第二章 直线与圆的位置关系（举一反三单元测试·拔尖卷）数学浙教版九年级下册

第二章 直线与圆的位置关系·拔尖卷 【浙教版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．已知在中，，，，若以为圆心，长为半径的圆与边有交点，那么的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 2．（24-25九年级上·河北承德·期末）老师在多媒体上展示了一道有关尺规作图的题目：已知及外一点，过点求作的切线．甲、乙的作法分别如下： 甲的作法：连接，分别以，为圆心，大于的长为半径，在线段的两侧画弧，分别相交于点，作直线，交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于，作直线，直线即为所求． 乙的作法：迲接并延长．交于两点．分别以为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接．交于点，作直线，直线即为所求． 下列说法正确的是（    ） A．甲和乙的作法都正确 B．甲和乙的作法都错误 C．甲的作法正确，乙的作法错误 D．乙的作法正确，甲的作法错误 3．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，，是的两条切线，切点分别为，．连接，，，，与交于点，若，，则的长为（    ） A．2 B．4 C． D． 4．（2025·河北石家庄·一模）如图，点O，I分别是的外心和内心，连接，．若，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）下图是由四个大小不同的等边三角形和三个大小不同的圆组成的图案．已知最大等边三角形的面积为128，则图中最小等边三角形（阴影部分）的面积是（　　） A．2 B． C．4 D．8 6．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图，点P是函数的图象上的一点，的半径为，当与直线有公共点时，点P的横坐标x的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，，以为直径作，将矩形绕点旋转，使所得矩形的边与相切，切点为，边与相交于点．若，则长为（    ） A．9 B．10 C． D．12 8．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，分别与的外接圆相切，为切点，若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 9．（2025·福建龙岩·模拟预测）如图，矩形纸片，，，先沿对角线将矩形纸片剪开，固定纸片，再将纸片沿着方向向上适当平移，得到纸片和菱形，最后剪出菱形的内切圆纸片．设与、、、分别于点G、H、M、N，则的半径为（    ） A． B． C． D． 10．如图，△ABC是⊙O的一个内接三角形，AB＋AC＝6，E是△ABC的内心，AE的延长线交O于点D，且OE⊥AD．当△ABC的形状变化时，边BC的长（    ）. A．有最大值4 B．等于3 C．有最小值3 D．等于4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．已知直线，那么以点为圆心，为半径的圆与这条直线共 个交点． 12．（2025·浙江·三模）如图，以边为直径作交于点，恰好是的切线，为切点，连接．若，则的度数为 ． 13．如图，已知直线与与圆O分别相切于点，，若，，则劣弧的长为 ． 14．（2025·四川资阳·二模）如图，在中，，，的内切圆交于点，点从出发，沿射线每次前进一个单位，点从出发沿和射线每次前进个单位，为正整数且，当次前进后与相似，所有满足条件的为 ． 15．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，，，是的内切圆，切点分别为、、，则的半径为 ；连接、，则的值为 ． 16．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，正方形的边长是，是边的中点．将该正方形沿折叠，点C落在点处．分别与相切，切点分别为，则的半径为 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25九年级下·甘肃武威·期中）如图，是的直径，是弦，于F，交于点E，． (1)求证：为的切线； (2)若，求的值． 18．（6分）（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，在中，，，．点D在边上，直线交于点E，直线交于点F． (1)当线段的长为何值时，四边形为菱形？ (2)若直线，为的外接圆的两条切线，求线段的长． 19．（8分）（2025·四川达州·一模）如图1，是的内接三角形，是的内心，连接并延长交于点、交于点，连接、、，已知． (1)求证：是等腰三角形； (2)如图2，若为的直径，求线段的长度． 20．（8分）（2025·云南保山·模拟预测）如图，是的外接圆，是直径，，，D是弦下方弧上的点（与B、C均不重合）．连接并延长交过A点的直线于E点，连接，使． (1)请直接写出的正切函数值，即______； (2)求证：是的切线； (3)设与交于点F，点F在上（与O、C均不重合），过F点作，垂足为G，．与的大小相关的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由． 21．（10分）（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，请用无刻度的直尺在给定网格中按要求作图．（不写作法，保留作图痕迹） (1)在图1中，的三个顶点均在格点上，请画出的外心． (2)在图2中，的三个顶点均在格点上，请画出的内心I． 22．（10分）（2025·江苏苏州·二模）如图1，以为直径的与的边交于点D，，点M是直径下方半圆上的一动点，连接，．交于点P． (1)若，，求的值； (2)记的面积为，的面积为，若，的半径为．求线段的长； (3)如图2，当动点M运动到恰好使得P为的中点时，的角平分线交于点E，交于点F，求的值． 23．（12分）（24-25九年级上·湖南长沙·期中）类似于三角形的内切圆，我们定义：与四边形各边都相切的圆叫做四边形的内切圆．请结合定义，解答下列问题： (1)请你判断下列说法是否正确（正确的打“”，错误的打“”）， ①邻边不相等的矩形一定没有内切圆；（    ） ②正方形一定有内切圆；（    ） ③四边形中，若，，则四边形没有内切圆（    ） (2)如图1，若四边形有内切圆，求证：． (3)如图2，四边形中，若，它的内切圆与边，，，分别相切于点，，，，连接，交于点． ①求证：； ②连接，若的半径为1，当时，求的取值范围． 24．（12分）（2024·江苏盐城·三模）“做数学”可以帮助我们积累活动经验．小明在一次利用等宽的矩形纸片和矩形纸片重叠构建特殊平行四边形的实验中，产生了一些新的思考． 【发现】如图1，矩形和矩形中宽，两个矩形重叠，当， 请证明：四边形是正方形； 【思考】如图2，在图1的基础上，将矩形绕点A旋转，边与正方形的两边分别交于E、F两点，若矩形的宽为，试求的周长（用m的代数式表示）； 【探索】如图3，在图2的基础上，矩形边与正方形的边分别交于E、F两点，F为边上一点，， ，在内部作，与边都相切，点R为在上，为的切线，则的取值范围为 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 直线与圆的位置关系·拔尖卷 【浙教版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．已知在中，，，，若以为圆心，长为半径的圆与边有交点，那么的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、圆的基本性质．首先根据勾股定理可求，利用三角形的面积公式可求，当圆的半径为时，开始与边有交点，当时，圆与边有交点，当时，圆与边没有交点，从而确定的取值范围． 【详解】解：如下图所示，过点作， 中，，，， ， ， ， 解得：， 当以点为圆心的圆的半径时，圆经过点， 当时，圆与边没有交点， ．      故选：D ． 2．（24-25九年级上·河北承德·期末）老师在多媒体上展示了一道有关尺规作图的题目：已知及外一点，过点求作的切线．甲、乙的作法分别如下： 甲的作法：连接，分别以，为圆心，大于的长为半径，在线段的两侧画弧，分别相交于点，作直线，交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于，作直线，直线即为所求． 乙的作法：迲接并延长．交于两点．分别以为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接．交于点，作直线，直线即为所求． 下列说法正确的是（    ） A．甲和乙的作法都正确 B．甲和乙的作法都错误 C．甲的作法正确，乙的作法错误 D．乙的作法正确，甲的作法错误 【答案】A 【分析】本题考查了作图——复杂作图、线段垂直平分线的性质和切线的判定和性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 对于甲的作法，连接，利用基本作图得到垂直平分，则，再根据圆周角定理得到，然后根据切线的判定方法得到为的切线，于是可判断甲的作法正确；对于乙的作法：利用基本作图得到，，由于，所以，则根据等腰三角形的性质得到，然后根据切线的判定方法得到为的切线，于是可判断乙的作法正确． 【详解】解：对于甲的作法： 连接 由作法得垂直平分， ∴， ∴点为以为直径的圆与的交点， ∴， ∴， ∴为的切线，所以甲的作法正确； 对于乙的作法： 由作法得，， ∵， ∴， ∴， ∴为的切线，所以乙的作法正确； 故选：A. 3．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，，是的两条切线，切点分别为，．连接，，，，与交于点，若，，则的长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据切线的性质得到，，，推出是等边三角形，根据含30度直角三角形的性质求出，求出，进而求出． 【详解】解：∵，是的两条切线， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵，，， ， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的性质，含30度直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 4．（2025·河北石家庄·一模）如图，点O，I分别是的外心和内心，连接，．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与内切圆的概念、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、圆周角定理等知识，连接，由，可得，根据三角形内角和求出，根据圆周角定理求出，由点I是的内心，得． 【详解】解：连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点I是的内心， ∴平分， ∴， 故选：D． 5．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）下图是由四个大小不同的等边三角形和三个大小不同的圆组成的图案．已知最大等边三角形的面积为128，则图中最小等边三角形（阴影部分）的面积是（　　） A．2 B． C．4 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等边三角形的内接圆与外接圆的性质，相似三角形的性质与判定，设等边的外接圆圆心为O，过点O作于D，连接，可证明，，则等边的边长是其内接圆半径的倍，等边的外接圆半径是其内接圆半径的2倍；设最小的圆的半径为，则第二大的圆的半径为，则最大的圆的半径为，则最大的等边三角形的边长为，最小的等边三角形的边长为，则可得最大的等边三角形的边长是最小的等边三角形的边长的8倍，根据最大的等边三角形与最小的等边三角形相似，得到最大的等边三角形与最小的等边三角形的面积之比为，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，设等边的外接圆圆心为O，过点O作于D，连接， ∴， ∵， ∴，， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴等边的边长是其内接圆半径的倍，等边的外接圆半径是其内接圆半径的2倍， 如题干图所示，设最小的圆的半径为，则第二大的圆的半径为，则最大的圆的半径为， ∴最大的等边三角形的边长为，最小的等边三角形的边长为， ∴最大的等边三角形的边长是最小的等边三角形的边长的8倍， ∵最大的等边三角形与最小的等边三角形相似， ∴最大的等边三角形与最小的等边三角形的面积之比为， ∵最大等边三角形的面积为128， ∴图中最小等边三角形（阴影部分）的面积是2， 故选：A． 6．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图，点P是函数的图象上的一点，的半径为，当与直线有公共点时，点P的横坐标x的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图所示，即为与直线有一个公共点的情况，点P只有在线段上，即符合题意，根据图象的对称性可知，是等腰直角三角形，求得，设，则，则的中点M在直线上，得到，解方程得到（不合题意，舍去），于是得到结论． 【详解】解：如图所示，即为与直线有一个公共点的情况， 点P只有在线段上，即符合题意，    根据图象的对称性可知，是等腰直角三角形， ∵的半径为， ∴， ∴， ，则， 则的中点M在直线上， ∴， ∴， 解得：（不合题意，舍去）， ∴的横坐标是，的横坐标是， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，直线与圆的位置关系，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 7．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，，以为直径作，将矩形绕点旋转，使所得矩形的边与相切，切点为，边与相交于点．若，则长为（    ） A．9 B．10 C． D．12 【答案】B 【分析】连接，延长交于点M，由垂径定理得，证明四边形为矩形，得到，设，则，由勾股定理得，解出x的值，进而即可求出答案． 【详解】解：连接，延长交于点M， 与相切， ， 在矩形中，， ， ， 矩形绕点旋转所得矩形为， ，， 四边形为矩形， ， 设，则， ， ， 解得， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定与性质，垂径定理，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握矩形的判定与性质、旋转的性质、切线的性质、垂径定理等知识． 8．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，分别与的外接圆相切，为切点，若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了切线的性质，切线长定理，锐角三角函数等，设点为的外接圆圆心，连接，过点作于点，可得，即得到，由切线的性质和切线长定理得，，进而可得，即得到，即可得，得到，再根据三角形面积公式计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：设点为的外接圆圆心，连接，过点作于点， 则    ， ∵， ∴， ∵分别与的外接圆相切，为切点， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：． 9．（2025·福建龙岩·模拟预测）如图，矩形纸片，，，先沿对角线将矩形纸片剪开，固定纸片，再将纸片沿着方向向上适当平移，得到纸片和菱形，最后剪出菱形的内切圆纸片．设与、、、分别于点G、H、M、N，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查几何综合，涉及矩形、菱形、圆、相似三角形的性质与判定、解直角三角形等知识点，解题关键是构造合适的辅助线． 解法一：连结，它们与交点，则，；延长交于点，设，则；在中，，可求出，进而可求出． 解法二：连结交点，连结，由菱形可得，由菱形的内切圆可得，由原矩形可得，则，，设，则，，解得． 【详解】解法一：连结，它们与交点，则，． 延长交于点， 设， ，， ． 矩形纸片， ． 在中，， ， 解得． ， ． ， 解得． 解法二：连结交点，连结， 四边形是菱形， 于点． 是菱形的内切圆， 于点． 原四边形是矩形， 于点． ，， ． ， ． 矩形纸片， ． 设，则． ，解得． ． 故选：B． 10．如图，△ABC是⊙O的一个内接三角形，AB＋AC＝6，E是△ABC的内心，AE的延长线交O于点D，且OE⊥AD．当△ABC的形状变化时，边BC的长（    ）. A．有最大值4 B．等于3 C．有最小值3 D．等于4 【答案】B 【分析】根据题意连接CE、DC、BD，根据内心的概念得到∠BAD=∠CAD，∠ACE=∠BCE，根据圆周角定理、垂径定理得到AD=2CD，根据相似三角形的性质分析即可． 【详解】解：连接CE、DC、BD， ∵E是△ABC的内心， ∴∠BAD=∠CAD，∠ACE=∠BCE， 由圆周角定理得，∠BAD=∠BCD， ∠DEC=∠DAC+∠ACE，∠DCE=∠BCD+∠BCE， ∴∠DEC=∠DCE， ∴DE=DC， ∵OE⊥AD， ∴AE=DE， ∴AD=2CD， ∵∠BAD=∠CAD，∠ABC=∠ADC， ∴△ABH∽△ADC， ∴， ∴AB=2BH， 同理，AC=2CH， ∴AB+AC=2BC， ∴BC=3． 故选：B． 【点睛】本题考查的是圆周角定理和垂径定理以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．已知直线，那么以点为圆心，为半径的圆与这条直线共 个交点． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中两点之间的距离公式、一元二次方程根的判别式、圆的基本性质．设以点为圆心，为半径的圆上的点的坐标为，根据圆上的点到圆心的距离等于半径可得，把代入可得关于的一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式可知方程有个不相等的实数根，所以直线与圆有个交点． 【详解】解：设以点为圆心，为半径的圆上的点的坐标为， 根据题意可得：， 把代入， 可得：， 整理得：， ，，， ， 一元二次方程有个不相等的实数根， 直线，那么以点为圆心，为半径的圆与这条直线共有个交点． 故答案为： ． 12．（2025·浙江·三模）如图，以边为直径作交于点，恰好是的切线，为切点，连接．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、圆周角定理、切线的定义，首先根据切线的定义可得：，再根据三角形内角和定理求出，最后再根据圆周角定理可求． 【详解】解：为直径，是的切线，为切点， ， 在中，， ， 对应的圆心角为，圆周角为， ． 13．如图，已知直线与与圆O分别相切于点，，若，，则劣弧的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查切线长定理，正方形的判定和性质，求弧长． 连接，，证明四边形为正方形，可得，，代入弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵直线与与圆O分别相切于点，， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴，， ∴劣弧的长为． 故答案为：． 14．（2025·四川资阳·二模）如图，在中，，，的内切圆交于点，点从出发，沿射线每次前进一个单位，点从出发沿和射线每次前进个单位，为正整数且，当次前进后与相似，所有满足条件的为 ． 【答案】，，，， 【分析】本题考查的是三角形的内切圆、相似三角形的性质及勾股定理，先求出三角形内切圆半径及长，再分情况讨论，根据相似三角形性质求出即可． 【详解】如图，连接、、， 中，， ， 设，则，，， ， 解得， 当次前进后，点前进的距离是，点前进的距离是， ①当时， ， ， ， ， 整理，可得， 为正整数且， 时，；时，；时，； ②当时， ， ， ， 整理，可得， 为正整数且， 时，；时，； 综上，可得所有满足条件的为、、、16、32． 故答案为：、、、16、32． 15．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，，，是的内切圆，切点分别为、、，则的半径为 ；连接、，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内切圆的性质及解直角三角形；通过设边长，表示其他边长关系再利用直角三角形求解等常规考查点，其中掌握三角形内切圆的性质是解题关键．连接，过点作于点，勾股定理求得，等面积法求得半径，过点作交的延长线于点，解，进而得出是等边三角形，进而及诶，得出的长，进而根据正切的定义，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点， 依题意，是的内切圆，切点分别为、、， ∴， 设，则， 在中， 即 解得： ∴ 设的半径为， ∴ ∴ 如图所示，过点作交的延长线于点， ∵是的内切圆，切点分别为、、， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴ 在中， 故答案为：；． 16．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，正方形的边长是，是边的中点．将该正方形沿折叠，点C落在点处．分别与相切，切点分别为，则的半径为 ． 【答案】 【分析】如图所示，延长交于点M，连接，先证明，得到，设，则，，在中，由勾股定理得，求得x的值，进而可得的值，如图所示，连接，利用等面积法求出半径即可． 【详解】解：如图所示，延长交于点M，连接， 四边形是正方形， ， 是边的中点， ， 由折叠的性质可得：，，， ， 又， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ， 如图所示，连接， 分别与相切，切点分别为， ，，，， ， ， ， 的半径为 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内切圆，正方形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25九年级下·甘肃武威·期中）如图，是的直径，是弦，于F，交于点E，． (1)求证：为的切线； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）圆周角定理得到，进而得到，根据垂直得到，进而得到，即，即可得证； （2）勾股定理结合等积法求出的长，进而求出的长，垂径定理得到的长，线段的和差求出的长，勾股定理求出的长，再根据余弦的定义进行计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵是的半径， ∴为的切线； （2）∵，， ∴， ∵， ∴，，即， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴． 18．（6分）（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，在中，，，．点D在边上，直线交于点E，直线交于点F． (1)当线段的长为何值时，四边形为菱形？ (2)若直线，为的外接圆的两条切线，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先证明出，证明出，得到，设，，表示出，然后得到当时，四边形为菱形，进而求解即可； （2）如图所示，过点P作于点G，由切线长定理得到，，由三线合一得到，然后证明出，得到，然后代数求解即可． 【详解】（1）解：当时，四边形为菱形． 证明如下： ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴设，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形为菱形， ∴， ∴，， ∴当时，四边形为菱形； （2）解：如图所示，过点P作于点G ∵直线，为的外接圆的两条切线 ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，即 ∴． 【点睛】此题考查了切线的性质和切线长定理，菱形的判定，勾股定理的逆定理，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 19．（8分）（2025·四川达州·一模）如图1，是的内接三角形，是的内心，连接并延长交于点、交于点，连接、、，已知． (1)求证：是等腰三角形； (2)如图2，若为的直径，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，三角形的内心，勾股定理等，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键． （1）由三角形内心的性质得出，．根据圆周角定理的推论得出，从而得出，最后根据三角形外角性质可求出，即可证是等腰三角形； （2）由直径所对圆周角为直角结合勾股定理可得，．由是的内心，易证，即得出，代入数据即得出．再证明，即得出，即，代入数据即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵是的内接三角形，是的内心， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴，即是等腰三角形； （2）解：∵为的直径， ∴， ∴，． ∵是的内心， ∴， ∴， ∴，即， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴， 解得：． 20．（8分）（2025·云南保山·模拟预测）如图，是的外接圆，是直径，，，D是弦下方弧上的点（与B、C均不重合）．连接并延长交过A点的直线于E点，连接，使． (1)请直接写出的正切函数值，即______； (2)求证：是的切线； (3)设与交于点F，点F在上（与O、C均不重合），过F点作，垂足为G，．与的大小相关的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）利用直径所对圆周角是直角得到，再根据正切函数定义 ，代入、计算得出结果． （2）先由得出，结合证明，得到，再通过圆的性质及等量代换推出，即，从而证明结论． （3）过点作，先利用平行线性质得出，结合三角函数值求出长度，再通过相似三角形得出长度，进而得到，证明，得出，根据等腰直角三角形的性质证明 ． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， 在中，，，， ∴． （2）证明：如图，连接， ， ． ， ， ． ， ， ， ． 是⊙的直径， ， ， ，即， ． 是的半径， 是的切线． （3），理由如下：   如图，过点作，垂足为，与交于点， ， ， ． ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ． 【点睛】本题考查了圆的相关性质、相似三角形的判定与性质、切线的判定以及三角函数的应用，解题关键是熟练运用上述知识，通过边与角的关系进行推理和计算． 21．（10分）（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，请用无刻度的直尺在给定网格中按要求作图．（不写作法，保留作图痕迹） (1)在图1中，的三个顶点均在格点上，请画出的外心． (2)在图2中，的三个顶点均在格点上，请画出的内心I． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查三角形外心，内心的定义，涉及垂直平分线的性质，角平分线的性质，圆周角定理，熟练掌握相关性质作图即可求解； （1）根据垂直平分线的性质，，的垂直平分线交点即是点，即为的外心； （2）根据角平分线的性质，找到的中点为点，的中点为点，连接，即为的角平分线，交于点I，即为的内心． 【详解】（1）解：根据题意，点O为所求，作图如下： （2）解：根据题意，点I为所求，作图如下： 22．（10分）（2025·江苏苏州·二模）如图1，以为直径的与的边交于点D，，点M是直径下方半圆上的一动点，连接，．交于点P． (1)若，，求的值； (2)记的面积为，的面积为，若，的半径为．求线段的长； (3)如图2，当动点M运动到恰好使得P为的中点时，的角平分线交于点E，交于点F，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、正切的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）由圆周角定理可得，求出，由勾股定理可得，最后由正切的定义即可得解； （2）证明，得出，，结合勾股定理求出，，即可得解； （3）作于，连接、，可推出，，从而可得，，进而得出，证明，，推出，即可得解． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵的半径为． ∴， ∵， ∴，， ∴； （3）解：如图，作于，连接、， ∵，P为的中点， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵平分，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．（12分）（24-25九年级上·湖南长沙·期中）类似于三角形的内切圆，我们定义：与四边形各边都相切的圆叫做四边形的内切圆．请结合定义，解答下列问题： (1)请你判断下列说法是否正确（正确的打“”，错误的打“”）， ①邻边不相等的矩形一定没有内切圆；（    ） ②正方形一定有内切圆；（    ） ③四边形中，若，，则四边形没有内切圆（    ） (2)如图1，若四边形有内切圆，求证：． (3)如图2，四边形中，若，它的内切圆与边，，，分别相切于点，，，，连接，交于点． ①求证：； ②连接，若的半径为1，当时，求的取值范围． 【答案】(1)，，； (2)见解析 (3)①见解析；② 【分析】（1）因为邻边不相等的矩形不能满足内切圆的圆心到各边的距离相等，所以①正确；因为正方形满足内切圆的圆心到各边的距离相等，所以②正确；因为四边形中，，，所以四边形满足内切圆的圆心到各边的距离相等，所以③错误； （2）设分别与相切于点，得到，，继而得到，，即可得到结论； （3）①连接，由是四边形的内切圆，可得，进而得，同理可得，进而可得，即可证明结论； ②连接，作于点，于点，得到，，可证明四边形是矩形，得到，根据勾股定理得到，，得出，得到求出． 【详解】（1）解；①邻边不相等的矩形不能满足内切圆的圆心到各边的距离相等， 邻边不相等的矩形一定没有内切圆， 故①正确； ②正方形满足内切圆的圆心到各边的距离相等， 正方形一定有内切圆， 故②正确； ③四边形中，，， 四边形满足内切圆的圆心到各边的距离相等， 故③错误； 故答案为：，，； （2）证明：如图，设分别与相切于点， ， ， ， ； （3）①证明∶如图，连接， 是四边形的内切圆， ， ， ， 同理可得， ， ， ， ，， ， ， ； ②解：如图，连接，作于点，于点， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了上直线的圆的位置关系，切线的性质，切线长定理，四边形内角和定理，圆周角定理，直角三角形的性质，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理，解不等式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 24．（12分）（2024·江苏盐城·三模）“做数学”可以帮助我们积累活动经验．小明在一次利用等宽的矩形纸片和矩形纸片重叠构建特殊平行四边形的实验中，产生了一些新的思考． 【发现】如图1，矩形和矩形中宽，两个矩形重叠，当， 请证明：四边形是正方形； 【思考】如图2，在图1的基础上，将矩形绕点A旋转，边与正方形的两边分别交于E、F两点，若矩形的宽为，试求的周长（用m的代数式表示）； 【探索】如图3，在图2的基础上，矩形边与正方形的边分别交于E、F两点，F为边上一点，， ，在内部作，与边都相切，点R为在上，为的切线，则的取值范围为 ． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】发现：先根据矩形的性质证明四边形是平行四边形，由， 易证四边形是菱形，再根据即可证明四边形是正方形； 思考：过点A作，垂足为I，连接，由矩形的性质证明，得到，同理易证，得到，从而得到的周长为； 探索：连接并延长交于点J，过点J作的垂线，垂足为，过点作，垂足分别为，连接，由，求出，利用勾股定理求出，根据题意可得，由思考中结论可得，即可求出，根据与边都相切，可得是的角平分线，，勾股定理求出，求出，设，利用勾股定理求出，设的半径为r，利用正切的定义得，从而得到，得到，证明四边形是矩形，推出，由勾股定理易得，根据为的切线，易得是直角三角形，由勾股定理易得，从而得到，再根据三角形内接圆的性质求出r的取值范费，利用二次函数的性质即可求出结果． 【详解】发现：证明：四边形和四边形都是矩形， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， 四边形是正方形； 思考：解：过点A作，垂足为I，连接， 四边形是矩形，四边形是正方形，， ， ， ， 同理：， ， 的周长为：； 探索：解：连接并延长交于点J，过点J作的垂线，垂足为，过点作，垂足分别为，连接， ， ， ， ， 由思考中结论可得， ， ， 与边都相切， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， 设的半径为r， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 为的切线， 是直角三角形，且， ， ，即， ， 如图，当与相切时，有最大值， 此时，，即， ，即最大值为1， ， 当时，有最小值，为16，则的最小值为4， 当时，有最大值，为17，则的最大值为， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，解直角三角形，三角形内接圆，切线的性质，勾股定理等知识点，综合性较强，正确作出辅助线构造三角形全等及熟练掌握三角形内接圆的性质是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $