，所以，则可证，题目可解； （2）设半径为，在中用勾股定理可求出半径，设，在中利用勾股定理求出，则可求，再利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， 即， ∵在上， ∴是的切线； （2）解：设， ∵是的切线， ∴， 在中， ∵ ∴， 解得， ∴， 设，在中， ∵， ∴， ， ∵为的中点， ∴， ∴． 38．（25-26九年级上·北京通州·期末）如图，为的直径，点C在上，连接，过点O作于点D，过点C作的切线交的延长线于点E． (1)求证：； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的综合问题，涉及圆周角定理，圆的切线的性质，垂径定理，勾股定理等知识点． （1）连接，由等腰三角形得到，再由圆的切线的性质得到，然后根据互余关系证明即可； （2）由圆周角定理得到，故，则，由垂径定理得到，再运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：连接，如图： ∵ ∴ 又为圆O的切线 ∴， ∵， ∴ ∴ ∴； （2）解：如图， ∵是直径， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵，过圆心， ∴， ∴． 39．（25-26九年级上·湖北随州·月考）如图，是的直径，是的弦，，垂足是点，过点作直线分别与，的延长线交于点，，且． (1)求证：是的切线； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，，利用圆周角定理，垂径定理，同圆的半径线段，等腰三角形的性质和圆的切线的判定定理解答即可； （2）利用勾股定理在中求出，同理求出，，利用切线的性质及勾股定理建立等式解答即可． 【详解】（1）证明：连接、，如图所示： 是的直径， ，， ， 平分弦，平分， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 半径， 是的切线； （2）解：，， 在（1）的结论中有，， 在中，，则， 在中，， 在中，，则， ， 在中，， 是的切线， ， 在中，， ， 解得， ． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，解题的关键是连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 40．（25-26九年级上·天津和平·期末）已知，四边形是的内接四边形，且对角线经过的圆心，点在的延长线上，且平分． (1)如图1，若，求的大小； (2)如图2，过点作的切线与的延长线交于点，若的半径为，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角得，由圆内接四边形对角互补可得，即可得，由平分得由三角形内角和定理即可求出； （2）过点作，垂足为，由垂径定理得，利用勾股定理得，由平分得，由得，即可得，进而得，由是的切线得，即可得，可证四边形是矩形，得，，即可得，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作，垂足为， ∴， 在中， ， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线 ∴， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中， ． 【点睛】本题考查了直径所对圆周角为直角、圆内接四边形的性质、垂径定理、切线的性质定理、角平分线的定义、矩形的判定与性质以及勾股定理，利用角平分线与等腰三角形得平行关系，结合垂径定理与矩形判定计算线段长度是解题的关键． 41．（25-26九年级上·江苏南通·月考）如图，为的直径，与相切于点，且交直线于点． (1)求证：平分； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据切线的性质得到，则，结合题意得到，，由等边对等角得到，等量代换即可求解； （2）运用勾股定理得到，如图所示，过点作于点，由圆内接四边形得到，证明，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵与相切于点， ∴，则， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：在中，， 如图所示，过点作于点， ∵平分，， ∴， ∵点在圆上， ∴四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查切线的性质，角平分线的性质定理，勾股定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握圆与三角形，四边形的综合知识是关键． 42．（天津市河北区2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷（1月））如图，是的直径，点是上一点，连接，，． (1)如图①，已知，当时，求和的度数． (2)如图②，为切线，交于点G，已知，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用圆周角定理即可求出，由，得到，根据相等的弧所对的圆周角相等，求出， 即可求出； （2）过圆心作，交于点，根据垂直的定义，得到，证得四边形为矩形，从而可知，，由勾股定理可求得，根据垂径定理可知，即可求解的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过圆心作，交于点， ∴， ∵为切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴中，由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了切线的性质、垂径定理、矩形的性质和判定等知识，掌握切线的性质、垂径定理、矩形的性质和判定是解决本题的关键． 43．（天津市河西区2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷）已知是的外接圆，．D为中点，延长交边于点E，延长交于点F，连接． (1)如图①，若，求和的度数； (2)如图②，过点F作的切线，交的延长线于点G．若，，求的半径． 【答案】(1)， (2)的半径为 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等边对等角，圆的切线定理，三角形内角和定理及勾股定理． （1）由已知条件利用垂径定理得，进而求得，再连接，由已知条件得的度数，再由等边对等角得出，利用三角形内角和定理求得的度数，最终通过圆周角定理求得的度数； （2）设半径为r，由切线定理和得出，从而得出，，利用勾股定理列出方程得出r的值，即可求出的半径． 【详解】（1）解：连接， ∵D为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． （2）解：设半径为r， ∵为的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 即的半径为． 44．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）在学习完“圆”后，赵老师带领学生开展了一次数学探究活动． (1)如图1，内接于，连接．求证：．小王发现，延长，交于点，连接，进而得证．请完成小王的证明过程； (2)如图2，内接于，过点作，分别交、于、，过点作，交于，连接．求证：； (3)小张突发奇想，如图3，当是钝角三角形时，过点作，分别交延长线、于、，连接．若，，则的直径是多少？请你帮助小张解决这个问题． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题为圆的综合题，涉及到圆的基本性质、平行线分线段成比例、垂径定理等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）证明，即可求解； （2）连接并延长交圆于点，连接，证明，由平行线分线段成比例，即可求解； （3）连接并延长交圆于点，连接，，，证明，即可求解． 【详解】（1）证明：如图， 为直径， ∴． ， ． （2）证明：如图，连接并延长交圆于点，连接， 由（1）知，， 又， ． ． ，， ，． ． ． ． （3）解：如图，连接并延长交圆于点，连接，，， ，， 又， ． ，， ． ． ，, ． ． ． ． 作，则，， 则． 故圆的直径为． 45．（25-26九年级上·云南昭通·期末）如图，内接正方形与交于点是的劣弧上的任意一点，连接，，延长至，使． (1)的度数为___________； (2)求证：直线是的切线； (3)当，时，求线段的长度． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查圆内接正方形的性质、圆周角定理(圆周角等于对应圆心角的一半)、圆周角定理的推论、切线的判定定理、全等三角形的判定()与性质等知识． （1）先利用圆内接正方形的性质得到圆心角；再根据圆周角定理，直接计算出的度数； （2）先结合与得到，可推出；又因为是的半径，满足“直线垂直于半径外端”的切线判定条件，从而证明是的切线； （3）延长至，使，连接；利用圆内接正方形的性质和圆内接四边形的性质，根据判定定理可证；由全等三角形的性质得、，进而推出，即是等腰直角三角形，结合等腰直角三角形斜边与直角边的关系，可算出；再根据直径所对的圆周角，在中，设，则，结合，利用勾股定理列方程，解得或；最后结合在劣弧上的位置特征，以及正方形边长(由对角线推导)，可知，排除，最终确定． 【详解】（1）解：，∵内接正方形 ∴， ∴． 故答案为：； （2）证明：在正方形中，， ． ， ， ， ． 是的半径， 是的切线． （3）解：如图，延长至，使，连接，则． 四边形是正方形， ． 四边形是圆内接四边形， ． ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 设，则． 为的直径， ， 在Rt中，， 即，解得， ， 等腰中，， 是的劣弧上的任意一点， ， ． 46．（25-26九年级上·广东汕头·月考）如图，、为的直径，弦，连接交于点，过点作直线与的延长线交于点，使． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，求的长； (3)当时，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)8 (3) 【分析】（1）连接．要证明是的切线，只需推出即可； （2）连接，先证明，然后由垂径定理可得，设，由得，则，然后在中，由勾股定理建立方程求解，即可求解； （3）先确定，，均是等腰直角三角形，设，则，，故，再表示出和即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵是的直径， ∴． ∵， ∴． 又∵，即， ∴， ∴，即， ∴， 又∵点E在圆上， ∴是的切线； （2）解：连接， ∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， 设，由得， ∵的半径为5， ∴， 在中，由勾股定理 ，即 ， 解得， ∴； （3）解：由（1）得， ∵， ∴， ∵， ∴，，均是等腰直角三角形， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了圆的切线的判定，垂径定理，圆周角定理，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握各知识点并灵活运用． 47．（25-26九年级上·山西太原·期末）如图，内接于，连接并延长交于点D，且于点 (1)如图①，求证：； (2)如图②，点在弧上，连接，，，求证：； (3)如图②，在（2）的条件下，若，求到的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题是圆的综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，三角形的面积，等腰三角形的性质等知识，添加恰当辅助线是本题的关键． （1）由垂径定理可得，由垂直平分线的性质可得； （2）连接，设，则，由圆周角定理得出，可证出； （3）过点作于点，在上截取，连接，证出，由勾股定理求出长． 【详解】（1）证明：，过圆心， ，且， ， ； （2）证明：连接， 设，则， ， ， ， ； （3）解：过点作于点，在上截取，连接， ， ， ， ， ， ， ， 在中，． 48．（25-26九年级上·广东江门·期末）综合与实践 【阅读材料】小明遇到这样一个问题：如图1，是等边三角形的外接圆，点在上（点不与点，重合），连接，，．求证：．小明发现，延长至点，使，连接，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证． 【问题提出】 （1）请你根据小明的想法，写出解答过程． 【深入探究】 （2）如图2，是的外接圆，，，点在上，且点与点在的两侧，连接．求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）由圆内接四边形对角互补和平角的定义可证明，由等边三角形的性质得到，则可证明，证明，得到， 则可证明是等边三角形，得到，据此可证明结论； （2）延长至点，使，连接，同理可证明，得到， ，证明，得到，由勾股定理可得，据此可证明结论． 【详解】证明：（1）∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； （2）如图，延长至点，使，连接，   四边形是的内接四边形， ∴， ∵ ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ∵ ∴， ， ， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 49．（25-26九年级上·河北石家庄·月考）如图，四边形内接于，对角线为的直径，对角线是的平分线，过点作，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）连接，由角平分线和同弧或等弧所对的圆周角相等可推出，再由等腰三角形的性质得，由平行线的性质即可得证； （2）过作交于，由平行线的性质及直径所对的圆周角为直角得到，由直角三角形的特征得，然后根据同弧所对的圆周角相等得到，进而得到，最后由勾股定理得，，即可求解； 【详解】（1）证明：连接， 是的平分线， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：过作交于， 则， ， ， 是的直径，， ， ， ， 由（1）可知，， ， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， ， ， ， ， ． 的长为． 【点睛】本题考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，切线的判定，等腰三角形判定及性质，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的特征，勾股定理等；掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，切线的判定，能熟练利用直角三角形的特征，勾股定理进行求解是解题的关键． 50．（25-26九年级上·四川泸州·期末）如图，在中，，点D在边上，．经过A、B、D三点．连接并延长交于点E，连接，与交于点F． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查切线的性质与判定、圆周角的性质、垂径定理、矩形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握切线的性质与判定、圆周角的性质、垂径定理、矩形的性质与判定及勾股定理是解题的关键； （1）连接，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）由（1）得：，则由题意易得，然后可得，进而问题可求证； （3）延长交于点H，由题意易得，，然后可得四边形为矩形，则有，设的半径为r，则：，，进而根据勾股定理可建立方程进行求解． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）证明：在中，， 由（1）得：， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：延长交于点H， ∵，， ∴垂直平分， ∴，， ∵为的切线， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 设的半径为r，则：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； 即：的半径为． 51．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在中，，以为直径的分别交，于点E，F，是的切线，交于点M． (1)求证：； (2)过点B作，交于点D，连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为2 【分析】（1）连接，根据等边对等角得到，，则，根据平行线的判定和性质得到，根据切线的性质定理得到，则，即； （2）连接，延长交于点，则四边形是矩形，得到，，根据垂径定理得到，根据勾股定理求出，进而根据线段的和差计算即可． 【详解】（1）证明：连接，则， ， ， ， ， ， ， 是的切线， ， ， ， ； （2）解：连接，延长交于点， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 在中，， ， ， ， ， 的长为2． 【点睛】本题考查了等边对等角，平行线的判定和性质，切线的性质定理，矩形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 圆中的六大重要模型 本专题包含圆中的六大重要模型，主要有：四点共圆模型、阿基米德折弦（定理）模型、婆罗摩笈多（定理）模型、圆中的翻折模型、圆中的全等三角形模型、圆中的外接圆和内切圆模型等。通过这些综合训练希望能让大家弄清楚这些模型的适用条件，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 1．（四川省南充市2025-2026学年上学期九年级数学期末试题）如图，与相切于，，与交于，延长与交于．若，则为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·甘肃庆阳·期末）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，凯凯在读完《九章算术》卷九勾股定理篇记载的“圆材埋壁”问题后，突发灵感，设计了一个数学题．如图，为的直径，弦于点E，，，则的长是（   ）    A．6 B．8 C．10 D．12 3．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，四边形为的内接四边形．延长与相交于点．，垂足为，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（2026九年级·吉林·专题练习）如图，的内切圆与分别相切于点，若的半径为，则的大小为（   ）    A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·北京·月考）如图，、分别与相切于、两点，点在上，连接、．若，，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·福建福州·月考）如图，是一张周长为的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·江苏常州·月考）如图，一块直角三角板的斜边与量角器的直径重合，点对应的刻度值为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．（2025·四川绵阳·一模）如图，是的切线，是切点，分别交线段于两点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．（2025·辽宁鞍山·一模）如图，是的直径，点D是的中点，过点D作于点E，交于另一点F．若，，则的半径是（   ） A． B． C．6 D．10 11．（25-26九年级上·天津西青·月考）如图，中，内切圆I和边、、分别相切于点D、E、F，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，将半径为6的沿折叠，与垂直的半径交于点D且，则折痕的长为（　　） A． B． C．6 D． 13．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，，斜边，内切圆切各边于点，连接，作交于，则长为 （    ） A． B． C． D．3 14．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，在中，弦与直径相交于点，连接，．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 15．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，在四边形中，，，与四边形各边都相切，连接，若的半径为2，，则的值是（　　）． A． B． C． D． 16．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，点O为平行四边形内一点，以点O为圆心，为半径作圆，恰好经过点B和点C，且，，，则的半径为 ． 17．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）如图，为的内切圆，切点分别为，已知，则的半径为 ． 18．（25-26九年级上·北京石景山·期末）如图，在四边形中，，，以为直径的与相切于点．若，．则的长为 ． 19．（25-26九年级上·河北石家庄·月考）如图，点为外接圆的圆心，点为的内心，连接，，若，则的度数为 °． 20．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，的半径为2，点A为上一点，半径弦于D，如果，那么的长是 ． 21．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，是的内切圆，分别切，，于点D，E，F，，P是上一点，则的度数是 ． 22．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期末）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，则 ． 23．（25-26九年级上·山东淄博·月考）如图，是的直径，为的弦，将弧沿翻折恰好过点O，连接，若，则的长为 ． 24．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，四边形是的内接四边形，为延长线上一点．若，则的度数是 ． 25．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，四边形内接于，为的直径．若，，则 ． 26．（25-26九年级上·天津·月考）如图，在中，，是的内切圆，三个切点分别为D，E，F，若，，则的面积是 ． 27．（25-26九年级上·四川泸州·期末）如图，是的直径，为上一点，，为圆上一动点，为的中点，连接，若的半径为4，则的取值范围是 ． 28．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，在中，点C在优弧上，将沿直线折叠后刚好经过弦的中点D．若的半径为，，则折痕线段的长为 ． 29．（25-26九年级上·福建龙岩·月考）如图，在半圆中，直径，是半圆上一点，将弧沿弦折叠交于，点是弧的中点．连接，则的最小值为 ． 30．（25-26九年级上·重庆·月考）如图，是的外接圆，，于点，的延长线交于点． （1） （填“、或”）： （2）若，，则 ． 31．（25-26九年级上·天津宝坻·月考）已知内接于圆O，直线与圆O相切于点D，且，连接． (1)如图①，若，求的大小； (2)如图②，圆O的直径为4，若，求和的长． 32．（25-26九年级上·湖北孝感·月考）如图，是的外接圆，．过点作，垂足为，交于点，交于点．过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若的半径，，求的长． 33．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，是的内切圆，与分别相切于点D、E、F，，． (1)求的三个内角的大小： (2)设的半径为1，求的值． 34．（25-26九年级上·新疆喀什·期末）如图，是的直径，C是异于，的一点，点D是延长线上一点，连接，，且． (1)求证：直线是的切线； (2)若的半径是，，求的长．（结果保留根号） 35．（25-26九年级上·安徽淮南·期末）如图，是半圆的直径，，是半圆上不同于，的两点，与相交于点，是半圆的切线，与的延长线相交于点． (1)若，求证：； (2)若，，求的度数． 36．（2025·四川广元·一模）如图， 在中，，以为直径作． 为上一点，且，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：直线与相切； (2)若， 求的长． ∵点在圆上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 37．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，是的直径，是的弦，点M是外一点，过点C作的切线，交的延长线于点N，连接，． (1)求证：是的切线； (2)点D是的中点，连接，若，，求的长． 38．（25-26九年级上·北京通州·期末）如图，为的直径，点C在上，连接，过点O作于点D，过点C作的切线交的延长线于点E． (1)求证：； (2)连接，若，，求的长． 39．（25-26九年级上·湖北随州·月考）如图，是的直径，是的弦，，垂足是点，过点作直线分别与，的延长线交于点，，且． (1)求证：是的切线； (2)如果，，求的长． 40．（25-26九年级上·天津和平·期末）已知，四边形是的内接四边形，且对角线经过的圆心，点在的延长线上，且平分． (1)如图1，若，求的大小； (2)如图2，过点作的切线与的延长线交于点，若的半径为，，求的长． 41．（25-26九年级上·江苏南通·月考）如图，为的直径，与相切于点，且交直线于点． (1)求证：平分； (2)若，求的长． 42．（天津市河北区2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷（1月））如图，是的直径，点是上一点，连接，，． (1)如图①，已知，当时，求和的度数． (2)如图②，为切线，交于点G，已知，求的长． 43．（天津市河西区2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷）已知是的外接圆，．D为中点，延长交边于点E，延长交于点F，连接． (1)如图①，若，求和的度数； (2)如图②，过点F作的切线，交的延长线于点G．若，，求的半径． 44．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）在学习完“圆”后，赵老师带领学生开展了一次数学探究活动． (1)如图1，内接于，连接．求证：．小王发现，延长，交于点，连接，进而得证．请完成小王的证明过程； (2)如图2，内接于，过点作，分别交、于、，过点作，交于，连接．求证：； (3)小张突发奇想，如图3，当是钝角三角形时，过点作，分别交延长线、于、，连接．若，，则的直径是多少？请你帮助小张解决这个问题． 45．（25-26九年级上·云南昭通·期末）如图，内接正方形与交于点是的劣弧上的任意一点，连接，，延长至，使． (1)的度数为___________； (2)求证：直线是的切线； (3)当，时，求线段的长度． 46．（25-26九年级上·广东汕头·月考）如图，、为的直径，弦，连接交于点，过点作直线与的延长线交于点，使． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，求的长； (3)当时，直接写出的值． 47．（25-26九年级上·山西太原·期末）如图，内接于，连接并延长交于点D，且于点 (1)如图①，求证：； (2)如图②，点在弧上，连接，，，求证：； (3)如图②，在（2）的条件下，若，求到的距离． 设，则， ， ， ， ； 48．（25-26九年级上·广东江门·期末）综合与实践 【阅读材料】小明遇到这样一个问题：如图1，是等边三角形的外接圆，点在上（点不与点，重合），连接，，．求证：．小明发现，延长至点，使，连接，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证． 【问题提出】 （1）请你根据小明的想法，写出解答过程． 【深入探究】 （2）如图2，是的外接圆，，，点在上，且点与点在的两侧，连接．求证：． 49．（25-26九年级上·河北石家庄·月考）如图，四边形内接于，对角线为的直径，对角线是的平分线，过点作，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 50．（25-26九年级上·四川泸州·期末）如图，在中，，点D在边上，．经过A、B、D三点．连接并延长交于点E，连接，与交于点F． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的半径． 、51．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在中，，以为直径的分别交，于点E，F，是的切线，交于点M． (1)求证：； (2)过点B作，交于点D，连接，若，求的长． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $