精品解析：河南省新乡市新誉佳高级中学、永宏高级中学2025-2026学年高二上学期1月月考数学试题

2025-2026上学期1月月考 高二年级数学试题 考试时间：150分钟：分值：150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一､单选题（本题共8小题，每题5分，共40分） 1. 已知直线，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列的通项公式为，则下列各数是数列的项是（ ） A. 11 B. 22 C. 24 D. 44 3. 已知直线与直线垂直，则实数（   ） A. 或0 B. C. 0 D. 1 4. 已知空间中三点共线，则（ ） A. 2 B. 0 C. 1 D. -1 5. 直线与直线之间的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 6. 若圆与的交点为，则线段的垂直平分线的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ） A. B. C. 4 D. 8. 已知抛物线的焦点为，过作一条直线交抛物线于P，Q两点，直线的倾斜角满足，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每题6分，共18分） 9. 已知直线和圆，则（ ） A. 存在使得直线与直线垂直 B. 直线恒过定点 C. 直线与圆可能相切 D. 直线被圆截得的最短弦长为 10. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，平面，为的中点，则（ ） A. B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. D. 点到平面的距离为 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线与该双曲线交于两点，且点在第三象限，轴于点，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 的最小值为4 C. D. 若，则内切圆的周长为 第II卷（非选择题） 三､填空题（本题共3小题，每题5分，共15分） 12. 双曲线的渐近线方程为__________. 13. 圆：与圆：相交于、两点，则两圆公共弦的长为______. 14. 如图，二面角的平面角的大小为，，，，则_________． 四､解答题（本题共5小题，共77分） 15. 三角形的三个顶点是 （1）求BC边上的高所在直线的方程； （2）求BC边上的中线所在直线的方程； （3）求BC边的垂直平分线的方程. 16. 求满足下列条件的圆的方程： （1）经过点，，且圆心在直线上． （2）圆心在轴上，半径为，且经过点． 17. 在正四棱柱中，是棱上的中点． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知圆，直线过点. （1）若直线与圆相切，求直线的方程； （2）若P为圆C上任意一点，，点Q满足，求点Q的轨迹方程. 19. 已知、分别是椭圆的左、右顶点，的离心率为，且． （1）求椭圆的方程； （2）已知是线段上一点（异于、），过点的直线与椭圆交于、两点（异于、），直线、分别交直线于、两点．是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026上学期1月月考 高二年级数学试题 考试时间：150分钟：分值：150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一､单选题（本题共8小题，每题5分，共40分） 1. 已知直线，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线方程可得斜率，进而可得倾斜角. 【详解】因为直线的斜率， 设直线的倾斜角为，， 则，所以. 故选：D. 2. 已知数列的通项公式为，则下列各数是数列的项是（ ） A. 11 B. 22 C. 24 D. 44 【答案】B 【解析】 【分析】分别将选项中的数换，得到的等式，计算的值，若，则此数是数列中的项，否则，不是数列中的项. 【详解】解得，故A错误； 解得，故B正确； 解得，故C错误； 解得，故D错误． 故选:B． 3. 已知直线与直线垂直，则实数（   ） A. 或0 B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线垂直列出方程，求解即可. 【详解】若直线与直线垂直， 则，即，解得或0． 故选：A． 4. 已知空间中三点共线，则（ ） A. 2 B. 0 C. 1 D. -1 【答案】B 【解析】 【分析】由三点共线可得，进而根据空间向量平行的坐标表示求解即可. 【详解】因为三点共线，所以， 因为，所以，解得. 故选：B 5. 直线与直线之间的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两平行直线间距离公式进行求解. 【详解】直线，即直线， 直线与直线之间的距离为. 故选：C 6. 若圆与的交点为，则线段的垂直平分线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出两圆圆心，根据线段的垂直平分线即为直线，进而求解即可. 【详解】由圆，即， 则圆心为，半径为， 由圆，即， 则圆心为，半径为， 由于线段的垂直平分线即为直线， 而，则直线的方程为，即. 故选：D 7. 点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可. 【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即， 结合对称性，不妨考虑点到直线的距离：. 故选：A. 8. 已知抛物线的焦点为，过作一条直线交抛物线于P，Q两点，直线的倾斜角满足，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方法一：由题意可得直线，与抛物线方程联立，可得，结合焦半径公式可求得的值.方法二：利用抛物线的二级结论可得，，可求得的值. 【详解】（方法一）由，所以，不妨假设， 设，联立方程组可得， 由，所以， 不妨设，， 所以，所以， 又，所以，所以， 又，所以， 所以，解得. （方法二），所以. 故选：A. 二､多选题（本题共3小题，每题6分，共18分） 9. 已知直线和圆，则（ ） A. 存在使得直线与直线垂直 B. 直线恒过定点 C. 直线与圆可能相切 D. 直线被圆截得的最短弦长为 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，由两条直线的位置关系中垂直关系即可判断；对于B，利用直线系方程求得直线过定点即可判断；对于C，由直线所过的定点在圆内部即可判断；对于D，由垂径定理求弦长可以判断. 【详解】对于A，若直线，斜率为，与直线，斜率为，垂直，则，存在，故选项A正确； 对于B，直线，即，则直线恒过定点，故选项B正确； 对于C，直线恒过的定点在圆的内部，直线与圆相交，故选项C错误； 对于D，当时，弦长最短，此时，则直线斜率不存在， 此时圆心到直线的距离， 则弦长为， 而直线，斜率是存在的，所以最小值取不到，故D错误. 故选：AB 10. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，平面，为的中点，则（ ） A. B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. D. 点到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量线性运算可知A正确；以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据异面直线所成角的向量求法、向量模长的求解与点到平面距离的向量求法依次验证BCD选项即可. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，以为坐标原点，正方向为轴正方向可建立如图空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 即异面直线与所成角的余弦值为，B正确； 对于C，由B知：，， 即，C错误； 对于D，由B知：，，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，， 设点到平面的距离为，则，D正确. 故选：ABD. 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线与该双曲线交于两点，且点在第三象限，轴于点，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 的最小值为4 C. D. 若，则内切圆的周长为 【答案】BCD 【解析】 【分析】联立方程判断选项A的合理性；结合双曲线定义与几何不等式分析选项B；利用三角函数与渐近线性质推导选项C； 用三角形面积与内切圆公式计算选项D. 【详解】由题意可知，，则，所以，即，两点关于原点对称，且点在第三象限，设，则. 选项A，因为两点关于原点对称，所以原点是的中点，若，则，所以， 且，所以，得，，不可能，所以无法取到，所以A错误； 选项B，由双曲线的定义可知， ，所以， 因为轴于点，则，且，当且仅当时取等， 所以，所以B正确； 选项C，因为，又渐近线的斜率为， 所以，所以，所以C正确； 选项D，已知，设内切圆的半径为，则三角形面积， 又，，则， 而，则， 所以内切圆的周长为，所以D正确. 故选：BCD. 第II卷（非选择题） 三､填空题（本题共3小题，每题5分，共15分） 12. 双曲线的渐近线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】方法一：令，直接求得渐近线方程；方法二：先求出即可求得渐近线方程. 【详解】方法一：令，所以双曲线的渐近线方程为； 方法二：双曲线的标准方程为，其中， 所以渐近线方程为，即为所求. 故答案为：. 13. 圆：与圆：相交于、两点，则两圆公共弦的长为______. 【答案】4 【解析】 【分析】先求出相交弦所在直线的方程，然后根据圆的弦长的求法求解即可. 【详解】由圆：与圆：， 两圆相减得公共弦所在直线方程为：，即， 由圆：，可得，所以圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以. 故答案为：4. 14. 如图，二面角的平面角的大小为，，，，则_________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积运算律求解. 【详解】依题意，，，，， 因此 ，所以，即. 故答案为：4 四､解答题（本题共5小题，共77分） 15. 三角形的三个顶点是 （1）求BC边上的高所在直线的方程； （2）求BC边上的中线所在直线的方程； （3）求BC边的垂直平分线的方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用两直线垂直求得边上的高所在直线的斜率，结合高线经过点，由点斜式方程即得； （2）先求出的中点坐标，进而可得BC边上的中线所在直线的斜率，再由点斜式方程即得； （3）利用两直线垂直求得边垂直平分线的斜率，结合的中点，由点斜式方程即得. 【小问1详解】 由题意，边所在的直线的斜率， 则边上的高所在直线的斜率为， 又边上的高经过点， 所以边上的高所在的直线方程为，即. 【小问2详解】 由题意，BC的中点坐标为， 则BC边上的中线所在直线的斜率为， 所以BC边上的中线所在直线的方程为，即. 【小问3详解】 由（1）（2）得，，BC的中点坐标为， 所以边垂直平分线的斜率为， 则边的垂直平分线方程，即. 16. 求满足下列条件的圆的方程： （1）经过点，，且圆心在直线上． （2）圆心在轴上，半径为，且经过点． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设出圆心坐标，根据圆心到的距离相等求解出圆心坐标，则圆的方程可求； （2）设出圆心坐标，根据圆过点和半径求解出圆心坐标，则圆的方程可求. 【小问1详解】 因为圆心在上，所以设圆心为， 因为圆过点， 所以，解得， 所以圆心为，半径为， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 设圆心为，因为圆的半径为且过， 所以，解得或， 所以圆的方程为或. 17. 在正四棱柱中，是棱上的中点． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）如图，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 因为， 所以， ， 因为， 所以. （2）. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，通过验证即可证明； （2）写出与平面的法向量，再运用向量夹角公式即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题可知，. 则， 设平面的法向量为， 则有，即， 不妨取，则，故. 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知圆，直线过点. （1）若直线与圆相切，求直线的方程； （2）若P为圆C上任意一点，，点Q满足，求点Q的轨迹方程. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）考虑直线的斜率是否存在，结合直线和圆相切时的性质求解，即得答案； （2）先设出点Q和点P的坐标，再根据向量关系得到坐标之间的关系，最后将点P的坐标代入圆C的方程，从而得到点Q的轨迹方程. 【小问1详解】 因为，所以点A在圆外， 若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 此时圆心到直线的距离为2，所以直线与圆相切，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径， 即，解得. 所以直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 【小问2详解】 设，，则. 因为，所以，即. 又因为点在圆C：上，所以. 将代入可得， 整理得，即点Q的轨迹方程为. 19. 已知、分别是椭圆的左、右顶点，的离心率为，且． （1）求椭圆的方程； （2）已知是线段上一点（异于、），过点的直线与椭圆交于、两点（异于、），直线、分别交直线于、两点．是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，或 【解析】 【分析】（1）根据条件先求解出的值，再根据求解出的值，则椭圆方程可求； （2）设出的方程，联立椭圆方程与直线的方程可得纵坐标的韦达定理形式，再表示出的坐标，根据向量数量积运算以及韦达定理进行化简，从而可确定出符合条件的点坐标. 【小问1详解】 由题意可知，，所以，所以， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 设，由题意可知直线的斜率不为，设， 联立，可得， 所以， 且，即， 直线的方程为，代入，则，所以， 同理可得， 所以， 所以 ， 当时，即，此时， 当时，即(舍去)，此时， 综上所述，存在或使得为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $